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| <font size = "6"><u>'''Theorie III - Elektrodynamik'''</u></font> | | <noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|0|0}}</noinclude> |
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| <font size = "6"><u>'''Skript zur Vorlesung'''</u></font>
| | === Elektrodynamik === |
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| <font size = "6"><u>'''von Prof. Dr. Schoell'''</u></font>
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| <font size = "6"><u>'''erweitert um eine kurze Abhandlung zur Holografie'''</u></font>
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| <font size = "6"><u>'''Verfasser:'''</u></font>
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| <font size = "6"><u>'''Franz- Josef Schmitt'''</u></font>
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| <u>'''Elektrodynamik'''</u>
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| Klassische elektrische und magnetische Erscheinungen | | Klassische elektrische und magnetische Erscheinungen |
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| * Elektrodynamik ist relativistisch invariant | | * Elektrodynamik ist relativistisch invariant |
| * Feldtheorie ( Nahwirkungstheorie, Kontinuumstheorie, endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit von Wirkungen) | | * Feldtheorie (Nahwirkungstheorie, Kontinuumstheorie, endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit von Wirkungen) |
| * lokale Theorie: | | * lokale Theorie: |
| * <math>\bar{E}(\bar{r},t),\bar{B}(\bar{r},t)</math> | | * <math>\bar{E}(\bar{r}, t),\bar{B}(\bar{r}, t)</math> |
| *
| | * quantentheoretische Erweiterung: Quantenelektrodynamik (nicht behandelt) |
| * quantentheoretische Erweiterung: Quantenelektrodynamik ( nicht behandelt) | |
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| Vereinheitlichung der elektromagnetischen und schwachen Wechselwirkung zur elektroschwachen WW in den 70- er Jahren ( Weinberg)
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| Starke WW: Quantenchromodynamik ( nach dem Vorbild der Quantenelektrodynamik)
| | Vereinheitlichung der elektromagnetischen und schwachen Wechselwirkung zur elektroschwachen WW in den 70- er Jahren (Weinberg) |
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| GUT ( Grand unified): Vereinheitlichung der Elektroschwachen Theorie mit der starken Kernkraft + Gravitationswechselwirkung ( nichtlinear, allgemein- relativistisch).
| | Starke WW: Quantenchromodynamik (nach dem Vorbild der Quantenelektrodynamik) |
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| grundlegende Theorie: elektrische und magnetische Felder im Vakuum, erzeugt durch lokalisierte Ladungs- und Stromverteilungen
| | GUT (Grand unified): Vereinheitlichung der Elektroschwachen Theorie mit der starken Kernkraft + Gravitationswechselwirkung (nichtlinear, allgemein- relativistisch). |
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| '''elektromagnetische Felder in Materie:'''
| | * grundlegende Theorie: |
| | ** elektrische und magnetische Felder im Vakuum, erzeugt durch lokalisierte Ladungs- und Stromverteilungen |
| | * elektromagnetische Felder in Materie |
| | ** freie und gebundene Ladungen in Festkörpern/ Gasen, Materie im Allgemeinen |
| | ** Zusammenfassung des Beitrags der mikroskopisch gebundenen Ladungen in phänomenologischen Materialkonstanten: Dielektrizitätskonstante, Permeabilität |
| | ** phänomenologische Theorie elektromagnetische Felder in Materie |
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| freie und gebundene Ladungen in Festkörpern/ Gasen, Materie im Allgemeinen
| | (Theorie der Materialkonstanten → Quantentheorie der Festkörper, Flüssigkeiten, Gase) |
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| * Zusammenfassung des Beitrags der mikroskopisch gebundenen Ladungen in phänomenologischen Materialkonstanten: Dielektrizitätskonstante, Permeabilität
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| * phänomenologische Theorie elektromagnetische Felder in Materie
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| ( Theorie der Materialkonstanten -> Quantentheorie der Festkörper, Flüssigkeiten, Gase )
| | == Stoff der Vorlesung == |
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| <u>'''Stoff der Vorlesung'''</u>
| | * Elektrodynamik im Vakuum |
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| Elektrodynamik im Vakuum | | * Elektrodynamik in materie |
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| Elektrodynamik in materie
| | * Relativistische Formulierung |
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| Relativistische Formulierung
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| <u>'''Literatur'''</u>
| | === Literatur === |
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| * H. Mitter: Elektrodynamik,. besonders gute relativistisch Formulierung | | * H. Mitter: Elektrodynamik,. besonders gute relativistisch Formulierung |
| * Stumpf, H.: Elektrodynamik Vieweg 1973 | | * Stumpf, H.: Elektrodynamik Vieweg 1973 |
| * J.D. Jackson | | * J. D. Jackson |
| * R. Becker, Sauter: Theorie der Elektrizität | | * R. Becker, Sauter: Theorie der Elektrizität |
| * Landau- Lifschitz Band II und VIII | | * Landau- Lifschitz Band II und VIII |
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| <u>'''1. Elektrostatik'''</u>
| | [[Kategorie:Vorlesungsstartseite]] |
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| *# <u>'''Coulomb- Wechselwirkung'''</u>
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| <u>'''Experimentelle Grundtatsachen'''</u>
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| * Materie trägt als skalare Eigenschaften Masse und elektrische Ladung
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| '''Masse:'''
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| * Gravitations- Wechselwirkung ( Newton: 1643 - 1727 )
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| Kraft auf Masse
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| <math>{{m}_{2}}</math>
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| bei
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| <math>{{\bar{r}}_{2}}</math>
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| , ausgeübt von Masse
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| <math>{{m}_{1}}</math>
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| bei
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| <math>{{\bar{r}}_{1}}</math>
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| :
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| <math>\begin{align}
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| & {{{\bar{F}}}_{g}}^{(2)}=-\gamma \frac{{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{{{\left| {{{\bar{r}}}_{1}}-{{{\bar{r}}}_{2}} \right|}^{2}}}{{{\bar{e}}}_{12}} \\
| |
| & {{{\bar{e}}}_{12}}:=\frac{{{{\bar{r}}}_{2}}-{{{\bar{r}}}_{1}}}{\left| {{{\bar{r}}}_{1}}-{{{\bar{r}}}_{2}} \right|} \\
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| \end{align}</math>
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| Wegen:
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| <math>\gamma ,{{m}_{1}},{{m}_{2}}>0</math>
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| wird dem Phänomen Rechnung getragen, dass Gravitation stets anziehend wirkt.
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| Festlegung von
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| <math>\gamma </math>
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| durch Wahl einer willkürlichen Einheit kg für Masse:
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| <math>\gamma =6,67\cdot {{10}^{-11}}\frac{N{{m}^{2}}}{k{{g}^{2}}}</math>
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| schwere Masse = träge Masse:
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| <math>\Rightarrow 1N=1\frac{kg\cdot m}{{{s}^{2}}}</math>
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| '''Coulomb- Wechselwirkung ( C. Coulomb 1736-1806)'''
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| Kraft auf Ladung
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| <math>{{q}_{2}}</math>
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| bei
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| <math>{{\bar{r}}_{2}}</math>
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| , ausgeübt von Masse
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| <math>{{q}_{1}}</math>
| |
| bei
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| <math>{{\bar{r}}_{1}}</math>
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| :
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| <math>\begin{align}
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| & {{{\bar{F}}}_{e}}^{(2)}=k\frac{{{q}_{1}}{{q}_{2}}}{{{\left| {{{\bar{r}}}_{1}}-{{{\bar{r}}}_{2}} \right|}^{2}}}{{{\bar{e}}}_{12}} \\
| |
| & {{{\bar{e}}}_{12}}:=\frac{{{{\bar{r}}}_{2}}-{{{\bar{r}}}_{1}}}{\left| {{{\bar{r}}}_{1}}-{{{\bar{r}}}_{2}} \right|} \\
| |
| \end{align}</math>
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| <math>\begin{align}
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| & \gamma >0 \\
| |
| & {{q}_{1}},{{q}_{2}}_{>}^{<}0 \\
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| \end{align}</math>
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| <math>{{q}_{1}}{{q}_{2}}>0</math>
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| -> Abstoßung
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| <math>{{q}_{1}}{{q}_{2}}<0</math>
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| -> Anziehung
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| Festlegung von k durch Wahl einer willkürlichen Einheit Coulomb [C] für die elektrische Ladung:
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| <math>k=8,988\cdot {{10}^{9}}\frac{N{{m}^{2}}}{{{C}^{2}}}</math>
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| <math>\Rightarrow </math>
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| Einheit des elektrischen Stromes: 1 Ampere
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| <math>\left[ A \right]=1\frac{C}{s}</math>
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| '''Bemerkungen'''
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| * je nach Wahl von k ergeben sich verschiedene Einheitssysteme ( Maßsysteme):
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| # '''SI'''
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| System International d´ Unites , seit 1.1.1978 verbindlich
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| m, kg, s, A -> MKSA
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| K
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| mol
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| cd ( Candela) -> Lichtstärke
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| historisch bedingte Schreibweise:
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| <math>k=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}</math>
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| mit der absoluten dielektrischen Konstanten
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| <math>{{\varepsilon }_{0}}=8,854\cdot {{10}^{-12}}\frac{{{C}^{2}}{{s}^{2}}}{kg{{m}^{3}}}</math>
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| # '''Gauß: k=1 ( Miller) CGS- System'''
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| <math>{{F}_{e}}=\frac{{{q}_{1}}{{q}_{2}}}{{{r}^{2}}}</math>
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| Elektrostatische Ladungseinheit:
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| <math>\begin{align}
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| & 1ESE=1\sqrt{dyn}\cdot cm \\
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| & 1C=3\cdot {{10}^{9}}ESE \\
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| \end{align}</math>
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| # Ladungen e1 = e2 = 1 ESE im Abstand r = 1cm üben die Kraft
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| # <math>1dyn=1\frac{g\cdot cm}{{{s}^{2}}}</math>
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| # aufeinander aus
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| * Sehr zweckmäßig bei mikroskopischen Rechnungen, da Coulombgesetz einfacher
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| * unzweckmäßig in der phänomenologischen Elektrodynamik, da Ladungseinheit
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| * <math>1ESE=1\sqrt{dyn}\cdot cm</math>
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| *
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| '''Gute Umrechungstabellen: Vergl. Jackson'''
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| '''Weitere Bemerkungen'''
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| # Das Coulombgesetz gilt bis zu Abständen
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| # <math>r>{{10}^{-11}}cm</math>
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| #
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| Bei kleineren Abständen sind quantenelektrodynamische Korrekturen nötig
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| # Die gesamte Ladung eines abgeschlossenen Systems ist konstant. Aber: Paarerzeugung von positiver und negativer Ladung und lokale Ladungstrennung ist möglich.
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| # Ladung tritt quantisiert auf:
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| Elementarladung:
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| <math>e=1,6\cdot {{10}^{-19}}C</math>
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| Schwere Elementarteilchen ( Hadronen)sind aus Quarks mit Ladungen
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| <math>-\frac{1}{3}e</math>
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| oder
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| <math>+\frac{2}{3}e</math>
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| zusammengesetzt , aber Quarks wurden bisher nicht als freie Teilchen beobachtet
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| # Die Ausdehnung der geladenen Elementarteilchen ist
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| # <math><{{10}^{-13}}cm</math>
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| # . Also erfolgt die makroskopische Beschreibung mit dem Punktladungsmodell.
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| <u>'''1.2 Elektrisches Feld und Potenziale'''</u>
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| Lineare Superposition ( 4. Newtonsches Prinzip) der Kräfte der Ladungen
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| <math>{{q}_{i}}</math>
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| bei
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| <math>{{\bar{r}}_{i}}</math>
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| ,i=1,2,... auf die Ladung
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| <math>{{q}_{{}}}</math>
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| bei
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| <math>{{\bar{r}}_{{}}}</math>
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| :
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| <math>{{\bar{F}}_{e}}^{(2)}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\sum\limits_{i}{{}}\frac{q{{q}_{i}}}{{{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}^{2}}}\frac{\bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}}{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}</math>
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| Darüber wird das elektrische Feld definiert:
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| <math>q\cdot \bar{E}\equiv {{\bar{F}}_{e}}^{(2)}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\sum\limits_{i}{{}}\frac{q{{q}_{i}}}{{{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}^{2}}}\frac{\bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}}{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}</math>
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| | |
| Also:
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| <math>\bar{E}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\sum\limits_{i}{{}}\frac{{{q}_{i}}}{{{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}^{2}}}\frac{\bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}}{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}</math>
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| Warum ist die Elektrodynamik eine Feldtheorie ?
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| * Die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit von physikalischen Wechselwirkungen ( maximal mit c) ist universell. Das Feld als Medium für die Übertragung physikalischer Wechselwirkungen ersetzt ein Modell des Austauschs im Sinne einer Nahwirkung statt einem Austauschmodell.
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| * Das Feld
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| * <math>\bar{E}(\bar{r})</math>
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| * ist der PHYSIKALISCHE Zustand des leeren Raumes bei
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| * <math>\bar{r}</math>
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| * .
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| * Eigenständige FELDDYNAMIK ( partielle Diffgl.) zur Beschreibung der endlich schnellen Ausbreitung ( Retardierungseffekte)
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| * Feld muss IMPULS, DREHIMPULS und ENERGIE aufnehmen und abgeben können.
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| Einheit:
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| <math>\begin{align}
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| & \left[ E \right]=\frac{N}{C}=\frac{kgm}{C{{s}^{2}}}=\frac{V}{m} \\
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| & 1V:=1\frac{kg{{m}^{2}}}{C{{s}^{2}}} \\
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| \end{align}</math>
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| Das Volt ist benannt nach A. Volta ( 1745 - 1887)
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| Die Messung des elektrischen Feldes erfolgt durch Einbringung einer Probeladung:
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| Dabei sollte q-> 0, damit keine Rückwirkung auf
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| <math>{{q}_{i}}</math>
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| erfolgt.
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| Unter Berücksichtigung des Selbstkonsistenzproblems müsste man also schreiben:
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| <math>\left[ \bar{E}(\bar{r}) \right]=\begin{matrix}
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| \lim \\
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| q\to 0 \\
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| \end{matrix}\frac{1}{q}\bar{F}(\bar{r})</math>
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| <u>'''Das Elektrostatische Potenzial'''</u>
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| Mit
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| <math>\begin{align}
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| & \nabla \frac{1}{r\acute{\ }}=-\frac{1}{r{{\acute{\ }}^{3}}}\bar{r}\acute{\ } \\
| |
| & r\acute{\ }:=\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right| \\
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| \end{align}</math>
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| Läßt sich schreiben:
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| <math>\begin{align}
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| & \bar{E}(\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\frac{{{q}_{i}}}{|\bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}{{|}^{3}}}\left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right)=-\nabla \Phi (\bar{r}) \\
| |
| & \Phi (\bar{r}):=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\frac{{{q}_{i}}}{|\bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}|} \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Mit dem elektrostatischen Potenzial
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| <math>\Phi (\bar{r}):=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\frac{{{q}_{i}}}{|\bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}|}</math>
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| , Einheit : 1 V
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| <u>'''Kontinuierliche Ladungsverteilung'''</u>
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| <math>\begin{align}
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| & {{q}_{i}}\to {{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ }) \\
| |
| & \sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{q}_{i}}\to \int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho }(\bar{r}\acute{\ }) \\
| |
| \end{align}</math>
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| Mit der Ladungsdichte
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| <math>\rho (\bar{r}\acute{\ })</math>
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| . Diese muss beschränkt sein und
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| <math>O\left( {{r}^{-3-\varepsilon }} \right),\varepsilon >0</math>
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| für
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| <math>r\to \infty </math>
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| .
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| Es wird
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| Bei Verteilung von Punktladungen:
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| <math>\rho (\bar{r}\acute{\ })=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{q}_{i}}\delta (\bar{r}\acute{\ }-{{\bar{r}}_{i}})=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{q}_{i}}\prod\limits_{j=1}^{3}{{}}\delta ({{x}_{j}}\acute{\ }-{{x}_{j}}_{i})</math>
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| '''Quellen des elektrischen Feldes:'''
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| Bei Punktladung q bei
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| <math>\bar{r}\acute{\ }=0\Rightarrow \bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{q}{{{r}^{2}}}\cdot \frac{{\bar{r}}}{r}</math>
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| Legt man eine geschlossene Oberfläche S um q, so beobachtet man einen elektrischen Kraftfluss:
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| <math>{{\Phi }_{e}}=\oint_{S}{d\bar{f}\cdot }\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\frac{q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \oint_{S}{{}}\frac{d\bar{f}\cdot \bar{r}}{{{r}^{3}}}=\oint_{S}{df}{{E}_{n}}(\bar{r})</math>
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| als geschl. Flächenintegral über die Normalkomponenten des austretenden elektrischen Feldes
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| <math>{{\Phi }_{e}}=\oint_{S}{df}\left| \bar{E}(\bar{r}) \right|\cos \Theta </math>
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| <math>d\bar{f}</math>
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| entspricht einem Raumwinkel
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| <math>d\Omega :d\bar{f}\cdot \bar{r}=df\cdot r\cdot \cos \Theta ={{r}^{3}}d\Omega </math>
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| <math>{{\Phi }_{e}}=\oint_{S}{d\bar{f}\cdot }\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\frac{q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \oint_{S}{{}}d\Omega =\frac{q}{{{\varepsilon }_{0}}}</math>
| |
| | |
| <math>\Rightarrow {{\varepsilon }_{0}}\oint_{S}{d\bar{f}\cdot }\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=q</math>
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| Dies kann leicht auf kontinuierliche Ladungsverteilungen verallgemeinert werden:
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| <math>\Rightarrow {{\varepsilon }_{0}}\oint_{\partial V}{d\bar{f}\cdot }\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}</math>
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| Der Fluß des elektrischen Feldes einer von
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| <math>S=\partial V</math>
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| eingeschlossenen Gesamtladung
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| '''Integralform '''des Coulomb- Gesetzes
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| <u>'''Der Gaußsche Integralsatz'''</u>
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| <math>\oint_{\partial V}{d\bar{f}\cdot }\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}rdiv\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)}=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\nabla \cdot \bar{E}\left( {\bar{r}} \right)}</math>
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| wichtig: einfach zusammenhängendes Gebiet !
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| <math>\begin{align}
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| & \Rightarrow \int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\rho \left( {\bar{r}} \right)}={{\varepsilon }_{0}}\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\nabla \cdot }\bar{E}\left( {\bar{r}} \right) \\
| |
| & \Rightarrow {{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\rho \left( {\bar{r}} \right) \\
| |
| \end{align}</math>
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| Die untere, differenzielle Form gilt deshalb, da die obere, integral Form für beliebige Volumina V gilt.
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| | |
| <math>{{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\rho \left( {\bar{r}} \right)</math>
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| sagt jedoch nichts anderes als dass die Ladungen die Quellen des elektrischen Feldes sind.
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| Dies ist allgemeingültig uns gilt insbesondere auch für nichtstationäre
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| <math>\bar{E}\left( {\bar{r}} \right),\rho \left( {\bar{r}} \right)</math>
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| <u>'''Äquivalente Aussagen der Elektrostatik'''</u>
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| #
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| # <math>\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)</math>
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| # besitzt ein skalares Potenzial
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| # <math>\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=-\nabla \Phi (\bar{r})</math>
| |
| #
| |
| #
| |
| # <math>\int_{1}^{2}{d\bar{s}}\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)</math>
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| # , also gerade die Arbeit, eine Ladung q=1 von 1 nach 2 zu bringen ist wegunabhängig
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| #
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| # <math>\nabla \times \bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=0</math>
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| # : Das statische elektrische Feld ist wirbelfrei
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| Es gilt:
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| <math>1)\Leftrightarrow 2)\Leftrightarrow 3)</math>
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| '''Beweis:'''
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| <math>1)\Leftrightarrow 3)</math>
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| <u>'''Stokescher Satz:'''</u>
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| <math>0=\oint_{\partial F}{d\bar{s}\cdot }\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\int_{F}^{{}}{\nabla \times \bar{E}\left( {\bar{r}} \right)d\bar{f}}</math>
| |
| für beliebige Flächen F mit einer Umrandung
| |
| <math>\partial F</math>
| |
| .
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| <u>'''1.3 Poisson- Gleichung und Greensche Funktion'''</u>
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| <math>\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=-\nabla \Phi (\bar{r})</math>
| |
| in
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| <math>\nabla \cdot \bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\frac{\rho \left( {\bar{r}} \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}</math>
| |
| liefert:
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| | |
| <math>\Delta \Phi (\bar{r})=-\frac{\rho \left( {\bar{r}} \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}</math>
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| | |
| Dies ist nicht anderes als die berühmte Poisson- Gleichung
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| | |
| Eine partielle DGL zur Berechnung des elektrischen Potenzials für eine vorgegebene Ladungsverteilung.
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| '''Die Eindeutigkeit kommt aus den Randbedingungen:'''
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| '''Entweder:'''
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| 1)
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| <math>\Phi (\bar{r})\to 0</math>
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| hinreichend rasch für
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| <math>r\to \infty </math>
| |
| | |
| oder
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| 2)
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| <math>\Phi (\bar{r})</math>
| |
| sei gegeben auf Flächen im Endlichen, Beispielsweise Leiteroberflächen
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| '''Lösung zu 1):'''
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| <math>\Phi (\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}</math>
| |
| für hinreichend rasch abfallendes
| |
| <math>\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)</math>
| |
| | |
| '''Einsetzen in Poisson- Gleichung:'''
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| | |
| <math>\Delta \Phi (\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}{{\Delta }_{r}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{\Delta }_{r}}\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}</math>
| |
| , falls Integration und Differenziation vertauschbar, also über verschiedene Koordinaten ausgeführt wird.
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| | |
| Man definiere für ein festes
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| <math>\bar{r}\acute{\ }</math>
| |
| , dass
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| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{s}:=\bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \\
| |
| & {{\nabla }_{r}}={{\nabla }_{s}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| :
| |
| Also:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{\Delta }_{r}}\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}={{\nabla }_{S}}\left( {{\nabla }_{S}}\frac{1}{s} \right)=-{{\nabla }_{S}}\frac{1}{{{s}^{2}}}\frac{{\bar{s}}}{s}=-\frac{1}{{{s}^{3}}}{{\nabla }_{S}}\bar{s}-\bar{s}{{\nabla }_{S}}\frac{1}{{{s}^{3}}} \\
| |
| & {{\nabla }_{S}}\bar{s}=3 \\
| |
| & \Rightarrow {{\Delta }_{r}}\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}=-\frac{1}{{{s}^{3}}}{{\nabla }_{S}}\bar{s}-\bar{s}{{\nabla }_{S}}\frac{1}{{{s}^{3}}}=-\frac{3}{{{s}^{3}}}+\frac{1}{{{s}^{3}}}=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Dies ist aber ein Widerspruch zu
| |
| <math>\Delta \Phi (\bar{r})=-\frac{\rho \left( {\bar{r}} \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}</math>
| |
| | |
| Grund ist , dass die Vertauschung von
| |
| <math>{{\Delta }_{r}}</math>
| |
| und
| |
| <math>\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}</math>
| |
| sowie auch die obige Umformung nicht erlaubt ist für
| |
| <math>\bar{r}=\bar{r}\acute{\ }</math>
| |
| , also s=0 ( Singularität!!)
| |
| | |
| Stattdessen für beliebige V:
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| | |
|
| |
| | |
| Nun kann man
| |
| <math>\oint\limits_{\partial V}{d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}}</math>
| |
| mit
| |
| <math>\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}</math>
| |
| vertauschen.
| |
| Dies ist erlaubt, falls der Integrand von
| |
| <math>\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}</math>
| |
| nach der Vertauschung stetig ist !:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}}r\Delta \Phi (\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)\oint\limits_{\partial V}{d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}}\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|} \\
| |
| & {{\nabla }_{r}}\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}=-\frac{\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }{{|}^{3}}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Somit:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}}r\Delta \Phi (\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)\oint\limits_{\partial V}{d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}}\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}=-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)\oint\limits_{\partial V}{d\bar{f}}\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }{{|}^{3}}} \\
| |
| & \oint\limits_{\partial V}{d\bar{f}}\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }{{|}^{3}}}=\int_{{}}^{{}}{d\Omega } \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| aber:
| |
| | |
| <math>\oint\limits_{\partial V}{d\bar{f}}\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }{{|}^{3}}}=\int_{{}}^{{}}{d\Omega }=4\pi </math>
| |
| , falls
| |
| <math>\bar{r}\acute{\ }\in V</math>
| |
| | |
| <math>\oint\limits_{\partial V}{d\bar{f}}\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }{{|}^{3}}}=\int_{{}}^{{}}{d\Omega }=0</math>
| |
| falls
| |
| <math>\bar{r}\acute{\ }\notin V</math>
| |
| | |
| Somit:
| |
| | |
| <math>\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}}r\Delta \Phi (\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)\oint\limits_{\partial V}{d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}}\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)</math>
| |
| | |
| Mathematisch streng gilt im Distributionen- Sinn:
| |
| | |
| <math>{{\Delta }_{r}}\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}=-4\pi \delta (\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })</math>
| |
| | |
| Mit Hilfe der delta- Distribution, die auf eine Testfunktion anzuwenden ist !
| |
| | |
| <u>'''Greensche Funktion der Poisson- Gleichung'''</u>
| |
| | |
| <math>\Delta \Phi (\bar{r})=-\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}\Rightarrow </math>
| |
| Invertierung
| |
| <math>\Rightarrow \Phi (\bar{r})=\hat{G}\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)</math>
| |
| | |
| Mit dem Greenschen Operator
| |
| <math>\hat{G}</math>
| |
| :
| |
| | |
| Eine Fourier- Transformation von
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| <math>\Delta \Phi (\bar{r})=-\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}\Rightarrow </math>
| |
| liefert
| |
| <math>-{{k}^{2}}\tilde{\Phi }=-\frac{{\tilde{\rho }}}{{{\varepsilon }_{0}}}\Rightarrow </math>
| |
| | |
| Man kann schreiben:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \tilde{\Phi }=\tilde{\hat{G}}\tilde{\rho } \\
| |
| & \tilde{\hat{G}}:=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}{{k}^{2}}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Die einfache Fourier- Transformierte Form von
| |
| <math>\Rightarrow \Phi (\bar{r})=\hat{G}\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)</math>
| |
| , nur dass der Fourier- transformierte Greens- Operator angegeben werden kann.
| |
| | |
| Die Rücktransformation löst dann die Poiisson-gleichung:
| |
| | |
| <math>\Rightarrow \Phi (\bar{r})=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\hat{G}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)</math>
| |
| | |
| Es gilt:
| |
| | |
| <math>{{\Delta }_{r}}\hat{G}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)</math>
| |
| | |
| Das heißt, die Greensfunktion ist eine Lösung der Poissongleichung für eine Punktladung q=1 an
| |
| <math>\bar{r}\acute{\ }</math>
| |
| :
| |
| Insbesondere bei speziellen Randbedingungen
| |
| | |
| <math>\begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| \bar{r}\to \infty \\
| |
| \end{matrix}\Phi (\bar{r})=0</math>
| |
| | |
| ist die Greensfunktion dann:
| |
| | |
| <math>G(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}</math>
| |
| | |
| Denn
| |
| | |
| <math>{{\Delta }_{r}}G=\Delta \frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)</math>
| |
| | |
| Für eine beliebige Ladungsverteilung
| |
| <math>\rho </math>
| |
| ist also die Lösung der Poissongleichung
| |
| | |
| <math>\Phi (\bar{r})=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{\rho (\bar{r}\acute{\ })}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}{{d}^{3}}r\acute{\ }=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}G(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })\rho (\bar{r}\acute{\ }){{d}^{3}}r\acute{\ }</math>
| |
| | |
| wobei die Identität insgesamt nur für die Randbedingungen
| |
| <math>\begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| \bar{r}\to \infty \\
| |
| \end{matrix}\Phi (\bar{r})=0</math>
| |
| gilt, ansonsten ist G durch die andern Randbdingungen festgelegt.
| |
| | |
| <u>'''1.4 Elektrische Multipolentwicklung'''</u>
| |
| | |
| Betrachtet man räumlich begrenzte Ladungsverteilungen
| |
| <math>\rho (\bar{r}\acute{\ })</math>
| |
| in der Nähe des Ursprungs
| |
| <math>\bar{r}\acute{\ }=0</math>
| |
| , so kann man sich Gedanken machen um das asymptotische Verhalten von
| |
| <math>\Phi (\bar{r})=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{\rho (\bar{r}\acute{\ })}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}{{d}^{3}}r\acute{\ }</math>
| |
| für
| |
| <math>r\to \infty </math>
| |
| :
| |
| Methode: Der Integrand wird als Taylorreihe entwickelt für
| |
| <math>r>>r\acute{\ }</math>
| |
| :
| |
| | |
| <math>G(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })=\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}\frac{{{\left( -1 \right)}^{l}}}{l!}{{\left( \bar{r}\acute{\ }\cdot {{\nabla }_{r}} \right)}^{l}}G(\bar{r})</math>
| |
| | |
| Also
| |
| | |
| <math>\Phi (\bar{r})=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}G(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })\rho (\bar{r}\acute{\ }){{d}^{3}}r\acute{\ }=\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}\frac{{{\left( -1 \right)}^{l}}}{l!}\int_{{}}^{{}}{d_{^{{}}}^{3}r\acute{\ }}{{\left( \bar{r}\acute{\ }\cdot {{\nabla }_{r}} \right)}^{l}}G(\bar{r})\rho (\bar{r}\acute{\ })</math>
| |
| | |
| explizit für unsere Situation:
| |
| | |
| <math>G(\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{|\bar{r}|}</math>
| |
| | |
| <math>\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}={{\left( {{r}^{2}}-2rr\acute{\ }\cos \vartheta +r{{\acute{\ }}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}=\frac{1}{r}{{\left( 1-2\frac{r\acute{\ }}{r}\cos \vartheta +{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}</math>
| |
| | |
| Wobei
| |
| <math>\vartheta </math>
| |
| den Winkel zwischen
| |
| <math>\bar{r}</math>
| |
| und
| |
| <math>\bar{r}\acute{\ }</math>
| |
| bezeichnet.
| |
| Betrachtet man die hierbei entstehende Reihe, die für
| |
| <math>r\acute{\ }<r</math>
| |
| und
| |
| <math>\left| \cos \vartheta \right|=\left| \xi \right|<1</math>
| |
| konvergiert, so definiert diese Reihe gerade die sogenannten Kugelfunktionen ( Legendre- Polynome):
| |
| <math>{{P}_{l}}(\xi )</math>
| |
| :
| |
| | |
| <math>{{\left( 1-2\frac{r\acute{\ }}{r}\xi +{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}=\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{l}}{{P}_{l}}(\xi )</math>
| |
| | |
| Also sind die Legendre- Polynome gerade definiert über ihre Eigenschaft, als Entwicklungsfunktionen einer Potenzreihe ( Taylorreihe) multipliziert mit
| |
| <math>{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{l}}</math>
| |
| in jeweils l-ter Ordnung die Funktion
| |
| <math>{{\left( 1-2\frac{r\acute{\ }}{r}\xi +{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}</math>
| |
| zu ergeben, die wiederum das r- Fache von
| |
| <math>\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}=\frac{1}{r}{{\left( 1-2\frac{r\acute{\ }}{r}\cos \vartheta +{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}</math>
| |
| ist.
| |
| Also:
| |
| | |
| <math>{{P}_{l}}(\xi )=\frac{1}{l!}\left( \frac{{{\partial }^{l}}}{\partial {{t}^{l}}}{{\left( 1-2t\xi +{{t}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}} \right)</math>
| |
| | |
| Insbesondere folgt damit:
| |
| | |
| <math>{{P}_{l}}(\xi )=\frac{1}{l!}\left( \frac{{{\partial }^{l}}}{\partial {{t}^{l}}}{{\left( 1-2t\xi +{{t}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}} \right)</math>
| |
| | |
| und speziell:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{P}_{0}}(\xi )=1 \\
| |
| & {{P}_{1}}(\xi )=\xi =\cos \vartheta \\
| |
| & {{P}_{2}}(\xi )=\frac{1}{2}\left( 3{{\xi }^{2}}-1 \right)==\frac{1}{4}\left( 3{{\cos }^{2}}\vartheta +1 \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Also:
| |
| | |
| <math>\Phi (\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{r}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{l}}{{P}_{l}}(\cos \vartheta )=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}{{Q}_{l}}{{r}^{-l-1}}</math>
| |
| | |
| Mit
| |
| | |
| <math>{{Q}_{l}}=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }r{{\acute{\ }}^{l}}\rho (\bar{r}\acute{\ }){{P}_{l}}(\cos \vartheta )</math>
| |
| als 2<sup>l</sup>- Pol
| |
| Die Multipolentwicklung ( Entwicklung nach 2<sup>l</sup>- Polen) entspricht also einer Entwicklung ach Potenzen von r !!
| |
| | |
| Für stark lokalisierte Ladungsverteilungen ( r´<<r) konvergiert die Reihe jedoch sehr schnell !
| |
| Man erhält sehr schnelle Konvergenz für dezentrale Ladungsverteilungen, wenn man für
| |
| * Punktladungen bis zum Monopol entwickelt
| |
| * Ladungsverteilungen entlang einer Geraden bis zum Dipol entwickelt
| |
| * Ladungsverteilungen in einem Rechteck bis zum Quadrupol entwickelt usw...
| |
| | |
| <math>l=0</math>
| |
| :
| |
| | |
| <math>{{\Phi }^{(0)}}(\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{{{Q}_{0}}}{r}</math>
| |
| | |
| <math>{{Q}_{0}}=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })</math>
| |
| sogenannter Monopol ( die Gesamtladung).
| |
| Der Monopol entspricht dem Feld einer Gesamtladung, die im Ursprung zentriert ist. Er fällt am langsamsten ab, die Ladungsverteilung wirkt in großer Entfernung wie eine Punktladung
| |
| | |
| '''l=1:'''
| |
| | |
| <math>{{\Phi }^{(1)}}(\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{\bar{p}\cdot \bar{r}}{{{r}^{3}}}</math>
| |
| | |
| <math>{{Q}_{1}}=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })r\acute{\ }\cos \vartheta =\frac{\bar{p}\cdot \bar{r}}{r}</math>
| |
| | |
| Mit dem Dipolmoment
| |
| | |
| <math>\bar{p}:=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })\bar{r}\acute{\ }</math>
| |
| | |
| Das Dipolpotenzial fällt also
| |
| <math>\tilde{\ }\frac{1}{{{r}^{2}}}</math>
| |
| ab.
| |
| Das Dipolmoment ist der wichtigste Term für insgesamt neutrale Körper (
| |
| <math>{{Q}_{0}}=0</math>
| |
| ).
| |
| | |
| <u>'''Beispiel: 2 Punktladungen q, -q '''</u> bei
| |
| <math>{{\bar{r}}_{1}},{{\bar{r}}_{2}}</math>
| |
| :
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \rho (\bar{r}\acute{\ })=q\left[ \delta \left( \bar{r}\acute{\ }-{{{\bar{r}}}_{1}} \right)-\delta \left( \bar{r}\acute{\ }-{{{\bar{r}}}_{2}} \right) \right] \\
| |
| & {{Q}_{0}}=0 \\
| |
| & \bar{p}=q\left( {{{\bar{r}}}_{1}}-{{{\bar{r}}}_{2}} \right)=q\cdot \bar{a} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| '''Feld des Dipolpotenzials:'''
| |
| | |
| <math>{{E}_{i}}=-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}\frac{{{p}_{k}}\cdot {{x}_{k}}}{{{r}^{3}}}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left[ \frac{3{{x}_{i}}\cdot {{p}_{k}}\cdot {{x}_{k}}}{r5}-{{\delta }_{ik}}\frac{{{p}_{k}}}{{{r}^{3}}} \right]</math>
| |
| | |
| <math>\Rightarrow E(\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{{{r}^{5}}}\left[ 3\left( \bar{p}\cdot \bar{r} \right)\bar{r}-{{r}^{2}}\bar{p} \right]</math>
| |
| | |
| Im Fernfeld für r gegen unendlich gilt damit:
| |
| | |
| <math>\Rightarrow E(\bar{r})\tilde{\ }\frac{1}{{{r}^{3}}}</math>
| |
| | |
| '''l=2:'''
| |
| | |
| <math>{{\Phi }^{(2)}}(\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{{{Q}_{2}}}{{{r}^{3}}}</math>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{Q}_{2}}=\frac{1}{2}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })r{{\acute{\ }}^{2}}\left( 3{{\cos }^{2}}\vartheta -1 \right)=\frac{1}{2}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })\left( 3\frac{\bar{r}\acute{\ }\cdot \bar{r}}{r}\frac{\bar{r}\acute{\ }\cdot \bar{r}}{r}-\bar{r}{{\acute{\ }}^{2}} \right) \\
| |
| & \frac{\bar{r}\acute{\ }\cdot \bar{r}}{r}\frac{\bar{r}\acute{\ }\cdot \bar{r}}{r}=\frac{{{x}_{k}}\acute{\ }{{x}_{k}}{{x}_{l}}\acute{\ }{{x}_{l}}}{{{r}^{2}}} \\
| |
| & \Rightarrow {{Q}_{2}}=\frac{1}{2{{r}^{2}}}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })\left( 3{{x}_{k}}\acute{\ }{{x}_{l}}\acute{\ }-\bar{r}{{\acute{\ }}^{2}}{{\delta }_{kl}} \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Dieses Objekt ist jedoch ein Tensor zweiter Stufe. Demnach erhalten wir einen Tenor zweiter Stufe als Quadrupolmoment:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{Q}_{2}}=\frac{1}{2{{r}^{2}}}{{Q}_{kl}} \\
| |
| & \int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })\left( 3{{x}_{k}}\acute{\ }{{x}_{l}}\acute{\ }-\bar{r}{{\acute{\ }}^{2}}{{\delta }_{kl}} \right)={{Q}_{kl}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <math>{{Q}_{kl}}</math>
| |
| ist ein spurfreier und symmetrischer Tensor:
| |
| | |
| <math>\sum\limits_{i=1}^{3}{{}}{{Q}_{ii}}=\sum\limits_{i=1}^{3}{{}}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })\left( 3{{x}_{i}}\acute{\ }{{x}_{i}}\acute{\ }-\bar{r}{{\acute{\ }}^{2}}{{\delta }_{ii}} \right)=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })\left( 3\bar{r}{{\acute{\ }}^{2}}-3\bar{r}{{\acute{\ }}^{2}} \right)=0</math>
| |
| | |
| Dies ist jedoch gerade damit gleichbedeutend, dass eine orthogonale Transformation auf Diagonalform existiert:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{Q}_{kl}}=0f\ddot{u}r\quad k\ne l \\
| |
| & {{Q}_{11}}+{{Q}_{22}}+{{Q}_{33}}=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Somit existieren nur noch 2 unabhängige Komponenten des Quadrupolmoments. Der Rest ergibt sich durch die Spurfreiheit !
| |
| | |
| Für das Potenzial ergibt sich:
| |
| | |
| <math>{{\Phi }^{(2)}}(\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{2{{r}^{5}}}{{Q}_{kl}}{{x}_{k}}{{x}_{l}}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{\bar{r}\cdot \bar{\bar{Q}}\cdot \bar{r}}{2{{r}^{5}}}\tilde{\ }\frac{1}{{{r}^{3}}}</math>
| |
| | |
| <u>'''Beispiel: 2 entgegengesetzte Dipole:'''</u>
| |
| | |
| <u>'''1.5 Die elektrostatische Feldenergie'''</u>
| |
| | |
| Kraft:
| |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{F}(\bar{r})=q\bar{E}(\bar{r})=-q\nabla \Phi (\bar{r}) \\
| |
| & \Rightarrow V(\bar{r})=\Phi (\bar{r}) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| ist die potenzielle Energie ! einer Ladung im Feld
| |
| <math>\bar{E}(\bar{r})</math>
| |
| | |
| Also:
| |
| | |
| <math>{{W}_{ij}}={{q}_{i}}\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{{{q}_{j}}}{|{{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}}|}={{W}_{ji}}</math>
| |
| | |
| ist die Energie der Ladung
| |
| <math>{{q}_{i}}</math>
| |
| an
| |
| <math>{{\bar{r}}_{i}}</math>
| |
| im Feld der Ladung
| |
| <math>{{q}_{j}}</math>
| |
| an
| |
| <math>{{\bar{r}}_{j}}</math>
| |
| . ( In ihrem Potenzial)
| |
| Die gesamte potenzielle Energie eines Systems von Ladungen q1.... ergibt sich demnach durch Summation:
| |
| | |
| <math>W=\frac{1}{2}\sum\limits_{\begin{smallmatrix}
| |
| i,j \\
| |
| i\ne j
| |
| \end{smallmatrix}}^{{}}{{}}{{W}_{ij}}=\frac{1}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}}\sum\limits_{\begin{smallmatrix}
| |
| i,j \\
| |
| i\ne j
| |
| \end{smallmatrix}}^{{}}{{}}\frac{{{q}_{i}}{{q}_{j}}}{|{{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}}|}={{W}_{ji}}</math>
| |
| | |
| und bei einer kontinuierlichen Ladungsverteilung:
| |
| | |
| <math>W=\frac{1}{2}\int_{{}}^{{}}{\Phi (\bar{r})\rho (\bar{r}){{d}^{3}}r}=\frac{1}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\rho (\bar{r})\rho (\bar{r}\acute{\ })}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}</math>
| |
| | |
| <math>W=\frac{1}{2}\int_{{}}^{{}}{\Phi (\bar{r})\rho (\bar{r}){{d}^{3}}r}</math>
| |
| | |
| Mit
| |
| <math>\rho (\bar{r})={{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}</math>
| |
| | |
| folgt:
| |
| | |
| <math>W=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{\Phi (\bar{r})\nabla \cdot \bar{E}{{d}^{3}}r}=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}\left[ \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{\nabla \cdot \left( \Phi (\bar{r})\bar{E} \right){{d}^{3}}r}-\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{\left( \nabla \Phi (\bar{r}) \right)\cdot \bar{E}{{d}^{3}}r} \right]</math>
| |
| | |
| Mit Hilfe des Gaußschen Satz folgt dann:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & W=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}\left[ \int_{{{S}_{\infty }}}^{{}}{\left( \Phi (\bar{r})\bar{E} \right)d\bar{f}}+\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{{\bar{E}}}^{2}}(\bar{r}){{d}^{3}}r} \right] \\
| |
| & \begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| r\to \infty \\
| |
| \end{matrix}\left( \Phi (\bar{r})\bar{E} \right)=0 \\
| |
| & \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| da die Größen ~ 1/3 bzw. 1/r² gehen
| |
| | |
| Also:
| |
| | |
| <math>W=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{{\bar{E}}}^{2}}(\bar{r}){{d}^{3}}r}=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}rw(\bar{r})}</math>
| |
| | |
| Somit folgt für die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes:
| |
| | |
| <math>w(\bar{r})=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{\bar{E}}^{2}}(\bar{r})</math>
| |
| | |
| Die Selbstenergie einer Punktladung ergibt sich zu
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \left| \bar{E}(\bar{r}) \right|=\frac{q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{2}}} \\
| |
| & w(\bar{r})=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{\left( \frac{q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}} \right)}^{2}}\frac{1}{{{r}^{4}}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| und die Gesamtenergie ist folglich:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & W=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}w(\bar{r})=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{\left( \frac{q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}} \right)}^{2}}4\pi \int_{0}^{\infty }{{{r}^{2}}dr}\frac{1}{{{r}^{4}}} \\
| |
| & \int_{0}^{\infty }{{{r}^{2}}dr}\frac{1}{{{r}^{4}}}=\int_{0}^{\infty }{dr}\frac{1}{{{r}^{2}}}=\left[ \frac{1}{r} \right]_{0}^{\infty }\to \infty \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Dies divergiert jedoch !!
| |
| Beim Übergang von Punktladungen zu kontinuierlichen Ladungsverteilungen wird
| |
| <math>i\ne j</math>
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| nicht mehr ausgeschlossen. Das bede4utet, zusätzlich zur Wechselwirkungsenergie wird die Energie berücksichtigt, die Zum Aufbau der Punktladung durch Zusammenführung aus dem Unendlichen benötigt wird, mitgenommen.
