Affinier Raum

Ein affiner Raum über einem vorgegebenen Körper

K := (K_{M}, +, \cdot)

ist ein Tripel, [A.1]

(X, T, τ)

wobei X sei eine Menge (die Menge der Raumpunkte)

T := (T_{M}, + : T_{M} \times T_{M} \to T_{M}, \cdot : K_{M} \times T_{M} \to T_{M})

sei ein K-Vektorraum

\begin{matrix} τ : T_{M} \times X \to X \\ (t, x) \to t + x \end{matrix}

eine einfach transitive Operation von der Gruppe $(T_{M}, +)$ des Vektorraums T auf der Menge X

Beispiel:

\begin{matrix} K := (K_{M}, +, \cdot) \\ X := K_{M}^{n} \\ T := (K_{M}^{n}, +, \cdot) \\ τ : K_{M}^{n} \times K_{M}^{n} \to K_{M}^{n} \\ (t, x) \to t + x hier sei + = + \\ ((\begin{matrix} t_{1} \\ ⋮ \\ t_{n} \end{matrix}), (\begin{matrix} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix})) \to (\begin{matrix} t_{1} + x_{1} \\ ⋮ \\ t_{n} + x_{n} \end{matrix}) \end{matrix}

1.1.3 Abkürzende Schreibweise In jedem affinen Raum

(X, T, τ)

existiert zu allen $x, y \in X$ ein eindeutig bestimmtes $\vec{x y} \in T_{M}$ für das gilt $\vec{x y} + x = y$ . Beweis: $τ$ ist einfach transitiv. Diese Schreibweise gelte ab jetzt für alle Ausdrücke für x und y. Außerdem ist $\vec{x y} = - \vec{y x}$ wobei – in der Gruppe $(T_{m}, +)$ des Vektorraums T wie folgt definiert ist:

\begin{matrix} - : T_{m} \times T_{m} \to T_{m} \\ (t, t^{'}) \to t + (- t^{'}) \end{matrix}

Dabei ist $(- t) + t = 0 \in T_{M} \forall t \in T_{M}$ Beweis:

\begin{matrix} \vec{x y} + x = y \land \vec{y x} + y = x \\ \Leftrightarrow \vec{x y} + (\vec{y x} + y) = y \\ \overset{[O .1]}{\overset{⏞}{\Leftrightarrow}} (\vec{x y} + \vec{y x}) + y = y \\ \overset{[O .2]}{\overset{⏞}{\Leftrightarrow}} \vec{x y} + \vec{y x} = 0 \in T_{M} \end{matrix}

Dimension

[A.2]

{\begin{matrix} - 1 falls X= \emptyset \\ D i m_{k} T sonst . \end{matrix}

Die Dimension des affinen Raums ist gleich der des enthaltenden Vektorraums T. Falls die Menge leer ist, ist die Dimension -1.

Affinier Raum

Dimension

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