Ein affiner Raum über einem vorgegebenen Körper
ist ein Tripel,
[A.1]
wobei
X sei eine Menge (die Menge der Raumpunkte)
sei ein K-Vektorraum
eine einfach transitive Operation von der Gruppe des Vektorraums T auf der Menge X
Beispiel:
1.1.3 Abkürzende Schreibweise
In jedem affinen Raum
existiert zu allen ein eindeutig bestimmtes für das gilt .
Beweis: ist einfach transitiv.
Diese Schreibweise gelte ab jetzt für alle Ausdrücke für x und y.
Außerdem ist
wobei – in der Gruppe des Vektorraums T wie folgt definiert ist:
Dabei ist
Beweis:
Dimension
[A.2]
Die Dimension des affinen Raums ist gleich der des enthaltenden Vektorraums T.
Falls die Menge leer ist, ist die Dimension -1.