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| | |
| Dies ist jedoch bei einer Punktladung unendlich viel. Also ist der begriff der P8unktladung in einem Widerspruch zum feldtheoretischen Begriff der Energiedichte ( wen wunderts ?)
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| | |
| <u>'''1.6 Leiter in der Elektrostatik'''</u>
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| Elektrischer Leiter = Materie, mit quasi frei beweglichen Elektronen. Ein elektrisches Feld im Inneren eines Leiters übt dann eine Kraft auf die frei beweglichen Elektronen aus:
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| <math>\bar{F}(\bar{r})=q\bar{E}(\bar{r})</math>
| |
| | |
| | |
| Dadurch werden die Ladungen verschoben.
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| Es folgt, dass ein kompensierendes Feld
| |
| <math>\bar{E}\acute{\ }(\bar{r})</math>
| |
| aufgebaut wird, bis
| |
| <math>\bar{F}=0</math>
| |
| , also
| |
| <math>\bar{E}\acute{\ }-\bar{E}=0</math>
| |
| :
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| | |
| Anfangssituation:
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| | |
| Endsituation:
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| | |
| Für das Innere des Leiters folgt:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{{\bar{E}}}^{res.}}(\bar{r})=0 \\
| |
| & {{{\bar{E}}}^{res.}}(\bar{r})=-\nabla \Phi (\bar{r})=0 \\
| |
| & \Rightarrow \Phi (\bar{r})=const \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| im Inneren des Leiters.
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| | |
| Man sagt: die Leiteroberfläche ist eine sogenannte Äquipotenzialfläche !
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| Allgemein gilt:
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| <math>\bar{E}(\bar{r})\bot \Phi (\bar{r})=const</math>
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| | |
| Somit steht das elektrische Feld immer senkrecht auf der Leiteroberfläche !
| |
| Vor allem beim Übergang zwischen einem Leiter und dem Vakuum !
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| | |
| Allgemein gilt:
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| | |
| <math>{{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}(\bar{r})=\rho (\bar{r})</math>
| |
| | |
| Hier:
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{E}(\bar{r})=0 \\
| |
| & \Rightarrow \rho (\bar{r})=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Das heißt: es existieren keine elektrischen Ladungen im Inneren eine Leiters !
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| | |
| '''Flächenladungsdichte'''
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| auf Leiteroberflächen:
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{\varepsilon }_{0}}\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r}\nabla \cdot \bar{E}(\bar{r})=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r}\rho (\bar{r})=\int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}}\bar{E}(\bar{r}) \\
| |
| & V=d\bar{f}\cdot \Delta s \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Mit
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & d\bar{f}\to 0 \\
| |
| & \Delta s\to 0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| folgt:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}}\bar{E}(\bar{r})\to df\bar{n}\cdot \bar{E} \\
| |
| & \bar{n}\cdot \bar{E}=E,da \\
| |
| & \bar{n}\quad Normalenvektor\ \bar{n}||\bar{E} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Also:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r}\rho (\bar{r})\to df\rho (\bar{r})\Delta s \\
| |
| & \rho (\bar{r})\Delta s=\sigma (\bar{r}) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| = Flächenladungsdichte !!
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| | |
| Also gilt für das elektrische Feld auf der Leiteroberfläche:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r}\rho (\bar{r})\to df\rho (\bar{r})\Delta s \\
| |
| & E(\bar{r})=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\sigma (\bar{r})\bar{n} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Allgemein gilt für Flächenladungen:
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| | |
| <math>En\acute{\ }\acute{\ }-En\acute{\ }=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\sigma (s)</math>
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| | |
| Man bezeichnet
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| <math>En\acute{\ }\acute{\ }-En\acute{\ }</math>
| |
| als Flächendivergenz analog zur "Volumendivergenz"
| |
| <math>\nabla \cdot \bar{E}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\rho (\bar{r})</math>
| |
| | |
| Dies ist ein Sprung der Normalkomponente von
| |
| <math>\bar{E}</math>
| |
| beim Durchgang durch eine geladene Fläche
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| Die Tangentialkompoente von E dagegen ist stetig beim Durchgang durch geladene Flächen
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| '''Beweis:'''
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| <math>\oint\limits_{\partial F}{{}}\bar{E}d\bar{s}=\int_{F}^{{}}{\nabla \times }\bar{E}d\bar{f}=0</math>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & F=dl\cdot dh \\
| |
| & dl\to 0 \\
| |
| & dh\to 0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \Rightarrow \left( Et\acute{\ }\acute{\ }-Et\acute{\ } \right)dl=0 \\
| |
| & \Rightarrow Et\acute{\ }\acute{\ }-Et\acute{\ }=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <math>En\acute{\ }\acute{\ }-En\acute{\ }=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\sigma (s)</math>
| |
| | |
| <u>'''Randwertaufgaben der Elektrostatik mit Leitern'''</u>
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| | |
| # <u>'''Grundaufgabe:'''</u>
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| | |
| Gegeben sind Leiter
| |
| <math>{{L}_{\alpha }}</math>
| |
| mit den Oberflächen
| |
| <math>{{S}_{\alpha }}</math>
| |
| | |
| <math>\alpha =1,2,..,n</math>
| |
| , die auf den Potenzialen
| |
| <math>{{\Phi }_{\alpha }}</math>
| |
| liegen.
| |
| Die Raumladungsdichte im Außenraum V ist
| |
| <math>\rho (\bar{r})</math>
| |
| .
| |
| Gesucht ist
| |
| <math>\Phi (\bar{r})</math>
| |
| als Lösung der Poissongleichung
| |
| <math>\Delta \Phi (\bar{r})=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\rho (\bar{r})</math>
| |
| | |
| zu den gegebenen Randbedingungen
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \Phi (\bar{r}){{\left. {} \right|}_{S\alpha }}={{\Phi }_{\alpha }} \\
| |
| & \begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| r\to \infty \\
| |
| \end{matrix}\Phi (\bar{r})=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| außerdem: Gesamtladungen
| |
| <math>{{Q}_{\alpha }}</math>
| |
| auf den Leitern.
| |
| Dies ist das Dirichletsche Randwertproblem
| |
| Beispiel: 2 Leiterschleifen mit Potenzial Phi1/ Phi 2 auf den Oberflächen S1 und S2, die im Außenraum V mit der Ladungsdichte
| |
| <math>\rho (\bar{r})</math>
| |
| liegen.
| |
| | |
| '''Formale Lösung:'''
| |
| | |
| <math>\Phi (\bar{r})=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)+{{\varepsilon }_{0}}\sum\limits_{\alpha =1}^{n}{{{\Phi }_{\alpha }}\int_{S\alpha }^{{}}{{}}d\bar{f}\acute{\ }\cdot {{\nabla }_{r\acute{\ }}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)}</math>
| |
| | |
| Dabei ist die Greensche Funktion
| |
| <math>G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)</math>
| |
| die Lösung von
| |
| <math>\Delta G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\delta (\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })</math>
| |
| zu den Randbedingungen
| |
| | |
| <math>G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right){{\left. {} \right|}_{\begin{smallmatrix}
| |
| \bar{r}\in S\alpha \\
| |
| \bar{r}\acute{\ }\in V
| |
| \end{smallmatrix}}}=0</math>
| |
| | |
| <math>\begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| r\to \infty \\
| |
| \end{matrix}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=0</math>
| |
| | |
| Somit ist
| |
| <math>G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)</math>
| |
| das Potenzial am Ort
| |
| <math>\bar{r}</math>
| |
| einer Punktladung am Ort
| |
| <math>\bar{r}\acute{\ }</math>
| |
| .
| |
| | |
| Beweis:
| |
| | |
| Aus dem Gaußschen Satz
| |
| | |
| <math>\int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}\cdot \bar{v}=}\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\nabla \cdot \bar{v}}</math>
| |
| | |
| folgt mittels der Funktion
| |
| | |
| <math>\bar{v}=\phi \nabla \psi </math>
| |
| :
| |
| | |
| <math>\int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}\cdot \left( \phi \nabla \psi \right)=}\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\nabla \cdot \left( \phi \nabla \psi \right)}=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\nabla \phi \nabla \psi +\phi \Delta \psi }</math>
| |
| | |
| <math>\bar{v}=\psi \nabla \phi </math>
| |
| | |
| <math>\int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}\cdot \left( \psi \nabla \phi \right)}=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\nabla \phi \nabla \psi +\psi \Delta \phi }</math>
| |
| | |
| Also:
| |
| | |
| '''Greenscher Satz:'''
| |
| | |
| <math>\int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}\cdot \left( \phi \nabla \psi -\psi \nabla \phi \right)}=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\phi \Delta \psi -\psi \Delta \phi }</math>
| |
| | |
| Nun kann man einsetzen:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \phi \left( {\bar{r}} \right):=G(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }) \\
| |
| & \psi \left( {\bar{r}} \right):=\Phi (\bar{r}) \\
| |
| & \partial V=\bigcup\limits_{\alpha =1}^{n}{{{S}_{\alpha }}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Bleibt zu zeigen:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \Delta \Phi (\bar{r})=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\Rightarrow \\
| |
| & \Phi (\bar{r})=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)+{{\varepsilon }_{0}}\sum\limits_{\alpha =1}^{n}{{{\Phi }_{\alpha }}\int_{S\alpha }^{{}}{{}}d\bar{f}\acute{\ }\cdot {{\nabla }_{r\acute{\ }}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| | |
| <math>\int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}\cdot \Phi (\bar{r}){{\nabla }_{r}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)-}\int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}\cdot G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right){{\nabla }_{r}}\Phi (\bar{r})=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\left[ \int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\Phi (\bar{r})\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)-}\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}rG\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\rho (\bar{r})} \right]}</math>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}\cdot G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right){{\nabla }_{r}}\Phi (\bar{r})=0\quad wegen\quad G{{\left. {} \right|}_{\bar{r}\in S\alpha }}=0} \\
| |
| & \int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\Phi (\bar{r})\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=\Phi (\bar{r}\acute{\ })} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| '''Für'''
| |
| <math>\int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}\cdot \Phi (\bar{r}){{\nabla }_{r}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)}</math>
| |
| setzen wir
| |
| <math>-\int_{\bigcup\limits_{\alpha =1}^{n}{{{S}_{\alpha }}}}^{{}}{d\bar{f}\cdot \Phi (\bar{r}){{\nabla }_{r}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)}</math>
| |
| | |
| Dies führt deshalb zu einem Vorzeichenwechsel, da
| |
| <math>d\bar{f}</math>
| |
| stets nach außen zeigt .
| |
| | |
| Also:
| |
| | |
| <math>\Phi (\bar{r}\acute{\ })=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\rho \left( {\bar{r}} \right)+{{\varepsilon }_{0}}\sum\limits_{\alpha =1}^{n}{{{\Phi }_{\alpha }}\oint\limits_{S\alpha }{{}}d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)}</math>
| |
| | |
| Zeige:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \Phi (\bar{r})=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)+{{\varepsilon }_{0}}\sum\limits_{\alpha =1}^{n}{{{\Phi }_{\alpha }}\int_{S\alpha }^{{}}{{}}d\bar{f}\acute{\ }\cdot {{\nabla }_{r\acute{\ }}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)} \\
| |
| & \Rightarrow \Delta \Phi (\bar{r})=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\rho \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| im Inneren von V und
| |
| | |
| <math>\Phi (\bar{r}){{\left. {} \right|}_{S\alpha }}={{\Phi }_{\alpha }}</math>
| |
| , erfüllt also die Randbedingungen.
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{\Delta }_{r\acute{\ }}}\Phi (\bar{r}\acute{\ })=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r{{\Delta }_{r\acute{\ }}}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\rho \left( {\bar{r}} \right)+{{\varepsilon }_{0}}\sum\limits_{\alpha =1}^{n}{{{\Phi }_{\alpha }}\oint\limits_{S\alpha }{{}}d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}}{{\Delta }_{r\acute{\ }}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \\
| |
| & {{\Delta }_{r\acute{\ }}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \\
| |
| & \delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=0,da\ \bar{r}\in S\alpha ,\bar{r}\acute{\ }\in V-\partial V \\
| |
| & \Rightarrow {{\varepsilon }_{0}}\sum\limits_{\alpha =1}^{n}{{{\Phi }_{\alpha }}\oint\limits_{S\alpha }{{}}d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}}{{\Delta }_{r\acute{\ }}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=0 \\
| |
| & {{\Delta }_{r\acute{\ }}}\Phi (\bar{r}\acute{\ })=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r{{\Delta }_{r\acute{\ }}}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\rho \left( {\bar{r}} \right)=-\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)}\rho \left( {\bar{r}} \right)=-\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{{{\varepsilon }_{0}}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Dabei
| |
| | |
| <math>{{\varepsilon }_{0}}\sum\limits_{\alpha =1}^{n}{{{\Phi }_{\alpha }}\oint\limits_{S\alpha }{{}}d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}}{{\Delta }_{r\acute{\ }}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)</math>
| |
| als Anteil der Lösung, die die homogene Poissongleichung lösen, ohne Ladungsdichte
| |
| | |
| <math>\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r{{\Delta }_{r\acute{\ }}}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\rho \left( {\bar{r}} \right)</math>
| |
| dagegen löst gerade die inhomogene Poisson- Gleichung
| |
| | |
| '''Randbedingungen:'''
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \Phi (\bar{r}\acute{\ }){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }}=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }}\rho \left( {\bar{r}} \right)+{{\varepsilon }_{0}}\sum\limits_{\alpha =1}^{n}{{{\Phi }_{\alpha }}\oint\limits_{S\alpha }{{}}d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }} \\
| |
| & G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }}\rho \left( {\bar{r}} \right)=0 \\
| |
| & \Rightarrow \Phi (\bar{r}\acute{\ }){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }}={{\varepsilon }_{0}}\sum\limits_{\alpha =1}^{n}{{{\Phi }_{\alpha }}\oint\limits_{S\alpha }{{}}d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }}=-{{\varepsilon }_{0}}\int_{\partial V}^{{}}{{}}d\bar{f}\cdot \Phi (\bar{r}){{\nabla }_{r}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Auch hier: Vorzeichenwechsel, da df nach außen zeigt:
| |
| | |
| | |
| Das Innere der Ellipse ist die Leiterfläche , die vom Leiter
| |
| <math>{{L}_{\alpha }}</math>
| |
| eingeschlossene Fläche .
| |
| Mit dem Gaußschen Satz folgt:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \Phi (\bar{r}\acute{\ }){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }}=-{{\varepsilon }_{0}}\int_{\partial V}^{{}}{{}}d\bar{f}\cdot \Phi (\bar{r}){{\nabla }_{r}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }} \\
| |
| & =-{{\varepsilon }_{0}}\left[ \int_{\partial V}^{{}}{{}}d\bar{f}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }}\cdot {{\nabla }_{r}}\Phi (\bar{r})+\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\left( \Phi (\bar{r}){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }}{{\Delta }_{r}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)-G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }}{{\Delta }_{r}}\Phi (\bar{r}) \right)} \right] \\
| |
| & G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }}=0 \\
| |
| & \Rightarrow \Phi (\bar{r}\acute{\ }){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }}=-{{\varepsilon }_{0}}\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\left( \Phi (\bar{r}){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }}{{\Delta }_{r}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \right)=}\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\left( \Phi (\bar{r}){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }}\left( -\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \right) \right)} \\
| |
| & =\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\left( \Phi (\bar{r}){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }}\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \right)}=\Phi (\bar{r}\acute{\ }){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }}={{\Phi }_{\beta }} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| '''Ladung:'''
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & Q=\oint\limits_{S\alpha }{df\sigma ={{\varepsilon }_{0}}}\oint\limits_{S\alpha }{df\bar{n}\cdot \bar{E}} \\
| |
| & df\bar{n}=d\bar{f} \\
| |
| & \Rightarrow Q={{\varepsilon }_{0}}\oint\limits_{S\alpha }{d\bar{f}\cdot \bar{E}}=-{{\varepsilon }_{0}}\oint\limits_{S\alpha }{d\bar{f}\cdot \nabla \Phi } \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <u>'''Konstruktion der Greenschen Funktion'''</u>
| |
| | |
| Für Leiteroberflächen mit hoher Symmetrie bietet sich die Methode der Bildladungen an ! ( Spiegelladungsmethode).
| |
| Dabei wählt man eine fiktive Bildladung q´ bei
| |
| <math>\bar{r}\acute{\ }\acute{\ }</math>
| |
| im Leiter, so dass das Potenzial beider Ladungen auf der Leiteroberfläche verschwindet: q´=-q
| |
| | |
| <math>G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left( \frac{1}{\left| r-r\acute{\ } \right|}-\frac{1}{\left| r-r\acute{\ }\acute{\ } \right|} \right)</math>
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| # <u>'''Grundaufgabe'''</u>
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| Gegeben: Gegeben sind Leiter
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| <math>{{L}_{\alpha }}</math>
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| mit den Oberflächen
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| <math>{{S}_{\alpha }}</math>
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| <math>\alpha =1,2,..,n</math>
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| , die mit
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| <math>{{Q}_{\alpha }}</math>
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| geladen sind.
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| Die Raumladungsdichte im Außenraum V ist
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| <math>\rho (\bar{r})</math>
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| .
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| Gesucht:
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| Gesucht ist
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| <math>\Phi (\bar{r})</math>
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| als Lösung der Poissongleichung
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| <math>\Delta \Phi (\bar{r})=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\rho (\bar{r})</math>
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| | |
| und
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| <math>{{\Phi }_{\alpha }}</math>
| |
| .
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| Lösung:
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| Das Problem kann auf die erste Grundaufgabe zurückgeführt werden durch Ausnutzung eines Zusammenhangs zwischen
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| <math>{{\Phi }_{\alpha }}</math>
| |
| und
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| <math>{{Q}_{\alpha }}</math>
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| :
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| Es gilt:
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| <math>{{Q}_{\alpha }}=\sum\limits_{\beta =1}^{n}{{}}{{C}_{\alpha \beta }}{{\Phi }_{\beta }}\quad \alpha =1,..,n</math>
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| | |
| Mit den Kapazitätskoeffizienten
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| <math>{{C}_{\alpha \beta }}</math>
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| .
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| '''Beweis:'''
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| <math>{{Q}_{\alpha }}=-{{\varepsilon }_{0}}\oint\limits_{S\alpha }{{}}d\bar{f}\cdot \nabla \Phi (\bar{r})</math>
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| <math>\begin{align}
| |
| & {{Q}_{\alpha }}=-{{\varepsilon }_{0}}\oint\limits_{S\alpha }{{}}d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)=-{{\varepsilon }_{0}}^{2}\oint\limits_{S\alpha }{{}}d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}\sum\limits_{\beta =1}^{n}{{{\Phi }_{\beta }}\oint\limits_{{{S}_{\beta }}}{{}}d\bar{f}\acute{\ }\cdot {{\nabla }_{r\acute{\ }}}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \\
| |
| & {{Q}_{\alpha }}=-{{\varepsilon }_{0}}\int_{L\alpha }^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\Delta }_{r}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)-\sum\limits_{\beta =1}^{n}{{{\Phi }_{\beta }}{{\varepsilon }_{0}}^{2}\oint\limits_{{{S}_{\alpha }}}{{}}d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}}\oint\limits_{{{S}_{\beta }}}{{}}d\bar{f}\acute{\ }\cdot {{\nabla }_{r\acute{\ }}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \\
| |
| & {{\Delta }_{r}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=0\quad f\ddot{u}r\quad \bar{r}\in {{L}_{\alpha }},\bar{r}\acute{\ }\in V, \\
| |
| & {{\varepsilon }_{0}}^{2}\oint\limits_{{{S}_{\alpha }}}{{}}d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}\oint\limits_{{{S}_{\beta }}}{{}}d\bar{f}\acute{\ }\cdot {{\nabla }_{r\acute{\ }}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=:-{{C}_{\alpha \beta }} \\
| |
| & \Rightarrow {{Q}_{\alpha }}=-\sum\limits_{\beta =1}^{n}{{{\Phi }_{\beta }}{{\varepsilon }_{0}}^{2}\oint\limits_{{{S}_{\alpha }}}{{}}d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}}\oint\limits_{{{S}_{\beta }}}{{}}d\bar{f}\acute{\ }\cdot {{\nabla }_{r\acute{\ }}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=\sum\limits_{\beta =1}^{n}{{{C}_{\alpha \beta }}{{\Phi }_{\beta }}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Aus der Symmetrie
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| <math>G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=G\left( \bar{r}\acute{\ }-\bar{r} \right)</math>
| |
| | |
| was aus der Greenschen Formel folgt mit
| |
| <math>\begin{align}
| |
| & \psi =G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \\
| |
| & \phi =G\left( \bar{r}\acute{\ }-\bar{r} \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| folgt
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| <math>{{C}_{\alpha \beta }}={{C}_{\beta \alpha }}</math>
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| Einheit der Kapazität ist
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| <math>1F=1\frac{C}{V}=1Farad</math>
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| nach M. Faraday , 1791-1867
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| Betrachte speziell einen einzelnen Leiter mit Potenzial
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| <math>{{\Phi }_{l}}</math>
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| :
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| Für die Kapazität des Leiters gilt dann:
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| <math>C=\frac{Q}{{{\Phi }_{l}}}</math>
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| '''Beispiel: Plattenkondensator:'''
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| Zwei Kondensatorplatten befinden sich auf dem Potenzial
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| <math>{{\Phi }_{1}},{{\Phi }_{2}}</math>
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| :
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| Es gilt:
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| <math>\begin{align}
| |
| & {{Q}_{1}}={{C}_{11}}{{\Phi }_{1}}+{{C}_{12}}{{\Phi }_{2}} \\
| |
| & {{Q}_{1}}={{C}_{21}}{{\Phi }_{1}}+{{C}_{22}}{{\Phi }_{2}} \\
| |
| & {{C}_{12}}={{C}_{21}}=C\acute{\ } \\
| |
| & 1\leftrightarrow 2Symmetrie \\
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| & \Rightarrow {{C}_{11}}={{C}_{22}}=C \\
| |
| \end{align}</math>
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| Spezialfall: Q1+Q2=0
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| <math>\begin{align}
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| & \Rightarrow Q=C{{\Phi }_{1}}+C\acute{\ }{{\Phi }_{2}} \\
| |
| & -Q=C\acute{\ }{{\Phi }_{1}}+C{{\Phi }_{2}} \\
| |
| & \Rightarrow 0=(C+C\acute{\ })({{\Phi }_{1}}+{{\Phi }_{2}})\Rightarrow C=-C\acute{\ }=\frac{Q}{{{\Phi }_{1}}-{{\Phi }_{2}}}\quad (1) \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Das E-Feld existiert fast nur zwischen den Platten
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| Also:
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| <math>\begin{align}
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| & \sigma =\frac{Q}{F}={{\varepsilon }_{0}}E=const.\quad (2) \\
| |
| & \Rightarrow \Phi (x)=-Ex+{{\Phi }_{0}} \\
| |
| & \Rightarrow {{\Phi }_{1}}-{{\Phi }_{2}}=E({{x}_{2}}-{{x}_{1}})\quad (3) \\
| |
| & ({{x}_{2}}-{{x}_{1}}):=a \\
| |
| & \Rightarrow C=-C\acute{\ }=\frac{Q}{{{\Phi }_{1}}-{{\Phi }_{2}}}=\frac{Q}{Ea}={{\varepsilon }_{0}}\frac{F}{a} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Betrachten wir nun die Lösung der zweiten Grundaufgabe:
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| <math>{{C}_{\alpha \beta }}={{C}_{\beta \alpha }}</math>
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| ist eine positiv definite Matrix und damit nicht singulär. Also können wir die Inverse suchen:
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| <math>{{\Phi }_{\alpha }}=\sum\limits_{\beta =1}^{n}{{{C}_{\alpha \beta }}^{-1}{{Q}_{\beta }}}</math>
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| Eingesetzt in die Lösung der ersten Grundaufgabe liefert dies
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| <math>\Phi (\bar{r})</math>
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| für gegebene
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| <math>{{Q}_{\beta }},\rho (\bar{r})</math>
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| Damit ist dann die zweite Grundaufgabe gelöst !
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| '''Energie '''des Feldes im Außenraum:
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| für
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| <math>\rho (\bar{r})=0</math>
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| :
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| <math>W=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r{{(\bar{E}(\bar{r}))}^{2}}}</math>
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| | |
| Betrachten wir nun eine differenzielle Änderung der Randbedingungen auf den
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| <math>{{L}_{\alpha }}</math>
| |
| :
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| <math>\begin{align}
| |
| & {{Q}_{\alpha }}\to {{Q}_{\alpha }}+\delta {{Q}_{\alpha }} \\
| |
| & {{\Phi }_{\alpha }}\to {{\Phi }_{\alpha }}+\delta {{\Phi }_{\alpha }} \\
| |
| \end{align}</math>
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| Lösung
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| <math>\Phi (\bar{r})\to \Phi (\bar{r})+\delta \Phi (\bar{r})</math>
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| Räumliche Anordnung ungeändert ermöglicht die Vertauschung von
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| <math>\delta ,\nabla </math>
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| ''':'''
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| <math>\Delta \Phi (\bar{r})=0\Rightarrow \Delta \delta \Phi (\bar{r})=0</math>
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| in V ( Außenraum)
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| <math>\bar{E}(\bar{r})=-\nabla \Phi (\bar{r})\Rightarrow \delta \bar{E}(\bar{r})=-\nabla \delta \Phi (\bar{r})</math>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \Rightarrow \delta W=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r(2\bar{E}(\bar{r})\delta \bar{E}(\bar{r}))=-}{{\varepsilon }_{0}}\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r(\nabla \Phi (\bar{r})\delta \bar{E}(\bar{r}))} \\
| |
| & (\nabla \Phi (\bar{r})\delta \bar{E}(\bar{r}))=\nabla \left( \Phi (\bar{r})\delta \bar{E}(\bar{r}) \right)-\Phi (\bar{r})\nabla \delta \bar{E}(\bar{r}) \\
| |
| & \nabla \cdot \delta \bar{E}(\bar{r})=\delta \nabla \cdot \bar{E}(\bar{r})=0,da\ \rho =0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| im Außenraum !
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| | |
| <math>\Rightarrow \delta W=-{{\varepsilon }_{0}}\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\nabla \left( \Phi (\bar{r})\delta \bar{E}(\bar{r}) \right)=}{{\varepsilon }_{0}}\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\oint\limits_{S\alpha }{{}}d\bar{f}\left( \Phi (\bar{r})\delta \bar{E}(\bar{r}) \right)</math>
| |
| | |
| Als Umformung mit dem Gaußschen Satz
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| Auch hier: Vorzeichenwechsel, da df an allen
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| <math>S\alpha </math>
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| in den Außenraum nach außen zeigt:
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| Wegen
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| <math>\Phi (\bar{r}){{\left. {} \right|}_{S\alpha }}={{\Phi }_{\alpha }}</math>
| |
| | |
| <math>\Rightarrow \delta W={{\varepsilon }_{0}}\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{{\Phi }_{\alpha }}}\oint\limits_{S\alpha }{{}}d\bar{f}\delta \bar{E}(\bar{r})=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{{\Phi }_{\alpha }}}\delta {{Q}_{\alpha }}</math>
| |
| | |
| '''Mit'''
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| <math>{{Q}_{\alpha }}=\sum\limits_{\beta =1}^{n}{{}}{{C}_{\alpha \beta }}{{\Phi }_{\beta }}\quad \alpha =1,..,n</math>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \Rightarrow \delta W={{\varepsilon }_{0}}\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{{\Phi }_{\alpha }}}\oint\limits_{S\alpha }{{}}d\bar{f}\delta \bar{E}(\bar{r})=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{{\Phi }_{\alpha }}}\delta \sum\limits_{\beta =1}^{n}{{}}{{C}_{\alpha \beta }}{{\Phi }_{\beta }}=\sum\limits_{\alpha ,\beta =1}^{n}{{}}{{\Phi }_{\alpha }}{{C}_{\alpha \beta }}\delta {{\Phi }_{\beta }} \\
| |
| & \sum\limits_{\alpha ,\beta =1}^{n}{{}}{{\Phi }_{\alpha }}{{C}_{\alpha \beta }}\delta {{\Phi }_{\beta }}=\frac{1}{2}\left\{ \sum\limits_{\alpha ,\beta =1}^{n}{{}}{{\Phi }_{\beta }}{{C}_{\beta \alpha }}\delta {{\Phi }_{\alpha }}+\sum\limits_{\alpha ,\beta =1}^{n}{{}}{{\Phi }_{\alpha }}{{C}_{\alpha \beta }}\delta {{\Phi }_{\beta }} \right\} \\
| |
| & {{C}_{\beta \alpha }}={{C}_{\alpha \beta }} \\
| |
| & \Rightarrow \delta W=\frac{1}{2}\sum\limits_{\alpha ,\beta =1}^{n}{{}}{{C}_{\alpha \beta }}\left\{ {{\Phi }_{\beta }}\delta {{\Phi }_{\alpha }}+{{\Phi }_{\alpha }}\delta {{\Phi }_{\beta }} \right\}=\delta \left\{ \frac{1}{2}\sum\limits_{\alpha ,\beta =1}^{n}{{}}{{C}_{\alpha \beta }}{{\Phi }_{\alpha }}{{\Phi }_{\beta }} \right\} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Damit ist jedoch die Feldenergie gefunden als
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| <math>W=\left\{ \frac{1}{2}\sum\limits_{\alpha ,\beta =1}^{n}{{}}{{C}_{\alpha \beta }}{{\Phi }_{\alpha }}{{\Phi }_{\beta }} \right\}</math>
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| | |
| 2. <u>'''Stationäre Ströme und Magnetfeld'''</u>
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| <u>'''2.1 Kontinuitätsgleichung'''</u>
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| Bewegte Ladungen entsprechen elektrischem Strom I
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| Experimentelle Erfahrung: Die Ladung bleibt erhalten:
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| <math>Q(t)=\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\rho (\bar{r},t)</math>
| |
| | |
| Damit folgt ein globaler Erhaltungssatz:
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| | |
| <math>\frac{d}{dt}Q(t)=\frac{d}{dt}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\rho (\bar{r},t)=-\oint\limits_{\partial V}{{}}\delta I</math>
| |
| | |
| | |
| <math>\delta I=\frac{\rho dV}{dt}=\frac{\rho \left| v \right|dt\left| df \right|\cos \alpha }{dt}=\rho \bar{v}d\bar{f}</math>
| |
| | |
| Also gerade die Ladung, die durch
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| <math>d\bar{f}</math>
| |
| pro zeit aus V herausströmt
| |
| Als eine lokale Größe findet man die elektrische Stromdichte:
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| | |
| <math>\bar{j}(\bar{r},t):=\rho (\bar{r},t)\bar{v}(\bar{r},t)</math>
| |
| | |
| <math>\Rightarrow \frac{d}{dt}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\rho (\bar{r},t)=-\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\bar{j}(\bar{r},t)=-\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r}\nabla \cdot \bar{j}(\bar{r},t)</math>
| |
| ( Gauß !) für alle Volumina V ( einfach zusammenhängend)
| |
| | |
| Somit folgt die Kontinuitätsgleichung als LOKALER Erhaltungssatz:
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| | |
| <math>\Rightarrow \frac{\partial }{\partial t}\rho (\bar{r},t)+\nabla \cdot \bar{j}(\bar{r},t)=0</math>
| |
| | |
| Speziell bei stationären Ladungsverteilungen gilt die Divergenzfreiheit des Stroms:
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| | |
| <math>\nabla \cdot \bar{j}(\bar{r},t)=0</math>
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| | |
| Aber : natürlich muss deswegen nicht
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| <math>\bar{j}(\bar{r},t)=0</math>
| |
| gelten. Der Strom muss räumlich lediglich stationär sein !
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| <u>'''2.2 Magnetische Induktion'''</u>
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| <u>'''Experimentelle Erfahrung:'''</u>
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| Es existieren Wechselwirkungen zwischen den Ladungen: Eine Kraft wirkt auf Ladungen q, die sich mit v bewegen:
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| <math>\bar{F}=q\bar{v}\times \bar{B}(\bar{r})</math>
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| | |
| Die sogenannte Lorentz- Kraft !
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| <math>\bar{B}(\bar{r})</math>
| |
| ist die magnetische Induktion am Ort
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| <math>\bar{r}</math>
| |
| , die erzeugt wird von den anderen Ladungen mit einer zugeordneten Stromdichte
| |
| <math>\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })</math>
| |
| .
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| | |
| Die Erzeugung dieser Magnetischen Induktion erfolgt gemäß des Ampereschen Gesetzes:
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| | |
| <math>\bar{B}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times \frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{{{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}^{3}}}</math>
| |
| | |
| Dies läuft völlig analog zur Coulomb- Wechselwirkung in der Elektrostatik:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{F}=q\bar{E}(\bar{r}) \\
| |
| & \bar{E}(\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\rho (\bar{r}\acute{\ })\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Die Einheiten im SI- System lauten:
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| <math>\left[ B \right]=\frac{1Ns}{Cm}=\frac{1kg{{m}^{2}}}{C{{s}^{2}}}\cdot \frac{s}{{{m}^{2}}}=1V\frac{s}{{{m}^{2}}}=1T</math>
| |
| | |
| Mit diesen Einheiten ist dann
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| <math>{{\mu }_{0}}=1,26\cdot {{10}^{-6}}\frac{Vs}{Am}</math>
| |
| festgelegt, wie die Dielektrizitätskonstante jedoch frei wählbar !!
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| Die magnetische Induktion beschreibt keine neue, von der Coulomb- Wechselwirkung unabhängige WW: Man betrachte dazu lediglich die Transformation auf das lokale Ruhesystem einer bewegten Ladung:
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| | |
| Im Gauß System:
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| | |
| <math>\bar{F}=\frac{q}{c}\bar{v}\times \bar{B}(\bar{r})</math>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{B}(\bar{r})=\frac{1}{c}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times \frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{{{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}^{3}}} \\
| |
| & \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
|
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| <u>'''Die Kraft zwischen 2 stromdurchflossenen Leitern:'''</u>
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| Betrachten wir zwei infinit. dünne Leiter L, L´, die mit konstanten Strömen I und I´ durchflossen werden:
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| | |
| Der Strom durch L´:
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }){{d}^{3}}r\acute{\ }=\rho {{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{v}\acute{\ }=\frac{d}{dt}\rho {{d}^{3}}r\acute{\ }d\bar{r}\acute{\ } \\
| |
| & \frac{d}{dt}\rho {{d}^{3}}r\acute{\ }=I\acute{\ } \\
| |
| & \Rightarrow \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }){{d}^{3}}r\acute{\ }=I\acute{\ }d\bar{r}\acute{\ } \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Somit folgt das Biot- Savartsche Gesetz für unendlich lange Leiter L´:
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| | |
| Die magnetische Induktion ist gerade:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{B}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }I\acute{\ }\int_{L\acute{\ }}^{{}}{{}}d\bar{r}\acute{\ }\times \frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{{{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}^{3}}} \\
| |
| & \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Die Kraft auf eine Ladung im Volumenelement d³r von L ist damit gerade:
| |
| | |
| <math>d\bar{F}=\rho \bar{v}\times \bar{B}(\bar{r}){{d}^{3}}r=\bar{j}\times \bar{B}{{d}^{3}}r=Id\bar{r}\times \bar{B}</math>
| |
| | |
| Also:
| |
| | |
| <math>\bar{F}=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }II\acute{\ }\int_{L}^{{}}{{}}d\bar{r}\times \int_{L\acute{\ }}^{{}}{{}}d\bar{r}\acute{\ }\times \frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{{{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}^{3}}}</math>
| |
| | |
| Dies ist dann die gesamte Kraft von L´ auf L
| |
| | |
| mit
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & d\bar{r}\times \left( d\bar{r}\acute{\ }\times \left( \bar{r}-\bar{r} \right) \right)=\left( d\bar{r}\left( \bar{r}-\bar{r} \right) \right)d\bar{r}\acute{\ }-\left( d\bar{r}d\bar{r}\acute{\ } \right)\left( \bar{r}-\bar{r} \right) \\
| |
| & und \\
| |
| & \int_{L}^{{}}{{}}d\bar{r}\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{{{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}^{3}}}=-\left. \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right|_{L-ANfang}^{L-Ende}=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| ( Der Leiter ist entweder geschlossen oder die Enden liegen im Unendlichen)
| |
| folgt:
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| | |
| <math>\bar{F}=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }II\acute{\ }\int_{L}^{{}}{{}}\int_{L\acute{\ }}^{{}}{{}}\left( d\bar{r}d\bar{r}\acute{\ } \right)\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{{{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}^{3}}}</math>
| |
| | |
| für parallele Ströme:
| |
| | |
| <math>Id\bar{r}I\acute{\ }d\bar{r}\acute{\ }>0</math>
| |
| folgt Anziehung
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| für antiparallele Ströme:
| |
| | |
| <math>Id\bar{r}I\acute{\ }d\bar{r}\acute{\ }<0</math>
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| dagegen Abstoßung
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| | |
| Man sieht außerdem das dritte Newtonsche Gesetz:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{r}\leftrightarrow \bar{r}\acute{\ } \\
| |
| & d\bar{r}\leftrightarrow d\bar{r}\acute{\ } \\
| |
| & I\leftrightarrow I\acute{\ } \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Somit:
| |
| | |
| <math>\bar{F}\leftrightarrow -\bar{F}</math>
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| ( actio gleich reactio)
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| | |
| <u>'''2.3 Die magnetostatischen feldgleichungen:'''</u>
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| | |
| Sie gelten auch in quasistaischer Näherung: Die zeitliche Änderung muss viel kleiner sein als die räumliche !!
