Quantenmechanikvorlesung von Brandes
|
Der Artikel Die Dirac Gleichung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 4) der Quantenmechanikvorlesung von Brandes.
|
LITERATUR: SKRIPT FREDENHAGEN
Die Klein-Gordon-GleichungKlein-Gordon-Gleichung
|
|
|
(1.29)
|
lässt sich durch Wurzelziehen umschreiben in
|
|
|
(1.30)
|
Aus der Wurzel lässt sich durch Entwicklung die Schrödingergleichung zurückgewinnen mit dem Ruheenergie Zusatzterm mc². Allerdings stört die Quadratwurzel.
Dirac: Linearisierung als
|
|
|
(1.31)
|
mit zu bestimmen.
Ansatz [1]
Für
soll
also .
Vielleicht liefert
|
|
|
(1.32)
|
die Lösung.
erzeugen eine sogenannten Clifford-AlgebraClifford-Algebra von 4x4 Matrizen
Zeige, dass es 4x4-Matritzen sind:
- sollen hermitesch sein (soll nur reelle Eigenwerte haben):
- unitär, ebenso unitär
- Aus
analog
- haben nur die Eigenwerte
- Aus Spurfreiheit folgt, dass die Summe der Eigenwerte 0 ist. Also haben grade Dimension
- 2x2 Matrizen tun es nicht:
M
P=Anzahl der Parameter in einer NxN-Matrix M
komplex
2N²
Komplex, hermitesch
N²(Diagonale)+N²-N=N²
wegen der Zusatzbedingung
Für N=2 folgt p=3 reelle Parameter.
2x2 Matritzden M mit lassen sich als Linearkombinationen mit p=3 reellen Parametern mit der Basis der Pauli-MatrizenPauli-Matrizen
|
|
|
(1.33)
|
darstellen, d.h,
[2]
|
|
|
(1.34)
|
Die Pauli-Matrizen sind 3 linear unabhängige, antikommutierende Spurlose Matrizen, für (1.32) bräuchte man also 4, deshalb kann (1.32) nicht mit 2x2-Matrizen erfüllt werden.
Die 4x4 Matrizen werden gewählt als (in 2x2-Blockdarstellung)
|
|
|
(1.35)
|
Es gilt (4x4 Einheitsmatrix). (CHECK 1.32)
Außerdem unitär und spurlos.
Die Wellenfunktion Ψ in der Dirac-GleichungDirac-Gleichung (ohne Elektromagnetische Felder)
Dirac-Gleichung
|
|
|
(1.36)
|
sind 4-komponentige Spinoren
- ↑ Kommutator
- ↑ ist die 2x2 Einheitsmatrix