Affinier Raum

Ein affiner Raum über einem vorgegebenen Körper $K:=\left({{K}_{M}},+,\centerdot \right)$ ist ein Tripel, [A.1] $\left(X,T,\tau \right)$

wobei X sei eine Menge (die Menge der Raumpunkte) $T:=\left({{T}_{M}},+:{{T}_{M}}\times {{T}_{M}}\to {{T}_{M}},\centerdot :{{K}_{M}}\times {{T}_{M}}\to {{T}_{M}}\right)$sei ein K-Vektorraum

${\begin{aligned}&\tau :{{T}_{M}}\times X\to X\\&\left(t,x\right)\to t+x\\\end{aligned}}$ eine einfach transitive Operation von der Gruppe $\left({{T}_{M}},+\right)$des Vektorraums T auf der Menge X

Beispiel:

${\begin{matrix}K:=\left({{K}_{M}},+,\centerdot \right)\\X:={\text{ K}}_{\text{M}}^{\text{n}}\\T:=\left(K_{M}^{n},+,\centerdot \right)\\\tau :K_{M}^{n}\times K_{M}^{n}\to K_{M}^{n}\\\left(t,x\right)\to t+x{\text{ hier sei }}+=+\\\left(\left({\begin{aligned}&{{t}_{1}}\\&\vdots \\&{{t}_{n}}\\\end{aligned}}\right),\left({\begin{aligned}&{{x}_{1}}\\&\vdots \\&{{x}_{n}}\\\end{aligned}}\right)\right)\to \left({\begin{aligned}&{{t}_{1}}+{{x}_{1}}\\&\quad \vdots \\&{{t}_{n}}+{{x}_{n}}\\\end{aligned}}\right)\\\end{matrix}}$

1.1.3 Abkürzende Schreibweise In jedem affinen Raum $\left(X,T,\tau \right)$ existiert zu allen $x,y\in X$ein eindeutig bestimmtes ${\overrightarrow {xy}}\in {{T}_{M}}$für das gilt ${\overrightarrow {xy}}+x=y$. Beweis: $\tau$ist einfach transitiv. Diese Schreibweise gelte ab jetzt für alle Ausdrücke für x und y. Außerdem ist ${\overrightarrow {xy}}=-{\overrightarrow {yx}}$ wobei – in der Gruppe$\left({{T}_{m}},+\right)$ des Vektorraums T wie folgt definiert ist:

${\begin{aligned}&-:{{T}_{m}}\times {{T}_{m}}\to {{T}_{m}}\\&\left(t,{t}'\right)\to t+\left(-{t}'\right)\\\end{aligned}}$

Dabei ist $\left(-t\right)+t=0\in {{T}_{M}}\forall t\in {{T}_{M}}$ Beweis:

${\begin{aligned}&{\overrightarrow {xy}}+x=y\wedge {\overrightarrow {yx}}+y=x\\&\Leftrightarrow {\overrightarrow {xy}}+\left({\overrightarrow {yx}}+y\right)=y\\&\overbrace {\Leftrightarrow } ^{\left[{\text{O}}{\text{.1}}\right]}\left({\overrightarrow {xy}}+{\overrightarrow {yx}}\right)+y=y\\&\overbrace {\Leftrightarrow } ^{\left[{\text{O}}{\text{.2}}\right]}{\overrightarrow {xy}}+{\overrightarrow {yx}}=0\in {{T}_{M}}\\\end{aligned}}$

1.2 Dimension [A.2] $\left\{{\begin{matrix}-1{\text{ falls X=}}\varnothing \\Di{{m}_{k}}T{\text{ sonst}}{\text{.}}\\\end{matrix}}\right.$

Die Dimension des affinen Raums ist gleich der des enthaltenden Vektorraums T. Falls die Menge leer ist, ist die Dimension -1.