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| | |
| Mit dem Vektorpotenzial
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| <math>\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math>
| |
| | |
| Welches nicht eindeutig ist, sondern beliebig gemäß
| |
| <math>\bar{A}(\bar{r})\to \bar{A}+\nabla \Psi </math>
| |
| umgeeicht werden kann.
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| (
| |
| <math>\Psi (\bar{r})</math>
| |
| beliebig möglich, da
| |
| <math>\nabla \times \nabla \Psi =0</math>
| |
| )
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| | |
| Mit diesem Vektorpotenzial also kann man schreiben:
| |
| | |
| <math>\bar{B}=rot\bar{A}(\bar{r})=\nabla \times \frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math>
| |
| | |
| Beweis:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & rot\bar{A}(\bar{r})=\nabla \times \frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\times \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \\
| |
| & {{\nabla }_{r}}\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=-\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{{{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}^{3}}} \\
| |
| & \Rightarrow rot\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times \frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{{{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}^{3}}}=\bar{B}(\bar{r}) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Folgende Aussagen sind äquivalent:
| |
| Es existiert ein Vektorpotenzial mit
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{B}=rot\bar{A}(\bar{r}) \\
| |
| & \Leftrightarrow \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <math>div\bar{B}=0</math>
| |
| | |
| Beweis:
| |
| | |
| <math>div(rot\bar{A}(\bar{r}))=0</math>
| |
| | |
| es gibt keine Quellen der magnetischen Induktion ( es existieren keine "magnetischen Ladungen".
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| | |
| Aber: Magnetische Monopole wurden 1936 von Dirac postuliert, um die Quantelung der Ladung zu erklären. ( aus der quantenmechanischen Quantisierung des Drehimpulses !)
| |
| Dies wurde durch die vereinheitlichte Feldtheori4e wieder aufgenommen !
| |
| Es wurden extrem schwere magnetische Monopole postuliert, die beim Urknall in den ersten
| |
| <math>{{10}^{-35}}s</math>
| |
| erzeugt worden sein sollen.
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| | |
| Sehr umstritten ist ein angeblicher experimenteller Nachweis von 1982 ( Spektrum der Wissenschaft, Juni 1982, S. 78 ff.)
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| '''Der Zusammenhang zwischen'''
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| | |
| <math>\bar{B}(\bar{r})</math>
| |
| und
| |
| <math>\bar{j}(\bar{r})</math>
| |
| :
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \nabla \times \bar{B}(\bar{r})=\nabla \times \left( \nabla \times \bar{A}(\bar{r}) \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}(\bar{r}) \right)-\Delta \bar{A}(\bar{r}) \\
| |
| & \nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=\nabla \cdot \frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\cdot \left( \frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }){{\nabla }_{r}}\cdot \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\
| |
| & {{\nabla }_{r}}\cdot \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=-{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\
| |
| & \Rightarrow \nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=-\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left[ {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left( \frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right)+\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right] \\
| |
| & {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j}(\bar{r}\acute{\ })=-\frac{\partial }{\partial t}\rho =0 \\
| |
| & \Rightarrow \nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=-\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left( \frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Wobei die verwendete Kontinuitätsgleichung natürlich nur für statische Ladungsverteilungen gilt !
| |
| | |
| Im Allgemeinen Fall gilt dagegen:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \Rightarrow \nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=-\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left( \frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right)-\frac{\partial }{\partial t}\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\rho (\bar{r}\acute{\ },t)}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\
| |
| & \frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\rho (\bar{r}\acute{\ },t)}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}={{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}\Phi (\bar{r},t) \\
| |
| & \Rightarrow \nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=-\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\oint\limits_{S\infty }{{}}{{d}^{3}}\bar{f}\acute{\ }\left( \frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right)-{{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi (\bar{r},t) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Mit dem Gaußschen Satz.
| |
| Wenn das Potenzial jedoch ins unendliche hinreichend rasch abfällt, so gilt:
| |
| | |
| <math>\oint\limits_{S\infty }{{}}{{d}^{3}}\bar{f}\acute{\ }\left( \frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right)=0</math>
| |
| | |
| Also:
| |
| | |
| <math>\nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=-{{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi (\bar{r},t)</math>
| |
| | |
| Also:
| |
| | |
| <math>\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}(\bar{r}) \right)={{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E}(\bar{r},t)</math>
| |
| | |
| Auf der anderen Seite ergibt sich ganz einfach
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \Delta \bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\Delta }_{r}}\cdot \left( \frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }){{\Delta }_{r}}\cdot \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right) \\
| |
| & =\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j}(\bar{r}) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| wegen
| |
| | |
| <math>{{\Delta }_{r}}\cdot \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right)=4\pi \delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)</math>
| |
| | |
| Also:
| |
| | |
| <math>\nabla \times \bar{B}(\bar{r})=\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}(\bar{r}) \right)-\Delta \bar{A}(\bar{r})={{\mu }_{0}}\bar{j}(\bar{r})+{{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E}(\bar{r},t)</math>
| |
| | |
| Für stationäre Ströme, die gerade bei stationären Ladungsverteilungen vorliegen, folgt:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \nabla \times \bar{B}(\bar{r})={{\mu }_{0}}\bar{j}(\bar{r}) \\
| |
| & {{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E}(\bar{r},t)=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Dies ist die differenzielle Form des Ampereschen Gesetzes
| |
| Die Ströme sind die Wirbel der magnetischen Induktion !!
| |
| | |
| Integration über eine Fläche F mit Rand
| |
| <math>\partial F</math>
| |
| liefert die Intgralform:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \int_{{}}^{{}}{d\bar{f}\cdot }\nabla \times \bar{B}(\bar{r})=\oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\bar{B}(\bar{r})=\int_{{}}^{{}}{d\bar{f}\cdot }{{\mu }_{0}}\bar{j}(\bar{r})={{\mu }_{0}}I \\
| |
| & \oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\bar{B}(\bar{r})={{\mu }_{0}}I \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Mit dem Satz von Stokes
| |
| Das sogenannte Durchflutungsgesetz !
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| | |
| <u>'''Zusammenfassung:'''</u>
| |
| | |
| <u>'''Magnetostatik:'''</u>
| |
| | |
| <math>div\bar{B}=0\Leftrightarrow \bar{B}=rot\bar{A}</math>
| |
| ( quellenfreiheit)
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & rot\bar{B}={{\mu }_{0}}\bar{j}(\bar{r})\Leftrightarrow \oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\cdot \bar{B}={{\mu }_{0}}I \\
| |
| & \Rightarrow \Delta \bar{A}=-{{\mu }_{0}}\bar{j}(\bar{r}) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Gilt jedoch nur im Falle der Coulomb- Eichung:
| |
| | |
| <math>\nabla \cdot \bar{A}=0</math>
| |
| | |
| Dies geschieht durch die Umeichung
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{A}\acute{\ }(\bar{r})\to \bar{A}+\nabla \Psi \\
| |
| & \nabla \times \bar{A}\acute{\ }(\bar{r})\to \nabla \times \bar{A}+\nabla \times \nabla \Psi \\
| |
| & \nabla \times \nabla \Psi =0\Rightarrow \nabla \times \bar{A}\acute{\ }(\bar{r})\to \nabla \times \bar{A} \\
| |
| & \Rightarrow \nabla \times \left( \nabla \times \bar{A}\acute{\ }(\bar{r}) \right)=\nabla \times \bar{B}(\bar{r})={{\mu }_{0}}\bar{j} \\
| |
| & \nabla \times \left( \nabla \times \bar{A}\acute{\ }(\bar{r}) \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}\acute{\ }(\bar{r}) \right)-\Delta \bar{A}\acute{\ }(\bar{r}) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <u>'''Elektrostatik:'''</u>
| |
| | |
| <math>rot\bar{E}=0\Leftrightarrow \bar{E}=-\nabla \Phi </math>
| |
| ( Wirbelfreiheit)
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}=\rho \\
| |
| & \Leftrightarrow {{\varepsilon }_{0}}\oint\limits_{\partial V}{d\bar{f}\cdot }\bar{E}=Q \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| differenzielle Form / integrale Form
| |
| | |
| <math>\Rightarrow \Delta \Phi =-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\rho \left( {\bar{r}} \right)</math>
| |
| ( Poissongleichung)
| |
| | |
| <u>'''Magnetische Multipole ( stationär)'''</u>
| |
| | |
| Ausgangspunkt ist
| |
| <math>\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math>
| |
| (mit der Coulomb- Eichung
| |
| <math>\nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=0</math>
| |
| )
| |
| | |
| mit den Randbedingungen
| |
| <math>\bar{A}(\bar{r})\to 0</math>
| |
| für r-> unendlich
| |
| | |
| Taylorentwicklung nach
| |
| <math>\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math>
| |
| von analog zum elektrischen Fall:
| |
| Die Stromverteilung
| |
| <math>\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })</math>
| |
| sei stationär für
| |
| <math>r>>r\acute{\ }</math>
| |
| | |
| <math>\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=\frac{1}{r}+\frac{1}{{{r}^{3}}}\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)+...</math>
| |
| | |
| <math>\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi r}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })+\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)+...</math>
| |
| | |
| '''Monopol- Term'''
| |
| | |
| '''Mit'''
| |
| | |
| <math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]={{x}_{k}}\acute{\ }\left( {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right)+\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\cdot \left( {{\nabla }_{r\acute{\ }}}{{x}_{k}}\acute{\ } \right)</math>
| |
| | |
| Im stationären Fall folgt aus der Kontinuitätsgleichung:
| |
| | |
| <math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j}(\bar{r}\acute{\ })=0</math>
| |
| | |
| <math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]=\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\cdot \left( {{\nabla }_{r\acute{\ }}}{{x}_{k}}\acute{\ } \right)={{j}_{l}}{{\delta }_{kl}}={{j}_{k}}</math>
| |
| | |
| Mit
| |
| <math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]={{j}_{k}}</math>
| |
| folgt dann:
| |
| | |
| <math>\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{j}_{k}}(\bar{r}\acute{\ })=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]=\oint\limits_{S\infty }{d\bar{f}}\left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]=0</math>
| |
| | |
| Somit verschwindet der Monopolterm in der Theorie
| |
| | |
| '''Dipol- Term'''
| |
| | |
| mit
| |
| | |
| <math>\left[ \bar{r}\acute{\ }\times \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]\times \bar{r}=\left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j}-\left( \bar{r}\bar{j} \right)\bar{r}\acute{\ }=2\left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j}-\left[ \left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j}+\left( \bar{r}\bar{j} \right)\bar{r}\acute{\ } \right]</math>
| |
| | |
| und mit
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j} \right]=\left[ \left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right){{j}_{k}}+{{x}_{k}}\acute{\ }\left( \bar{r}\bar{j} \right)+{{x}_{k\acute{\ }}}\left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right){{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j} \right] \\
| |
| & {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j}=0 \\
| |
| & \Rightarrow {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j} \right]=\left[ \left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right){{j}_{k}}+{{x}_{k}}\acute{\ }\left( \bar{r}\bar{j} \right) \right] \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Folgt:
| |
| | |
| <math>\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j} \right]=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left[ \left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right){{j}_{k}}+{{x}_{k}}\acute{\ }\left( \bar{r}\bar{j} \right) \right]=0</math>
| |
| | |
| Da
| |
| | |
| <math>\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j} \right]=\oint\limits_{S\infty }{d\bar{f}}\left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j} \right]=0</math>
| |
| weil der Strom verschwindet !
| |
| Somit gibt der Term
| |
| | |
| <math>\left[ \left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j}+\left( \bar{r}\bar{j} \right)\bar{r}\acute{\ } \right]</math>
| |
| | |
| keinen Beitrag zum
| |
| | |
| <math>\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)</math>
| |
| | |
| Also:
| |
| | |
| <math>\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\frac{1}{2}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left( \bar{r}\acute{\ }\times \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right)\times \bar{r}</math>
| |
| | |
| Als DIPOLPOTENZIAL !!
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{A}(\bar{r}):=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\bar{m}\times \bar{r} \\
| |
| & \bar{m}=\frac{1}{2}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left( \bar{r}\acute{\ }\times \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| das magnetische Dipolmoment !
| |
| | |
| Analog zu
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \Phi (\bar{r}):=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{3}}}\bar{p}\cdot \bar{r} \\
| |
| & \bar{p}:=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{r}\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ }) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| dem elektrischen Dipolmoment
| |
| | |
| Die magnetische Induktion des Dipolmomentes ergibt sich als:
| |
| | |
| <math>\bar{B}(\bar{r}):=\nabla \times \frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\bar{m}\times \bar{r}=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{5}}}\left[ 3\left( \bar{m}\cdot \bar{r} \right)\bar{r}-{{r}^{2}}\bar{m} \right]</math>
| |
| | |
| Wegen:
| |
| | |
| <math>\nabla \times \left( \bar{a}\times \bar{b} \right)=\left( \bar{b}\cdot \nabla \right)\bar{a}-\left( \bar{a}\cdot \nabla \right)\bar{b}+\bar{a}\left( \nabla \cdot \bar{b} \right)-\bar{b}\left( \nabla \cdot \bar{a} \right)</math>
| |
| | |
| mit
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{a}=\frac{{\bar{m}}}{{{r}^{3}}} \\
| |
| & \bar{b}=\bar{r} \\
| |
| & \Rightarrow div\bar{a}=-3\frac{\bar{m}\cdot \bar{r}}{{{r}^{5}}} \\
| |
| & div\bar{b}=3 \\
| |
| & \left( \bar{b}\cdot \nabla \right)\bar{a}=-3\frac{\bar{m}\cdot {{r}^{2}}}{{{r}^{5}}} \\
| |
| & \left( \bar{a}\cdot \nabla \right)\bar{b}=\frac{{\bar{m}}}{{{r}^{3}}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Analog ergab sich als elektrisches Dipolfeld:
| |
| | |
| <math>\bar{E}(\bar{r}):=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{5}}}\left[ 3\left( \bar{p}\cdot \bar{r} \right)-{{r}^{2}}\bar{p} \right]</math>
| |
| | |
| <u>'''Beispiel: Ebene Leiterschleife L:'''</u>
| |
| | |
| | |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & d\bar{f}\acute{\ }=\frac{1}{2}\bar{r}\acute{\ }\times d\bar{s}\acute{\ } \\
| |
| & {{d}^{3}}\bar{r}\acute{\ }j(\bar{r}\acute{\ })=d\bar{s}\acute{\ }I \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Mit I = Strom durch den Leiter
| |
| | |
| <math>\Rightarrow \bar{m}=\frac{1}{2}\oint\limits_{L}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left( \bar{r}\acute{\ }\times \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right)=\frac{I}{2}\oint\limits_{L}{{}}\bar{r}\acute{\ }\times d\bar{s}\acute{\ }=I\int_{F}^{{}}{{}}d\bar{f}\acute{\ }=IF\bar{n}</math>
| |
| | |
| Dabei ist
| |
| | |
| <math>\bar{n}</math>
| |
| die Normale auf der von L eingeschlossenen Fläche F
| |
| | |
| Also: Ein Ringstrom bedingt ein magnetisches Dipolmoment
| |
| <math>\bar{m}</math>
| |
| | |
| | |
| analog: 2 Punktladungen bedingen ein elektrisches Dipolmoment
| |
| <math>\bar{p}=q\bar{a}</math>
| |
| , welches von der positiven zur negativen Ladung zeigt.
| |
| | |
| <u>'''Bewegte Ladungen'''</u>
| |
| N Teilchen mit den Massen mi und den Ladungen qi bewegen sich.
| |
| | |
| Dabei sei die spezifische Ladung
| |
| | |
| <math>\frac{{{q}_{i}}}{{{m}_{i}}}=\frac{q}{m}</math>
| |
| konstant:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \rho (\bar{r})=\sum\limits_{i}{{}}{{q}_{i}}\delta \left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right) \\
| |
| & \bar{j}(\bar{r})=\sum\limits_{i}{{}}{{q}_{i}}{{{\bar{v}}}_{i}}\delta \left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right) \\
| |
| & {{{\bar{v}}}_{i}}=\frac{d{{{\bar{r}}}_{i}}}{dt} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Das magnetische Dipolmoment beträgt:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{m}=\frac{1}{2}\oint\limits_{L}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left( \bar{r}\acute{\ }\times \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right)=\frac{1}{2}\sum\limits_{i}{{}}{{q}_{i}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{r}\acute{\ }\times {{{\bar{v}}}_{i}}\delta \left( \bar{r}\acute{\ }-{{{\bar{r}}}_{i}} \right)=\frac{1}{2}\sum\limits_{i}{{}}{{q}_{i}}{{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{v}}}_{i}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{i}{{}}\frac{{{q}_{i}}}{{{m}_{i}}}{{m}_{i}}{{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{v}}}_{i}} \\
| |
| & \frac{{{q}_{i}}}{{{m}_{i}}}=\frac{q}{m} \\
| |
| & \Rightarrow \bar{m}=\frac{q}{2m}\bar{L} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Mit dem Bahndrehimpuls
| |
| <math>\bar{L}</math>
| |
| :
| |
| | |
| <math>\bar{m}=\frac{q}{2m}\bar{L}</math>
| |
| gilt aber auch für starre Körper !
| |
| * Allgemeines Gesetz !
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| Jedoch gilt dies nicht für den Spin eines Elektrons !!!
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| <math>\begin{align}
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| & \bar{m}=g\frac{e}{2m}\bar{S} \\
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| & g\approx 2 \\
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| \end{align}</math>
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| Somit ist der Spin nicht vollständig durch die Vorstellung von einer rotierenden Ladungsverteilung zu verstehen !
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| '''Kraft auf eine Stromverteilung:'''
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| <math>\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })={{\rho }_{i}}(\bar{r}\acute{\ })\bar{v}(\bar{r}\acute{\ })</math>
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| im Feld einer externen magnetischen Induktion
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| <math>\bar{B}(\bar{r}\acute{\ })</math>
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| :
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| Spürt die Lorentzkraft
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| <math>\bar{F}=\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times \bar{B}(\bar{r}\acute{\ })</math>
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| Talyorentwicklung liefert:
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| <math>\begin{align}
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| & \bar{B}(\bar{r}\acute{\ })=\bar{B}(\bar{r})+\left[ \left( \bar{r}\acute{\ }-\bar{r} \right)\nabla \right]\bar{B}(\bar{r})+.... \\
| |
| & \Rightarrow \bar{F}=\left[ \int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]\times \bar{B}(\bar{r}\acute{\ })+\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times \left[ \left( \bar{r}\acute{\ }-\bar{r} \right)\nabla \right]\bar{B}(\bar{r})+... \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| im stationären Fall gilt wieder:
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| <math>\left[ \int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]=0</math>
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| ( keine Monopole)
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| Also:
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| <math>\begin{align}
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| & \bar{F}=\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times \left[ \left( \bar{r}\acute{\ } \right){{\nabla }_{r}} \right]\bar{B}(\bar{r})-\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times \left[ \left( {\bar{r}} \right){{\nabla }_{r}} \right]\bar{B}(\bar{r}) \\
| |
| & \int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times \left[ \left( {\bar{r}} \right){{\nabla }_{r}} \right]\bar{B}(\bar{r})=0,da\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })=0 \\
| |
| & \Rightarrow \bar{F}=\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times \left[ \left( \bar{r}\acute{\ } \right){{\nabla }_{r}} \right]\bar{B}(\bar{r}) \\
| |
| & \left[ \left( \bar{r}\acute{\ } \right){{\nabla }_{r}} \right]\bar{B}(\bar{r})={{\nabla }_{r}}\left[ \left( \bar{r}\acute{\ } \right)\cdot \bar{B}(\bar{r}) \right]-\bar{r}\acute{\ }\times \left[ {{\nabla }_{r}}\times \bar{B}(\bar{r}) \right] \\
| |
| \end{align}</math>
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| Man fordert:
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| <math>\left[ {{\nabla }_{r}}\times \bar{B}(\bar{r}) \right]=0</math>
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| ( Das externe Feld soll keine Stromwirbel im Bereich von
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| <math>\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })</math>
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| haben:
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| <math>\begin{align}
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| & \bar{F}=\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times {{\nabla }_{r}}\left[ \left( \bar{r}\acute{\ } \right)\cdot \bar{B}(\bar{r}) \right] \\
| |
| & \bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times {{\nabla }_{r}}\left[ \left( \bar{r}\acute{\ } \right)\cdot \bar{B}(\bar{r}) \right]=-{{\nabla }_{r}}\times \left[ \left( \left( \bar{r}\acute{\ } \right)\cdot \bar{B}(\bar{r}) \right)\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]+\left[ \left( \bar{r}\acute{\ } \right)\cdot \bar{B}(\bar{r}) \right]{{\nabla }_{r}}\times \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \\
| |
| & {{\nabla }_{r}}\times \bar{j}(\bar{r}\acute{\ })=0 \\
| |
| & \Rightarrow \bar{F}=-\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\times \left[ \left( \left( \bar{r}\acute{\ } \right)\cdot \bar{B}(\bar{r}) \right)\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]=-{{\nabla }_{r}}\times \left( \bar{m}\times \bar{B}(\bar{r}) \right) \\
| |
| & \bar{F}=-{{\nabla }_{r}}\times \left( \bar{m}\times \bar{B}(\bar{r}) \right)=\left( \bar{m}\cdot {{\nabla }_{r}} \right)\bar{B}(\bar{r})=-{{\nabla }_{r}}\left( -\bar{m}\cdot \bar{B}(\bar{r}) \right) \\
| |
| \end{align}</math>
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| ( Vergl. S. 34)
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| # <u>'''Die Maxwell-Gleichungen'''</u>
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| Ziel: Beschreibung der Dynamik der Felder
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| Methode: Erweiterung der elektrostatischen und magnetostatischen Feldgleichungen derart, dass allgemeine Invarianz- Prinzipien erfüllt sind !
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| Invarianz- Prinzipien sind / können sein:
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| <u>'''3.1 TCP- Invarianz'''</u>
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| Zeitumkehr T: t -> t´=-t
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| Ladungsumkehr / Konjugation : C : Q Q´= - Q
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| Paritätsumkehr P : r - > r´= -r ( für den Ortsvektor)
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| <u>'''Die Zeitumkehr- Transformation'''</u>
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| <math>\begin{align}
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| & {{T}_{g}}:=\left\{ T-in\operatorname{var}iante\ ObservableA:TA=A \right\} \\
| |
| & =\left\{ \bar{r},d\bar{r},a:=\frac{{{d}^{2}}\bar{r}}{d{{t}^{2}}},m,q,\rho :=\begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| \Delta V\to 0 \\
| |
| \end{matrix}\frac{\Delta q}{\Delta V},\bar{F}=m\bar{a},\bar{E}=\frac{{\bar{F}}}{q},\Phi ... \right\} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| Diese Observablen sind "gerade" unter T
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| | |
| Daneben gibt es auch Observablen, die "ungerade" unter T sind:
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| | |
| <math>{{T}_{u}}:=\left\{ A:TA=-A \right\}=\left\{ \bar{v}:=\frac{d\bar{r}}{dt},\bar{j}=\rho \bar{v},\bar{B},\bar{A} \right\}</math>
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| | |
| Denn:
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| <math>\begin{align}
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| & \bar{F}=q\bar{v}\times \bar{B} \\
| |
| & \bar{F}\in {{T}_{g}},\bar{v}\in {{T}_{u}},q\in {{T}_{g}}\Rightarrow \bar{B}\in {{T}_{u}} \\
| |
| & \bar{B}=\nabla \times \bar{A},\nabla \in {{T}_{g}} \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Somit folgt jedoch vollständige T- Invarianz der elektromagnetischen Grundgleichungen:
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| <math>\begin{align}
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| & T:\left\{ {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=0 \right\}\to \left\{ {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=0 \right\} \\
| |
| & T:\left\{ {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}=\rho \right\}\to \left\{ {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}=\rho \right\} \\
| |
| & T:\left\{ {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \right\}\to \left\{ -{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \right\}\Leftrightarrow \left\{ {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \right\} \\
| |
| & T:\left\{ \nabla \times \bar{B}={{\mu }_{0}}\bar{j} \right\}\to \left\{ -\nabla \times \bar{B}=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \right\} \\
| |
| & \\
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| \end{align}</math>
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| | |
| Kontinuitätsgleichung:
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| <math>T:\left\{ \frac{\partial }{\partial t}\rho +{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{j}=0 \right\}\to \left\{ -\frac{\partial }{\partial t}\rho -{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{j}=0 \right\}</math>
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| | |
| Die Gleichungen sind FORMINVARIANT !
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| '''Ladungsumkehr ( Konjugation)'''
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{C}_{g}}:=\left\{ C-in\operatorname{var}iante\ ObservableA:CA=A \right\} \\
| |
| & {{C}_{g}}=\left\{ \bar{F},m,\bar{r},\bar{v},\bar{a} \right\} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| sind gerade unter C
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| '''Ungerade unter c sind:'''
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{C}_{u}}:=\left\{ A:CA=-A \right\}=\left\{ \bar{E}=\frac{1}{q}\bar{F},\bar{B},\bar{j},\rho \right\} \\
| |
| & \bar{F}=q\bar{v}\times \bar{B} \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| * C- Invarianz der Elektro- Magnetostatik:
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & C:\left\{ {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=0 \right\}\to \left\{ -{{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=0 \right\} \\
| |
| & C:\left\{ {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}=\rho \right\}\to \left\{ -{{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}=-\rho \right\} \\
| |
| & C:\left\{ {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \right\}\to \left\{ -{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \right\} \\
| |
| & C:\left\{ \nabla \times \bar{B}={{\mu }_{0}}\bar{j} \right\}\to \left\{ -\nabla \times \bar{B}=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \right\} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <math>C:\left\{ \frac{\partial }{\partial t}\rho +{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{j}=0 \right\}\to \left\{ -\frac{\partial }{\partial t}\rho -{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{j}=0 \right\}</math>
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| | |
| <u>'''Paritätsumkehr: Räumliche Spiegelung/ Inversion'''</u>
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| Vertauschung: rechts <-> links
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| Man unterscheidet:
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| <math>P\bar{r}=-\bar{r}</math>
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| -> polarer Vektor
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| und
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| <math>P\left( \bar{a}\times \bar{b} \right)=\left( -\bar{a}\times -\bar{b} \right)=\left( \bar{a}\times \bar{b} \right)</math>
| |
| P- invariant = " axialer Vektor", sogenannter Pseudovektor !!
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| Seien:
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| <math>\bar{a},\bar{b}</math>
| |
| polar,
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| <math>\bar{w},\bar{\sigma }</math>
| |
| axial
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| Dann ist
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| | |
| <math>\begin{align}
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| & \bar{a}\times \bar{w}\quad polar \\
| |
| & \bar{a}\times \bar{b},\bar{w}\times \bar{\sigma }\quad axial \\
| |
| & \bar{a}\bar{b}\ skalar:P(\bar{a}\bar{b})=\bar{a}\bar{b} \\
| |
| & \bar{w}\bar{\sigma }\ pseudoskalarP(\bar{w}\bar{\sigma })=-\bar{w}\bar{\sigma } \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{C}_{g}}:=\left\{ C-in\operatorname{var}iante\ ObservableA:CA=A \right\} \\
| |
| & {{C}_{g}}=\left\{ \bar{F},m,\bar{r},\bar{v},\bar{a} \right\} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Wegen
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{F}=q\bar{v}\times \bar{B} \\
| |
| & \bar{F}\in {{P}_{u}} \\
| |
| & q\in {{P}_{g}} \\
| |
| & \bar{v}\in {{P}_{u}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| ungerade Parität dagegen:
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| | |
| <math>{{P}_{u}}=\left\{ polareVektoren,\bar{r},d\bar{r},\bar{v},\bar{a},\bar{F},\bar{E}=\frac{1}{q}\bar{F},\bar{j}=\rho \bar{v},\bar{A},Pseudoskalare\quad \nabla \cdot \bar{B} \right\}</math>
| |
| | |
| Wegen
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{B}=\nabla \times \bar{A} \\
| |
| & \nabla \in {{P}_{u}} \\
| |
| & \bar{B}\in {{P}_{g}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| P- Invarianz der Elektro- / Magnetostatik:
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & P:\left\{ {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=0 \right\}\to \left\{ {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=0 \right\} \\
| |
| & P:\left\{ {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}=\rho \right\}\to \left\{ {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}=\rho \right\} \\
| |
| & P:\left\{ {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \right\}\to \left\{ -{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \right\} \\
| |
| & P:\left\{ \nabla \times \bar{B}={{\mu }_{0}}\bar{j} \right\}\to \left\{ -\nabla \times \bar{B}=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \right\} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <math>P:\left\{ \frac{\partial }{\partial t}\rho +{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{j}=0 \right\}\to \left\{ \frac{\partial }{\partial t}\rho +{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{j}=0 \right\}</math>
| |
| | |
| Nebenbemerkung: Gäbe es magnetische Ladungen, dann wären sie pseudoskalare
| |
| Außerdem ( Weinberg e.a.) : Schwache Wechselwirkung verletzt die Paritätserhaltung!
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| <u>'''3.2 Maxwell- Gleichungen im Vakuum'''</u>
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| | |
| Die Forderungen an dynamische Gleichungen für zeitartige Felder
| |
| <math>\bar{E}(\bar{r},t),\bar{B}(\bar{r},t)</math>
| |
| lauten:
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| 1) im quasistatischen Grenzfall sollen die statischen MWGl herauskommen:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=0 \\
| |
| & {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}-\rho =0 \\
| |
| & {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \\
| |
| & \nabla \times \bar{B}-{{\mu }_{0}}\bar{j}=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| 2) die Gleichungen sollen linear in
| |
| <math>\bar{E}(\bar{r},t),\bar{B}(\bar{r},t)</math>
| |
| sein, um das Superpositionsprinzip zu erfüllen !
| |
| Die Gleichungen sollen 1. Ordnung in t sein ( um das Kausalitätsprinzip zu erfüllen !)
| |
| | |
| Die linke Seite der Maxwellgleichungen ( oben) soll zur Zeit t=0 den Zustand für t> 0 vollständig festlegen !!
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| | |
| Somit sind
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}={{a}_{1}}\dot{\bar{E}}+{{b}_{1}}\dot{\bar{B}} \\
| |
| & \nabla \times \bar{B}-{{\mu }_{0}}\bar{j}={{a}_{2}}\dot{\bar{E}}+{{b}_{2}}\dot{\bar{B}} \\
| |
| & {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}-\rho =0 \\
| |
| & {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Dies sind 6 Vektorgleichungen, die
| |
| <math>\bar{E}(\bar{r},t),\bar{B}(\bar{r},t)</math>
| |
| für t> 0 festlegen und 2 skalare Gleichungen
| |
| | |
| 3) Wir fordern TCP- Invarianz:
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{T}_{g}}oder\ {{P}_{g}}\Rightarrow {{a}_{1}}=0 \\
| |
| & {{T}_{u}}oder\ {{P}_{u}}\Rightarrow {{b}_{2}}=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Also bleibt:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}={{b}_{1}}\dot{\bar{B}} \\
| |
| & \nabla \times \bar{B}-{{\mu }_{0}}\bar{j}={{a}_{2}}\dot{\bar{E}} \\
| |
| & {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}-\rho =0 \\
| |
| & {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| 4) Ladungserhaltung:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & 0=\frac{\partial }{\partial t}\left( {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}-\rho \right)={{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \dot{\bar{E}}-\dot{\rho }=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{{{a}_{2}}}\nabla \cdot \left( \nabla \times \bar{B}-{{\mu }_{0}}\bar{j} \right)-\dot{\rho } \\
| |
| & \frac{{{\varepsilon }_{0}}}{{{a}_{2}}}\nabla \cdot \nabla \times \bar{B}=0 \\
| |
| & \Rightarrow \frac{{{\varepsilon }_{0}}}{{{a}_{2}}}\nabla \cdot \left( {{\mu }_{0}}\bar{j} \right)-\dot{\rho }=0 \\
| |
| & \Rightarrow {{a}_{2}}={{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Unter Verwendung der Kontinuitätsgleichung !
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| Somit ( vergl. S. 32, §2.3 folgt die Verschiebungsstromdichte
| |
| <math>{{\varepsilon }_{0}}\dot{\bar{E}}</math>
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| | |
| 5) Lorentzkraft
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| | |
| <math>\bar{F}=q\bar{v}\times \bar{B}</math>
| |
| soll aus einem Extremalprinzip, ergo dem Hamiltonschen Prinzip ableitbar sein.
| |
| Suche also eine Lagrange- Funktion
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| | |
| <math>L(\bar{r},\bar{v},t)</math>
| |
| so dass die Lagrangegleichung
| |
| | |
| <math>\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{v}_{k}}} \right)-\frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{x}_{k}}}=0</math>
| |
| | |
| die nichtrelativistische Bewegungsgleichung
| |
| | |
| <math>m\ddot{\bar{r}}=q\left[ \bar{E}(\bar{r},t)+\bar{v}\times \bar{B}(\bar{r},t) \right]</math>
| |
| | |
| ergibt !
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| | |
| Lösung:
| |
| | |
| <math>L=\frac{m}{2}{{v}^{2}}+q\left[ \bar{v}\bar{A}(\bar{r},t)-\Phi (\bar{r},t) \right]</math>
| |
| | |
| Tatsächlich gilt
| |
| | |
| <math>{{p}_{k}}=\frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{v}_{k}}}=m{{v}_{k}}+q{{A}_{k}}(\bar{r},t)</math>
| |
| = kanonischer Impuls
| |
| | |
| <math>\frac{d}{dt}\frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{v}_{k}}}=m{{\ddot{x}}_{k}}+q\frac{d}{dt}{{A}_{k}}(\bar{r},t)</math>
| |
| | |
| Dabei ist die Zeitableitung von A als totales Differenzial entlang einer Bahn
| |
| <math>\bar{r}</math>
| |
| zu sehen !
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \frac{d}{dt}\frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{v}_{k}}}=m{{{\ddot{x}}}_{k}}+q\left( \frac{\partial }{\partial t}{{A}_{k}}(\bar{r},t)+\frac{\partial {{A}_{k}}(\bar{r},t)}{\partial {{x}_{l}}}\frac{\partial {{x}_{l}}}{\partial t} \right)=m{{{\ddot{x}}}_{k}}+q\left( \frac{\partial }{\partial t}+\bar{v}\cdot \nabla \right){{A}_{k}}(\bar{r},t) \\
| |
| & \frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{x}_{k}}}=q\left[ \frac{\partial }{\partial {{x}_{k}}}\left( \bar{v}\bar{A} \right)-\frac{\partial }{\partial {{x}_{k}}}\Phi \right] \\
| |
| & \Rightarrow 0=\frac{d}{dt}\frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{v}_{k}}}-\frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{x}_{k}}}=m{{{\ddot{x}}}_{k}}+q\left( \frac{\partial }{\partial t}+\bar{v}\cdot \nabla \right){{A}_{k}}(\bar{r},t)-q\left[ \frac{\partial }{\partial {{x}_{k}}}\left( \bar{v}\bar{A} \right)-\frac{\partial }{\partial {{x}_{k}}}\Phi \right] \\
| |
| & =m{{{\ddot{x}}}_{k}}+q\frac{\partial }{\partial t}{{A}_{k}}(\bar{r},t)+q\left[ \left( \bar{v}\cdot \nabla \right){{A}_{k}}(\bar{r},t)-\frac{\partial }{\partial {{x}_{k}}}\left( \bar{v}\bar{A} \right) \right]+q\frac{\partial }{\partial {{x}_{k}}}\Phi \\
| |
| & \left[ \left( \bar{v}\cdot \nabla \right){{A}_{k}}(\bar{r},t)-\frac{\partial }{\partial {{x}_{k}}}\left( \bar{v}\bar{A} \right) \right]=-{{\left[ \bar{v}\times \left( \nabla \times \bar{A} \right) \right]}_{k}} \\
| |
| & \Rightarrow 0=m\ddot{\bar{r}}+q\frac{\partial }{\partial t}A(\bar{r},t)-q\left[ \bar{v}\times \left( \nabla \times \bar{A} \right) \right]+q\nabla \Phi =m\ddot{\bar{r}}+q\left[ \frac{\partial }{\partial t}A(\bar{r},t)+\nabla \Phi -\left[ \bar{v}\times \left( \nabla \times \bar{A} \right) \right] \right] \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Vergleich mit der Lorentzkraft liefert:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{E}(\bar{r},t)=-\frac{\partial }{\partial t}A(\bar{r},t)-\nabla \Phi \\
| |
| & \bar{B}(\bar{r},t)=\nabla \times A(\bar{r},t) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| und:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \nabla \times \bar{E}(\bar{r},t)=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \times A(\bar{r},t)-\nabla \times \nabla \Phi \\
| |
| & \nabla \times A(\bar{r},t)=\bar{B}(\bar{r},t) \\
| |
| & \nabla \times \nabla \Phi =0 \\
| |
| & \Rightarrow {{b}_{1}}=-1 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <u>'''Vollständige ( zeitabhängige) Maxwellgleichungen im Vakuum'''</u>
| |
| | |
| mit den neuen Feldgrößen
| |
| | |
| <math>\bar{D}(\bar{r},t):={{\varepsilon }_{0}}\bar{E}(\bar{r},t)</math>
| |
| dielektrische Verschiebung
| |
| und
| |
| | |
| <math>\bar{H}(\bar{r},t):=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}(\bar{r},t)</math>
| |
| , Magnetfeld
| |
| ergibt sich:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}+\dot{\bar{B}}=0 \\
| |
| & {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \\
| |
| & {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{D}=\rho \\
| |
| & {{\nabla }_{r}}\times \bar{H}-\dot{\bar{D}}=\bar{j} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Dabei sind
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}+\dot{\bar{B}}=0 \\
| |
| & {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| die homogenen Gleichungen, die die Wechselwirkung einer Punktladung mit gegebenen Feldern
| |
| <math>\bar{E},\bar{B}</math>
| |
| beschreiben
| |
| und
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{D}=\rho \\
| |
| & {{\nabla }_{r}}\times \bar{H}-\dot{\bar{D}}=\bar{j} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| die inhomogenen Gleichungen, die Erzeugung der Felder
| |
| <math>\bar{D},\bar{H}</math>
| |
| durch gegebene Ladungen und Ströme
| |
| | |
| Im Gauß- System:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}+\frac{1}{c}\dot{\bar{B}}=0 \\
| |
| & {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \\
| |
| & {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}=4\pi \rho \\
| |
| & {{\nabla }_{r}}\times \bar{B}-\dot{\bar{E}}=\frac{4\pi }{c}\bar{j} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Mit
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}-\nabla \Phi \\
| |
| & \bar{B}=\nabla \times \bar{A} \\
| |
| & \bar{D}=\bar{E} \\
| |
| & \bar{H}=\bar{B} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| im Vakuum !
| |
| | |
| <u>'''Induktionsgesetz :'''</u>
| |
| | |
| Die Maxwellgleichung
| |
| | |
| <math>{{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=-\dot{\bar{B}}</math>
| |
| wird über eine ortsfeste Fläche F ( nicht geschlossen) mit Rand
| |
| <math>\partial F</math>
| |
| integriert:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \int_{F}^{{}}{d\bar{f}}\left( {{\nabla }_{r}}\times \bar{E} \right)=-\int_{F}^{{}}{d\bar{f}}\dot{\bar{B}} \\
| |
| & \Rightarrow \oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\int_{F}^{{}}{d\bar{f}}\bar{B} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Wobei Differenziation und Integration genau dann vertauscht werden kann, wenn die Variablen unabhängig sind, also die Fläche ortsfest !
| |
| | |
| Damit folgt die integrale Form dieser Maxwellgleichung
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\Phi (t) \\
| |
| & \Phi (t)=\int_{F}^{{}}{d\bar{f}}\bar{B}=\oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\cdot \bar{A} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Der magnetische Fluß !
