Affinier Raum

Ein affiner Raum über einem vorgegebenen Körper

K : = (K_{M}, +, \cdot)

ist ein Tripel, [A.1]

(X, T, τ)

wobei X sei eine Menge (die Menge der Raumpunkte)

T : = (T_{M}, + : T_{M} \times T_{M} \to T_{M}, \cdot : K_{M} \times T_{M} \to T_{M})

sei ein K-Vektorraum

\begin{aligned} τ : T_{M} \times X \to X \\ (t, x) \to t + x \end{aligned}

eine einfach transitive Operation von der Gruppe $(T_{M}, +)$ des Vektorraums T auf der Menge X

Beispiel:

\begin{matrix} K : = (K_{M}, +, \cdot) \\ X : = K_{M}^{n} \\ T : = (K_{M}^{n}, +, \cdot) \\ τ : K_{M}^{n} \times K_{M}^{n} \to K_{M}^{n} \\ (t, x) \to t + x hier sei + = + \\ ((\begin{aligned} t_{1} \\ ⋮ \\ t_{n} \end{aligned}), (\begin{aligned} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{aligned})) \to (\begin{aligned} t_{1} + x_{1} \\ ⋮ \\ t_{n} + x_{n} \end{aligned}) \end{matrix}

1.1.3 Abkürzende Schreibweise In jedem affinen Raum

(X, T, τ)

existiert zu allen $x, y \in X$ ein eindeutig bestimmtes $\vec{x y} \in T_{M}$ für das gilt $\vec{x y} + x = y$ . Beweis: $τ$ ist einfach transitiv. Diese Schreibweise gelte ab jetzt für alle Ausdrücke für x und y. Außerdem ist $\vec{x y} = - \vec{y x}$ wobei – in der Gruppe $(T_{m}, +)$ des Vektorraums T wie folgt definiert ist:

\begin{aligned} - : T_{m} \times T_{m} \to T_{m} \\ (t, {t^{'}}^{'}) \to t + (- {t^{'}}^{'}) \end{aligned}

\begin{aligned} \vec{x y} + x = y \land \vec{y x} + y = x \\ \Leftrightarrow \vec{x y} + (\vec{y x} + y) = y \\ \overset{[O .1]}{\overset{⏞}{\Leftrightarrow}} (\vec{x y} + \vec{y x}) + y = y \\ \overset{[O .2]}{\overset{⏞}{\Leftrightarrow}} \vec{x y} + \vec{y x} = 0 \in T_{M} \end{aligned}

Dimension

[A.2]

{\begin{matrix} - 1 falls X= \emptyset \\ D i m_{k} T sonst . \end{matrix}

Die Dimension des affinen Raums ist gleich der des enthaltenden Vektorraums T. Falls die Menge leer ist, ist die Dimension -1.