Affinier Raum

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Ein affiner Raum über einem vorgegebenen Körper

K:=(KM,+,)

ist ein Tripel, [A.1]

(X,T,τ)

wobei X sei eine Menge (die Menge der Raumpunkte)

T:=(TM,+:TM×TMTM,:KM×TMTM)sei ein K-Vektorraum
τ:TM×XX(t,x)t+x

eine einfach transitive Operation von der Gruppe (TM,+)des Vektorraums T auf der Menge X

Beispiel:

K:=(KM,+,)X:= KMnT:=(KMn,+,)τ:KMn×KMnKMn(t,x)t+x hier sei +=+((t1tn),(x1xn))(t1+x1tn+xn)

1.1.3 Abkürzende Schreibweise In jedem affinen Raum

(X,T,τ)

existiert zu allen x,yXein eindeutig bestimmtes xyTMfür das gilt xy+x=y. Beweis: τist einfach transitiv. Diese Schreibweise gelte ab jetzt für alle Ausdrücke für x und y. Außerdem ist xy=yx wobei – in der Gruppe(Tm,+) des Vektorraums T wie folgt definiert ist:

:Tm×TmTm(t,t)t+(t)

Dabei ist (t)+t=0TMtTM Beweis:

xy+x=yyx+y=xxy+(yx+y)=y[O.1](xy+yx)+y=y[O.2]xy+yx=0TM

Dimension

[A.2]

{1 falls X=DimkT sonst.

Die Dimension des affinen Raums ist gleich der des enthaltenden Vektorraums T. Falls die Menge leer ist, ist die Dimension -1.