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| | |
| Der magnetische Fluß
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| <math>\Phi (t)</math>
| |
| hängt nur vom Rand
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| <math>\partial F</math>
| |
| der Fläche ab !
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| Seien F und F´ zwei Flächen mit dem selben Rand, die das Volumen V einschließen :
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| | |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \int_{F}^{{}}{d\bar{f}}\bar{B}-\int_{F\acute{\ }}^{{}}{d\bar{f}}\bar{B}=\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\bar{B}=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r}\nabla \cdot \bar{B}=0 \\
| |
| & \nabla \cdot \bar{B}=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Die Potenzialdifferenz bei einem Umlauf um
| |
| <math>\partial F</math>
| |
| beträgt:
| |
| | |
| <math>\Delta \Phi :=-\oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\bar{E}</math>
| |
| Dies entspricht einer induzierten Spannung ( als Wirbelfeld)
| |
| Somit folgt das
| |
| | |
| Faradaysche Induktionsgesetz:
| |
| | |
| <math>\Delta \Phi =\frac{\partial }{\partial t}{{\Phi }_{mag}}</math>
| |
| | |
| mit dem magnetischen Fluß
| |
| | |
| <math>{{\Phi }_{mag}}</math>
| |
| | |
| <u>'''Die Lenzsche Regel:'''</u>
| |
| | |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \dot{\bar{B}}\to \bar{E} \\
| |
| & \nabla \times \bar{E}=-\bar{B} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| induziert
| |
| | |
| <math>\bar{E}\to \bar{j}\tilde{\ }\bar{E}</math>
| |
| Ladungsverschiebung/- Bewegung
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{j}\to \bar{H} \\
| |
| & {{\nabla }_{r}}\times \bar{H}=\bar{j} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| erzeugt
| |
| Also:
| |
| <math>\bar{H}</math>
| |
| ist
| |
| <math>\dot{\bar{B}}</math>
| |
| entgegengerichtet !
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| | |
| <u>'''Zusammenfassung'''</u>
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| | |
| | |
| <math>\oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\Phi (t)</math>
| |
| Zirkulation des elektrischen Feldes entlang einer geschlossenen Linie ist gleich der zeitlichen Abnahme des eingeschlossenen magnetischen Flusses:
| |
| <math>\Phi (t)=\int_{F}^{{}}{d\bar{f}}\bar{B}=\oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\cdot \bar{A}</math>
| |
| | |
| <math>\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\bar{B}=0</math>
| |
| Der Nettofluss des magnetischen Feldes durch eine geschlossene Oberfläche ist NULL
| |
| | |
| <math>\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\bar{E}=\frac{Q}{{{\varepsilon }_{0}}}</math>
| |
| Der Fluß des elektrischen Feldes durch
| |
| <math>\partial V</math>
| |
| ist gleich der eingeschlossenen Ladung
| |
| <math>\frac{Q}{{{\varepsilon }_{0}}}</math>
| |
| | |
| <math>\oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\cdot \bar{H}=\int_{F}^{{}}{{}}d\bar{f}\cdot \dot{\bar{D}}+I</math>
| |
| Die Zirkulation des magnetischen Feldes entlang einer eingeschlossenen Linie ist gleich der Summe aus dem dielektrischen Verschiebungsstrom
| |
| <math>\int_{F}^{{}}{{}}d\bar{f}\cdot \dot{\bar{D}}</math>
| |
| und dem Konvektionsstrom
| |
| <math>I=\int_{F}^{{}}{{}}d\bar{f}\cdot \bar{j}</math>
| |
| | |
| | |
| | |
| <u>'''3.4 Energiebilanz'''</u>
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| | |
| Die Maxwell- Gleichungen enthalten die Kontinuitätsgleichung für die elektrische Ladung
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \dot{\rho }+\nabla \cdot \bar{j}=0 \\
| |
| & \dot{\rho }+\nabla \cdot \bar{j}=\nabla \cdot \left( \dot{\bar{D}}+\bar{j} \right)=\nabla \cdot \left( \nabla \times \bar{H} \right)=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| '''Frage:'''
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| | |
| Enthalten die Maxwell- Gleichungen weitere Erhaltungssätze für extensive physikalische Observablen, wie Energie, Impuls, Drehimpuls.
| |
| ( Extensiv: Additiv bei Systemzusammensetzung)
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| | |
| <u>'''Energietransport durch das elektromagnetische Feld:'''</u>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}+\dot{\bar{B}}=0\left. {} \right|\cdot \bar{H} \\
| |
| & \nabla \times \bar{H}-\dot{\bar{D}}=\bar{j}\left. {} \right|\cdot \bar{E} \\
| |
| & \Rightarrow \bar{H}\cdot \left( \nabla \times \bar{E} \right)-\bar{E}\cdot \left( \nabla \times \bar{H} \right)+\bar{H}\cdot \frac{\partial }{\partial t}\bar{B}+\bar{E}\cdot \frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=-\bar{j}\cdot \bar{E} \\
| |
| & \bar{H}\cdot \left( \nabla \times \bar{E} \right)-\bar{E}\cdot \left( \nabla \times \bar{H} \right)=\nabla \cdot \left( \bar{E}\times \bar{H} \right) \\
| |
| & \bar{H}\cdot \frac{\partial }{\partial t}\bar{B}=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}=\frac{\partial }{\partial t}\left( \frac{1}{2{{\mu }_{0}}}{{{\bar{B}}}^{2}} \right) \\
| |
| & \bar{E}\cdot \frac{\partial }{\partial t}\bar{D}={{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\cdot \frac{\partial }{\partial t}\bar{E}=\frac{\partial }{\partial t}\left( \frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{{\bar{E}}}^{2}} \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Also:
| |
| | |
| <math>\frac{\partial }{\partial t}w+\nabla \cdot \bar{S}=-\bar{j}\cdot \bar{E}</math>
| |
| | |
| Als Kontinuitätsgleichung ( Bilanzgleichung) für den Energietransport
| |
| | |
| mit
| |
| | |
| <math>w:=\frac{\partial }{\partial t}\left( \frac{1}{2{{\mu }_{0}}}{{{\bar{B}}}^{2}} \right)+\frac{\partial }{\partial t}\left( \frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{{\bar{E}}}^{2}} \right)=\frac{1}{2}\left( \bar{E}\cdot \bar{D}+\bar{B}\cdot \bar{H} \right)</math>
| |
| | |
| Als Energiedichte des elektromagnetischen Feldes
| |
| Remember:
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| | |
| Elektrostatik:
| |
| | |
| <math>\frac{1}{2}\bar{E}\cdot \bar{D}</math>
| |
| | |
| Magnetostatik:
| |
| | |
| <math>\frac{1}{2}\bar{B}\cdot \bar{H}</math>
| |
| | |
| <math>\bar{S}:=\bar{E}\times \bar{H}</math>
| |
| als Energiestromdichte des elektromagnetischen Feldes ( Poynting- Vektor)
| |
| | |
| <math>\sigma =-\bar{j}\cdot \bar{E}</math>
| |
| als Quelldichte der Feldenergie ( Leistungsdichte)
| |
| | |
| <math>\bar{j}\cdot \bar{E}>0</math>
| |
| bedingt die Abnahme der Feldenergie bei
| |
| <math>(\bar{r},t)</math>
| |
| | |
| <math>\bar{j}\cdot \bar{E}<0</math>
| |
| bedingt die Zunahme der Feldenergie bei
| |
| <math>(\bar{r},t)</math>
| |
| | |
| Beispiel: Beschleunigung von Teilchen durch die Felder
| |
| <math>\bar{E},\bar{B}</math>
| |
| :
| |
| | |
| Kraft auf die Ladung q:
| |
| <math>\bar{F}=q\left( \bar{E}+\bar{v}\times \bar{B} \right)</math>
| |
| | |
| Kraftdichte:
| |
| <math>\bar{f}=\rho \left( \bar{E}+\bar{v}\times \bar{B} \right)</math>
| |
| | |
| Als Leistungsdichte der Felder auf die Ladungsdichte
| |
| <math>\rho </math>
| |
| folgt:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{f}\bar{v}=\rho \bar{v}\left( \bar{E}+\bar{v}\times \bar{B} \right)=\rho \bar{v}\bar{E}+\rho \bar{v}\left( \bar{v}\times \bar{B} \right) \\
| |
| & \rho \bar{v}\left( \bar{v}\times \bar{B} \right)=0 \\
| |
| & \Rightarrow \bar{f}\bar{v}=\rho \bar{v}\bar{E}=\bar{j}\bar{E} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Das Magnetfeld leistet keine Arbeit, da die Kraft senkrecht auf die Geschwindigkeit steht
| |
| | |
| Es verbleibt die Kraftdichte, die vom Feld auf Ladungen übertragen wird ( sogenannte Verlustdichte der Feldenergie)
| |
| | |
| Also ist die Feldenergie keine Erhaltungsgröße !!
| |
| | |
| <u>'''Beispiel: '''</u> Ohmsches Gesetz:
| |
| | |
| <math>\sigma \cdot \bar{E}=\bar{j}</math>
| |
| mit der konstanten LEITFÄHIGKEIT
| |
| <math>\sigma >0</math>
| |
| ( nicht wie oben Oberflächenladungsdichte)
| |
| | |
| Das Ohmsche Gesetz ist ein phänomenologisches MATERIALGESETZ.
| |
| Es gilt in Metallen und Halbleitern für hinreichend kleine Felder
| |
| <math>\bar{E}</math>
| |
| | |
| Die Energiebilanz lautet:
| |
| | |
| <math>\frac{\partial }{\partial t}w+\nabla \cdot \bar{S}=-\sigma \cdot {{\bar{E}}^{2}}<0</math>
| |
| | |
| Das heißt: Es gibt stets den VERLUST von Feldenergie !
| |
| Eine Konsequenz des 2. Hauptsatz der Thermodynamik
| |
| Im Gegensatz zur Elektrodynamik ist das Ohmsche Gesetz also nicht zeitumkehrinvariant !
| |
| | |
| Das bedeutet:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & t\to -t \\
| |
| & \bar{j}\to -\bar{j} \\
| |
| & aber \\
| |
| & \bar{E}\to \bar{E} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <math>\sigma \cdot {{\bar{E}}^{2}}>0</math>
| |
| wird dann als Joulsche Wärme im Leiter dissipiert
| |
| | |
| <u>'''2. Beispiel:'''</u>
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| | |
| Antennenstrahlung ( offenes System)
| |
| | |
| <math>\bar{j}</math>
| |
| in der metallischen Antenne ist dem Wechselfeld
| |
| <math>\bar{E}</math>
| |
| außerhalb entgegengesetzt.
| |
| | |
| <math>\Rightarrow \bar{j}\bar{E}<0</math>
| |
| | |
| <math>\Rightarrow </math>
| |
| Energiegewinn des Feldes
| |
| | |
| <u>'''3.5 Impulsbilanz'''</u>
| |
| | |
| Aus den Maxwell Gleichungen folgt eine weitere Bilanzgleichung für den Impulstransport durch das elektromagnetische Feld:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \frac{\partial }{\partial t}\left( \bar{D}\times \bar{B} \right)=\dot{\bar{D}}\times \bar{B}+\bar{D}\times \dot{\bar{B}} \\
| |
| & \dot{\bar{D}}=\nabla \times \bar{H}-\bar{j} \\
| |
| & \dot{\bar{B}}=-\nabla \times \bar{E} \\
| |
| & \Rightarrow \frac{\partial }{\partial t}\left( \bar{D}\times \bar{B} \right)=-\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\times \left( \nabla \times \bar{B} \right)-\bar{j}\times \bar{B}-{{\varepsilon }_{o}}\bar{E}\times \left( \nabla \times \bar{E} \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Mittels
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{B}\times \left( \nabla \times \bar{B} \right)=\frac{1}{2}\nabla \left( \bar{B}\cdot \bar{B} \right)-\left( \bar{B}\cdot \nabla \right)\bar{B} \\
| |
| & \bar{B}\times \left( \nabla \times \bar{B} \right)=\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{B}\cdot \bar{B} \right)-\bar{B}\otimes \bar{B} \right\}+\bar{B}\left( \nabla \cdot \bar{B} \right)=\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{B}\cdot \bar{B} \right)-\bar{B}\otimes \bar{B} \right\} \\
| |
| & \bar{B}\left( \nabla \cdot \bar{B} \right)=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Dabei bezeichnet
| |
| <math>\left( 1 \right)</math>
| |
| den Einheitstensor 1. Stufe und
| |
| <math>\bar{B}\otimes \bar{B}</math>
| |
| das Tensorprodukt (dyadisches Produkt).
| |
| Außerdem ist
| |
| <math>\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{B}\cdot \bar{B} \right)-\bar{B}\otimes \bar{B} \right\}</math>
| |
| die Divergenz eines Tensors
| |
| <math>\left( T \right)</math>
| |
| zweiter Stufe.
| |
| In Komponenten gilt:
| |
| <math>{{\left( \nabla \cdot T \right)}_{\beta }}:={{\partial }_{\alpha }}{{T}_{\alpha }}_{\beta }</math>
| |
| | |
| Analog:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{E}\times \left( \nabla \times \bar{E} \right)=\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{E}\cdot \bar{E} \right)-\bar{E}\otimes \bar{E} \right\}+\bar{E}\left( \nabla \cdot \bar{E} \right)=\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{E}\cdot \bar{E} \right)-\bar{E}\otimes \bar{E} \right\}+\bar{E}\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\
| |
| & \Rightarrow \frac{\partial }{\partial t}\left( \bar{D}\times \bar{B} \right)+\nabla \cdot \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( {{\varepsilon }_{0}}{{E}^{2}}+\frac{1}{{{\mu }_{0}}}{{B}^{2}} \right)-{{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\otimes \bar{E}-\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\otimes \bar{B} \right\}=-\left( \bar{E}\rho +\bar{j}\times \bar{B} \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Dabei beschreibt
| |
| | |
| <math>\left( \bar{E}\rho +\bar{j}\times \bar{B} \right)</math>
| |
| den Kraftdichtefluß, der von den Feldern auf Ströme und Ladungen übertragen wird
| |
| | |
| Als Bilanzgleichung für den Impulstransport ergibt sich:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \frac{\partial }{\partial t}\bar{g}+\nabla \cdot \left( {\bar{\bar{T}}} \right)=-\left( \bar{E}\rho +\bar{j}\times \bar{B} \right) \\
| |
| & \bar{g}:=\left( \bar{D}\times \bar{B} \right) \\
| |
| & \left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( {{\varepsilon }_{0}}{{E}^{2}}+\frac{1}{{{\mu }_{0}}}{{B}^{2}} \right)-{{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\otimes \bar{E}-\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\otimes \bar{B} \right\}:=\left( {\bar{\bar{T}}} \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Dabei ist
| |
| | |
| <math>\bar{g}:=\left( \bar{D}\times \bar{B} \right)</math>
| |
| die Impulsdichte des Feldes.
| |
| Nach Newton gilt:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \frac{d}{dt}\bar{p}=\bar{F} \\
| |
| & \Rightarrow \frac{d}{dt}\bar{g}=\bar{f} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Es ergibt sich
| |
| | |
| <math>\left\{ \left( 1 \right)\frac{1}{2}\left( \bar{E}\cdot \bar{D}+\bar{B}\cdot \bar{H} \right)-\bar{E}\otimes \bar{D}-\bar{B}\otimes \bar{H} \right\}:=\left( {\bar{\bar{T}}} \right)</math>
| |
| | |
| Als der
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| IMPULSSTROMDICHTE- Tensor des Feldes ( Maxwellscher Spannungstensor)
| |
| | |
| in Komponenten:
| |
| | |
| <math>{{T}_{\alpha \beta }}=\left\{ {{\delta }_{\alpha \beta }}\frac{1}{2}\left( \bar{E}\cdot \bar{D}+\bar{B}\cdot \bar{H} \right)-{{{\bar{E}}}_{\alpha }}{{{\bar{D}}}_{\beta }}-{{{\bar{B}}}_{\alpha }}{{{\bar{H}}}_{\beta }} \right\}</math>
| |
| | |
| Dies ist die Stromrichtung der
| |
| <math>\beta </math>
| |
| - Komponente der Impulsdichte in
| |
| <math>\alpha </math>
| |
| - Richtung.
| |
| Eine Impulsdichte, die in eine feste Richtung weist wird somit entlang einer anderen Richtung transportiert !
| |
| | |
| <math>tr\left( {\bar{\bar{T}}} \right)={{T}_{\alpha \alpha }}=w</math>
| |
| Energiedichte
| |
| Außerdem ist T symmetrisch:
| |
| | |
| <math>{{T}_{\alpha \beta }}={{T}_{\beta \alpha }}</math>
| |
| | |
| Die komponentenweise Darstellung der Bilanzgleichung
| |
| | |
| <math>\frac{\partial }{\partial t}{{g}_{\beta }}+\frac{\partial }{\partial {{x}_{\alpha }}}{{T}_{\alpha \beta }}=-{{f}_{\beta }}</math>
| |
| | |
| beschriebt den Impulsaustausch zwischen Feld und geladenen Teilchen.
| |
| | |
| '''Bemerkung:'''
| |
| Eine analoge Bilanzgleichung gibt es für die Drehimpulsdichte des Feldes. Sie beschreibt den Drehimpulsaustausch zwischen Feld und geladenen Teilchen !
| |
| | |
| <u>'''3.6 Eichinvarianz'''</u>
| |
| | |
| Die Felder
| |
| <math>\bar{E},\bar{B}</math>
| |
| werden durch die Potenziale
| |
| <math>\Phi \left( \bar{r},t \right),\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| dargestellt.:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| & \bar{B}=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Dabei drängt sich die Frage auf, welche die allgemeinste Transformation
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \Phi \left( \bar{r},t \right)\to \Phi \acute{\ }\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| & \bar{A}\left( \bar{r},t \right)\to \bar{A}\acute{\ }\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| ist, welche die Felder E und B unverändert läßt.
| |
| | |
| Also:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\nabla \Phi \acute{\ }\left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\acute{\ }\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| & \bar{B}=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\nabla \times \bar{A}\acute{\ }\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| & \Rightarrow \bar{A}\acute{\ }\left( \bar{r},t \right)=\bar{A}\left( \bar{r},t \right)+\nabla G\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| & \Rightarrow -\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\nabla \Phi \acute{\ }\left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\left( \bar{A}\left( \bar{r},t \right)+\nabla G\left( \bar{r},t \right) \right) \\
| |
| & \Rightarrow \nabla \left( \Phi \acute{\ }\left( \bar{r},t \right)-\Phi \left( \bar{r},t \right)+\frac{\partial }{\partial t}G\left( \bar{r},t \right) \right)=0 \\
| |
| & \Rightarrow \left( \Phi \acute{\ }\left( \bar{r},t \right)-\Phi \left( \bar{r},t \right)+\frac{\partial }{\partial t}G\left( \bar{r},t \right) \right)=g(t)(r-unabh\ddot{a}ngig) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Mit
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & F\left( \bar{r},t \right):=G\left( \bar{r},t \right)-\int_{to}^{t}{dt\acute{\ }g(t\acute{\ })} \\
| |
| & \Rightarrow \bar{A}\acute{\ }\left( \bar{r},t \right)=\bar{A}\left( \bar{r},t \right)+\nabla F\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| & \Phi \acute{\ }\left( \bar{r},t \right)=\Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}F\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| mit eine völlig beliebigen Eichfunktion
| |
| <math>F\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| .
| |
| Alle physikalischen Aussagen müssen invariant sein ! Aber nicht nur
| |
| <math>\bar{E},\bar{B}</math>
| |
| sondern auch
| |
| <math>\Phi \left( \bar{r},t \right),\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| sind physikalisch relevant.
| |
| So muss auch
| |
| <math>\oint\limits_{\partial F}{d\bar{s}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\int_{F}^{{}}{d\bar{f}\bar{B}\left( \bar{r},t \right)=\Phi \left( \bar{r},t \right)}</math>
| |
| erfüllt sein.
| |
| | |
| Dies ist gewährleistet, wenn die Maxwellgleichungen erfüllt sind.
| |
| Durch
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| & \bar{B}=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| sind die '''homogenen '''Maxwellgleichungen bereits erfüllt:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \nabla \times \bar{E}=-\nabla \times \nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\
| |
| & \nabla \cdot \bar{B}=\nabla \cdot \left( \nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Auch die Umkehrung gilt:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \nabla \cdot \bar{B}=0 \\
| |
| & \Rightarrow \exists \bar{A}\left( \bar{r},t \right)\Rightarrow \nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\bar{B} \\
| |
| & \nabla \times \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}=-\nabla \times \frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)\Rightarrow \nabla \times \left( \bar{E}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)=0 \\
| |
| & \Rightarrow \exists \Phi \left( \bar{r},t \right)\Rightarrow \bar{E}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Wähle nun eine Eichung derart, dass die inhomogenen Maxwellgleichungen besonders einfach werden
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| | |
| Ziel: Entkopplung der DGLs für
| |
| <math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right),\Phi \left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| :
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| | |
| # <u>'''Lorentz- Eichung:'''</u>
| |
| | |
| <math>\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right)=0</math>
| |
| | |
| Genau dadurch werden die Feldgleichungen entkoppelt:
| |
| 1)
| |
| <math>\begin{align}
| |
| & -\nabla \cdot \bar{E}=\nabla \cdot \left( \nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)+\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\
| |
| & \Delta \Phi \left( \bar{r},t \right)+\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Was mit Hilfe der Lorentzeichung wird zu
| |
| | |
| <math>\Delta \Phi \left( \bar{r},t \right)-{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}</math>
| |
| | |
| '''Für A:'''
| |
| 2)
| |
| <math>\begin{align}
| |
| & \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\nabla \times \bar{B}-{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E}=\bar{j} \\
| |
| & \Rightarrow \nabla \times \left( \nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\left( \nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)+\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)={{\mu }_{0}}\bar{j} \\
| |
| & \nabla \times \left( \nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)=+\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)-\Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| & \Rightarrow \Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right) \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Was mit der Lorentz- Eichung
| |
| | |
| <math>\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right)=0</math>
| |
| | |
| wird zu
| |
| | |
| <math>\Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j}</math>
| |
| | |
| Dies kann in Viererschreibweise mit dem dÁlembertschen Operator # mit
| |
| | |
| <math>\#:=\Delta -\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}</math>
| |
| | |
| zusammengefasst werden:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \#\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\
| |
| & \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Dies sind die inhomogenen Wellengleichungen für die Potenziale ( entkoppelt mittels Lorentz- Eichung)
| |
| Es ergibt sich im SI- System:
| |
| | |
| <math>\frac{1}{\sqrt{{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}}}:=c=2,994\cdot {{10}^{8}}\frac{m}{s}</math>
| |
| als Lichtgeschwindigkeit
| |
| | |
| Dies ist einfach die ermittelte Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen im Vakuum !
| |
| | |
| <u>'''Coulomb- Eichung'''</u>
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| | |
| ( sogenannte Strahlungseichung):
| |
| | |
| <math>\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=0</math>
| |
| | |
| Vergleiche Kapitel 2.3 ( Magnetostatik):
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| Für
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \dot{\bar{D}}=0 \\
| |
| & \Rightarrow \nabla \times \bar{B}=\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A} \right)-\Delta \bar{A}={{\mu }_{0}}\bar{j} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| (Poissongleichung der Magnetostatik)
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| | |
| <u>'''Zerlegung in longitudinale und transversale Anteile :'''</u>
| |
| | |
| Allgemein kann man
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| | |
| <math>\bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| | |
| in ein wirbelfreies Longitudinalfeld:
| |
| | |
| <math>{{\bar{E}}_{l}}:=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| | |
| und ein quellenfreies Transversalfeld
| |
| | |
| <math>{{\bar{E}}_{t}}=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| | |
| zerlegen.
| |
| | |
| Tatsächlich gilt:
| |
| | |
| <math>\nabla \times {{\bar{E}}_{l}}:=-\nabla \times \left( \nabla \Phi \left( \bar{r},t \right) \right)=0</math>
| |
| | |
| <math>\nabla \cdot {{\bar{E}}_{t}}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=0</math>
| |
| | |
| Da
| |
| <math>\bar{B}</math>
| |
| quellenfrei ist, ist B auch immer transversal:
| |
| | |
| <math>\nabla \cdot \bar{B}:=\nabla \cdot \left( \nabla \times \bar{A} \right)=0</math>
| |
| | |
| Also:
| |
| | |
| <math>\Phi \left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| ergibt die longitudinalen Felder und
| |
| | |
| <math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| die transversalen Felder.
| |
| | |
| Merke: Felder , die Rotation eines Vektorfeldes sind ( Vektorpotenzials) sind grundsätzlich transversaler Natur. (Divergenz verschwindet). Divergenzfelder ( als Gradienten eines Skalars) sind immer longitudinal ! ( Rotation verschwindet).
| |
| | |
| <u>'''Zerlegung der Stromdichte:'''</u>
| |
| | |
| <math>\bar{j}={{\bar{j}}_{l}}+{{\bar{j}}_{t}}</math>
| |
| | |
| mit
| |
| | |
| <math>\nabla \times {{\bar{j}}_{l}}=0</math>
| |
| | |
| <math>\nabla \cdot {{\bar{j}}_{t}}=0</math>
| |
| | |
| Mit
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \frac{\partial }{\partial t}\rho +\nabla \cdot {{{\bar{j}}}_{l}}+\nabla \cdot {{{\bar{j}}}_{t}}=0 \\
| |
| & \rho ={{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot {{{\bar{E}}}_{l}} \\
| |
| & \nabla \cdot {{{\bar{j}}}_{t}}=0 \\
| |
| & \Rightarrow \nabla \cdot \left( {{{\bar{j}}}_{l}}+{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{E}}}_{l}} \right)=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Außerdem gilt nach der Definition von longitudinal:
| |
| | |
| <math>\nabla \times \left( {{{\bar{j}}}_{l}}+{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{E}}}_{l}} \right)=0</math>
| |
| | |
| Also:
| |
| | |
| <math>\left( {{{\bar{j}}}_{l}}+{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{E}}}_{l}} \right)=const</math>
| |
| | |
| Da beide Felder aber für r-> 0 verschwinden folgt:
| |
| | |
| <math>\left( {{{\bar{j}}}_{l}}+{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{E}}}_{l}} \right)=0</math>
| |
| | |
| Also:
| |
| | |
| <math>{{\bar{j}}_{l}}={{\varepsilon }_{0}}\nabla \frac{\partial \Phi }{\partial t}</math>
| |
| | |
| Also:
| |
| Die Feldgleichungen
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \Delta \Phi +\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\
| |
| & \nabla \cdot \bar{A}=0 \\
| |
| & \Rightarrow \Delta \Phi =-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| und
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right) \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\
| |
| & \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=0 \\
| |
| & \nabla {{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right)={{{\bar{j}}}_{l}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| erhalten dann die Form:
| |
| | |
| <math>\Delta \Phi =-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}</math>
| |
| | |
| und
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}{{{\bar{j}}}_{t}} \\
| |
| & \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| In der Coulomb- Eichung !
| |
| Also.
| |
| | |
| <math>\Delta \Phi =-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}</math>
| |
| : longitudinale Felder entsprechend der Elektrostatik
| |
| | |
| <math>\#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}{{\bar{j}}_{t}}</math>
| |
| als transversale Felder entsprechend elektromagnetischen Wellen.
| |
| | |
| Das bedeutet : Die Coulombeichung ist zweckmäßig bei Strahlungsproblemen !
| |
| | |
| Sie liefert eine Poissongleichung für
| |
| <math>\Phi </math>
| |
| und eine Wellengleichung für
| |
| <math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| .
| |
| <u>'''4. Elektromagnetische Wellen'''</u>
| |
| | |
| Im statischen Fall sind die Felder
| |
| <math>\bar{E},\bar{B}</math>
| |
| entkoppelt.
| |
| Im dynamischen Fall jedoch sind
| |
| <math>\bar{E},\bar{B}</math>
| |
| über den Verschiebungsstrom
| |
| | |
| <math>\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\nabla \times \bar{B}-\bar{j}={{\varepsilon }_{0}}\dot{\bar{E}}</math>
| |
| | |
| | |
| und über das Induktionsgesetz
| |
| | |
| <math>\nabla \times \bar{E}=-\dot{\bar{B}}</math>
| |
| gekoppelt !
| |
| | |
| | |
| Dies bestimmt die Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen !
| |
| | |
| <u>'''4.1 Freie Wellenausbreitung im Vakuum'''</u>
| |
| | |
| Betrachte einen Raumbereich ohne Quellen:
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| | |
| <math>\rho =0</math>
| |
| | |
| <math>\bar{j}=0</math>
| |
| | |
| Damit:
| |
| | |
| <math>\#\Phi =-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\rho =0\Rightarrow \#\Phi =0</math>
| |
| | |
| <math>\#\bar{A}=-{{\mu }_{0}}\bar{j}=0\Rightarrow \#\bar{A}=0</math>
| |
| | |
| Dies sind die homogenen Wellengleichungen in Lorentz- Eichung
| |
| | |
| Wegen
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| & \bar{B}=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| gilt auch
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \#\bar{E}=0 \\
| |
| & \#\bar{B}=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Dies folgt auch direkt aus
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \nabla \times \bar{B}={{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\dot{\bar{E}} \\
| |
| & \nabla \times \bar{E}=-\dot{\bar{B}} \\
| |
| & \Rightarrow mit\quad \nabla \cdot \bar{E}=0 \\
| |
| & \left( \Delta -{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}} \right)\bar{E}=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <u>'''Allgemeine Lösung '''</u>von
| |
| <math>u(\bar{r},t)=0</math>
| |
| :
| |
| | |
| <math>u(\bar{r},t)=F(\bar{k}\bar{r}-\varpi t)</math>
| |
| | |
| mit einer beliebigen , zweifach diffbaren Funktion
| |
| <math>F(\phi )</math>
| |
| und
| |
| <math>\varpi =c\left| {\bar{k}} \right|</math>
| |
| ( dÁlembertsche Lösung)
| |
| Beweis:
| |
| | |
| <math>\#F(\bar{k}\bar{r}-\varpi t)=\left( {{{\bar{k}}}^{2}}-\frac{{{\varpi }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)F\acute{\ }\acute{\ }\left( \phi \right)=0</math>
| |
| | |
| Nebenbemerkung:
| |
| <math>F(\phi )</math>
| |
| muss nicht periodisch in
| |
| <math>\phi </math>
| |
| sein !
| |
| Gegenbeispiel sind solitäre Lösungen / solitäre Wellen = Solitonen :
| |
| | |
| | |
| Der Wellenvektor
| |
| <math>\bar{k}</math>
| |
| zeigt in Ausbreitungsrichtung:
| |
| | |
| | |
| Es gilt:
| |
| <math>\nabla \phi (\bar{r},t)=\bar{k}</math>
| |
| | |
| Die markierten Flächen sind sogenannte Phasenflächen. Dies sind Flächen konstanter Phase:
| |
| | |
| <math>\bar{k}\bar{r}-\varpi t=\phi (\bar{r},t)=const!</math>
| |
| | |
| Somit ergibt sich für ebene Wellen die Bedingung:
| |
| | |
| <math>\bar{k}\left( \bar{r}-\frac{1}{{{k}^{2}}}\bar{k}\left( \varpi t+\phi \right) \right)=0</math>
| |
| | |
| Die Ausbreitung der Orte konstanter Phase folgt der Bedingung:
| |
| | |
| <math>\bar{r}(t)=\frac{1}{{{k}^{2}}}\bar{k}\left( \varpi t+\phi \right)</math>
| |
| | |
| Somit ergibt sich die Phasengeschwindigkeit
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{v}_{ph}}=\left. \frac{d\bar{r}(t)}{dt} \right|_{\phi =const}^{{}}=\frac{{\bar{k}}}{{{k}^{2}}}\varpi =c\frac{{\bar{k}}}{k} \\
| |
| & \frac{{\bar{k}}}{k}:=\bar{n} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| spezielle Lösung: Harmonische Ebene Welle
| |
| | |
| <math>u(\bar{r},t)=\tilde{u}(\bar{k}){{e}^{i(\bar{k}\bar{r}-\varpi t)}}</math>
| |
| | |
| mit der komplexen Amplitude
| |
| | |
| <math>\tilde{u}(\bar{k})</math>
| |
| | |
| Die lineare Superposition der Wellen ist wegen der Linearität möglich und lautet formal für die allgemeine Dispersionsrelation
| |
| <math>\varpi (\bar{k})</math>
| |
| | |
| <math>u(\bar{r},t)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}k}\tilde{u}(\bar{k}){{e}^{i(\bar{k}\bar{r}-\varpi (\bar{k})t)}}</math>
| |
| | |
| Literatur: Vergleiche FK Brillouin, L. Wave propagation and group velocity
| |
| | |
| Sei
| |
| | |
| <math>\tilde{u}(\bar{k})</math>
| |
| um
| |
| <math>{{\bar{k}}_{0}}</math>
| |
| herum lokalisiert:
| |
| | |
| So ergibt sich ein '''Wellenpaket ''', welches im Ortsraum lokalisiert ist !
| |
| | |
| Denn: Die Taylorentwicklung der Phase um
| |
| <math>{{\bar{k}}_{0}}</math>
| |
| ergibt
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \varpi (\bar{k})\approx \varpi ({{{\bar{k}}}_{0}})+\left( \bar{k}-{{{\bar{k}}}_{0}} \right){{\nabla }_{k}}\varpi (\bar{k}){{\left. {} \right|}_{\bar{k}={{{\bar{k}}}_{0}}}}+\frac{1}{2!}{{\left( \bar{k}-{{{\bar{k}}}_{0}} \right)}^{2}}{{\left( {{\nabla }_{k}} \right)}^{2}}\varpi (\bar{k}){{\left. {} \right|}_{\bar{k}={{{\bar{k}}}_{0}}}}+... \\
| |
| & {{\nabla }_{k}}\varpi (\bar{k}){{\left. {} \right|}_{\bar{k}={{{\bar{k}}}_{0}}}}={{{\bar{v}}}_{g}} \\
| |
| & \varpi (\bar{k})\approx \varpi ({{{\bar{k}}}_{0}})+\left( \bar{k}-{{{\bar{k}}}_{0}} \right){{{\bar{v}}}_{g}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Diese lineare Näherung ergibt nun gerade
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & u(\bar{r},t)={{e}^{i({{{\bar{k}}}_{0}}\bar{r}-{{\varpi }_{0}}t)}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}\tilde{k}}\tilde{u}({{{\bar{k}}}_{0}}+\tilde{\bar{k}}){{e}^{i\tilde{\bar{k}}(\bar{r}-{{{\bar{v}}}_{g}}t)}} \\
| |
| & \tilde{\bar{k}}=\bar{k}-{{{\bar{k}}}_{0}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Dies ist zu interpretieren als
| |
| | |
| <math>{{e}^{i({{{\bar{k}}}_{0}}\bar{r}-{{\varpi }_{0}}t)}}</math>
| |
| eine Trägerwelle mit der Phasengschwindigkeit
| |
| <math>{{\bar{v}}_{ph}}=\frac{{{\varpi }_{0}}}{{{k}_{0}}}</math>
| |
| | |
| <math>\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}\tilde{k}}\tilde{u}({{\bar{k}}_{0}}+\tilde{\bar{k}}){{e}^{i\tilde{\bar{k}}(\bar{r}-{{{\bar{v}}}_{g}}t)}}</math>
| |
| als Einhüllende, deren Maximum sich mit der Gruppengeschwindigkeit
| |
| | |
| <math>{{\bar{v}}_{g}}={{\nabla }_{k}}\varpi \left( {\bar{k}} \right)</math>
| |
| bewegt:
| |
| | |
| | |
| Wir erhalten die Dispersionsrelation
| |
| <math>\varpi \left( {\bar{k}} \right)</math>
| |
| | |
| elektromagnetische Wellen im Vakuum:
| |
| <math>\varpi \left( {\bar{k}} \right)=c\left| {\bar{k}} \right|\Rightarrow {{\bar{v}}_{g}}=c\frac{{\bar{k}}}{\left| {\bar{k}} \right|}={{\bar{v}}_{ph}}=\frac{1}{\sqrt{{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}}}\bar{n}</math>
| |
| | |
| es gibt also keine Dispersion ( kein zerfließen!)
| |
| | |
| Im Gegensatz zu elektromagentischen Wellen in dispersiven Medien oder quantenmechanischen Materiewellen im Vakuum !
| |
| | |
| <u>'''Polarisation'''</u>
| |
| | |
| Betrachte eine elektromagnetische Welle:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{E}(\bar{r},t)={{{\bar{E}}}_{0}}{{e}^{i(\bar{k}\bar{r}-\varpi t)}} \\
| |
| & \bar{B}(\bar{r},t)={{{\bar{B}}}_{0}}{{e}^{i(\bar{k}\bar{r}-\varpi t)}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Allgemein gilt:
| |
| | |
| <math>\bar{E}(\bar{r},t)</math>
| |
| heißt transversal, wenn
| |
| <math>\nabla \cdot \bar{E}(\bar{r},t)=0</math>
| |
| ( quellenfrei)
| |
| | |
| <math>\Rightarrow i\bar{k}\cdot \bar{E}(\bar{r},t)=0\Rightarrow \bar{k}\bot \bar{E}(\bar{r},t)</math>
| |
| | |
| <math>\bar{E}(\bar{r},t)</math>
| |
| heißt longitudinal, wenn
| |
| <math>\nabla \times \bar{E}(\bar{r},t)=0</math>
| |
| ( wirbelfrei)
| |
| | |
| <math>\Rightarrow i\bar{k}\times \bar{E}(\bar{r},t)=0\Rightarrow \bar{k}||\bar{E}(\bar{r},t)</math>
| |
| | |
| Für
| |
| <math>\rho =0</math>
| |
| ist wegen
| |
| <math>\nabla \cdot \bar{E}(\bar{r},t)=0</math>
| |
| das elektrische Feld transversal.
| |
| Wegen
| |
| <math>\nabla \cdot \bar{B}(\bar{r},t)=0</math>
| |
| ist das magnetische Feld stets transversal !
| |
| | |
| Weiter folgt aus:
| |
| | |
| <math>\nabla \times \bar{E}(\bar{r},t)+\dot{\bar{B}}=0</math>
| |
| | |
| dass die transversale Komponente des elektrischen Feldes durch die zeitliche Änderung des Magnetfeldes gegeben ist !
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \nabla \times \bar{E}(\bar{r},t)+\dot{\bar{B}}=0 \\
| |
| & \Rightarrow \left( i\bar{k}\times {{{\bar{E}}}_{0}}-i\varpi {{{\bar{B}}}_{0}} \right){{e}^{i\left( \bar{k}\bar{r}-\varpi t \right)}}=0 \\
| |
| & \varpi =c\left| {\bar{k}} \right| \\
| |
| & \Rightarrow {{{\bar{B}}}_{0}}=\frac{1}{c}\frac{{\bar{k}}}{\left| {\bar{k}} \right|}\times {{{\bar{E}}}_{0}}:=\frac{1}{c}\bar{n}\times {{{\bar{E}}}_{0}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Folglich bilden
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| <math>\bar{k},{{\bar{E}}_{0}},{{\bar{B}}_{0}}</math>
| |
| ein Rechtssystem !
