Affinie Abbildung

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2.1 Definition

Seien (X,T,τ),(Y,V,σ) affine Räume über dem selben Körper K. Die Abbildung f:XYheißt genau dann affin wenn es eine lineare Abbildung g:TMVM gibt so dass für alle Punkte p,qX gilt

f(p)f(q)=g(pq)


2.2 Vereinfachung

Um zu zeigen, dass eine Abbildung affin ist reicht es zu zeigen, dass die obige Definition für ein festes p gilt. Seien (X,T,τ),(Y,V,σ) affine Räume über dem selben Körper K. g sein linear und qXbeliebig.

f:XY ist affin p0X:(g:TMVM:p0qf(p0)f(q))

Beweis: Man geht den Umweg über p0: In jedem affinen Raum gilt:

(p,q,p0)X2pq=pp0+p0q=p0q+(p0p)1=p0qp0p

Da g linear ist folgt die Gleichheit sofort. g(pq)=g(p0q)g(p0p)=f(p0)f(q)f(p0)f(p)=f(p)f(p)VM Zum Vergleich: In der Definition heißt es:

f:XY affin  g:TMVM,tg(t):(p,q)X2:f(p)f(q)=g(pqt)

Aber es geht noch weiter: Sind xX,yY,g:TMVMvorgegeben dann existiert genau eine affine Abbildung f:XY:f(x)=y und g:=g Beweis:

xX:f(x)f(x)=g(xx)g(xx)+f(x)=f(x)