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| | |
| Die Richtung von
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| <math>\operatorname{Re}\left\{ {{{\bar{E}}}_{0}},{{{\bar{B}}}_{0}} \right\}</math>
| |
| legt die Polarisation fest:
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| | |
| Sei
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| <math>\bar{k}||{{\bar{e}}_{3}}</math>
| |
| - Achse, also:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{{\bar{E}}}_{0}}={{E}_{01}}{{{\bar{e}}}_{1}}+{{E}_{02}}{{{\bar{e}}}_{2}} \\
| |
| & {{E}_{0i}}={{a}_{i}}{{e}^{i{{\delta }_{i}}}}\in C \\
| |
| & {{a}_{i}},{{\delta }_{i}}\in R \\
| |
| & i=1,2 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Das physikalische Feld ergibt sich zu
| |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{{\bar{E}}}_{1}}(\bar{r},t)=\operatorname{Re}\left\{ {{a}_{1}}{{e}^{i\left( {{\delta }_{1}}+\bar{k}\bar{r}-\varpi t \right)}} \right\}={{a}_{1}}\cos \left( \phi +{{\delta }_{1}} \right) \\
| |
| & \phi :=\bar{k}\bar{r}-\varpi t \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| und
| |
| | |
| <math>{{\bar{E}}_{2}}(\bar{r},t)=\operatorname{Re}\left\{ {{a}_{2}}{{e}^{i\left( {{\delta }_{2}}+\phi \right)}} \right\}={{a}_{2}}\cos \left( \phi +{{\delta }_{2}} \right)</math>
| |
| | |
| Aus
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \frac{{{{\bar{E}}}_{1}}}{{{a}_{1}}}(\bar{r},t)=\cos \phi \cos {{\delta }_{1}}-\sin \phi \sin {{\delta }_{1}} \\
| |
| & \frac{{{{\bar{E}}}_{2}}}{a2}(\bar{r},t)=\cos \phi \cos {{\delta }_{2}}-\sin \phi \sin {{\delta }_{2}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Kann
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| <math>\phi </math>
| |
| und somit
| |
| <math>\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| eliminiert werden:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \frac{{{{\bar{E}}}_{1}}}{{{a}_{1}}}\sin {{\delta }_{2}}-\frac{{{{\bar{E}}}_{2}}}{a2}\sin {{\delta }_{1}}=\cos \phi \sin \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right) \\
| |
| & \frac{{{{\bar{E}}}_{1}}}{{{a}_{1}}}\cos {{\delta }_{2}}-\frac{{{{\bar{E}}}_{2}}}{a2}\cos {{\delta }_{1}}=\sin \phi \sin \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right) \\
| |
| & \Rightarrow {{1}^{2}}+{{2}^{2}}\Rightarrow {{\left( \frac{{{{\bar{E}}}_{1}}}{{{a}_{1}}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{{\bar{E}}}_{2}}}{a2} \right)}^{2}}-2\frac{{{{\bar{E}}}_{1}}}{{{a}_{1}}}\frac{{{{\bar{E}}}_{2}}}{a2}\cos \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right)={{\sin }^{2}}\left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Dies ist jedoch eine Ellipsengleichung für
| |
| <math>{{\bar{E}}_{1}},{{\bar{E}}_{2}}</math>
| |
| :
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| | |
| Der Feldvektor
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| <math>\bar{E}(\bar{r},t)</math>
| |
| läuft als Funktion von
| |
| <math>\phi </math>
| |
| auf einer Ellipse senkrecht zu
| |
| <math>\bar{k}</math>
| |
| um die Achse der Ausbreitungsrichtung. Man spricht von elliptischer Polarisation:
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| | |
| | |
| Dabei entspricht die Darstellung dem Ortsvektor
| |
| <math>\bar{r}</math>
| |
| für eine feste Zeit t oder der vorhergehenden zeit -t für einen festen Ort
| |
| <math>\bar{r}</math>
| |
| .
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| | |
| <u>'''Spezialfälle:'''</u>
| |
| | |
| <u>'''Linear polarisierte Welle:'''</u>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{\delta }_{1}}={{\delta }_{2}}+n\pi \Rightarrow \sin \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right)=0,\cos \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right)=\pm 1 \\
| |
| & \Rightarrow \frac{{{{\bar{E}}}_{1}}}{{{a}_{1}}}\pm \frac{{{{\bar{E}}}_{2}}}{a2}=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Dies ist jedoch eine Geradengleichung:
| |
| | |
| <math>\bar{E}(\bar{r},t)={{\bar{E}}_{0}}\cos \phi (\bar{r},t)</math>
| |
| | |
| mit reeller Amplitude
| |
| | |
| <math>{{\bar{E}}_{0}}</math>
| |
| | |
| <u>'''Zirkular polarisierte Welle'''</u>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & a1=a2=a \\
| |
| & {{\delta }_{1}}={{\delta }_{2}}+\left( 2n+1 \right)\frac{\pi }{2}\Rightarrow \sin \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right)=\pm 1,\cos \left( {{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}} \right)=0 \\
| |
| & \Rightarrow {{{\bar{E}}}_{1}}^{2}+{{{\bar{E}}}_{2}}^{2}={{a}^{2}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Dies entspricht der Überlagerung zweier linear polarisierter Wellen, die um
| |
| <math>\frac{\pi }{2}</math>
| |
| phasenverschoben sind !
| |
| Der Feldvektor des elektrischen Feldes läuft auf einem Kreis um
| |
| | |
| <math>\bar{E}(\bar{r},t)=a\left( \begin{matrix}
| |
| \cos \phi \\
| |
| \pm \sin \phi \\
| |
| \end{matrix} \right)</math>
| |
| | |
| Je nach Vorzeichen spricht man von links- bzw. rechtszirkular polarisiertem Licht:
| |
| | |
| Dabei läuft
| |
| <math>\bar{B}(\bar{r},t)</math>
| |
| dem
| |
| <math>\bar{E}(\bar{r},t)</math>
| |
| - Vektor um
| |
| <math>\frac{\pi }{2}</math>
| |
| verschoben nach bzw. voraus !
| |
| | |
| <u>'''Energiedichte der elektromagnetischen Welle:'''</u>
| |
| | |
| <math>{{\bar{E}}_{0}}(\bar{r},t)</math>
| |
| reell:
| |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{E}(\bar{r},t)={{{\bar{E}}}_{0}}\cos \left( \bar{k}\bar{r}-\varpi t \right) \\
| |
| & \bar{B}(\bar{r},t)={{{\bar{B}}}_{0}}\cos \left( \bar{k}\bar{r}-\varpi t \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| mit
| |
| | |
| <math>{{\bar{B}}_{0}}=\frac{1}{c}\bar{n}\times {{\bar{E}}_{0}}</math>
| |
| | |
| Die Energiedichte ergibt sich gemäß
| |
| | |
| <math>w=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{\bar{E}}^{2}}+\frac{1}{2{{\mu }_{0}}}{{\bar{B}}^{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{\bar{E}}^{2}}+\frac{1}{2{{\mu }_{0}}{{c}^{2}}}{{\bar{E}}^{2}}=2\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{\bar{E}}^{2}}</math>
| |
| | |
| Für die Energiestromdichte gilt:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{S}=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{E}\times \bar{B} \\
| |
| & \bar{S}=\frac{1}{c{{\mu }_{0}}}\bar{E}\times \left( \bar{n}\times \bar{E} \right)=\sqrt{\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{{{\mu }_{0}}}}{{{\bar{E}}}^{2}}\bar{n}=c{{\varepsilon }_{0}}{{{\bar{E}}}^{2}}\bar{n}=cw\bar{n} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Also:
| |
| Die Energie wird mit Lichtgeschwindigkeit in Richtung
| |
| <math>\bar{n}=\frac{{\bar{k}}}{\left| {\bar{k}} \right|}</math>
| |
| transportiert
| |
| Für ine Kugelwelle:
| |
| <math>\bar{E}(\bar{r},t)=\frac{1}{r}{{\bar{E}}_{0}}\cos \left( \bar{k}\bar{r}-\varpi t \right)</math>
| |
| verteilt sich die Energie auf eine Kugelschale:
| |
| | |
| für die Energie in einer Kugelschale mit dem Radius r und der Dicke dr gilt:
| |
| | |
| <math>W(r)=4\pi {{r}^{2}}dr{{\varepsilon }_{0}}{{\bar{E}}^{2}}(\bar{r},t)</math>
| |
| | |
| Dabei kann der Exponent der Feldfunktion zeitlich gemittelt werden ( sinus²) und es ergibt sich ein Faktor 1/2:
| |
| | |
| <math>W(r)=4\pi {{r}^{2}}dr{{\varepsilon }_{0}}{{\bar{E}}^{2}}(\bar{r},t)=2\pi {{r}^{2}}dr{{\varepsilon }_{0}}\frac{{{{\bar{E}}}_{0}}^{2}}{{{r}^{2}}}=const.</math>
| |
| | |
| *# <u>'''Retardierte Potenziale'''</u>
| |
| | |
| <u>'''Aufgabe'''</u>
| |
| Lösung der inhomogenen Wellengleichungen in Lorentz- Eichung:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \#\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\
| |
| & \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| zu vorgegebenen erzeugenden Quellen
| |
| <math>\rho \left( \bar{r},t \right),\bar{j}\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| und Randbedingungen
| |
| <math>\Phi \left( \bar{r},t \right),\bar{A}\left( \bar{r},t \right)\to 0f\ddot{u}r\quad \bar{r}\to \infty </math>
| |
| | |
| <u>'''Methode: Greensche Funktion verwenden:'''</u>
| |
| | |
| <math>G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ } \right)</math>
| |
| | |
| '''In der Elektrodynamik:'''
| |
| | |
| <math>\#u\left( \bar{r},t \right)=-f\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| | |
| mit
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & u\left( \bar{r},t \right):=\Phi \left( \bar{r},t \right),\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| & f\left( \bar{r},t \right)=\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}},{{\mu }_{0}}\bar{j} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Fourier- Trafo:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{{\hat{\#}}}^{-1}}:=-\hat{G} \\
| |
| & \Rightarrow \hat{u}\left( \bar{k},\omega \right)=\hat{G}\hat{f}\left( \bar{k},\omega \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Rück- Trafo:
| |
| es folgt schließlich:
| |
| | |
| <math>u\left( \bar{r},t \right)=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\int_{-\infty }^{\infty }{dt\acute{\ }}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ } \right)f\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right)</math>
| |
| | |
| mit
| |
| | |
| <math>\#G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ } \right)=-\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\delta \left( t-t\acute{\ } \right)</math>
| |
| | |
| '''Vergleiche: Elektrostatik:'''
| |
| | |
| <math>\Delta \Phi \left( {\bar{r}} \right)=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\rho \left( {\bar{r}} \right)</math>
| |
| | |
| Fourier- Trafo:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{\Delta }^{-1}}:=-\hat{G} \\
| |
| & \Rightarrow \hat{\Phi }\left( {\bar{k}} \right)=\hat{G}\hat{\rho } \\
| |
| & \hat{G}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}{{k}^{2}}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Rück- Trafo:
| |
| es folgt schließlich:
| |
| | |
| <math>\Phi \left( {\bar{r}} \right)=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)</math>
| |
| | |
| mit
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\
| |
| & \Delta G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| '''Kausalitätsbedingung:'''
| |
| | |
| <math>G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ } \right)=0</math>
| |
| | |
| für t<t´
| |
| | |
| Somit kann
| |
| | |
| <math>u\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| nur von
| |
| <math>f\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right)</math>
| |
| mit t´ < t beeinflusst werden
| |
| | |
| <u>'''Fourier- Transformation:'''</u>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & f\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{{{\left( 2\pi \right)}^{2}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}q\int_{-\infty }^{\infty }{d\omega }}\hat{f}\left( \bar{q},\omega \right){{e}^{i\left( \bar{q}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
| |
| & \hat{f}\left( \bar{q},\omega \right)=\frac{1}{{{\left( 2\pi \right)}^{2}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\int_{-\infty }^{\infty }{dt}}f\left( \bar{r},t \right){{e}^{-i\left( \bar{q}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Ebenso:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & u\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{{{\left( 2\pi \right)}^{2}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}q\int_{-\infty }^{\infty }{d\omega }}\hat{u}\left( \bar{q},\omega \right){{e}^{i\left( \bar{q}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
| |
| & \Rightarrow \#u\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{{{\left( 2\pi \right)}^{2}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}q\int_{-\infty }^{\infty }{d\omega }}\hat{u}\left( \bar{q},\omega \right)\#{{e}^{i\left( \bar{q}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
| |
| & \#{{e}^{i\left( \bar{q}\bar{r}-\omega t \right)}}=-\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right){{e}^{i\left( \bar{q}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Aber es gilt:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \#u\left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{{{\left( 2\pi \right)}^{2}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}q\int_{-\infty }^{\infty }{d\omega }}\hat{f}\left( \bar{q},\omega \right){{e}^{i\left( \bar{q}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
| |
| & \Rightarrow \left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)\hat{u}\left( \bar{q},\omega \right)=\hat{f}\left( \bar{q},\omega \right) \\
| |
| & \Rightarrow \hat{u}\left( \bar{q},\omega \right)=\frac{\hat{f}\left( \bar{q},\omega \right)}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)} \\
| |
| & \Rightarrow \hat{G}=\frac{1}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| '''Rücktransformation:'''
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & u\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{{{\left( 2\pi \right)}^{4}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}q\int_{-\infty }^{\infty }{d\omega }}\frac{{{e}^{i\left( \bar{q}\bar{r}-\omega t \right)}}}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\int_{-\infty }^{\infty }{dt}}\acute{\ }f\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right){{e}^{-i\left( \bar{q}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
| |
| & u\left( \bar{r},t \right)=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\int_{-\infty }^{\infty }{dt}}\acute{\ }\left\{ \frac{1}{{{\left( 2\pi \right)}^{4}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}q\int_{-\infty }^{\infty }{d\omega }}\frac{{{e}^{i\bar{q}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)-i\omega \left( t-t\acute{\ } \right)}}}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)} \right\}f\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right) \\
| |
| & \Rightarrow \frac{1}{{{\left( 2\pi \right)}^{4}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}q\int_{-\infty }^{\infty }{d\omega }}\frac{{{e}^{i\bar{q}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)-i\omega \left( t-t\acute{\ } \right)}}}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)}=G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ } \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Dieses Integral hat jedoch 2 Polstellen im Integrationsbereich. Es kann nur durch Anwendung des Residuensatz (komplexe Integration) gelöst werden.
| |
| | |
| <u>'''Berechnung der Greens- Funktion durch komplexe Integration'''</u>
| |
| | |
| für
| |
| <math>\omega =\pm cq</math>
| |
| gibt es Polstellen.
| |
| Die Greensche Funktion wird eindeutig, indem der Integrationsweg um die Pole herum festgelegt wird:
| |
| | |
| | |
| Der obere Integrationsweg wird durch
| |
| <math>\tau <0</math>
| |
| charakterisiert, der untere Integrationsweg durch
| |
| <math>\tau >0</math>
| |
| .
| |
| Dabei:
| |
| <math>\tau =t-t\acute{\ }</math>
| |
| | |
| '''Das Integral über den Halbkreis:'''
| |
| | |
| '''Oberer Halbkreis:'''
| |
| <math>\tau <0</math>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \omega =R\cdot {{e}^{i\phi }}\quad 0\le \phi \le \pi \\
| |
| & d\omega =R\cdot {{e}^{i\phi }}id\phi \\
| |
| & \left| {{e}^{-i\omega \tau }} \right|={{e}^{R\sin \phi \tau }} \\
| |
| & \sin \phi >0 \\
| |
| & \tau <0 \\
| |
| & \Rightarrow \begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| R\to \infty \\
| |
| \end{matrix}{{e}^{R\sin \phi \tau }}=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| '''Unterer Halbkreis:'''
| |
| <math>\tau >0</math>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \omega =R\cdot {{e}^{i\phi }}\quad \pi \le \phi \le 2\pi \\
| |
| & d\omega =R\cdot {{e}^{i\phi }}id\phi \\
| |
| & \left| {{e}^{-i\omega \tau }} \right|={{e}^{R\sin \phi \tau }} \\
| |
| & \sin \phi <0 \\
| |
| & \tau >0 \\
| |
| & \Rightarrow \begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| R\to \infty \\
| |
| \end{matrix}{{e}^{R\sin \phi \tau }}=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Somit verschwinden die Beiträge aus den Kreisbögen und wir können für das problematische Integral schreiben:
| |
| | |
| <math>\Gamma (\bar{q},\tau ):=\int_{-\infty }^{\infty }{d\omega }\frac{{{e}^{-i\omega \tau }}}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)}=\oint\limits_{C}{d\omega }\frac{{{e}^{-i\omega \tau }}}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)}=2\pi i\sum\limits_{Pole}^{{}}{{}}\operatorname{Re}s\frac{{{e}^{-i\omega \tau }}}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)}</math>
| |
| | |
| ( Residuensatz)
| |
| | |
| Für
| |
| <math>\tau <0</math>
| |
| liegen jedoch gar keine Pole im Integrationsgebiet C
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \Rightarrow \Gamma (\bar{q},\tau )=0 \\
| |
| & \Rightarrow G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ } \right)=0:=G\left( \bar{s},\tau \right)=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| für t<t´
| |
| | |
| Dies ist die Kausalitätsbedingung.
| |
| | |
| Für
| |
| <math>\tau >0</math>
| |
| :
| |
| | |
| <math>\Gamma (\bar{q},\tau )=-2\pi i\sum\limits_{\omega =\pm cq}^{{}}{{}}\operatorname{Re}s\frac{{{e}^{-i\omega \tau }}}{\frac{1}{{{c}^{2}}}\left( \omega -cq \right)\left( \omega +cq \right)}</math>
| |
| | |
| Das Minuszeichen kommt daher, dass der Umlauf im mathematisch negativen Sinn erfolgt:
| |
| | |
| <math>\oint\limits_{C}{dz}f(z)=2\pi i\sum\limits_{Pole}^{{}}{{}}\operatorname{Re}sf(z)</math>
| |
| ,
| |
| | |
| falls das Ringintegral gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen wird. Hier jedoch wird es im Uhrzeigersinn durchlaufen !
| |
| | |
| <math>\Gamma (\bar{q},\tau )=2\pi i{{c}^{2}}\left( \frac{{{e}^{-icq\tau }}}{2cq}+\frac{{{e}^{icq\tau }}}{-2cq} \right)</math>
| |
| | |
| <math>G(\bar{s},\tau )=\frac{c}{{{\left( 2\pi \right)}^{3}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}q{{e}^{i\bar{q}\bar{s}}}\left( \frac{{{e}^{-icq\tau }}-{{e}^{icq\tau }}}{-2iq} \right)</math>
| |
| | |
| Die Auswertung der Greensfunktion muss in Kugelkoordinaten erfolgen:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{d}^{3}}q={{q}^{2}}dq\sin \vartheta d\vartheta d\phi \\
| |
| & \bar{q}\bar{s}=qs\cos \vartheta \\
| |
| & G(\bar{s},\tau )=\frac{c}{{{\left( 2\pi \right)}^{3}}}\int\limits_{0}^{\infty }{{}}dqq\left( \frac{{{e}^{-icq\tau }}-{{e}^{icq\tau }}}{-2i} \right)\int\limits_{-1}^{1}{{}}d\cos \vartheta {{e}^{iqs\cos \vartheta }}\int\limits_{0}^{2\pi }{{}}d\phi \\
| |
| & \int\limits_{-1}^{1}{{}}d\cos \vartheta {{e}^{iqs\cos \vartheta }}=\frac{{{e}^{iqs}}-{{e}^{-iqs}}}{iqs} \\
| |
| & \xi :=cq \\
| |
| & \Rightarrow G(\bar{s},\tau )=\frac{c}{2{{\left( 2\pi \right)}^{2}}s}\int\limits_{0}^{\infty }{{}}d\xi \left\{ {{e}^{i\left( \tau -\frac{s}{c} \right)\xi }}+{{e}^{-i\left( \tau -\frac{s}{c} \right)\xi }}-{{e}^{i\left( \tau +\frac{s}{c} \right)\xi }}-{{e}^{-i\left( \tau +\frac{s}{c} \right)\xi }} \right\} \\
| |
| & \Rightarrow G(\bar{s},\tau )=\frac{c}{4\pi s}\int\limits_{0}^{\infty }{{}}d\xi \left\{ \delta \left( \tau -\frac{s}{c} \right)-\delta \left( \tau +\frac{s}{c} \right) \right\} \\
| |
| & \delta \left( \tau +\frac{s}{c} \right)=0\quad f\ddot{u}r\ \tau >0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Also lautet das Ergebnis:
| |
| | |
| <math>G(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ })=\left\{ \begin{matrix}
| |
| \frac{1}{4\pi \left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\delta \left( t-t\acute{\ }-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \\
| |
| 0\quad \quad \quad \quad \quad t<t\acute{\ } \\
| |
| \end{matrix} \right.\ t>t\acute{\ }</math>
| |
| | |
| Retardierte Greensfunktion (kausal)
| |
| | |
| <u>'''Physikalische Interpretation'''</u>
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| | |
| <math>G(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ })</math>
| |
| ist das Potenzial
| |
| <math>\Phi (\bar{r},t)</math>
| |
| , das von einer punktförmigen Ladungsdichte
| |
| | |
| <math>\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}=\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\delta \left( t-t\acute{\ } \right)</math>
| |
| | |
| am Punkt
| |
| <math>\bar{r}\acute{\ }</math>
| |
| zur Zeit t´ erzeugt wird.
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| '''Die Eigenschaften:'''
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| * Kausalität
| |
| * Ausbreitung der Punktstörung als KUGELWELLE mit der Phasengeschwindigkeit c:
| |
| * <math>\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|=c\left( t-t\acute{\ } \right)</math>
| |
| *
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| '''Nebenbemerkung:'''
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| | |
| Für den Integrationsweg
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| '''Oberer Halbkreis:'''
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| <math>\tau <0</math>
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| | |
| '''Unterer Halbkreis:'''
| |
| <math>\tau >0</math>
| |
| | |
| erhält man die avancierte Greensfunktion ( =0 für t > t´).
| |
| Diese beschreibt eigentlich eine einlaufende Kugelwelle, welche sich an
| |
| <math>\bar{r}\acute{\ }</math>
| |
| zur zeit t´ zusammenzieht !
| |
| | |
| Mit
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| | |
| <math>G(\bar{r},t)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\int_{-\infty }^{t}{dt\acute{\ }}\frac{1}{4\pi \left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\delta \left( t-t\acute{\ }-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)f\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\frac{1}{4\pi \left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}f\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)</math>
| |
| | |
| folgt dann für die retardierten Potenziale für beliebige Ladungs- und Stromverteilungen
| |
| | |
| <math>\rho \left( \bar{r},t \right),\bar{j}\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \Phi \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\
| |
| & \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Die retardierten Potenziale
| |
| <math>\Phi \left( \bar{r},t \right),\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| sind bestimmt durch
| |
| <math>\bar{r}\acute{\ }</math>
| |
| zu retardierten Zeiten
| |
| <math>t\acute{\ }=t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c}</math>
| |
| .
| |
| Dies berücksichtigt die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit von elektromagnetischen Wellen mit Lichtgeschwindigkeit c.
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| | |
| ## <u>'''Multipolstrahlung'''</u>
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| <u>'''Ziel:'''</u>
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| <u>'''Die '''</u>retardierten Potenziale sollen für räumlich lokalisierte und zeitabhängige Ladungs- und Stromverteilungen analog zu den statischen Multipolentwicklungen für große Abstände von der Quelle, also r>>r´ entwickelt werden.
| |
| | |
| <u>'''Voraussetzung: Lorentz- Eichung'''</u>
| |
| | |
| <math>\dot{\Phi }\left( \bar{r},t \right)+{{c}^{2}}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=0</math>
| |
| | |
| Somit kann aus
| |
| <math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| dann
| |
| <math>\Phi \left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| und somit auch
| |
| <math>\bar{E}\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| | |
| <math>\bar{B}\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| berechnet werden.
| |
| | |
| # <u>'''Näherung:'''</u>
| |
| <u>'''r>>a ( '''</u>Ausdehnung der Quelle)
| |
| | |
| Mit
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| | |
| <math>\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=\frac{1}{r}+\frac{1}{{{r}^{3}}}\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)+...</math>
| |
| | |
| folgt:
| |
| | |
| <math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right)\approx \frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi r}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+\frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)</math>
| |
| | |
| Das heißt, es werden nur Terme bis zur zweiten Ordnung berücksichtigt !
| |
| | |
| # <u>'''Näherung'''</u>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c}\approx t-\frac{r}{c}+\frac{\bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ }}{cr}+.... \\
| |
| & t-\frac{r}{c}:=\tau \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Diese Näherung sollte gut sein, falls
| |
| <math>\tau >>\frac{\bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ }}{cr}\approx \frac{a}{c}</math>
| |
| | |
| Also: Die Retardierung zum Aufpunkt r sollte wesentlich größer sein als die relative Retardierung der einzelnen Punkte der Quelle untereinander !
| |
| | |
| a~ Ausdehnung der Quelle
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| | |
| <math>\tau </math>
| |
| ist etwa die charakteristisch zeit für die Änderung von
| |
| <math>\bar{j}</math>
| |
| :
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| | |
| Beispielsweise: harmonische Erregung:
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{j}\tilde{\ }{{e}^{i\omega t}} \\
| |
| & \omega \tau =!=2\pi \Rightarrow \tau =\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{ck}=\frac{\lambda }{c} \\
| |
| & \Rightarrow a<<\lambda \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Die Ausdehnung der Quelle müsste also deutlich kleiner sein als die Wellenlänge des abgestrahlten Lichtes !
| |
| | |
| Dann gilt:
| |
| | |
| <math>\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)\approx \bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{r}{c} \right)+\frac{\bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ }}{cr}\frac{\partial \bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{r}{c} \right)}{\partial \left( t-\frac{r}{c} \right)}=\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right)+\frac{\bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ }}{cr}\frac{\partial \ \bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right)}{\partial \tau }</math>
| |
| | |
| Also folgt für das Vektorpotenzial:
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| | |
|
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| | |
| Die niedrigste or5dnung verschwindet nicht, da im Gegensatz zu Paragraph § 2.4 die Divergenz des Stromes nicht verschwindet:
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| | |
| <math>\nabla \cdot \bar{j}\ne 0</math>
| |
| :
| |
| | |
| Mit:
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| | |
| <math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left( {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right) \right)={{x}_{k}}\acute{\ }\left( {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right) \right)+{{j}_{k}}</math>
| |
| | |
| mit der Kontinuitäätsgleichung:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right)=-\dot{\rho }\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right) \\
| |
| & \Rightarrow {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left( {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right) \right)={{j}_{k}}-{{x}_{k}}\acute{\ }\dot{\rho }\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| und wegen
| |
| | |
| <math>\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left( {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right) \right)=0</math>
| |
| (Gauß)
| |
| | |
| folgt dann:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left( {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right) \right)=0=\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left( {{j}_{k}}-{{x}_{k}}\acute{\ }\dot{\rho }\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right) \right) \\
| |
| & \Rightarrow \int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right)=\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{r}\acute{\ }\dot{\rho }\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right)=:\dot{\bar{p}}\left( \tau \right)} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| mit dem elektrischen Dipolmoment:
| |
| | |
| <math>\bar{p}\left( \tau \right)=\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{r}\acute{\ }\rho \left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right)</math>
| |
| | |
| Somit für die erste Ordnung:
| |
| | |
| <math>{{\bar{A}}^{(1)}}\left( \bar{r},t \right)\approx \frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi r}\dot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)</math>
| |
| | |
| <u>'''Elektrische Dipolstrahlung'''</u>
| |
| | |
| <u>'''Interpretation: Hertzscher Dipol ( H hertz, 1857-1894)'''</u>
| |
| | |
| <math>\bar{p}\left( t \right)=\bar{p}\left( {{t}_{0}} \right){{e}^{-i\omega t}}</math>
| |
| | |
| <math>\bar{p}</math>
| |
| | |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{{\bar{A}}}^{(1)}}\left( \bar{r},t \right)\approx \frac{-i\omega {{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi }\frac{\bar{p}\left( {{t}_{0}} \right){{e}^{-i\omega \left( t-\frac{r}{c} \right)}}}{r}=\frac{-i\omega {{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi }\frac{\bar{p}\left( {{t}_{0}} \right){{e}^{i\left( kr-\omega t \right)}}}{r} \\
| |
| & k:=\frac{\omega }{c} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Die Kugelwelle !
| |
| | |
| <u>'''Bestimmung des skalaren Potenzials mit Hilfe Lorentzeichung:'''</u>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \dot{\Phi }\left( \bar{r},t \right)+{{c}^{2}}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=0 \\
| |
| & \Rightarrow \frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\nabla \left[ \frac{1}{r}\dot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right) \right] \\
| |
| & \Rightarrow \Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\nabla \left[ \frac{1}{r}\bar{p}\left( t-\frac{r}{c} \right) \right]+{{\Phi }_{stat.}}\left( {\bar{r}} \right) \\
| |
| & {{\Phi }_{stat.}}\left( {\bar{r}} \right)=0(obda) \\
| |
| & \Rightarrow \Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\nabla \left[ \frac{1}{r}\bar{p}\left( t-\frac{r}{c} \right) \right]=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left[ \frac{1}{c{{r}^{2}}}\bar{r}\dot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)+\frac{1}{{{r}^{3}}}\bar{r}\bar{p}\left( t-\frac{r}{c} \right) \right] \\
| |
| & \frac{1}{c{{r}^{2}}}\bar{r}\dot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)\tilde{\ }\frac{1}{r} \\
| |
| & \frac{1}{{{r}^{3}}}\bar{r}\bar{p}\left( t-\frac{r}{c} \right)\tilde{\ }\frac{1}{{{r}^{2}}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <u>'''Grenzfälle:'''</u>
| |
| | |
| <u>'''1) Fernzone / Wellenzone:'''</u>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & r>>\lambda >>\left( a \right)\Leftrightarrow kr>>1\Leftrightarrow \frac{\omega }{c}r>>1 \\
| |
| & \Rightarrow \frac{1}{c}\dot{\bar{p}}\tilde{\ }\frac{\omega }{c}\bar{p}>>\frac{{\bar{p}}}{r} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| In der Fernzone ist die Retardierung sehr wichtig !!
| |
| | |
| Es gilt die Näherung
| |
| | |
| <math>\Phi {{\left( \bar{r},t \right)}_{fern}}\approx \frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{c{{r}^{2}}}\bar{r}\dot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)</math>
| |
| | |
| <u>'''2) Nahzone: ( quasistatischer Bereich):'''</u>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \lambda >>r>>>\left( a \right) \\
| |
| & \Leftrightarrow kr<<1\Leftrightarrow \frac{\omega }{c}r<<11 \\
| |
| & \Rightarrow \frac{1}{c}\dot{\bar{p}}\tilde{\ }\frac{\omega }{c}\bar{p}<<\frac{{\bar{p}}}{r} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Also:
| |
| | |
| <math>\Phi \left( \bar{r},t \right)\approx \frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{{{r}^{3}}}\bar{r}\bar{p}\left( t-\frac{r}{c} \right)</math>
| |
| | |
| Dies kann man noch entwickeln nach
| |
| | |
| <math>\bar{p}\left( t \right)</math>
| |
| . dadurch entstehen Terme:
| |
| | |
| <math>\frac{1}{c{{r}^{2}}}\bar{r}\dot{\bar{p}}\left( t \right)-\frac{1}{{{r}^{3}}}\frac{r}{c}\bar{r}\dot{\bar{p}}\left( t \right)</math>
| |
| | |
| Diese kompensieren sich gegenseitig.
| |
| Also:
| |
| Die Retardierung kompensiert den
| |
| <math>\dot{\bar{p}}\left( t \right)</math>
| |
| - Term.
| |
| | |
| Wir schreiben:
| |
| | |
| <math>\Phi \left( \bar{r},t \right)\approx \frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{{{r}^{3}}}\bar{r}\bar{p}\left( t \right)</math>
| |
| | |
| in guter Näherung ein instantanes Dipolpontenzial ( in der Nahzone ist die Retardierung zu vernachlässigen).
| |
| | |
| <u>'''Berechnung der Felder in Fernfeldnäherung'''</u>
| |
| | |
|
| |
| | |
| <math>\Phi {{\left( \bar{r},t \right)}_{fern}}\approx \frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{c{{r}^{2}}}\bar{r}\dot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)</math>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{B}\left( \bar{r},t \right)=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)\approx \frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi }\nabla \times \frac{1}{r}\dot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)=\frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi c}\frac{1}{{{r}^{2}}}\left[ \ddot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)\times \bar{r} \right]+O\left( \frac{1}{{{r}^{2}}} \right) \\
| |
| & \bar{E}\left( \bar{r},t \right)=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\dot{\bar{A}}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{c}^{2}}}\frac{1}{{{r}^{3}}}\left[ \ddot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)\times \bar{r} \right]\times \bar{r}+O\left( \frac{1}{{{r}^{2}}} \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Es gilt:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{B}\left( \bar{r},t \right)\times \frac{{\bar{r}}}{r}=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi c}\frac{1}{{{r}^{3}}}\left[ \ddot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)\times \bar{r} \right]\times \bar{r}=\frac{1}{c}\bar{E}\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| & \frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi c}=\frac{{{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}}{4\pi c{{\varepsilon }_{0}}}=\frac{1}{4\pi {{c}^{3}}{{\varepsilon }_{0}}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| F
| |
| Fazit:
| |
| | |
| <math>\bar{r},\bar{E}\left( \bar{r},t \right),\bar{B}\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| | |
| bilden für Dipolstrahlung ein Rechtssystem, r, B und E stehen senkrecht aufeinander !
| |
| Allerdings als Ausbreitung einer freien Kugelwelle nur in der Fernzone !!
| |
| | |
| <u>'''Nebenbemerkung:'''</u>
| |
| In der Nahzone gilt immer noch wegen
| |
| <math>\nabla \cdot \bar{B}\left( \bar{r},t \right)=0</math>
| |
| , dass r und B senkrecht stehen.
| |
| | |
| Aber: das elektrische Feld hat neben der senkrechten Komponente , die zu r senkrecht steht ( transversale Komponente) noch longitudinale Anteile ( E- parallel, die zu r parallel sind).
| |
| | |
| <u>'''Poynting- Vektor ( Energiestromdichte)'''</u>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{S}=\bar{E}\times \bar{H}=\frac{-1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\times \bar{E}=\frac{-c}{{{\mu }_{0}}r}\bar{B}\times \left( \bar{B}\times \bar{r} \right)=\frac{-c}{{{\mu }_{0}}r}\left[ \left( \bar{B}\cdot \bar{r} \right)\bar{B}-{{B}^{2}}\bar{r} \right] \\
| |
| & \left( \bar{B}\cdot \bar{r} \right)=0 \\
| |
| & \Rightarrow \bar{S}=\frac{c}{{{\mu }_{0}}r}{{B}^{2}}\bar{r} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <math>\bar{B}\left( \bar{r},t \right)=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)\approx \frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi }\nabla \times \frac{1}{r}\dot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)=\frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi c}\frac{1}{{{r}^{2}}}\left[ \ddot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)\times \bar{r} \right]+O\left( \frac{1}{{{r}^{2}}} \right)</math>
| |
| | |
|
| |
| Also:
| |
|
| |
| entspricht
| |
| | |
| <math>l=1,m=0</math>
| |
| | |
| | |
| | |
| Abstrahl- Charakteristik des Hertzschen Dipols:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{p}(t)={{{\bar{p}}}_{0}}{{e}^{-i\omega t}} \\
| |
| & {{\left| {\ddot{\bar{p}}} \right|}^{2}}={{{\bar{p}}}_{0}}^{2}{{\omega }^{4}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Stark Richtungs- und stark frequenzabhängig !! höhere Frequenzen werden mit 4. Potenz besser abgestrahlt !
| |
| Nebenbemerkung:
| |
| Die gemachte Rechnung ist eine Näherung für eine lineare Antenne
| |
| | |
| <u>'''Magnetische Dipol- und Quadrupolstrahlung'''</u>
| |
| | |
| Die niedrigste Ordnung der Mutipolentwicklung von
| |
| <math>\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math>
| |
| (mit der Coulomb- Eichung
| |
| <math>\nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=0</math>
| |
| )
| |
| | |
| mit den Randbedingungen
| |
| <math>\bar{A}(\bar{r})\to 0</math>
| |
| für r-> unendlich verschwindet für eine quellenfreie Stromdichte:
| |
| | |
| Taylorentwicklung nach
| |
| <math>\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math>
| |
| von analog zum elektrischen Fall:
| |
| Die Stromverteilung
| |
| <math>\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })</math>
| |
| sei stationär für
| |
| <math>r>>r\acute{\ }</math>
| |
| | |
| <math>\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=\frac{1}{r}+\frac{1}{{{r}^{3}}}\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)+...</math>
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| | |
| <math>\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi r}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })+\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)+...</math>
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| '''Monopol- Term'''
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| '''Mit'''
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| <math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]={{x}_{k}}\acute{\ }\left( {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right)+\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\cdot \left( {{\nabla }_{r\acute{\ }}}{{x}_{k}}\acute{\ } \right)</math>
| |
| | |
| Im stationären Fall folgt aus der Kontinuitätsgleichung:
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| <math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j}(\bar{r}\acute{\ })=0</math>
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| <math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]=\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\cdot \left( {{\nabla }_{r\acute{\ }}}{{x}_{k}}\acute{\ } \right)={{j}_{l}}{{\delta }_{kl}}={{j}_{k}}</math>
| |
| | |
| Mit
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| <math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]={{j}_{k}}</math>
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| folgt dann:
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| <math>\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{j}_{k}}(\bar{r}\acute{\ })=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]=\oint\limits_{S\infty }{d\bar{f}}\left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]=0</math>
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| | |
| Somit verschwindet der Monopolterm in der Theorie.
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| | |
| Also: Falls
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| <math>\bar{j}(\bar{r}\acute{\ },\tau )</math>
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| quellenfrei und damit divergenzfrei, so verschwindet die niedrigste Ordnung der Entwicklung von A:
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| Mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung:
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| <math>\begin{align}
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| & {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j}(\bar{r}\acute{\ },\tau )=-\frac{\partial }{\partial \tau }\rho (\bar{r}\acute{\ },\tau )=0 \\
| |
| & \Rightarrow \dot{\bar{p}}(\tau )=\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{r}\acute{\ }\dot{\rho }=0 \\
| |
| & \Rightarrow {{A}^{(1)}}=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi r}\dot{\bar{p}}(\tau )\equiv 0 \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Im Herztschen Dipol existiert keine Ausstrahlung ( In der Hertzschen Dipol- Näherung)
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| <u>'''Beispiel: '''</u>geschlossene Leiterschleife ( sogenannte Rahmenantenne):
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| | |
| Mit
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| <math>I(t)={{I}_{0}}{{e}^{-i\omega t}}</math>
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| <u>'''2. Ordnung:'''</u>
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| <math>{{\bar{A}}^{(2)}}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)\left( 1+\frac{r}{c}\frac{\partial }{\partial \tau } \right)\bar{j}(\bar{r}\acute{\ },\tau )}</math>
| |
| | |
| Mit
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| | |
| <math>\begin{align}
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| & \left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right)=\frac{1}{2}\left( \bar{r}\acute{\ }\times \bar{j} \right)\times \bar{r}+\frac{1}{2}\left[ \left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j}+\left( \bar{r}\bar{j} \right)\bar{r}\acute{\ } \right] \\
| |
| & und \\
| |
| & {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j} \right]=\left[ \left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right){{j}_{k}}+{{x}_{k}}\acute{\ }\left( \bar{r}\bar{j} \right)+{{x}_{k\acute{\ }}}\left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right){{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j} \right] \\
| |
| & {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j}=-\frac{\partial }{\partial \tau }\rho \left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right) \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Kontinuitätsgleichung
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| Dann folgt integriert:
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| Der zweite Term rechts kann durch den Tensor des elektrischen Quadrupolmoments ausgedrückt werden ( vergl. S. 15, Elektrostatik):
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| | |
| <math>\bar{\bar{Q}}\left( \tau \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho \left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right)}\left( 3\bar{r}\acute{\ }\otimes \bar{r}\acute{\ }-r{{\acute{\ }}^{2}}\bar{\bar{1}} \right)=:\tilde{\bar{\bar{Q}}}-\frac{1}{3}\left( tr\left( {\tilde{\bar{\bar{Q}}}} \right) \right)\bar{\bar{1}}</math>
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| | |
| Falls
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| <math>\tilde{Q}\left( \tau \right)</math>
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| oszilliert ( sogenannter "breathing mode"), gibt
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| <math>\frac{1}{3}\left( tr\left( {\tilde{\bar{\bar{Q}}}} \right) \right)\bar{\bar{1}}</math>
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| keinen Beitrag zu
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| <math>\bar{E},\bar{B}</math>
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| * verschwindet durch Eichtrafo innerhalb der Klasse der Lorentz- Eichungen
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| <u>'''->'''</u>
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| <math>\bar{\bar{Q}}\left( \tau \right)\cdot \bar{r}=3\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho \left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right)}\bar{r}\acute{\ }\left( \bar{r}\acute{\ }\cdot \bar{r} \right)</math>
| |
| | |
| '''Also:'''
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| | |
| <math>\begin{align}
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| & {{{\bar{A}}}^{(2)}}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\left( 1+\frac{r}{c}\frac{\partial }{\partial \tau } \right)\left[ \bar{m}\left( \tau \right)\times \bar{r}+\frac{1}{6}\dot{\bar{\bar{Q}}}\left( \tau \right)\cdot \bar{r} \right] \\
| |
| & =\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\left( \frac{1}{{{r}^{3}}}\bar{m}\times \bar{r}+\frac{1}{c{{r}^{2}}}\dot{\bar{m}}\times \bar{r}+\frac{1}{6{{r}^{3}}}\dot{\bar{\bar{Q}}}\left( \tau \right)\cdot \bar{r}+\frac{1}{6c{{r}^{2}}}\ddot{\bar{\bar{Q}}}\left( \tau \right)\cdot \bar{r} \right) \\
| |
| \end{align}</math>
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| Mit der magnetischen Dipolstrahlung
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| <math>\frac{1}{{{r}^{3}}}\bar{m}\times \bar{r}+\frac{1}{c{{r}^{2}}}\dot{\bar{m}}\times \bar{r}</math>
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| | |
| und elektrischer Quadrupolstrahlung
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| | |
| <math>\frac{1}{6{{r}^{3}}}\dot{\bar{\bar{Q}}}\left( \tau \right)\cdot \bar{r}+\frac{1}{6c{{r}^{2}}}\ddot{\bar{\bar{Q}}}\left( \tau \right)\cdot \bar{r}</math>
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| | |
| Die magnetische Dipolstrahlung kann mit Hilfe
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| <math>\nabla \times \frac{1}{r}\bar{m}\left( t-\frac{r}{c} \right)=\frac{1}{{{r}^{3}}}\bar{m}\left( t-\frac{r}{c} \right)\times \bar{r}+\frac{1}{c{{r}^{2}}}\dot{\bar{m}}\left( t-\frac{r}{c} \right)\times \bar{r}</math>
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| schreiben als:
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| Die magnetische Dipolstrahlung
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| '''Skalares Potenzial aus der Lorentz- Eichung'''
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| <math>\begin{align}
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| & \frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right)=-{{c}^{2}}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{{{\mu }_{0}}{{c}^{2}}}{4\pi }\nabla \cdot \left( \nabla \times \frac{1}{r}\bar{m} \right)\equiv 0 \\
| |
| & \Rightarrow \Phi \left( \bar{r},t \right)=\Phi \left( {\bar{r}} \right)=!=0 \\
| |
| \end{align}</math>
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| O.B.d.A.: Es existiere kein statisches Potenzial/ es wird auf Null gesetzt
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| '''Berechnung der Felder in Fernfeldnäherung:'''
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| das elektrische Feld ergibt sich wie für die elektrische Dipolstrahlung
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| <u>'''Nebenbemerkung'''</u>
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| Für Systeme von Teilchen mit gleicher spezifischer Ladung
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| <math>\frac{q}{m}</math>
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| ist
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| <math>\bar{p}\tilde{\ }\bar{R}</math>
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| (Schwerpunkt)
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| und
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| <math>\bar{m}\tilde{\ }\bar{L}</math>
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| ( Gesamtdrehimpuls)
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| <math>\Rightarrow \dot{\bar{p}}=\dot{\bar{m}}=0</math>
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| In diesem Fall ( vier gleiche Ladungen etc...) ist nur elektrische Quadrupolstrahlung möglich
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| vergleiche ART: durch die unipolarität der Masse existiert nur Gravitations- Quadrupolstrahlung
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| <u>'''4.4 Wellenoptik und Beugung'''</u>
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| Betrachte Ausbreitung elektromagnetischer Wellen bei gegebenen lokalisierten Quellen
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| <math>\rho \left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| und
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| <math>\bar{j}\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| und bei vorgegebenen Leitern
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| <math>{{L}_{\alpha }}</math>
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| im Vakuum:
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| <u>'''Ziel'''</u>
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| ist die Berechnung des Wellenfeldes im Außenraum V
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| Anwendung: Radiowellen
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| <math>\lambda =1-{{10}^{4}}</math>
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| m
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| Radar
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| Optik
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| <math>\lambda =400-800nm</math>
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| -> Beugung
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| <u>'''Rückführung auf Randwertaufgabe'''</u>
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| Lösung der inhomogenen Wellengleichungen in Lorentzeichung ( Potenzialgleichungen) ( vergleiche dazu 1.6 in der Elektrostatik)
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| <math>\begin{align}
| |
| & \#\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\
| |
| & \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Zu vorgegebenen Ladungen und Strömen.
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| Gleichzeitig haben wir Randbedingungen auf
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| <math>{{L}_{\alpha }}</math>
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| | |
| und schließlich die Kausalitätsbedingung ( Ausstrahlungsbedingung) -> Retardierung, § 4.2
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| '''Annahme:'''
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| <math>\begin{align}
| |
| & \rho \left( \bar{r},t \right)=\rho \left( {\bar{r}} \right){{e}^{-i\omega t}} \\
| |
| & \bar{j}\left( \bar{r},t \right)=\bar{j}\left( {\bar{r}} \right){{e}^{-i\omega t}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Dies sollte wegen Fourier- Zerlegung bei periodischer Erregung beliebiger Art grundsätzlich möglich sein.
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \Phi \left( \bar{r},t \right)=\Phi \left( {\bar{r}} \right){{e}^{-i\omega t}} \\
| |
| & \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\bar{A}\left( {\bar{r}} \right){{e}^{-i\omega t}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| eingesetzt in die Wellengleichung
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \#\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}=\left( \Delta -\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}} \right)\Phi \left( \bar{r},t \right) \\
| |
| & \Rightarrow \left( \Delta +{{k}^{2}} \right)\Phi \left( {\bar{r}} \right)=-\frac{\rho \left( {\bar{r}} \right)}{{{\varepsilon }_{0}}} \\
| |
| & k:=\frac{\omega }{c} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Mit der Greenschen Funktion der Wellengleichung
| |
| <math>\#\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}</math>
| |
| :
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| | |
| <math>\#G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ } \right)=-\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\delta \left( t-t\acute{\ } \right)</math>
| |
| | |
| Haben wir formal sofort die allgemeine Lösung:
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \Phi \left( \bar{r},t \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\int_{-\infty }^{t}{dt\acute{\ }}}\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ } \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\int_{-\infty }^{t}{dt\acute{\ }}}\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}{{e}^{-i\omega t\acute{\ }}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ } \right) \\
| |
| & t-t\acute{\ }:=\tau \\
| |
| & \Rightarrow \int_{-\infty }^{t}{dt\acute{\ }}{{e}^{-i\omega t\acute{\ }}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ } \right)=\int_{-\infty }^{t}{dt\acute{\ }}{{e}^{-i\omega t\acute{\ }}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },\tau \right) \\
| |
| & =\left[ \int_{0}^{\infty }{d\tau }{{e}^{i\omega \tau }}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },\tau \right) \right]{{e}^{-i\omega t}}:=\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right){{e}^{-i\omega t}} \\
| |
| & \int_{0}^{\infty }{d\tau }{{e}^{i\omega \tau }}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },\tau \right):=\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Somit kann die periodische Zeitabhängigkeit absepariert werden:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \Phi \left( {\bar{r}} \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{{{\varepsilon }_{0}}} \\
| |
| & mit \\
| |
| & \left( \Delta +{{k}^{2}} \right)\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=-\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Problem:
| |
| Die Randbedingungen für
| |
| <math>\Phi \left( {\bar{r}} \right),\bar{A}</math>
| |
| sind im stationären Fall nicht bekannt, sondern müssen selbstkonsistent bestimmt werden.
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| Man kann das Problem jedoch mit Hilfe des Greenschen Satzes umformulieren:
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| <u>'''Skalare Kirchhoff- Identität'''</u>
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| | |
| ( eine notwendige, nicht hinreichende Bedingung für Lösung):
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| | |
| Skalar: Wir beschreiben keine Polarisationseffekte !!! Alle Polarisationseffekte sind vernachlässigt. Das hat man unter dem Begriff Skalar an dieser Stelle zu verstehen !
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| Weiter: Greenscher Satz:
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| <math>\int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}}\left( \phi \nabla \Psi -\Psi \nabla \phi \right)=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left( \phi \Delta \Psi -\Psi \Delta \phi \right)</math>
| |
| | |
| Setze:
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| <math>\begin{align}
| |
| & \Psi (\bar{r})=\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \\
| |
| & \phi (\bar{r})=\Phi \left( {\bar{r}} \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Dabei sei das Potenzial als Lösung angenommen:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}}\left( \Phi \left( {\bar{r}} \right)\nabla \tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)-\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\nabla \Phi \left( {\bar{r}} \right) \right)=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left( \Phi \left( {\bar{r}} \right)\Delta \tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)-\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\Delta \Phi \left( {\bar{r}} \right) \right) \\
| |
| & \Delta \tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=-\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)-{{k}^{2}}\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \\
| |
| & \Delta \Phi \left( {\bar{r}} \right)=\frac{-\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}-{{k}^{2}}\Phi \left( {\bar{r}} \right) \\
| |
| & \Rightarrow \int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left( \Phi \left( {\bar{r}} \right)\Delta \tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)-\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\Delta \Phi \left( {\bar{r}} \right) \right)=-\Phi \left( \bar{r}\acute{\ } \right) \\
| |
| & \int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}}\left( \tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\nabla \Phi \left( {\bar{r}} \right)-\Phi \left( {\bar{r}} \right)\nabla \tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \right)=\Phi \left( \bar{r}\acute{\ } \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Also:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \Phi \left( \bar{r}\acute{\ } \right)=\int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}}\left( \tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\nabla \Phi \left( {\bar{r}} \right)-\Phi \left( {\bar{r}} \right)\nabla \tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \right) \\
| |
| & \bar{r}\acute{\ }\in V \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Dabei ist
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| <math>\Phi \left( \bar{r}\acute{\ } \right)</math>
| |
| im inneren von V durch
| |
| <math>\Phi </math>
| |
| und
| |
| <math>\nabla \Phi </math>
| |
| auf dem Rand festgelegt, falls die Greensfunktion
| |
| | |
| <math>\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)</math>
| |
| bekannt ist
| |
| | |
| <u>'''Freier Raum: Greensfunktion des unendlichen Raumes:'''</u>
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| | |
| Randbedingung
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| <math>\begin{matrix}
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| \lim \\
| |
| r\to \infty \\
| |
| \end{matrix}\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=0</math>
| |
| | |
| * Retardierte Potenziale ( Vergl. § 4.2):
| |
| | |
| <math>G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },\tau \right)=\left\{ \begin{matrix}
| |
| \frac{1}{4\pi \left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\delta \left( \tau -\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)\quad \tau >0 \\
| |
| 0\quad \quad \quad \quad \tau <0 \\
| |
| \end{matrix} \right.</math>
| |
| | |
| Somit:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=\int_{0}^{\infty }{d}\tau G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },\tau \right){{e}^{i\omega \tau }}=\frac{{{e}^{ik\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}}}{4\pi \left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\
| |
| & k:=\frac{\omega }{c} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Es folgt für das Potenzial:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \Phi \left( \bar{r},t \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right){{e}^{-i\omega t}}\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{{{e}^{ik\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}}}{4\pi \left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{e}^{-i\omega t}}\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}} \\
| |
| & \Phi \left( \bar{r},t \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{{{e}^{i\left( k\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|-\omega t \right)}}}{4\pi \left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| beschreibt eine Überlagerung auslaufender Kugelwellen-> Lösung als Entwicklung in Kugelwellen.
| |
| ( Ausstrahlbedingung, Konsequenz der Kausalität).
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| | |
| Mit
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| | |
| <math>\bar{R}:=\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }</math>
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| | |
| lautet die Kirchhoff- Identität:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \Phi \left( \bar{r}\acute{\ },t \right)=\frac{1}{4\pi }\int_{\partial V}^{{}}{d{{{\bar{f}}}_{R}}}\left[ \frac{{{e}^{ikR}}}{R}{{\nabla }_{r}}\Phi \left( {\bar{r}} \right)-\Phi \left( {\bar{r}} \right){{\nabla }_{r}}\frac{{{e}^{ikR}}}{R} \right] \\
| |
| & {{\nabla }_{r}}\frac{{{e}^{ikR}}}{R}=\frac{{{e}^{ikR}}}{R}\left( ik-\frac{1}{R} \right)\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Dazu eine Grafik:
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| | |
| Mittels
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| <math>d\bar{f}\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=df\cos \vartheta </math>
| |
| | |
| und über Beschränkung auf Fernzone von
| |
| <math>\partial V</math>
| |
| , also R >> 1/k gilt:
| |
| | |
| | |
| <math>\Phi \left( \bar{r}\acute{\ },t \right)=\frac{1}{4\pi }\int_{\partial V}^{{}}{d{{f}_{R}}}\left[ \frac{\partial }{\partial n}\Phi \left( {\bar{r}} \right)-ik\Phi \left( {\bar{r}} \right)\cos \vartheta \right]\frac{{{e}^{ikR}}}{R}</math>
| |
| | |
| Mit der richtungsabhängigen Amplitude
| |
| <math>\left[ \frac{\partial }{\partial n}\Phi \left( {\bar{r}} \right)-ik\Phi \left( {\bar{r}} \right)\cos \vartheta \right]</math>
| |
| und der Kugelwelle
| |
| <math>\frac{{{e}^{ikR}}}{R}</math>
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| .
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| Beides zusammen ergeben sogenannte Sekundärwellen.
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| Insgesamt ist dies die exakte ( mathematische) Formulierung des Huygensschen Prinzips
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| ( jeder Punkt an der Oberfläche des Hindernisses ist Ausgangspunkt einer Kugelwelle).
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| deren phasengerechte Überlagerung ergibt dann das Wellenfeld in r´
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| <u>'''b) Greensfunktion zu Randbedingungen'''</u>
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| <math>\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right){{\left. {} \right|}_{\begin{smallmatrix}
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| \bar{r}\in \partial V \\
| |
| \bar{r}\acute{\ }\in V
| |
| \end{smallmatrix}}}=0</math>
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| | |
| <math>\Rightarrow \Phi \left( \bar{r}\acute{\ } \right)=-\int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}\Phi \left( {\bar{r}} \right){{\nabla }_{r}}\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)}</math>
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| | |
| Die neue Greensfunktion unterscheidet sich von der alten nur durch eine additive Lösung g der homogenen Wellengleichung:
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| <math>\begin{align}
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| & \tilde{G}\left( {\bar{R}} \right)=g\left( {\bar{R}} \right)+\frac{1}{4\pi }\frac{{{e}^{ikR}}}{R} \\
| |
| & \left( \Delta +{{k}^{2}} \right)g=0 \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Mit Randbedingung
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| <math>g{{\left. {} \right|}_{\partial V}}=-\frac{1}{4\pi }{{\left. \frac{{{e}^{ikR}}}{R} \right|}_{\partial V}}</math>
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| Beispiel für die Konstruktion von
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| <math>\tilde{G}\left( {\bar{R}} \right)</math>
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| :
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| '''Ebener Schirm:'''
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| Spiegelladungsmethode:
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| Hinter dem Schirm wird die Halbkugel im UNENDLICHEN geschlossen.
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| Hinter dem ebenen Schirm wenden wir die Spiegelladungsmethode an:
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| <math>\begin{align}
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| & \tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=\frac{1}{4\pi }\left( \frac{{{e}^{ik\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}}}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}-\frac{{{e}^{ik\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}}}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|} \right) \\
| |
| & \Rightarrow {{\nabla }_{r}}\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=\frac{1}{4\pi }\left( {{\nabla }_{r}}\frac{{{e}^{ik\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}}}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}-{{\nabla }_{r}}\frac{{{e}^{ik\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}}}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|} \right):=\frac{1}{4\pi }\left( {{\nabla }_{r}}\frac{{{e}^{ikR}}}{R}-{{\nabla }_{r}}\frac{{{e}^{ikR\acute{\ }\acute{\ }}}}{R\acute{\ }\acute{\ }} \right) \\
| |
| \end{align}</math>
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| Dieser Gradient wurde einige Seiten vorher bereits gelöst:
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| <math>\begin{align}
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| & {{\nabla }_{r}}\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=\frac{1}{4\pi }\left( {{\nabla }_{r}}\frac{{{e}^{ik\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}}}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}-{{\nabla }_{r}}\frac{{{e}^{ik\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}}}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|} \right):=\frac{1}{4\pi }\left( {{\nabla }_{r}}\frac{{{e}^{ikR}}}{R}-{{\nabla }_{r}}\frac{{{e}^{ikR\acute{\ }\acute{\ }}}}{R\acute{\ }\acute{\ }} \right) \\
| |
| & =\frac{1}{4\pi }\left( \frac{{{e}^{ikR}}}{R}\left( ik-\frac{1}{R} \right)\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}-\frac{{{e}^{ikR\acute{\ }\acute{\ }}}}{R\acute{\ }\acute{\ }}\left( ik-\frac{1}{R\acute{\ }\acute{\ }} \right)\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ }}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|} \right) \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Mit
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| <math>\begin{align}
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| & R=R\acute{\ }\acute{\ } \\
| |
| & d\bar{f}\cdot \frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=-d\bar{f}\cdot \frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ }}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}=+df\cos \vartheta \\
| |
| & \Rightarrow d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}\tilde{G}=df\frac{1}{2\pi }\frac{{{e}^{ikR}}}{R}\left( ik-\frac{1}{R} \right)\cos \vartheta \\
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| \end{align}</math>
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| | |
| Für
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| <math>\lambda <<R</math>
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| ( Fernzone):
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| <math>\Phi \left( \bar{r}\acute{\ } \right)=-\int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}\Phi \left( {\bar{r}} \right){{\nabla }_{r}}\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)}=-\frac{i}{\lambda }\int_{F}^{{}}{df\Phi \left( {\bar{r}} \right)\frac{{{e}^{ik\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}}}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}}\cos \vartheta </math>
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| Zur Konstruktion der Lösung müssen die Randwerte
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| <math>{{\left. \Phi \left( {\bar{r}} \right) \right|}_{F}}</math>
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| erraten werden.
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| <u>'''Kirchhoffsche Näherung'''</u>
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| Beugung an Blenden B in einem ebenen Schirm:
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| Annahme:
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| <math>{{\left. \Phi \left( {\bar{r}} \right) \right|}_{S}}=0</math>
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| Das Potenzial verschwindet auf dem Schirm ( leitender Schirm)
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| <math>{{\left. \Phi \left( {\bar{r}} \right) \right|}_{B}}=\frac{{{e}^{ik{{R}^{Q}}}}}{{{R}^{Q}}}</math>
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| freie einfallende Welle -> Kugelwellen in der Blende
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| Ro rage dabei zum Schwerpunkt der Blende
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| <math>\begin{align}
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| & \Phi \left( \bar{r}\acute{\ } \right)=-\frac{i}{\lambda }\int_{B}^{{}}{df\frac{{{e}^{ik\left| R+{{R}^{Q}} \right|}}}{R{{R}^{Q}}}}\cos \vartheta \\
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| & \cos \vartheta \approx const. \\
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| \end{align}</math>
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| Der Winkel ist näherungsweise konstant für kleine Blenden:
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| <math>\lambda <<d</math>
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| <math>\begin{align}
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| & \bar{R}=\bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \\
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| & {{{\bar{R}}}^{Q}}=\bar{r}-{{{\bar{r}}}^{Q}} \\
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| & df={{d}^{2}}r \\
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| \end{align}</math>
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| Somit:
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| <math>\begin{align}
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| & \Phi \left( \bar{r}\acute{\ } \right)=-\frac{i}{\lambda }\frac{\cos {{\vartheta }_{0}}}{{{R}_{0}}{{R}_{0}}^{Q}}\int_{B}^{{}}{df}{{e}^{ik\left| R+{{R}^{Q}} \right|}} \\
| |
| & \cos \vartheta \approx const. \\
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| \end{align}</math>
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| im schnell oszillierenden Exponenten darf man R und RQ nicht so ohne weiteres durch Ro / RQo ersetzen !
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| * typisches Näherungsverfahren in Fernfeldoptik
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| <u>'''Grenzfälle'''</u>
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| # <u>'''Fraunhofersche Beugung ( Fernzone:'''</u>
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| # <math>\lambda <<d<<R</math>
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| # )
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| Setze
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| <math>\bar{R}={{\bar{R}}_{0}}+\bar{s}</math>
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| <math>{{R}^{2}}\approx {{R}_{0}}^{2}+2{{\bar{R}}_{0}}\bar{s}</math>
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| | |
| <math>\begin{align}
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| & \Rightarrow R\approx {{R}_{0}}+\bar{\alpha }\bar{s} \\
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| & \bar{\alpha }:=\frac{{{{\bar{R}}}_{0}}}{{{R}_{0}}} \\
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| \end{align}</math>
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| Analog:
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| <math>\begin{align}
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| & \Rightarrow {{R}^{Q}}\approx {{R}_{0}}^{Q}+{{{\bar{\alpha }}}_{0}}\bar{s} \\
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| & {{{\bar{\alpha }}}_{0}}:=\frac{{{{\bar{R}}}_{0}}^{Q}}{{{R}_{0}}^{Q}} \\
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| \end{align}</math>
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| <math>\Rightarrow \Phi \left( \bar{r}\acute{\ } \right)\approx -\frac{i}{\lambda }{{e}^{ik\left( {{R}_{0}}+{{R}_{0}}^{Q} \right)}}\frac{\cos {{\vartheta }_{0}}}{{{R}_{0}}{{R}_{0}}^{Q}}\int_{B}^{{}}{{{d}^{2}}s}{{e}^{ik\left( \bar{\alpha }+{{{\bar{\alpha }}}_{0}} \right)\bar{s}}}</math>
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| <u>'''Fresnelsche Beugung ( Mittelzone:'''</u>
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| <math>\lambda <<R\approx d</math>
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| hier:
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| <math>{{R}^{2}}={{R}_{0}}^{2}+2{{\bar{R}}_{0}}\bar{s}+{{s}^{2}}</math>
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| nicht genähert !!
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| '''Beispiel: Fraunhofersche Beugung am Spalt ( eindimensional):'''
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| Bei senkrechtem Einfall gilt:
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| <math>{{\bar{\alpha }}_{0}}\bar{s}=0</math>
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| <math>\begin{align}
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| & \Rightarrow \Phi \left( \bar{r}\acute{\ } \right)=C\int_{-d/2}^{d/2}{d{{s}_{1}}}{{e}^{ik\alpha {{s}_{1}}}} \\
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| & \alpha :=\sin {{\vartheta }_{0}} \\
| |
| & \bar{\alpha }\bar{s}={{s}_{1}}\sin {{\vartheta }_{0}} \\
| |
| & \Rightarrow \Phi \left( \bar{r}\acute{\ } \right)=\frac{C}{ik\alpha }\left( {{e}^{ik\alpha \frac{d}{2}}}-{{e}^{-ik\alpha \frac{d}{2}}} \right) \\
| |
| & \Phi \left( \bar{r}\acute{\ } \right)=Cd\frac{\sin \left( k\alpha \frac{d}{2} \right)}{k\alpha \frac{d}{2}} \\
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| \end{align}</math>
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| | |
| Die Spaltfunktion, Fouriertransformierte der Rechteckfunktion ( Blende)
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| Wir finden Beugungsminima bei den Nullstellen des Sinus ( Außer in der Mitte), also
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| <math>\sin {{\vartheta }_{0}}=n\cdot \frac{\lambda }{d}</math>
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| | |
| ebenso ( als ÜBUNG !!!)
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| können dann Beugung am Gitter und an kreisförmigen Blenden berechnet werden.
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| <u>'''Einwurf: 1. Der holografische Prozess'''</u>
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| *# <u>'''Aufzeichnung und Rekonstruktion'''</u>
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| Lichtintensität einer Lichtwelle:
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| <math>I(x,y)=|O(x,y)|{}^\text{2}=O(x,y)\bullet O*(x,y)</math>
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| * Phaseninformationen gehen verloren
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| * Idee: Phaseninfo durch Interferenz aufzeichnen
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| * Lösung mittels eines Zweistufenprozesses: Aufzeichnung und Rekonstruktion
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| * Kohärenz erforderlich
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| * monochromatisches Licht
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| * unpolarisiertes Licht
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| <u>'''1. Schritt: Die Aufzeichnungsphase'''</u>
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| * Problem: Speichern komplexer Funktionen in einem reellen Medium
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| * Überlagerung der Objektwelle
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| <math>O(x,y)=|O(x,y)|\bullet \exp (i{{\varphi }_{O}}(x,y))</math>
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| * Mit einer Referenzwelle
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| <math>R(x,y)=|R(x,y)|\bullet \exp (i{{\varphi }_{R}}(x,y))</math>
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| | |
| * Auch in diesem Fall werden nur Intensitäten gespeichert. Doch diese sind nun:
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| <math>I(x,y)=|O(x,y)+R(x,y)|{}^\text{2}\ =\quad |O|{}^\text{2}\ +\ |R|{}^\text{2}\ +\ OR*\ +\ O*R</math>
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| | |
| <math>I(x,y)=|O|{}^\text{2}\ +\ |R|{}^\text{2}\ +2RO\cos [{{\varphi }_{R}}(x,y)-{{\varphi }_{O}}(x,y)]</math>
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| | |
| * Diese Intensitätsverteilung kann verstanden werden als " Hologrammfunktion" oder "Aperturefunktion"
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| * Planare Wellen: Fraunhofer Hologramme
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| * Divergierende Wellen: Fresnelhologramme
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| * Im obigen Bild dargestellt: Trägerfrequenzholografie
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| * Eigentliche Holografie: ohne Trägerfrequenz: Referenzstrahl, in den auch das Objekt gestellt wird.
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| * Dabei überlagern sich jedoch mehrere Ordnungen.
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| * Generell: verschiedenste Aufzeichnungstechniken:
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| * Trägerfrequenzholografie ( wie oben)
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| * Denisyukhologramm
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| <u>'''2. Schritt: Rekonstruktionsphase'''</u>
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| * Gleiche Wellenlänge wie bei Aufzeichnung rekonstruiert das Objekt
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| * Ansonsten: Verzerrung
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| * Beugung durch Hologrammstrukturen vergleichbar mit Gitter
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| * Motivation: Gittergeister an Gitterspektrographen
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| * Das Gitter kann als leeres Hologramm verstanden werden ( Überlagerung zweier ebener Wellen)
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| * Die Hologrammfunktion / Aperturefunktion ( bei optischen Hologrammen eine Intensitätsfunktion -> reell) moduliert dabei die einfallende Rekonstruktionswelle:
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| <math>O\acute{\ }=R\cdot I(x,y)=R\cdot (|O|{}^\text{2}+|R|{}^\text{2})+O\cdot |R|{}^\text{2}+R\cdot R\cdot O*</math>
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| * Zu beachten: komplexe Funktionen
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| <u>'''Fresnel- und Fourier- Hologramme'''</u>
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| * Wesentlich für Fourier- Hologramme: Aufzeichnung mittels ebener Wellen
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| * Linse
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| * Objekt in weiter Entfernung
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| * Wesentlich für Fresnelhologramme: Die Objektwelle ist eine Kugelwelle. Das Objekt muss sich also in der Nähe der Hologrammebene befinden.
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| * Fouriernäherung des Beugungsintegrals
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| * Fresnel- Näherung des Beugungsintegrals
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| *# <u>'''Grundlagen der Beugung'''</u>
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| * Das Beugungsintegral beschreibt die Lichterregung in der Beobachtungsebene.
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| * Keine Berücksichtigung der Polarisation
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| * Voraussetzung: kohärente Beleuchtung
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| * Die einfallende Welle wird mit der Aperturefunktion A(x1, y1) ( z.B. Amplitudentransparenz einer Blende oder Phasenaddition durch ein Phasenobjekt) multipliziert und dann über den gesamten Raum integriert.
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| * Fällt das Licht durch ein Hologramm, so muss in die Gleichungen die entsprechende Funktion der Lichttransmission, die das Hologramm beschreibt, gesetzt werden ( Hologramm-/ Aperturefunktion).
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| * Ausgangspunkt:
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| Helmholtz- Gleichung
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| <math>(\nabla {}^\text{2}+k{}^\text{2})\,U(\bar{r})=0</math>
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| mit
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| <math>U(\bar{r})=\frac{{{e}^{i\bar{k}\bar{r}o1}}}{ro1}</math>
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| | |
| * lauter Kugelwellen in x1/y1
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| <math>O(xo,yo)\tilde{\ }\int\limits_{-\infty }^{\infty }{\int\limits_{-\infty }^{\infty }{A(x1,y1)\bullet U(\bar{r})dx1dy1}}</math>
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| <math>\approx \tilde{\ }\frac{1}{z}\int\limits_{-\infty }^{\infty }{\int\limits_{-\infty }^{\infty }{{{e}^{ikr}}\bullet A(x1,y1)}}dx1dy1</math>
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| * Komposition des Objekts durch Interferenz aufgrund von Phasenunterschieden im Raum hinter der Blende
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| '''Reihenentwicklung des Abstandes als Näherung:'''
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| <math>r=\sqrt{(xo-x1){}^\text{2}+(yo-y1){}^\text{2}+z{}^\text{2}}</math>
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| <math>\approx z\left[ 1+\frac{(xo-x1){}^\text{2}+(yo-y1){}^\text{2}}{2z{}^\text{2}} \right]</math>
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| '''Fresnel- Näherung:'''
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| * Die Hologrammfunktion / Aperturfunktion kodiert das Fresnelsche Beugungsbild
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| <math>O(xo,yo)\approx \tilde{\ }\frac{{{e}^{ikz}}}{z}\int\limits_{-\infty }^{\infty }{\int\limits_{-\infty }^{\infty }{A(x1,y1)}}\bullet {{e}^{\frac{i\pi }{\lambda z}\left[ (xo-x1){}^\text{2}+(yo-y1){}^\text{2} \right]}}dx1dy1</math>
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| '''Fraunhofer- Näherung:'''
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| * Aufzeichnung allgemein mit Linse
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| * Zur Aufzeichnung: ebene Welle erforderlich
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| * Das Integral entspricht einer Fouriertransformation der Hologrammfunktion/ Aperturefunktion
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| '''Aufzeichnung:'''
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| <u>'''1.3 Beispiele: Einfach- und Doppelspalt'''</u>
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| '''Hintergrund'''
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| * Laufstreckenunterschiede von kohärenten Lichtstrahlen bestimmen Interferenzerscheinungen
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| Fernfeldnäherungen/ Fouriernäherungen:
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| * Für schmalen Doppelspalt gilt:
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| <math>d\varphi (P)=k\cdot ds=k(r2-r1)\approx k\cdot \sin \theta \cdot a=2\pi \sin \theta \cdot \frac{a}{\lambda }</math>
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| <math>\Rightarrow \sin \theta \cdot a=m\lambda </math>
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| als Maximabedingung
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| Sofort ersichtlich:
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| * Variation des Spaltabstands variiert Phase
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| * Variation der Spaltbreite variiert Amplitude
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| * Breiter Spalt: Interferenz der Strahlen untereinander
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| * 1. Strahl <-> n/2 +1 , 2. Stahl <-> N/2 + 2
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| <math>\sin \theta \cdot b=m\lambda </math>
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| als Minimabedingung
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| <u>'''Der Einfachspalt:'''</u>
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| Amplitudenverteilung bei Einzelspalt:
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| <math>O\tilde{\ }\text{sinc(}\frac{k}{2}\cdot b\cdot \sin \theta )</math>
| |
| entspricht Feldverteilung des E-Feldes:
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| <math>E\tilde{\ }\text{sinc(}\frac{k}{2}\cdot b\cdot \sin \theta )</math>
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| <math>I(\theta )={{I}_{o}}\cdot \text{sinc }\!\!{}^\text{2}\!\!\text{ (}\frac{k}{2}\cdot b\cdot \sin \theta )</math>
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| <u>'''2. Doppelspalt mit endlicher Spaltbreite/ Minimalgitter:'''</u>
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| * Lösung Gesamtproblem: Reihe von Beugungsintegralen
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| Amplitudenverteilung bei Einzelspalt:
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| <math>E\tilde{\ }\text{sinc(}\frac{k}{2}\cdot b\cdot \sin \theta )</math>
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| | |
| * Entspricht den Beugungserscheinungen an einer Periode
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| Amplitudenverteilung bei mehreren schmalen Spalten/ Vielstrahlinterferenz:
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| <math>E\tilde{\ }\left\{ \frac{\sin (\frac{Nka}{2}\sin (\theta ))}{\sin (\frac{ka}{2}\sin (\theta ))} \right\}</math>
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| | |
| <math>I(\theta )={{I}_{o}}\text{sin}{{\text{c}}^{\text{2}}}\text{(}\frac{k}{2}\cdot b\cdot \sin \theta )\cdot {{\left\{ \frac{\sin (\frac{Nka}{2}\sin (\theta ))}{\sin (\frac{ka}{2}\sin (\theta ))} \right\}}^{2}}</math>
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| | |
| * Der Abstand der Spalte ist immer größer als die Breite: a>b
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| * Die Interferenzstreifen aus Spaltbreite modulieren mit niedriger Frequenz
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| * Interferenzstreifen aus Spaltanzahl modulieren mit hoher Frequenz
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| * Für schmale Spalte: Kammfunktion
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| <u>'''5. Materie in elektrischen und magnetischen Feldern'''</u>
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| <u>'''5.1 Polarisation'''</u>
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| Materie enthält mikroskopische elektrisch geladene Bausteine
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| # '''freie Ladungsträger'''
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| Elektronen in Metallen, Elektronen + Löcher in Halbleitern
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| * Beschleunigung in äußeren Feldern, E- Felder, B- Felder über Ohmsches Gesetz und Lorentz-kraft
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| <math>\bar{K}=q\left[ \bar{E}+\left( \bar{v}\times \bar{B} \right) \right]</math>
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| | |
| * elektrische Ströme -> Beschreibung der Materialeigenschaften durch die elektrische Leitfähigkeit
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| *
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| * <math>\sigma </math>
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| *
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| # '''gebundene Ladungen ( In Isolatoren)'''
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| * '''Polarisierung im '''<u>'''E- '''</u>'''Feld'''
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| # '''Für '''<u>'''E '''</u>=0 vorhandene mikroskopische Dipole <u>p</u> werden zur Minimierung der potenziellen Energie
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| Wel.=-<u>p</u> <u>E</u>
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| vorzugsweise ( entgegen der zufälligen thermischen Bewegung) parallel zu <u>E </u>orientiert ( z.B. bei polarisierten Molekülen, Wasser etc... gut zu beobachten !)
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| | |
| # Nicht- polare Atome oder Moleküle werden dann durch <u>E </u> durch Verschiebung der Ladungswolken polarisiert. Es entstehen induzierte elektrische Dipole, die zu <u>E</u> parallel ausgerichtet sind:
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| | |
| <math>\bar{p}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\rho \left( {\bar{r}} \right)\bar{r}\ne 0</math>
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| nach Einschalten des Feldes.
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| Es werden in den Atomen/ Molekülen positive und negative Ladungen getrennt !
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| <u>'''Makroskopische räumliche Mittelung'''</u>
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| Netto- Ladungen entstehen dadurch an den Grenzflächen
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| Dies erzeugt im Inneren ein Polarisationsgegenfeld
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| <math>\begin{align}
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| & \bar{E}\acute{\ }=\bar{E}+{{{\bar{E}}}_{p}} \\
| |
| & {{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}\acute{\ }={{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}+{{\rho }_{P}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| gemäß
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| <math>{{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot {{\bar{E}}_{p}}={{\rho }_{P}}</math>
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| | |
| Das resultierende Gesamtfeld lautet:
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| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{E}\acute{\ }=\bar{E}+{{{\bar{E}}}_{p}} \\
| |
| & {{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}\acute{\ }={{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}+{{\rho }_{P}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Mit der freien Ladungsdichte
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| | |
| <math>{{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}=\rho </math>
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| | |
| Also:
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| | |
| <math>{{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}\acute{\ }=\rho +{{\rho }_{P}}</math>
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| | |
| Die Polarisation selbst bestimmt sich nach
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| <math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right):=-{{\varepsilon }_{0}}{{\bar{E}}_{p}}\left( \bar{r},t \right)</math>
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| | |
| ein makroskopisches lokales Feld, dessen Quelle Polarisationsladungen sind.
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| | |
| Somit:
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \nabla \cdot \left( {{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\acute{\ }+\bar{P} \right)=\rho \\
| |
| & \nabla \cdot \bar{P}=-{{\rho }_{P}} \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Als Dielektrische Verschiebung bezeichnen wir
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| | |
| <math>\bar{D}(\bar{r},t)=\left( {{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\acute{\ }+\bar{P} \right)</math>
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| Dies ist die effektive makroskopische Feldgröße, als dessen Quellen nur noch die freien Ladungen ( ohne Polarisationsladungen) auftreten:
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| <math>\nabla \cdot \bar{D}=\rho </math>
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| Wir bezeichnen mit
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| <math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right)d\bar{f}=d{{Q}_{P}}</math>
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| die Polarisationsladung, die beim Übergang vom unpolarisierten zum polarisierten Zustand durch die Fläche df verschoben wird:
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| Denn ( bei Betrachtung eines Volumens V, das durch df begrenzt ist):
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| <math>\oint_{\partial V}{{}}\bar{P}\left( \bar{r},t \right)d\bar{f}=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\nabla \cdot \bar{P}\left( \bar{r},t \right)=-\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r}{{\rho }_{P}}</math>
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| = Polarisationsladung, die V verläßt !
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| <u>'''Zusammenhang mikroskopische elektrische Dipole / makroskopische Größen:'''</u>
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| <math>{{\rho }_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{q}_{i}}\delta \left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}(t) \right)</math>
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| ( mikroskopische Ladungsdichte)
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| <math>{{\bar{P}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{\bar{p}}_{i}}\delta \left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}(t) \right)</math>
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| ( mikroskopische Dipoldichte) mit:
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| <math>\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r{{{\bar{P}}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{{\bar{p}}}_{i}}}</math>
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| Mittelung über ein kleines makroskopisches Volumen
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| <math>\Delta V:</math>
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| <math>{{\left( \Delta V \right)}^{\frac{1}{3}}}<<</math>
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| Längenskala der makroskopischen Dichtevariation
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| Somit:
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| <math>\rho \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right)</math>
| |
| ( makroskopische Ladungsdichte)
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| <math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\bar{P}}_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right)</math>
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| Also: Die makroskopische Dipoldichte ist GLEICH DER POLARISATION !!
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| '''Beweis:'''
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| Betrachten wir das mikroskopische retardierte Potenzial:
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| <math>{{\Phi }_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math>
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| | |
| wobei unter dem Integral die mikroskopische Ladungsdichte einzusetzen ist !
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| Das makroskopisch gemittelte Potenzial folgt dann gemäß
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| <math>\begin{align}
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| & \Phi \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\Phi }_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)}{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\
| |
| & \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }:=\bar{r}\acute{\ }-\bar{s} \\
| |
| & \Phi \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\acute{\ }\frac{{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right)}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|} \\
| |
| & =\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right) \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Wobei
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| <math>\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right)=\rho \left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right)</math>
| |
| | |
| Die makroskopische Ladungsdichte ist !
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| <math>\begin{align}
| |
| & \Rightarrow \Phi \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right) \\
| |
| & =\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}\rho \left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right) \\
| |
| \end{align}</math>
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| '''Analog:'''
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| Das mikroskopische Potenzial der elektrischen Dipole
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| <math>{{\bar{p}}_{i}}</math>
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| :
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| <math>{{\Phi }_{m}}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}{{\nabla }_{r}}\left\{ \sum\limits_{i}{{}}\frac{1}{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{{{\bar{p}}}_{i}}\left( t-\frac{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{c} \right) \right\}</math>
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| | |
| mit dem mikroskopischen Dipolmoment
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| <math>{{\bar{p}}_{i}}\left( t-\frac{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{c} \right)</math>
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| | |
| Analog:
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| | |
| <math>{{\Phi }_{m}}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{{\bar{P}}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}</math>
| |
| | |
| mit der mikroskopischen Dipoldichte
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| <math>{{\bar{P}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)</math>
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| | |
| Somit ergibt sich für das makroskopisch gemittelte elektrische Potenzial:
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| <math>\begin{align}
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| & \Phi \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\Phi }_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right) \\
| |
| & =-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{{\bar{P}}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\} \\
| |
| & =-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\} \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| '''Umformung:'''
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| | |
| <math>{{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}=-{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}+Korrektur</math>
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| | |
| Dabei haben wir das Problem , dass beim Übergang zur gestrichenen Ableitung hier auch nach dem Argument r´ von P abgeleitet wird. Also müssen wir dies wieder abziehen:
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| <math>\begin{align}
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| & {{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}=-{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}+\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \\
| |
| & t\acute{\ }=t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \\
| |
| & {{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}=-{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}+\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right) \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Also folgt für das Potenzial:
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| Dies ist das makroskopische Potenzial einer Polarisationsladungsdichte
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| <math>{{\rho }_{p}}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right)=\left( -{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right) \right)</math>
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| | |
| Damit können wir die makroskopische Dipoldichte
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| <math>\bar{P}</math>
| |
| mit der durch
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| <math>\bar{P}:=-{{\varepsilon }_{0}}{{\bar{E}}_{p}}</math>
| |
| bzw.
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| <math>\nabla \cdot \bar{P}=-{{\rho }_{p}}</math>
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| definierten Polarisation identifizieren.
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| <u>'''5.2 Magnetisierung'''</u>
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| Mirkoskopische Ursache für den Magnetismus der Materie sind mikroskopische Kreisströme bzw. mikroskopische magnetische Dipolmomente
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| <math>\bar{m}</math>
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| :
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| a) Für
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| <math>\bar{B}=0</math>
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| vorhandene, permanente magnetische Momente
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| <math>\bar{m}</math>
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| werden zur Minimierung der potenziellen Energie
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| <math>{{W}_{mag.}}=-\bar{m}\bar{B}</math>
| |
| vorzugsweise ( entgegen der thermischen Bewegung) parallel zum äußeren B- Feld orientiert. Beispiel: Spin- Bahn- Momente von Elektronen
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| * paramagnetisches Verhalten
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| # durch B können nach dem Faradayschen Induktionsgesetz Kreisströme freier oder gebundener Ladungen induziert werden. Wegen der Lenzschen Regel ist die induzierte Magnetisierung antiparallel zum äußeren B- Feld.
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| * diamagnetisches Verhalten !
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| <u>'''Makroskopisch gemittelte Felder'''</u>
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| mikroskopische magnetische Dipoldichte:
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| Wie bei Polarisationsdichte:
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| | |
| <math>\begin{align}
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| & {{{\bar{M}}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{{\bar{m}}}_{i}}(t)\delta \left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right) \\
| |
| & {{{\bar{P}}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{{\bar{p}}}_{i}}(t)\delta \left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right)\quad el.Dipoldichte \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Mittelung über ein kleines, makroskopisches Volumen
| |
| <math>\Delta V</math>
| |
| :
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| | |
| <math>\bar{M}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\bar{M}}_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right)</math>
| |
| | |
| '''makroskopische magnetische Dipoldichte:= Magnetisierung'''
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| <u>'''Ziel:'''</u>
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| Zusammenhang zwischen der magnetischen Dipoldichte
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| <math>\bar{M}\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| und den effektiven Feldern
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| <math>\bar{B}</math>
| |
| in der Materie finden.
| |
| Hierzu zeige man, dass eine Magnetisierungsstromdichte
| |
| <math>{{\bar{j}}_{M}}</math>
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| als Quelle der Felder eingeführt werden kann:
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| <math>\nabla \times {{\bar{B}}_{M}}={{\mu }_{0}}{{\bar{j}}_{M}}</math>
| |
| | |
| bzw.
| |
| | |
| <math>\nabla \times \bar{M}={{\bar{j}}_{M}}</math>
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| | |
| '''effektive Gesamtinduktion ( im stationären Fall):'''
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{B}\acute{\ }=\bar{B}+{{{\bar{B}}}_{M}} \\
| |
| & \Rightarrow \nabla \times \left( \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\acute{\ } \right)=\nabla \times \left( \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B} \right)+{{{\bar{j}}}_{M}}=\bar{j}+{{{\bar{j}}}_{M}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Also: Erzeugung des B- Feldes ( Differenz aus effektiver Gesamtinduktion und Magnetisierung) durch den sogenannte freien Strom <u>j :</u>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{B}\acute{\ }=\bar{B}+{{{\bar{B}}}_{M}} \\
| |
| & \nabla \times \left( \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\acute{\ }-\bar{M} \right)=\bar{j} \\
| |
| & \bar{H}=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\left( \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\acute{\ }-{{{\bar{B}}}_{M}} \right)=\frac{{\bar{B}}}{{{\mu }_{0}}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Betrachten wir das Vektorpotenzial der mikroskopischen elektrischen und magnetischen Dipole:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{{\bar{A}}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\sum\limits_{i}{{}}\left[ \frac{1}{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{{{\dot{\bar{p}}}}_{i}}\left( t-\frac{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{c} \right)+\nabla \times \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{{{\bar{m}}}_{i}}\left( t-\frac{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{c} \right) \right) \right] \\
| |
| & {{{\bar{p}}}_{i}}\left( t-\frac{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{c} \right)\quad elektrDipolmoment \\
| |
| & {{{\bar{m}}}_{i}}\left( t-\frac{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{c} \right)\quad magnetDipolmoment \\
| |
| & \Rightarrow {{{\bar{A}}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left[ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{{\dot{\bar{p}}}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{\nabla }_{r}}\times \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{{\bar{M}}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right) \right] \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| mit der mikroskopischen elektrischen Dipoldichte
| |
| | |
| <math>{{\bar{p}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)</math>
| |
| | |
| und der magnetischen Dipoldichte
| |
| | |
| <math>{{\bar{M}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)</math>
| |
| | |
| '''Als makroskopisch gemitteltes Potenzial:'''
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{{\bar{A}}}_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right) \\
| |
| & =\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left[ \frac{1}{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{{\dot{\bar{p}}}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{\nabla }_{r}}\times \left( \frac{1}{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{{\bar{M}}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right) \right] \\
| |
| & ==\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left[ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\dot{\bar{P}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{\nabla }_{r}}\times \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right) \right] \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| '''Wobei '''nur die makroskopischen Dichten einzusetzen sind ( vergleiche oben)
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| | |
| Umformung liefert:
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left[ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\dot{\bar{P}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{\nabla }_{r}}\times \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right) \right] \\
| |
| & \int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\times \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right)= \\
| |
| & =-\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\times \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right)+\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\times \bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right) \\
| |
| & t\acute{\ }=t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \\
| |
| & \int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\times \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right)=0 \\
| |
| & \Rightarrow \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left[ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\dot{\bar{P}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\times \bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right) \right] \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| '''Definition'''
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| <math>\begin{align}
| |
| & \dot{\bar{P}}={{{\bar{j}}}_{p}} \\
| |
| & {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\times \bar{M}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right)={{{\bar{j}}}_{M}} \\
| |
| \end{align}</math>
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| Ersteres: Polarisationsstromdichte
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| '''Letzteres: Magnetisierungsstromdichte'''
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| '''Also:'''
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| <math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\left[ {{{\bar{j}}}_{p}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{{\bar{j}}}_{M}}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right) \right]</math>
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| | |
| Das heißt, das makroskopisch gemittelte retardierte Vektorpotenzial wird durch die Polarisations- und Magnetisierungsstromdichten im Medium erzeugt !
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| | |
| es gilt der Erhaltungssatz:
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \frac{\partial }{\partial t\acute{\ }}{{\rho }_{p}}=-\nabla \cdot \dot{\bar{P}}=-\nabla \cdot {{{\bar{j}}}_{p}} \\
| |
| & \Rightarrow {{{\dot{\rho }}}_{p}}+\nabla \cdot {{{\bar{j}}}_{p}}=0 \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Kontinuitätsgleichung für die Erhaltung der Polarisationsladung !
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| <u>'''5.3 Maxwell- Gleichungen in Materie'''</u>
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| Die vollständigen Potenziale enthalten
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| * die freie Ladungs- und Stromdichten
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| * <math>\rho ,\bar{j}</math>
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| *
| |
| * die Polarisations- und Magnetisierungsbeiträge
| |
| * <math>{{\rho }_{p}},{{\bar{j}}_{p}},{{\bar{j}}_{m}}</math>
| |
| *
| |
| | |
| Somit folgt für die vollständigen Potenziale:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & t\acute{\ }=t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \\
| |
| & \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\left[ \bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{{\bar{j}}}_{P}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{{\bar{j}}}_{M}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right] \\
| |
| & \Phi \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\left[ \rho \left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{\rho }_{P}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right] \\
| |
| & \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Diese Potenziale sind Lösungen der inhomogenen Wellengleichung in Lorentz- Eichung
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{\acute{\ }0}}\left[ \bar{j}+{{{\bar{j}}}_{P}}+{{{\bar{j}}}_{M}} \right] \\
| |
| & \#\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\left[ \rho +{{\rho }_{P}} \right] \\
| |
| & \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Für die Felder in Materie folgt:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| & \bar{B}=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Daraus folgen die Maxwell- Gleichungen:
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & 1)\nabla \times \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\
| |
| & 2)\nabla \cdot \bar{B}=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| * Wie im Vakuum
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & 3)\nabla \cdot \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\nabla \cdot \nabla \Phi \\
| |
| & \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \\
| |
| & \Rightarrow \nabla \cdot \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\nabla \cdot \nabla \Phi =\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\Phi -\Delta \Phi =-\#\Phi \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| In Lorentz Eichung !
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| | |
| <math>\nabla \cdot \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\nabla \cdot \nabla \Phi =\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\Phi -\Delta \Phi =-\#\Phi =\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\left( \rho +{{\rho }_{p}} \right)=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\left( \rho -\nabla \cdot \bar{P} \right)</math>
| |
| | |
| per Definition von
| |
| <math>{{\rho }_{p}}</math>
| |
| .
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \Rightarrow 3)\nabla \cdot \left( {{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+\bar{P}\left( \bar{r},t \right) \right)=\rho \left( \bar{r},t \right) \\
| |
| & \left( {{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+\bar{P}\left( \bar{r},t \right) \right):=\bar{D}\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| & \Rightarrow \nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\rho \left( \bar{r},t \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Die Dielektrische Verschiebung
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| | |
| 4) Letzte Gleichung:
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \nabla \times \bar{B}\left( \bar{r},t \right)=\nabla \times \left( \nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)-\Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| & \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \\
| |
| & \Rightarrow \nabla \times \bar{B}\left( \bar{r},t \right)=-\Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\nabla \Phi \\
| |
| & \nabla \Phi =-\bar{E}-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| & \Rightarrow \nabla \times \bar{B}\left( \bar{r},t \right)=-\Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right)+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E} \\
| |
| & ={{\mu }_{0}}\left( \bar{j}+{{{\bar{j}}}_{P}}+{{{\bar{j}}}_{M}} \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E} \\
| |
| & {{{\bar{j}}}_{P}}=\dot{\bar{P}} \\
| |
| & {{{\bar{j}}}_{M}}=\nabla \times \bar{M} \\
| |
| & \Rightarrow \nabla \times \bar{B}\left( \bar{r},t \right)={{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\left( \bar{P}+{{\varepsilon }_{0}}\bar{E} \right)+{{\mu }_{0}}\nabla \times \bar{M}+{{\mu }_{0}}\bar{j} \\
| |
| & \Rightarrow 4) \\
| |
| & \Rightarrow \nabla \times \left( \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\left( \bar{r},t \right)-\bar{M} \right)=\bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D} \\
| |
| & \left( \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\left( \bar{r},t \right)-\bar{M} \right)=H\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| & \Rightarrow \nabla \times H\left( \bar{r},t \right)=\bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Mit dem Magnetfeld
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| <math>H\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| , welches so definiert wurde, dass es nur durch die FREIEN Ströme erzeugt wird:
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| <u>'''Zusammenfassung:'''</u>
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| <math>\begin{align}
| |
| & 1)\nabla \times \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\
| |
| & 2)\nabla \cdot \bar{B}=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <math>3)\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\rho \left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| | |
| <math>4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)=\bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}</math>
| |
| | |
| <math>4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=\bar{j}</math>
| |
| | |
| Dabei beschreibt
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & 1)\nabla \times \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\
| |
| & 2)\nabla \cdot \bar{B}=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| die Wechselwirkung der Felder mit Probeladungen und
| |
| | |
| <math>3)\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\rho \left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| | |
| <math>4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=\bar{j}</math>
| |
| | |
| die Erzeugung der Felder durch FREIE Ladungen und Ströme
| |
| | |
| Weiter:
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{D}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+\bar{P}\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| & \bar{H}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\left( \bar{r},t \right)-\bar{M}\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Im Gauß System ( weil so oft in diesem angegeben, vergl. Jackson):
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & 1)\nabla \times \bar{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}=0 \\
| |
| & 2)\nabla \cdot \bar{B}=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <math>3)\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=4\pi \rho \left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| | |
| <math>4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=\frac{4\pi }{c}\bar{j}</math>
| |
| | |
| die Erzeugung der Felder durch FREIE Ladungen und Ströme
| |
| | |
| Weiter:
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & 5)\bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+4\pi \bar{P}\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| & 6)\bar{H}\left( \bar{r},t \right)=\bar{B}\left( \bar{r},t \right)-4\pi \bar{M}\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Unsere 6 Feldgleichungen ( wenn man so will, also ( es kann nicht oft genug gezeigt werden):
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & 1)\nabla \times \bar{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}=0 \\
| |
| & 2)\nabla \cdot \bar{B}=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <math>3)\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=4\pi \rho \left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| | |
| <math>4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=\frac{4\pi }{c}\bar{j}</math>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & 5)\bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+4\pi \bar{P}\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| & 6)\bar{H}\left( \bar{r},t \right)=\bar{B}\left( \bar{r},t \right)-4\pi \bar{M}\left( \bar{r},t \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| sind nicht vollständig. Es muss noch der Zusammenhang zwischen Polarisation und E- Feld, bzw. B- Feld und Magnetisierung angegeben werden. Dies sind die sogenannten " Materialgleichungen".
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| | |
| <u>'''Einfachster Fall:'''</u>
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| | |
| # isotrope Materie:
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| <math>\bar{E}\left( \bar{r},t \right)||\bar{P}\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| | |
| und für paramagnetische Stoffe
| |
| <math>\bar{B}\left( \bar{r},t \right)\uparrow \uparrow \bar{M}\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| | |
| für diamagnetische Stoffe:
| |
| <math>\bar{B}\left( \bar{r},t \right)\uparrow \downarrow \bar{M}\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| ,
| |
| also ein skalarer Zusammenhang
| |
| | |
| # bei nicht zu hohen Feldern:
| |
| | |
| <math>\bar{E}\tilde{\ }\bar{P}</math>
| |
| | |
| <math>\bar{B}\tilde{\ }\bar{M}</math>
| |
| | |
| also ein linearer Zusammenhang
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| | |
| # ohne Gedächtniseffekte, keine nichtlokale Wechselwirkung ( keine Phasenkohärenzen):
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| | |
| <math>\bar{E}\left( \bar{r},t \right)\tilde{\ }\bar{P}\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| | |
| <math>\bar{B}\left( \bar{r},t \right)\tilde{\ }\bar{M}\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| | |
| neben der Linearität also ein INSTANTANER, LOKALER Zusammenhang !
| |
| | |
| Dann kann man schreiben:
| |
| | |
| <math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}{{\chi }_{e}}\bar{E}\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| | |
| <math>\bar{M}\left( \bar{r},t \right)={{\chi }_{M}}\bar{H}\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| | |
| Mit den Suszeptibilitäten, der elektrischen Suszeptibilität
| |
| | |
| <math>{{\chi }_{e}}</math>
| |
| und der magnetischen Suszeptibilität
| |
| <math>{{\chi }_{M}}</math>
| |
| ( Materialkonstanten).
| |
| Die Materialkonstanten müssen aus den mikroskopischen Theorien ( z.B. Quantentheorie, Festkörperphysik) abgeleitet werden.
| |
| | |
| <math>\bar{D}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+\bar{P}={{\varepsilon }_{0}}\left( 1+{{\chi }_{e}} \right)\bar{E}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\varepsilon \bar{E}\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| | |
| mit
| |
| | |
| <math>\varepsilon =\left( 1+{{\chi }_{e}} \right)</math>
| |
| , der relativen Dielektrizitätskonstante ( permittivity)
| |
| | |
| <math>\bar{B}={{\mu }_{0}}\left( \bar{H}+\bar{M} \right)={{\mu }_{0}}\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)\bar{H}\left( \bar{r},t \right)={{\mu }_{0}}\mu \bar{H}</math>
| |
| | |
| mit
| |
| | |
| <math>\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)=\mu </math>
| |
| , der relativen Permeabilität
| |
| | |
| <math>\Rightarrow \bar{M}={{\chi }_{M}}\bar{H}=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\frac{{{\chi }_{M}}}{\mu }\bar{B}=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\frac{{{\chi }_{M}}}{\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)}\bar{B}</math>
| |
| | |
| Man sagt:
| |
| Ein Stoff ist paramagnetisch für
| |
| <math>\frac{{{\chi }_{M}}}{\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)}>0</math>
| |
| | |
| diamagnetisch für
| |
| <math>\frac{{{\chi }_{M}}}{\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)}<0</math>
| |
| | |
| paramagnetisch:
| |
| <math>{{\chi }_{M}}>0\Rightarrow \mu >1</math>
| |
| | |
| diamagnetisch
| |
| <math>0>{{\chi }_{M}}>-1\Rightarrow 0<\mu <1</math>
| |
| | |
| Bemerkungen
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| | |
| <math>\bar{E}\left( \bar{r},t \right)=0\Rightarrow \bar{P}=0</math>
| |
| beschreibt kein Ferroelektrikum
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| <math>\bar{B}=0\Rightarrow \bar{M}=0</math>
| |
| kein Ferromagnet
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| | |
| Es gilt stets
| |
| <math>{{\chi }_{e}}>0</math>
| |
| ( Dielektrischer Effekt, Polarisierbarkeit -> es existiert keine negative Polarisierbarkeit)
| |
| | |
| <math>{{\chi }_{M}}\begin{matrix}
| |
| > \\
| |
| < \\
| |
| \end{matrix}0</math>
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| Para- ODER Diamagnet
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| Ein Term
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| <math>\tilde{\ }\bar{B}</math>
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| in
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| <math>\bar{P}</math>
| |
| oder
| |
| <math>\tilde{\ }\bar{E}</math>
| |
| in
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| <math>\bar{M}</math>
| |
| kann gar nicht auftreten, schon wegen des falschen Raumspiegelverhaltens !
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| <math>\bar{E}</math>
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| ist polarer Vektor,
| |
| <math>\bar{B}</math>
| |
| ist axialer Vektor !
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| | |
| <math>{{\rho }_{P}}\left( \bar{r},t \right)=-\nabla \cdot \bar{P}\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| ist ein Skalar
| |
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| <math>{{\bar{j}}_{M}}=rot\bar{M}</math>
| |
| ist ein polarer Vektor.
| |
| | |
| <u>'''Abweichungen'''</u>
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| 1)Für anisotrope Kristalle :
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| <math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}{{\bar{\bar{\chi }}}_{e}}\bar{E}</math>
| |
| | |
| drückt den anisotropen Charakter aus mit einem symmetrischen Tensor
| |
| <math>{{\bar{\bar{\chi }}}_{e}}</math>
| |
| .
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| | |
| 2) für starke Felder gibt es nichtlineare Effekte, die ebenfalls tensoriellen Charakter der Suszeptibilität bedingen:
| |
| | |
| <math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\left( {{{\bar{\bar{\chi }}}}_{e}}^{(1)}\bar{E}+{{{\bar{\bar{\chi }}}}_{e}}^{(2)}{{{\bar{E}}}^{2}}+{{{\bar{\bar{\chi }}}}_{e}}^{(3)}{{{\bar{E}}}^{3}}+... \right)</math>
| |
| | |
| Anwendung: optische Nichtlinearität,
| |
| Beispiel: optische Bistabilität, optische Schalter:
| |
| | |
| | |
| Für hochfrequente Felder folgt:
| |
| | |
| <math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }dt\acute{\ }{{\chi }_{e}}\left( \bar{r},\bar{r}\acute{\ },t,t\acute{\ } \right)\bar{E}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right)</math>
| |
| | |
| ( räumliche bzw. zeitliche Dispersion):
| |
| | |
| <math>\hat{\bar{P}}\left( \bar{k},\omega \right)={{\varepsilon }_{0}}{{\hat{\chi }}_{e}}\left( \bar{k},\omega \right)\hat{\bar{E}}\left( \bar{k},\omega \right)</math>
| |
| | |
| <u>'''5.4 Grenzbedingungen für Felder'''</u>
| |
| | |
| _ Frage ist: Wie verhalten sich
| |
| <math>\bar{B},\bar{H},\bar{D},\bar{E}</math>
| |
| an Grenzflächen, die verschiedene elektrische und magnetische Materialien ( Vakuum/ Materie) trennen ?
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| | |
| '''Integration der Maxwell- Gleichungen über ein Volumen V:'''
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| | |
| <math>\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\rho \left( \bar{r},t \right)=Q=\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| | |
| <math>\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)=\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\left( \bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D} \right)</math>
| |
| | |
| '''Bildlich:'''
| |
| | |
| '''Normalkomponenten:'''
| |
| '''Betrachte einen Zylinder, '''der senkrecht auf einer Grenzfläche steht.
| |
| Nun nimmt man die Maxwellgleichungen in integraler Schreibweise an und läßt den Zylinder unter Berücksichtigung von Integrationssätzen gegen Null- Höhe gehen:
| |
| | |
| also: Für die Normalkomponenten: h -> 0
| |
|
| |
| Während also die Normalkomponente des B- Feldes an der Grenzfläche stetig ist,
| |
| springt die Normalkomponente der dielektrischen Verschiebung um die Ladung, die an der Grenzfläche sitzt:
| |
| Unter der Annahme, dass die Grenzfläche die freie Flächenladungsdichte
| |
| <math>\sigma </math>
| |
| trägt:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \rho \left( \bar{r},t \right)=\sigma \left( x,y,t \right)\delta \left( z \right) \\
| |
| & {{{\bar{e}}}_{z}}\equiv \bar{n} \\
| |
| & \Rightarrow \begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| h->0 \\
| |
| \end{matrix}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\rho \left( \bar{r},t \right)=Q=\int_{F}^{{}}{{}}df\sigma \left( x,y,t \right) \\
| |
| & \begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| h->0 \\
| |
| \end{matrix}\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\int_{F}^{{}}{{}}d\bar{f}\left( {{{\bar{D}}}^{(1)}}-{{{\bar{D}}}^{(2)}} \right)=\int_{F}^{{}}{{}}df\bar{n}\left( {{{\bar{D}}}^{(1)}}-{{{\bar{D}}}^{(2)}} \right)=\int_{F}^{{}}{{}}df\sigma \left( x,y,t \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <math>\begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| h->0 \\
| |
| \end{matrix}\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\cdot \bar{B}=\int_{F}^{{}}{{}}d\bar{f}\left( {{{\bar{B}}}^{(1)}}-{{{\bar{B}}}^{(2)}} \right)=\int_{F}^{{}}{{}}df\bar{n}\left( {{{\bar{B}}}^{(1)}}-{{{\bar{B}}}^{(2)}} \right)=0</math>
| |
| | |
| Somit müssen die Integranden übereinstimmen:
| |
| | |
| <math>\bar{n}\left( {{{\bar{B}}}^{(1)}}-{{{\bar{B}}}^{(2)}} \right)=0</math>
| |
| | |
| <math>\bar{n}\left( {{{\bar{D}}}^{(1)}}-{{{\bar{D}}}^{(2)}} \right)=\sigma \left( x,y,t \right)</math>
| |
| | |
| <u>'''Tangentialkomponenten'''</u>
| |
| | |
| <u>'''Anwendung des verallgemeinerten Gaußschen Satz:'''</u>
| |
| | |
| <math>1)\nabla \times \bar{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}=0</math>
| |
| | |
| <math>4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=\frac{4\pi }{c}\bar{j}</math>
| |
| | |
| <math>\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\nabla \times \bar{E}=-\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}</math>
| |
| | |
| <math>\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)=\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\left( \bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D} \right)</math>
| |
| | |
| Auch hier: h-> 0
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\nabla \times \bar{E}=\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\times \bar{E}=-\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\
| |
| & \int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)=\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\times H\left( \bar{r},t \right)=\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\left( \bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D} \right) \\
| |
| & \begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| h->0 \\
| |
| \end{matrix}\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\times \bar{E}=\oint\limits_{\partial V}{{}}df\bar{n}\times \left( {{{\bar{E}}}^{(1)}}-{{{\bar{E}}}^{(2)}} \right) \\
| |
| & \begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| h->0 \\
| |
| \end{matrix}\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\times H\left( \bar{r},t \right)=\oint\limits_{\partial V}{{}}df\bar{n}\times \left( H{{\left( \bar{r},t \right)}^{(1)}}-H{{\left( \bar{r},t \right)}^{(2)}} \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| In beiden Fällen die Tangentialkomponenten der Felder ! senkrecht auf Flächenvektor und Feld
| |
| | |
| Wegen:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| h->0 \\
| |
| \end{matrix}\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\times \bar{E}=\oint\limits_{\partial V}{{}}df\bar{n}\times \left( {{{\bar{E}}}^{(1)}}-{{{\bar{E}}}^{(2)}} \right)=-\begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| h->0 \\
| |
| \end{matrix}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\
| |
| & \begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| h->0 \\
| |
| \end{matrix}\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\times H\left( \bar{r},t \right)=\oint\limits_{\partial V}{{}}df\bar{n}\times \left( H{{\left( \bar{r},t \right)}^{(1)}}-H{{\left( \bar{r},t \right)}^{(2)}} \right)=\begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| h->0 \\
| |
| \end{matrix}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\left( \bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D} \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Annahme: Grenzfläche trägt (freie) Flächenstromdichte
| |
| <math>\begin{align}
| |
| & {\bar{g}} \\
| |
| & \Rightarrow \bar{j}\left( \bar{r},t \right)=\bar{g}\left( x,y,t \right)\delta \left( z \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| wie es bei metallen der Fall ist !,
| |
| dann:
| |
| | |
| <math>\begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| h->0 \\
| |
| \end{matrix}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\bar{j}=\int_{F}^{{}}{{}}df\bar{g}</math>
| |
| | |
| Weiter:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| h->0 \\
| |
| \end{matrix}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\
| |
| & \begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| h->0 \\
| |
| \end{matrix}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\frac{\partial }{\partial t}\bar{D} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| können für Volumenintegrale mit verschwindendem Volumen nur einen Beitrag liefern, wenn
| |
| <math>\frac{\partial }{\partial t}\bar{B},\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}</math>
| |
| Unendlichkeitsstellen besitzen.
| |
| | |
| Annahme:
| |
| | |
| <math>\bar{B},\bar{D}</math>
| |
| und
| |
| <math>\frac{\partial }{\partial t}\bar{B},\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}</math>
| |
| sind beschränkt:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| h->0 \\
| |
| \end{matrix}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}=0 \\
| |
| & \begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| h->0 \\
| |
| \end{matrix}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=0 \\
| |
| & \begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| h->0 \\
| |
| \end{matrix}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\left( \bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D} \right)=\int_{F}^{{}}{{}}df\bar{g}(x,y,t) \\
| |
| & \oint\limits_{\partial V}{{}}df\bar{n}\times \left( {{{\bar{E}}}^{(1)}}-{{{\bar{E}}}^{(2)}} \right)=0 \\
| |
| & \oint\limits_{\partial V}{{}}df\bar{n}\times \left( H{{\left( \bar{r},t \right)}^{(1)}}-H{{\left( \bar{r},t \right)}^{(2)}} \right)=\int_{F}^{{}}{{}}df\bar{g}(x,y,t) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Somit haben wir die Grenzbedingungen für die Tangentialkomponenten:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{n}\times \left( {{{\bar{E}}}^{(1)}}-{{{\bar{E}}}^{(2)}} \right)=0 \\
| |
| & \bar{n}\times \left( H{{\left( \bar{r},t \right)}^{(1)}}-H{{\left( \bar{r},t \right)}^{(2)}} \right)=\bar{g}(x,y,t) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Das heißt:
| |
| | |
| Die Tangentialkomponente des elektrischen Feldes E ist am Grenzübergang stetig
| |
| Die Tangentialkomponente des magnetischen Feldes H springt am Grenzübergang um die Flächenstromdichte !
| |
| | |
| Bildlich:
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| Sitzen Ladungen an einer Grenzfläche, so ist die Normalkomponente von D ( wichtig: Polarisationseffekt -> Polarisation muss irgendwo mit auftauchen) nicht stetig !
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| Fließen flächenartige Ströme entlang einer Grenzfläche, so ist die Tangentialkomponente von H nicht stetig !
| |
| | |
| <u>'''Zusammenfassung:'''</u>
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| | |
| <math>\delta \bar{E}:=\left( {{{\bar{E}}}^{(1)}}-{{{\bar{E}}}^{(2)}} \right)</math>
| |
| | |
| <u>'''Maxwellgleichung Grenzbedingung'''</u>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & 1)\nabla \times \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \bar{n}\times \delta \bar{E}=0 \\
| |
| & 2)\nabla \cdot \bar{B}=0\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \bar{n}\cdot \delta \bar{B}=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <math>3)\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\rho \left( \bar{r},t \right)\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \bar{n}\cdot \delta \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\sigma </math>
| |
| | |
| <math>4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)=\bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \bar{n}\times \delta H\left( \bar{r},t \right)=\bar{g}</math>
| |
| | |
| Also: die Tangenzialkomponente von E ist stetig
| |
| Die Normalkomponente von D springt um die Flächenladungsdichte ( Flächendivergenz)
| |
| Die Tangentialkomponente von H springt ( Flächenrotation) um die Flächenstromdichte
| |
| Die Normalkomponente von B ist stetig.
| |
| | |
| '''Beispiele:'''
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| # Grenzfläche zwischen 2 dielektrischen Materialien mit
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{\varepsilon }^{(1)}}<{{\varepsilon }^{(2)}} \\
| |
| & \sigma =0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| | |
| Zuerst zeichne man sich ein derartiges Diagramm hin !
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{{\bar{E}}}_{t}}^{(1)}={{{\bar{E}}}_{t}}^{(2)} \\
| |
| & {{{\bar{D}}}_{n}}^{(1)}={{{\bar{D}}}_{n}}^{(2)} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| letzteres wegen der verschwindenden Flächenladungsdichte !
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{{\bar{E}}}_{t}}^{(1)}={{{\bar{E}}}_{t}}^{(2)} \\
| |
| & {{{\bar{D}}}_{n}}^{(1)}={{{\bar{D}}}_{n}}^{(2)}\Rightarrow {{\varepsilon }_{1}}{{{\bar{E}}}_{n}}^{(1)}={{\varepsilon }_{2}}{{{\bar{E}}}_{n}}^{(2)} \\
| |
| & \Rightarrow {{{\bar{E}}}_{n}}^{(2)}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}}{{{\varepsilon }_{2}}}{{{\bar{E}}}_{n}}^{(1)} \\
| |
| & \tan {{\alpha }_{1}}=\frac{{{{\bar{E}}}_{t}}^{(1)}}{{{{\bar{E}}}_{n}}^{(1)}}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}}{{{\varepsilon }_{2}}}\frac{{{{\bar{E}}}_{t}}^{(2)}}{{{{\bar{E}}}_{n}}^{(2)}}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}}{{{\varepsilon }_{2}}}\tan {{\alpha }_{2}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Dies ist das Brechungsgesetz für die Feldlinien
| |
| | |
| Achtung ! Das Snelliussche Brechungsgesetz müsste man sich für den Verlauf des Energiestroms berechnen
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| | |
| # <u>'''Grenzfläche zwischen Vakuum ( Luft) und magnetischem Material'''</u>
| |
| | |
| <u>'''2.1 Sei '''</u>speziell
| |
| <math>\bar{B}\bot </math>
| |
| Grenzfläche ( z.B. zwischen den Polschuhen eines Ringmagneten mit Luft dazwischen / Material genauso !)):
| |
| In diesem Fall (keine Oberflächenströme) ist
| |
| <math>\bar{B}</math>
| |
| grundsätzlich stetig !
| |
| B ist eh immer grundsätzlich stetig ! Wegen der Divergenzgleichung wird B immer ( wie D´) für Normalkomponenten herangezogen.
| |
| | |
| # <u>'''Paramagnetisch:'''</u>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}=\bar{M}+\bar{H} \\
| |
| & \bar{M}\uparrow \uparrow \bar{H} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| | |
| # <u>'''Paramagnetisch:'''</u>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}=\bar{M}+\bar{H} \\
| |
| & \bar{M}\uparrow \downarrow \bar{H} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| | |
| <u>'''2.2 Sei '''</u>speziell
| |
| <math>\bar{B}||</math>
| |
| Grenzfläche ( z.B. lange Spule mit Luft dazwischen / Material genauso !)):
| |
| Wir müssen nun Tangentialkomponenten untersuchen. Dazu nimmt man die Rotationsgleichungen ( E und H):
| |
| | |
| In diesem Fall ist
| |
| <math>\bar{H}</math>
| |
| stetig für
| |
| <math>\bar{g}=0</math>
| |
| ( kein Oberflächenstrom)
| |
| | |
| <u>'''5.5 Mikroskopisches Modell der Polarisierbarkeit'''</u>
| |
| | |
| Ziel: Berechnung der Materialkonstanten
| |
| | |
| <u>'''5.5 Mikroskopisches Modell der Polarisierbarkeit'''</u>
| |
| | |
| Ziel: Berechnung der Materialkonstanten
| |
| <math>{{\chi }_{e}}</math>
| |
| aus einfachen mikroskopischen Modellen
| |
| Methode: Berechne die induzierte mittlere elektrische Dipoldichte
| |
| <math>\bar{P}</math>
| |
| für ein gegebenes Feld
| |
| <math>\bar{E}</math>
| |
| .
| |
| | |
| '''Nebenbemerkung: '''Die Orientierungspolarisation ist nur mittels einer thermodynamischen- statistischen Theorie zu berechnen: Hier: Auseinandersetzung nur mit der " induzierten" Polarisation
| |
| | |
| <u>'''Klassisches Atommodell:'''</u>
| |
| | |
| homogen geladene Kugel mit Radius R und Elektronenladung
| |
| <math>{{Q}_{e}}=-Ze<0</math>
| |
| | |
| Außerdem ein punktförmiger Kern mit
| |
| <math>{{Q}_{k}}=+Ze>0</math>
| |
| am Ort
| |
| <math>{{\bar{r}}_{k}}</math>
| |
| | |
| '''Merke:'''
| |
| | |
| Auch diese Berechnungen geschehen, wie im NOTFALL grundsätzlich zu empfehlen, durch Lösen integraler Darstellungen der Maxwellgleichungen
| |
| | |
| Ziel: Berechnung des elektrischen Feldes
| |
| <math>{{\bar{E}}_{el.}}\left( {\bar{r}} \right)</math>
| |
| der Elektronen nach außen:
| |
| | |
| Gauß- Gesetz
| |
| | |
| | |
| <math>\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\rho \left( \bar{r},t \right)=Q=\oint\limits_{\partial V}{{}}d\bar{f}\cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)</math>
| |
| | |
| Wir müssen aber zurückkehren zu den mikroskopischen Maxwellgleichungen
| |
|
| |
| | |
| Wichtig ! Integration immer über das Gebiet, in dem die Ladung vorhanden ist, aber ! Betrachtung des elektrischen Feldes an einem gewissen Aufpunkt r! Die Ladung ist eigentlich von r´ abhängig , aber hier homogen verteilt !-> einfache Integration.
| |
| | |
| Auswertung liefert
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{\varepsilon }_{0}}\oint\limits_{\partial V(r\acute{\ })}{{}}d\bar{f}\cdot \bar{E}\left( \bar{r},t \right)=\int_{V(r\acute{\ })}^{{}}{{}}\frac{Q}{\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}}=\frac{r{{\acute{\ }}^{3}}}{{{R}^{3}}}Q \\
| |
| & \Rightarrow 4r{{\acute{\ }}^{2}}\pi {{\varepsilon }_{0}}\left| \bar{E}\left( \bar{r},t \right) \right|=\frac{r{{\acute{\ }}^{3}}}{{{R}^{3}}}Q \\
| |
| & \Rightarrow \left| \bar{E}\left( \bar{r},t \right) \right|=\frac{r\acute{\ }}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}Q \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Natürlich nur für
| |
| | |
| <math>r\acute{\ }\le R</math>
| |
| | |
| setzt man
| |
| <math>\bar{r}\acute{\ }=\bar{r}-{{\bar{r}}_{e}}</math>
| |
| , wobei
| |
| <math>{{\bar{r}}_{e}}</math>
| |
| das Zentrum der elektrischen Ladung angibt,
| |
| | |
| so gewinnt man das rotationssymmetrische Ergebnis
| |
| | |
| <math>\bar{E}\left( \bar{r},t \right)=\frac{\bar{r}-{{{\bar{r}}}_{e}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}{{Q}_{e}}</math>
| |
| | |
| und die Kraft auf den Kern folgt gemäß:
| |
| | |
| <math>{{\bar{F}}_{K}}={{Q}_{K}}\bar{E}\left( {{{\bar{r}}}_{\acute{\ }k}},t \right)=\frac{{{{\bar{r}}}_{k}}-{{{\bar{r}}}_{e}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}{{Q}_{e}}{{Q}_{k}}=-\frac{{{Z}^{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}}-{{{\bar{r}}}_{e}} \right)</math>
| |
| | |
| wegen actio = reactio folgt dann für die Kraft auf die Elektronen:
| |
| | |
| <math>{{\bar{F}}_{e}}=-{{\bar{F}}_{K}}</math>
| |
| | |
| Aufstellen der Bewegungsgleichungen ( inklusive einem äußeren Feld
| |
| <math>{{\bar{E}}_{a}}</math>
| |
| ):
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{m}_{K}}{{{\ddot{\bar{r}}}}_{k}}={{{\bar{F}}}_{K}}+{{Q}_{K}}{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{\acute{\ }k}},t \right)=-\frac{{{Z}^{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}}-{{{\bar{r}}}_{e}} \right)+{{Q}_{K}}{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{\acute{\ }k}},t \right)=-\frac{{{Z}^{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}}-{{{\bar{r}}}_{e}} \right)+Ze{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{\acute{\ }k}},t \right) \\
| |
| & Z{{m}_{e}}{{{\ddot{\bar{r}}}}_{e}}=-{{{\bar{F}}}_{K}}+{{Q}_{e}}{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{\acute{\ }k}},t \right)=\frac{{{Z}^{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}}-{{{\bar{r}}}_{e}} \right)+{{Q}_{e}}{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{\acute{\ }k}},t \right)=\frac{{{Z}^{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}}-{{{\bar{r}}}_{e}} \right)-Ze{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{\acute{\ }k}},t \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Also folgt für die Relativbewegung:
| |
| | |
| <math>\bar{r}={{\bar{r}}_{k}}-{{\bar{r}}_{e}}</math>
| |
| | |
| als relativer Abstand
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \ddot{\bar{r}}={{{\ddot{\bar{r}}}}_{k}}-{{{\ddot{\bar{r}}}}_{e}}=-\frac{{{Z}^{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}{{m}_{K}}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}}-{{{\bar{r}}}_{e}} \right)+\frac{Ze}{{{m}_{K}}}{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{\acute{\ }k}},t \right)-\frac{Z{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}{{m}_{e}}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}}-{{{\bar{r}}}_{e}} \right)+\frac{e}{{{m}_{e}}}{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}},t \right) \\
| |
| & =-\frac{{{Z}^{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{R}^{3}}}\left( \frac{1}{{{m}_{K}}}+\frac{1}{Z{{m}_{e}}} \right)\left( {{{\bar{r}}}_{k}}-{{{\bar{r}}}_{e}} \right)+Ze\left( \frac{1}{{{m}_{K}}}+\frac{1}{Z{{m}_{e}}} \right){{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}},t \right) \\
| |
| & \left( \frac{1}{{{m}_{K}}}+\frac{1}{Z{{m}_{e}}} \right)\approx \frac{1}{Z{{m}_{e}}} \\
| |
| & \left( {{{\bar{r}}}_{k}}-{{{\bar{r}}}_{e}} \right)=\bar{r} \\
| |
| & \Rightarrow \ddot{\bar{r}}=-\frac{Z{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{m}_{e}}{{R}^{3}}}\bar{r}+\frac{e}{{{m}_{e}}}{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}},t \right) \\
| |
| & \frac{Z{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{m}_{e}}{{R}^{3}}}:={{\omega }_{0}}^{2} \\
| |
| & \Rightarrow \ddot{\bar{r}}+{{\omega }_{0}}^{2}\bar{r}=\frac{e}{{{m}_{e}}}{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}},t \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Also ergibt sich ein harmonischer Oszillator mit quadratischem Potenzial ! was wir schon an der Bestimmung des Potenzials sofort hätten sehen können !
| |
| | |
| Jedenfalls im stationären Zustand gilt:
| |
| | |
| <math>\bar{r}=\frac{e}{{{\omega }_{0}}^{2}{{m}_{e}}}{{\bar{E}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}},t \right)</math>
| |
| | |
| ( Dynamik mit Dämpfung)
| |
| | |
| <math>\Rightarrow {{\chi }_{e}}\left( \omega \right)</math>
| |
| | |
| Als Ergebnis gewinnen wir ein statisch mikroskopisch elektrisches Dipolmoment, welches sich über p=qd bereits hinschreiben läßt und welches auch übereinstimmt mit Gleichungen von oben zur exakten Berechnung des elektrischen Dipolmoments:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{p}=Ze\bar{r}=\frac{Z{{e}^{2}}}{{{\omega }_{0}}^{2}{{m}_{e}}}{{{\bar{E}}}_{a}}\left( {{{\bar{r}}}_{k}},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\alpha {{{\bar{E}}}_{a}} \\
| |
| & \alpha :=\frac{Z{{e}^{2}}}{{{\omega }_{0}}^{2}{{\varepsilon }_{0}}{{m}_{e}}} \\
| |
| & \frac{Z{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{m}_{e}}{{R}^{3}}}:={{\omega }_{0}}^{2} \\
| |
| & \Rightarrow \alpha :=\frac{Z{{e}^{2}}}{{{\omega }_{0}}^{2}{{\varepsilon }_{0}}{{m}_{e}}}=4\pi {{R}^{3}}=3{{V}_{Atom}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Die Polarisierbarkeit des Atoms, ein mikroskopischer Parameter.
| |
| Entsprechend:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{p}=\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\rho }_{e}}(r\acute{\ })\bar{r}\acute{\ }+Ze\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\delta (\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }) \\
| |
| & Ze\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\delta (\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })=Ze\bar{r} \\
| |
| & \int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\rho }_{e}}(r\acute{\ })\bar{r}\acute{\ }=-\frac{Ze}{\frac{4\pi }{3}{{R}^{3}}}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{r}\acute{\ } \\
| |
| & \int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{r}\acute{\ }=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| wegen Symmetrie
| |
| | |
| <math>\bar{p}=Ze\bar{r}</math>
| |
| | |
| makroskopisch gemittelte Energiedichte:
| |
| | |
| <math>\bar{P}=n\bar{p}={{\varepsilon }_{0}}n\alpha {{\bar{E}}_{a}}</math>
| |
| | |
| mit der mittleren Atomdichte n
| |
| | |
| <u>'''Selbstkonsistente Berechnung des Lokalfeldes Ea:'''</u>
| |
| | |
| Wichtig: Berücksichtigung der Felder, die durch andere elektrische Dipole erzeugt werden:
| |
| | |
| <u>'''Gedankenexperiment'''</u>
| |
| | |
| | |
| <u>Feld einer homogenen polarisierten Kugel:</u>
| |
| | |
| Ansatz: homogen geladene Kugel:
| |
| | |
| <math>{{\bar{E}}_{0}}\left( {\bar{r}} \right)=\frac{Q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left\{ \begin{matrix}
| |
| \frac{{\bar{r}}}{{{a}^{3}}}r\le a \\
| |
| \frac{{\bar{r}}}{{{r}^{3}}}r\ge a \\
| |
| \end{matrix} \right.</math>
| |
| | |
| Also:
| |
| | |
| | |
| <math>{{\Phi }_{0}}\left( {\bar{r}} \right)=\frac{Q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left\{ \begin{matrix}
| |
| c-\frac{{{{\bar{r}}}^{2}}}{2{{a}^{3}}}r\le a \\
| |
| \frac{1}{r}r\ge a \\
| |
| \end{matrix} \right.</math>
| |
| | |
| Bestimmung der Integrationskonstanten:
| |
| | |
| <math>\begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| \varepsilon ->0 \\
| |
| \end{matrix}{{\Phi }_{0}}\left( a-\varepsilon \right)={{\Phi }_{0}}\left( a+\varepsilon \right)\Rightarrow c=\frac{3}{2a}</math>
| |
| | |
| <u>'''die homogen polarisierte Kugel'''</u>
| |
| | |
| Bei der homogen polarisierten Kugel kann man 2 entgegegengesetzt homogen geladene Kugeln mit Abstand ro annehmen.
| |
| | |
| Dann: ro -> 0
| |
| | |
| | |
| Bilde:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{\Phi }_{0}}\left( {\bar{r}} \right)={{\Phi }_{0}}\left( \bar{r}-\frac{1}{2}{{{\bar{r}}}_{0}} \right)-{{\Phi }_{0}}\left( \bar{r}+\frac{1}{2}{{{\bar{r}}}_{0}} \right) \\
| |
| & \approx -{{{\bar{r}}}_{0}}\nabla {{\Phi }_{0}}\left( {\bar{r}} \right) \\
| |
| & \nabla {{\Phi }_{0}}\left( {\bar{r}} \right)=-{{{\bar{E}}}_{0}} \\
| |
| & \Rightarrow {{\Phi }_{0}}\left( {\bar{r}} \right)\approx {{{\bar{r}}}_{0}}{{{\bar{E}}}_{0}}=\frac{Q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left\{ \begin{matrix}
| |
| \frac{{{{\bar{r}}}_{0}}\bar{r}}{{{a}^{3}}}r\le a \\
| |
| \frac{{{{\bar{r}}}_{0}}\bar{r}}{{{r}^{3}}}r\ge a \\
| |
| \end{matrix} \right.=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left\{ \begin{matrix}
| |
| \frac{\bar{p}\bar{r}}{{{a}^{3}}}r\le a \\
| |
| \frac{\bar{p}\bar{r}}{{{r}^{3}}}r\ge a \\
| |
| \end{matrix} \right. \\
| |
| & \bar{p}:=Q{{{\bar{r}}}_{0}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Das Dipolmoment der herausgeschnittenen Kugel.
| |
| | |
| Als Näherung wurde taylorentwickelt. Dabei allerdings nur bis zur ersten Ordnung und Nullte Ordnung verschwindet.
| |
| Verwendet wurde das Dipolmoment der Kugel. Man kann auf Polarisation ( eigentlich Dipoldichte) umschreiben:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{P}=\frac{{\bar{p}}}{\frac{4}{3}{{a}^{3}}\pi } \\
| |
| & \Rightarrow {{\Phi }_{0}}\left( {\bar{r}} \right)\approx {{{\bar{r}}}_{0}}{{{\bar{E}}}_{0}}=\frac{Q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left\{ \begin{matrix}
| |
| \frac{{{{\bar{r}}}_{0}}\bar{r}}{{{a}^{3}}}r\le a \\
| |
| \frac{{{{\bar{r}}}_{0}}\bar{r}}{{{r}^{3}}}r\ge a \\
| |
| \end{matrix} \right.=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\left\{ \begin{matrix}
| |
| \frac{\bar{P}\bar{r}}{3}r\le a \\
| |
| \bar{P}\bar{r}\frac{{{a}^{3}}}{{{r}^{3}}}r\ge a \\
| |
| \end{matrix} \right. \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Wir gewinnen innerhalb der Kugel homogene Polarisation und außerhalb ein Dipolpotenzial.
| |
| | |
| <math>{{\bar{E}}_{Kugel}}=-\nabla \Phi =-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\frac{{\bar{P}}}{3}r\le a</math>
| |
| | |
| für das elektrische Feld im Inneren der Kugel ( homogen polarisiert).
| |
| | |
| <u>'''Gesamtes Lokalfeld am Ort des Atoms ergibt sich nach:'''</u>
| |
| | |
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| |
| das äußere Feld wird erzeugt durch Atome, die sich außerhalb der Hohlkugel befinden.
| |
| Das innere Feld durch Atome im Inneren der Hohlkugel.
| |
| Gezeichnet: Lokalfeld einer polarisierten dielektrischen Kugel im homogenen elektrischen Feld
| |
| | |
| | |
| Das Lokalfeld im INNEREN des KugelHOHLRAUMS, welcher aus dem Volumen herausgeschnitten wurde:
| |
| | |
| <math>{{\bar{E}}_{a}}\left( {\bar{r}} \right)=\bar{E}-{{\bar{E}}_{KUgel}}</math>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{{\bar{E}}}_{a}}\left( {\bar{r}} \right):Lokalfeld \\
| |
| & \bar{E}:makroskopisch \\
| |
| & {{{\bar{E}}}_{a}}\left( {\bar{r}} \right)=\bar{E}+\frac{1}{3{{\varepsilon }_{0}}}\bar{P} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Letztes wurde von Lorentz eingeführt als "Korrekturfeld"
| |
| | |
| weil
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| | |
| <math>{{\bar{E}}_{a}}+{{\bar{E}}_{Kugel}}=\bar{E}</math>
| |
| sein muss
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| | |
| Das Lokalfeld am Ort des Atoms mit dem Innenfeld der dielektrischen Kugel ( wieder in den Hohlraum eingesetzt) ergibt das mittlere makroskopische Feld !
| |
| | |
| '''Zusammenhang zwischen P und makroskopischem Feld E:'''
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{P}={{\varepsilon }_{0}}n\alpha {{{\bar{E}}}_{a}}={{\varepsilon }_{0}}n\alpha \left( \bar{E}+\frac{1}{3{{\varepsilon }_{0}}}\bar{P} \right) \\
| |
| & \bar{P}={{\varepsilon }_{0}}{{\chi }_{e}}\bar{E} \\
| |
| & \Rightarrow {{\chi }_{e}}=\frac{n\alpha }{1-\frac{1}{3}n\alpha } \\
| |
| & n\alpha =\frac{{{\chi }_{e}}}{1+\frac{1}{3}{{\chi }_{e}}}=\frac{\varepsilon -1}{1+\frac{\varepsilon -1}{3}}=3\frac{\varepsilon -1}{\varepsilon +2} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Formel von Clausius - Masotti für polarisierte Kugel
| |
| | |
| <u>'''5.6 Wellenausbreitung in Materie'''</u>
| |
| | |
| Annahme: homogene, isotrope, lineare Medien mit skalaren Materialparametern
| |
| <math>\varepsilon ,\mu ,\sigma </math>
| |
| :
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{D}=\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\quad \varepsilon >1 \\
| |
| & \bar{B}={{\mu }_{0}}\mu \bar{H}\quad i.a.\mu \tilde{\ }1 \\
| |
| & \bar{j}=\sigma \bar{E} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| ( ohmsches Gesetz)
| |
| | |
| <u>'''Wellen in leitenden Medien ohne Dispersion:'''</u>
| |
| | |
| <u>'''Das heißt:'''</u>
| |
| <math>\varepsilon ,\mu ,\sigma </math>
| |
| nicht frequenzabhängig !
| |
| | |
| Sei
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \rho =0 \\
| |
| & \nabla \times \bar{E}+\dot{\bar{B}}=0 \\
| |
| & \nabla \times \bar{B}-{{\mu }_{0}}\mu \varepsilon {{\varepsilon }_{0}}\dot{\bar{E}}={{\mu }_{0}}\mu \bar{j}={{\mu }_{0}}\mu \sigma \bar{E} \\
| |
| & \nabla \cdot \bar{E}=0 \\
| |
| & \nabla \cdot \bar{B}=0 \\
| |
| & \Rightarrow \nabla \times \left( \nabla \times \bar{E} \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \bar{E} \right)-\Delta \bar{E}=-\Delta \bar{E}=-\nabla \times \dot{\bar{B}}=-{{\mu }_{0}}\mu \sigma \dot{\bar{E}}-{{\mu }_{0}}\mu \varepsilon {{\varepsilon }_{0}}\ddot{\bar{E}} \\
| |
| & \\
| |
| & \Delta \bar{E}={{\mu }_{0}}\mu \sigma \dot{\bar{E}}+{{\mu }_{0}}\mu \varepsilon {{\varepsilon }_{0}}\ddot{\bar{E}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Somit erhalten wir die Gleichung einer gedämpften Welle
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \Delta \bar{E}-\frac{1}{{{c}_{m}}^{2}}\left( \frac{\sigma }{\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}}\dot{\bar{E}}+\ddot{\bar{E}} \right)=0 \\
| |
| & {{c}_{m}}:=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}\mu {{\mu }_{0}}}}=c\frac{1}{\sqrt{\varepsilon \mu }} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Für den eindimensionalen Fall: sogenannte Telegraphengleichung. Beschreibt die Drahtwellenausbreitung !
| |
| | |
| <u>'''Spezielle Lösung dieses Problems:'''</u>
| |
| | |
| <u>homogene, ebene Welle:</u>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{E}(\bar{r},t)={{{\bar{E}}}_{0}}{{e}^{i\left( \bar{k}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
| |
| & \Rightarrow {{k}^{2}}=\varepsilon \mu \frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}}\left( 1+i\frac{1}{\omega \tau } \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Dispersionsrelation für den Fall der frequenzunabhängigen Parameter
| |
| Durch die Dämpfung
| |
| <math>\sigma </math>
| |
| ist der Wellenvektor ein komplexer Parameter.
| |
| | |
| <math>k\in C</math>
| |
| | |
| Setze:
| |
| | |
| <math>k=\frac{\omega }{c}\tilde{n}=\frac{\omega }{c}\left( n+i\gamma \right)</math>
| |
| | |
| mit c: Vakuumlichtgeschwindigkeit
| |
| | |
| <math>\tilde{n}=\left( n+i\gamma \right)</math>
| |
| komplexer Brechungsindex !
| |
| Somit:
| |
| | |
| <math>{{k}^{2}}=\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}}{{\tilde{n}}^{2}}=\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}}\left( {{n}^{2}}-{{\gamma }^{2}}+2in\gamma \right)=\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}}\varepsilon \mu \left( 1+i\frac{1}{\omega \tau } \right)</math>
| |
| | |
| Damit können Real- und Imaginärteil durch Vergleich herangezogen werden, um Gamma und n zu bestimmen:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{n}^{2}}-{{\gamma }^{2}}=\varepsilon \mu \\
| |
| & n\gamma =\frac{\varepsilon \mu }{2\omega \tau } \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| * Bestimmung von
| |
| * <math>n,\gamma </math>
| |
| * :
| |
| | |
| o.B.d.A.:
| |
| | |
| <math>\bar{k}||{{\bar{x}}_{3}}</math>
| |
| :
| |
| | |
| Ausschreiben der Welle:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{E}(\bar{r},t)={{{\bar{E}}}_{0}}{{e}^{i\left( \bar{k}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
| |
| & \bar{E}({{{\bar{x}}}_{3}},t)={{{\bar{E}}}_{0}}{{e}^{-\frac{{{x}_{3}}}{\lambda }}}{{e}^{-i\omega \left( t-\frac{n}{c}{{x}_{3}} \right)}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Also eine gedämpfte Welle mit der Phasengeschwindigkeit
| |
| <math>\frac{c}{n}</math>
| |
| und dem Extinktionskoeffizienten
| |
| | |
| <math>\lambda =\frac{c}{\omega \gamma }</math>
| |
| | |
| '''Lineare Polarisation:'''
| |
| | |
| <math>{{\bar{E}}_{0}}||{{\bar{x}}_{1}}\Rightarrow {{\bar{B}}_{0}}||{{\bar{x}}_{2}}</math>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{\left( \nabla \times \bar{E} \right)}_{2}}=\frac{\partial {{E}_{1}}}{\partial {{x}_{3}}}=-{{{\dot{B}}}_{2}} \\
| |
| & \Leftrightarrow i\frac{\omega }{c}\left( n+i\gamma \right){{E}_{1}}=i\omega {{B}_{2}} \\
| |
| & \Leftrightarrow {{B}_{2}}=\frac{\left( n+i\gamma \right)}{c}{{E}_{1}}=\frac{\sqrt{{{n}^{2}}+{{\gamma }^{2}}}}{c}{{e}^{i\phi }}{{E}_{1}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Somit existiert eine Phasenverschiebung
| |
| <math>\phi </math>
| |
| zwischen E und B
| |
| | |
| <u>'''Der Isolator'''</u>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \sigma =0 \\
| |
| & \tau \to \infty \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Folgen:
| |
| | |
| <math>\gamma =0</math>
| |
| keine Dämpfung
| |
| | |
| <math>\phi </math>
| |
| =0 keine Phasenverschiebung zwischen E und B
| |
| * kommt erst durch die Dämpfung !
| |
| * i m Isolator schwingen E und B in Phase !
| |
| | |
| reeller Brechungsindex:
| |
| | |
| <math>n=\sqrt{\varepsilon \mu }\approx \sqrt{\varepsilon }>1</math>
| |
| | |
| * Phasengeschwindigkeit :
| |
| * <math>\frac{c}{n}<c</math>
| |
| *
| |
| | |
| Nebenbemerkung:
| |
| Nur OHNE DISPERSION ist
| |
| <math>\varepsilon </math>
| |
| reell
| |
| | |
| <u>'''Metalle'''</u>
| |
|
| |
| | |
| <math>\tau =\frac{{{\varepsilon }_{0}}\varepsilon }{\sigma }<<\frac{1}{\omega }</math>
| |
| für alle Frequenzen bis UV
| |
| Somit:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{k}^{2}}=\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}}\left( {{n}^{2}}-{{\gamma }^{2}}+2in\gamma \right)\approx \frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}}\varepsilon \mu \frac{i}{\omega \tau } \\
| |
| & \Rightarrow {{n}^{2}}-{{\gamma }^{2}}\approx 0 \\
| |
| & n\gamma \approx {{n}^{2}}\approx {{\gamma }^{2}}\approx \frac{\varepsilon \mu }{2\omega \tau }\Rightarrow n=\gamma =\sqrt{\frac{\varepsilon \mu }{2\omega \tau }} \\
| |
| & \tan \phi =\frac{\gamma }{n}\approx 1\Rightarrow \phi \approx \frac{\pi }{4} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Extinktionskoeffizient
| |
| | |
| <math>d<<\frac{c}{\omega \gamma }\tilde{\ }cm</math>
| |
| für 100 Hz
| |
| ( hochfrequente Wellen dringen nicht in Metall ein, Grund: Verschiebungsstrom << Leitungsstrom)
| |
| | |
| <u>'''Dielektrische Dispersion'''</u>
| |
| | |
| Annahme:
| |
| <math>\mu =1</math>
| |
| | |
| Betrachte nun zeitliche Dispersion, also
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \hat{\chi }\left( \omega \right): \\
| |
| & \hat{\bar{P}}\left( \omega \right)={{\varepsilon }_{0}}\hat{\chi }\left( \omega \right)\hat{\bar{E}}\left( \omega \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| mit:
| |
| | |
| <math>\hat{\chi }\left( \omega \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dt\chi \left( t \right){{e}^{i\omega t}}</math>
| |
| | |
| dynamische elektrische Suszeptibilität
| |
| | |
| '''Fourier- Trafo:'''
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{P}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \hat{\bar{P}}\left( \bar{r},\omega \right){{e}^{-i\omega t}} \\
| |
| & \hat{\bar{E}}\left( \bar{r},\omega \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dt\bar{E}\left( \bar{r},t \right){{e}^{+i\omega t}} \\
| |
| & \Rightarrow \bar{P}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega {{\varepsilon }_{0}}\hat{\chi }\left( \omega \right)\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dt\acute{\ }\bar{E}\left( \bar{r},t\acute{\ } \right){{e}^{+i\omega \left( t\acute{\ }-t \right)}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Betrachte:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega {{\varepsilon }_{0}}\hat{\chi }\left( \omega \right)\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dt\acute{\ }{{e}^{+i\omega \left( t\acute{\ }-t \right)}}:=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{\sqrt{2\pi }}\chi \left( t-t\acute{\ } \right) \\
| |
| & \Rightarrow \bar{P}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega {{\varepsilon }_{0}}\hat{\chi }\left( \omega \right)\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dt\acute{\ }\bar{E}\left( \bar{r},t\acute{\ } \right){{e}^{+i\omega \left( t\acute{\ }-t \right)}}=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{t}{{}}dt\acute{\ }\chi \left( t-t\acute{\ } \right)\bar{E}\left( \bar{r},t\acute{\ } \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Nachwirkungseffekt: Faltungsintegral -> Berücksichtigung des Nachwirkungseffekts über Faltungsintegral.
| |
| | |
| '''Nebenbemerkung: Kausalität verlangt:'''
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \chi \left( t-t\acute{\ } \right)=0 \\
| |
| & f\ddot{u}r \\
| |
| & t\acute{\ }>t \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Aus mikroskopischen Modellen folgt i.A. ein komplexes
| |
| <math>\hat{\chi }\left( \omega \right)\in C</math>
| |
| | |
| * Komplexe dielektrische Funktion:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \varepsilon \left( \omega \right)=1+\hat{\chi }\left( \omega \right)=\varepsilon \acute{\ }\left( \omega \right)+i\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }\left( \omega \right) \\
| |
| & \varepsilon \acute{\ },\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }\in R \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Aus:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \varepsilon \left( \omega \right)=1+\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{0}^{\infty }{{}}dt\chi \left( t \right){{e}^{i\omega t}} \\
| |
| & \Rightarrow \varepsilon *(\omega )=\varepsilon (-\omega ) \\
| |
| & \varepsilon \acute{\ }(\omega )=\varepsilon \acute{\ }(-\omega ) \\
| |
| & \varepsilon \acute{\ }\acute{\ }(\omega )=-\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }(-\omega ) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Monochromatische ebene Welle:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{E}(\bar{r},t)={{{\bar{E}}}_{0}}{{e}^{i\left( \bar{k}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
| |
| & \Rightarrow {{k}^{2}}=\varepsilon \left( \omega \right)\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}}\left( 1+i\frac{1}{\omega \tau } \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| '''Isolator ( dispersives Dielektrikum)'''
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{E}(\bar{r},t)={{{\bar{E}}}_{0}}{{e}^{i\left( \bar{k}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
| |
| & \Rightarrow {{k}^{2}}=\varepsilon \left( \omega \right)\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \tilde{n}\left( \omega \right)=n\left( \omega \right)+i\gamma \left( \omega \right) \\
| |
| & \tilde{n}{{\left( \omega \right)}^{2}}=\varepsilon \left( \omega \right)\equiv \varepsilon \acute{\ }+i\varepsilon \acute{\ }\acute{\ } \\
| |
| & \varepsilon \acute{\ }\left( \omega \right)={{n}^{2}}-{{\gamma }^{2}} \\
| |
| & \varepsilon \acute{\ }\acute{\ }\left( \omega \right)=2n\gamma \\
| |
| & \Rightarrow \left. \begin{matrix}
| |
| \gamma \\
| |
| n \\
| |
| \end{matrix} \right\}=\frac{1}{\sqrt{2}}{{\left( \sqrt{\varepsilon {{\acute{\ }}^{2}}+\varepsilon \acute{\ }{{\acute{\ }}^{2}}}\mp \varepsilon \acute{\ } \right)}^{\frac{1}{2}}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Dabei
| |
| | |
| <math>\left. \begin{matrix}
| |
| \gamma \\
| |
| n \\
| |
| \end{matrix} \right\}=\frac{1}{\sqrt{2}}{{\left( \sqrt{\varepsilon {{\acute{\ }}^{2}}+\varepsilon \acute{\ }{{\acute{\ }}^{2}}}\mp \varepsilon \acute{\ } \right)}^{\frac{1}{2}}}</math>
| |
| | |
| Als Absorptionskoeffizient
| |
| <math>\gamma </math>
| |
| ( reeller Brechungsindex n)
| |
| | |
| '''Absorption'''
| |
| | |
| <math>\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }=0\Rightarrow \gamma =0,n=\sqrt{\varepsilon \acute{\ }}</math>
| |
| | |
| Absorptionskoeffizient Null, reeller Brechungsindex: Wurzel epsilon
| |
| Also: für
| |
| <math>\varepsilon \acute{\ }>0</math>
| |
| -> ungedämpfte Welle
| |
| | |
| <math>\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }>0\Rightarrow \gamma >0</math>
| |
| | |
| * in jedem Fall gedämpfte Welle ( Energiedissipation).
| |
| | |
| Der Frequenzbereich mit
| |
| | |
| <math>\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }<<\varepsilon \acute{\ }</math>
| |
| heißt Transparenzgebiet der Substanz ( besonders wenig Absorption).
| |
| | |
| '''Dispersion'''
| |
| | |
| <math>\operatorname{Re}k=k\acute{\ }=\frac{\omega }{c}n(\omega )</math>
| |
| nichtlineare Dispersion ( nur in erster Näherung ist n(w) linear !)
| |
| | |
| * Definition der Gruppengeschwindigkeit:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{v}_{g}}:=\frac{d\omega }{dk\acute{\ }}=\frac{1}{\frac{dk\acute{\ }}{d\omega }}=\frac{c}{\frac{d\left( \omega n \right)}{d\omega }} \\
| |
| & {{v}_{g}}=\frac{c}{n+\omega \frac{dn}{d\omega }}\ne \frac{c}{n\left( \omega \right)}={{v}_{ph.}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <u>'''Typische Frequenzabhängigkeit: ( sogenanntes Resonanzverhalten):'''</u>
| |
| | |
| | |
| <u>'''Normale Dispersion'''</u>
| |
| | |
| <math>\frac{dn}{d\omega }>0</math>
| |
| | |
| Stets im Transparenzgebiet, also wenn
| |
| <math>\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }\tilde{\ }0</math>
| |
| | |
| <math>{{v}_{g}}<{{v}_{ph.}}</math>
| |
| | |
| '''Anormale Dispersion'''
| |
| | |
| <math>\frac{dn}{d\omega }<0</math>
| |
| bei Absorption !
| |
| | |
| <u>'''Beziehung zwischen'''</u>
| |
| <math>\varepsilon \acute{\ }\left( \omega \right)</math>
| |
| und
| |
| <math>\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }\left( \omega \right)</math>
| |
| | |
| <u>'''Kramers- Kronig- Relation'''</u>
| |
| | |
| * Allgemein gültiger Zusammenhang zwischen Dispersion
| |
| * <math>n\left( \omega \right)</math>
| |
| * und Absorption
| |
| * <math>\gamma \left( \omega \right)</math>
| |
| * .
| |
| * erlaubt z.B. dann die Berechnung von Dispersionsrelationen aus dem Absorptionsspektrum und auch umgekehrt
| |
| * Folgt alleine aus dem Kausalitätsprinzip !
| |
| | |
| <u>'''Beweis ( Funktionenthorie)'''</u>
| |
| | |
| Für kausale Funktion gilt:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \chi \left( t \right)=\Theta \left( t \right)\chi \left( t \right) \\
| |
| & \Theta \left( t \right)=\left\{ \begin{matrix}
| |
| \begin{align}
| |
| & 0t<0 \\
| |
| & 1t\ge 0 \\
| |
| \end{align} \\
| |
| {} \\
| |
| \end{matrix} \right. \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| Heavyside
| |
| | |
| '''Fourier- Trafo:'''
| |
| | |
| <math>\hat{\chi }\left( \omega \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{{}}^{{}}{{}}d\omega \acute{\ }\Theta \left( \omega -\omega \acute{\ } \right)\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)</math>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \hat{\Theta }\left( \omega \right):=\begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| \sigma ->0+ \\
| |
| \end{matrix}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{0}^{\infty }{dt{{e}^{i\omega t-\sigma t}}}=\begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| \sigma ->0+ \\
| |
| \end{matrix}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\frac{1}{i\omega -\sigma } \\
| |
| & \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Mit dem konvergenzerzeugenden Faktor
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| <math>\sigma </math>
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| :
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| Also:
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| <math>\hat{\chi }\left( \omega \right)=\frac{1}{2\pi i}\begin{matrix}
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| \lim \\
| |
| \sigma ->0+ \\
| |
| \end{matrix}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega -i\sigma }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)</math>
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| | |
| '''Der Integrand hat einen Pol für'''
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| <math>\omega \acute{\ }=\omega +i\sigma </math>
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| Also:
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| '''Äquivalenter Integrationsweg:'''
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| '''Zerlegung:'''
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| <math>\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)=\begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| \varepsilon ->{{0}^{+}} \\
| |
| \end{matrix}\left[ \int_{-\infty }^{\omega -\varepsilon }{+\int_{\omega +\varepsilon }^{\infty }{{}}} \right]d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)+\int\limits_{Kreisbogen}{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)</math>
| |
| | |
| Man sagt:
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| <math>\begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| \varepsilon ->{{0}^{+}} \\
| |
| \end{matrix}\left[ \int_{-\infty }^{\omega -\varepsilon }{+\int_{\omega +\varepsilon }^{\infty }{{}}} \right]d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)=P\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)</math>
| |
| | |
| = Hauptwertintegral ( principal Value), entsteht nur direkt an der Polstelle !
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| | |
| <math>\int\limits_{Kreisbogen}{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)</math>
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| Integral längs des Halbkreis mit Radius
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| <math>\varepsilon </math>
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| um den Pol !
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| <math>\begin{align}
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| & \int\limits_{Kreisbogen}{{}}ds\frac{f(s)}{s}=f(0)\int\limits_{Kreisbogen}{{}}\frac{ds}{s} \\
| |
| & s=\varepsilon {{e}^{i\phi }}\Rightarrow ds=isd\phi \\
| |
| & f(0)\int\limits_{Kreisbogen}{{}}\frac{ds}{s}=f(0)i\int\limits_{0}^{\pi }{{}}d\phi =i\pi f(0) \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| sogenanntes " Halbes Residuum!"
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| | |
| Also:
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| <math>\begin{align}
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| & \hat{\chi }\left( \omega \right)=\frac{1}{2\pi i}\begin{matrix}
| |
| \lim \\
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| \sigma ->0+ \\
| |
| \end{matrix}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega -i\sigma }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right) \\
| |
| & =\frac{1}{2\pi i}P\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)+\frac{1}{2}\hat{\chi }\left( \omega \right) \\
| |
| & \Rightarrow \hat{\chi }\left( \omega \right)=\frac{1}{\pi i}P\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right) \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Nun: Zerlegung in Re und Im mit
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| <math>\begin{align}
| |
| & \operatorname{Re}\hat{\chi }\left( \omega \right)=\varepsilon \acute{\ }\left( \omega \right)-1 \\
| |
| & \operatorname{Im}\hat{\chi }\left( \omega \right)=\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }\left( \omega \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Also:
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \operatorname{Re}\hat{\chi }\left( \omega \right)=\varepsilon \acute{\ }\left( \omega \right)-1=\frac{1}{\pi }P\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }\left( \omega \acute{\ } \right) \\
| |
| & \operatorname{Im}\hat{\chi }\left( \omega \right)=\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }\left( \omega \right)=-\frac{1}{\pi }P\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\left( \varepsilon \acute{\ }\left( \omega \acute{\ } \right)-1 \right) \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Dies ist die Kramers- Kronig- Relation. Sie verknüpft Real- und Imaginärteil des komplexen Brechungsindex miteinander !
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| Titchmask- Theorem:
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| <math>\hat{\chi }\left( z \right)</math>
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| sollte regulär sein auf der oberen komplexen z- Halbebene
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| Somit:
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| <math>\hat{\chi }\left( z \right)\to 0</math>
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| für
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| <math>\operatorname{Im}z\to \infty </math>
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| <u>'''Brechung und Reflexion'''</u>
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| Wir haben bereits gesehen, wie man aus den Stetigkeitsbedingungen mit Hilfe der integralen Maxwellgleichungen die Brechungsrelationen für die Feldvektoren herleiten kann. Nun soll dies für Lichtwellen wiederholt / vertieft werden:
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| Sogenannte Wellenausbreitung in geschichteten Medien
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| Transparent ->
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| <math>{{\varepsilon }_{i}}\in R</math>
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| <math>\begin{align}
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| & \frac{\omega }{{{c}_{1}}}=\left| {\bar{k}} \right|=\left| \bar{k}\acute{\ } \right|=\frac{\omega \acute{\ }}{{{c}_{1}}} \\
| |
| & \left| \bar{k}\acute{\ }\acute{\ } \right|=\frac{\omega \acute{\ }\acute{\ }}{{{c}_{2}}} \\
| |
| & {{c}_{i}}=\frac{c}{{{n}_{i}}}=\frac{c}{\sqrt{{{\varepsilon }_{i}}}}\quad i=1,2 \\
| |
| & \bar{E}(\bar{r},t)={{{\bar{E}}}_{0}}{{e}^{i\left( \bar{k}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Einfallende Welle:
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| <math>\bar{E}(\bar{r},t)={{\bar{E}}_{0}}{{e}^{i\left( \bar{k}\bar{r}-\omega t \right)}}</math>
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| | |
| Reflektierte Welle:
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| | |
| <math>\bar{E}\acute{\ }(\bar{r},t)={{\bar{E}}_{0}}\acute{\ }{{e}^{i\left( \bar{k}\acute{\ }\bar{r}-\omega \acute{\ }t \right)}}</math>
| |
| | |
| Transmittierte Welle:
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| | |
| <math>\bar{E}\acute{\ }\acute{\ }(\bar{r},t)={{\bar{E}}_{0}}\acute{\ }\acute{\ }{{e}^{i\left( \bar{k}\acute{\ }\acute{\ }\bar{r}-\omega \acute{\ }\acute{\ }t \right)}}</math>
| |
| | |
| <u>'''Grenzbedingungen für'''</u>
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| <math>\bar{E}(\bar{r},t)</math>
| |
| . Annahme: linear polarisiert:
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| <math>{{\left. {{E}_{1}}+{{E}_{1}}\acute{\ } \right|}_{{{x}_{3}}=0}}={{\left. {{E}_{1}}\acute{\ }\acute{\ } \right|}_{{{x}_{3}}=0}}</math>
| |
| -> Stetigkeit der Tangenzialkomponenten
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| Diese Bedingungen werden nur an die Amplituden gestellt. Für die Phasen gibt es keine Bedingungen, besser gesagt:
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| Betrachte Situation für r=0
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| <math>\begin{align}
| |
| & {{{\bar{E}}}_{01}}{{e}^{i\omega t}}+{{{\bar{E}}}_{01}}\acute{\ }{{e}^{i\omega \acute{\ }t}}={{{\bar{E}}}_{01}}\acute{\ }\acute{\ }{{e}^{i\omega \acute{\ }\acute{\ }t}} \\
| |
| & \Rightarrow \omega =\omega \acute{\ }=\omega \acute{\ }\acute{\ } \\
| |
| & {{{\bar{E}}}_{01}}+{{{\bar{E}}}_{01}}\acute{\ }={{{\bar{E}}}_{01}}\acute{\ }\acute{\ } \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Das Snelliussche Brechungsgesetz können wir uns nicht als Amplitudenverhältnis anschauen, weil wir sonst wieder nur die Brechung der elektrischen Feldvektoren gewinnen.
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| Aber: Wenn man ein Verhältnis der Beträge der k- Vektoren ( Ausbreitungsrichtung des Energiestroms) betrachtet, so ergibt sich das richtige Ausbreitungsgesetz:
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| Betrachte für t=0
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| <math>{{E}_{01}}{{e}^{i{{k}_{1}}{{x}_{1}}}}+{{E}_{01}}\acute{\ }{{e}^{ik{{\acute{\ }}_{1}}{{x}_{1}}}}={{E}_{01}}\acute{\ }\acute{\ }{{e}^{i{{k}_{1}}\acute{\ }\acute{\ }{{x}_{1}}}}</math>
| |
| | |
| Also:
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| | |
| <math>{{k}_{1}}={{k}_{1}}\acute{\ }={{k}_{1}}\acute{\ }\acute{\ }</math>
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| | |
| Aber: ( Siehe Skizze) ! Dies gilt ja genau für die Anteile entlang x^1, also:
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| muss man den Winkel dazunehmen und man gewinnt:
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \left| {\bar{k}} \right|\sin \gamma =\left| \bar{k}\acute{\ } \right|\sin \gamma \acute{\ }=\left| \bar{k}\acute{\ }\acute{\ } \right|\sin \gamma \acute{\ }\acute{\ } \\
| |
| & \left| {\bar{k}} \right|=\frac{\omega }{{{c}_{1}}} \\
| |
| & \left| \bar{k}\acute{\ } \right|=\frac{\omega }{{{c}_{1}}} \\
| |
| & \left| \bar{k}\acute{\ }\acute{\ } \right|=\frac{\omega }{{{c}_{2}}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Somit gewinnen wir Reflexions und Snelliussches Brechungsgesetz:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \sin \gamma =\sin \gamma \acute{\ } \\
| |
| & \frac{\sin \gamma \acute{\ }\acute{\ }}{\sin \gamma }=\frac{{{c}_{2}}}{{{c}_{1}}}=\frac{{{n}_{1}}}{{{n}_{2}}} \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Reflexions- und Brechungsgesetz
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| <u>'''Bestimmung der Amplituden:'''</u>
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| | |
| # <u>'''Polarisation von E in der Einfallsebene'''</u>
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| Stetigkeitsbedingungen: Normalkomponenten sind keine vorhanden -> Nur Tangentialkomponenten:
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{E}_{01}}={{E}_{01}}\acute{\ }={{E}_{01}}\acute{\ }\acute{\ }=0 \\
| |
| & {{E}_{03}}={{E}_{03}}\acute{\ }={{E}_{03}}\acute{\ }\acute{\ }=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Für die Tangentialkomp.:
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| | |
| <math>{{E}_{02}}+{{E}_{02}}\acute{\ }={{E}_{02}}\acute{\ }\acute{\ }</math>
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| | |
| Mit
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| | |
| <math>{{\bar{B}}_{0}}=\frac{c}{\omega }\bar{k}\times {{\bar{E}}_{0}}=\frac{c}{\omega }{{E}_{02}}\left( \begin{matrix}
| |
| -{{k}_{3}} \\
| |
| 0 \\
| |
| {{k}_{1}} \\
| |
| \end{matrix} \right)</math>
| |
| | |
| Somit folgt dann für die Tangentialkomponente von B:
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| | |
| <math>{{B}_{01}}+{{B}_{01}}\acute{\ }={{B}_{01}}\acute{\ }\acute{\ }\Rightarrow {{k}_{3}}{{E}_{02}}+{{k}_{3}}\acute{\ }E{{\acute{\ }}_{02}}={{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }{{E}_{02}}\acute{\ }\acute{\ }</math>
| |
| | |
| mit dem Reflexionsgesetz.
| |
| | |
| <math>{{k}_{3}}=-{{k}_{3}}\acute{\ }</math>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \Rightarrow {{k}_{3}}\left( {{E}_{02}}-E{{\acute{\ }}_{02}} \right)={{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }\left( {{E}_{02}}+{{E}_{02}}\acute{\ } \right) \\
| |
| & \Rightarrow \frac{E{{\acute{\ }}_{02}}}{{{E}_{02}}}=\frac{{{k}_{3}}-{{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }}{{{k}_{3}}+{{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }} \\
| |
| & \frac{E\acute{\ }{{\acute{\ }}_{02}}}{{{E}_{02}}}=\frac{2{{k}_{3}}}{{{k}_{3}}+{{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Man muss nun nur
| |
| <math>{{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }</math>
| |
| über den Brechungswinkel
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| <math>\gamma \acute{\ }\acute{\ }</math>
| |
| ausdrücken und man gewinnt die Fresnelschen Formeln:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }=\left| \bar{k}\acute{\ }\acute{\ } \right|\cos \gamma \acute{\ }\acute{\ }=\left| \bar{k}\acute{\ } \right|\frac{{{n}_{2}}}{{{n}_{1}}}\cos \gamma \acute{\ }\acute{\ } \\
| |
| & \frac{{{n}_{2}}}{{{n}_{1}}}=\frac{\sin \gamma }{\sin \gamma \acute{\ }\acute{\ }} \\
| |
| & \Rightarrow {{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }=\left| \bar{k}\acute{\ }\acute{\ } \right|\cos \gamma \acute{\ }\acute{\ }=\left| \bar{k}\acute{\ } \right|\frac{\sin \gamma }{\sin \gamma \acute{\ }\acute{\ }}\cos \gamma \acute{\ }\acute{\ } \\
| |
| & {{k}_{3}}=\left| {\bar{k}} \right|\cos \gamma \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Also können wir dies in die gefundenen Formeln für die Amplitudenverhältnisse einsetzen und erhalten die Brechungsformeln ( Fresnelsche Formeln) nur noch in Abhängigkeit von den Winkeln:
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| | |
| Also:
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \frac{E{{\acute{\ }}_{02}}}{{{E}_{02}}}=\frac{\cos \gamma \sin \gamma \acute{\ }\acute{\ }-\sin \gamma \cos \gamma \acute{\ }\acute{\ }}{\cos \gamma \sin \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\sin \gamma \cos \gamma \acute{\ }\acute{\ }}=\frac{\sin \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }-\gamma \right)}{\sin \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma \right)} \\
| |
| & \frac{E\acute{\ }{{\acute{\ }}_{02}}}{{{E}_{02}}}=\frac{2{{k}_{3}}}{{{k}_{3}}+{{k}_{3}}\acute{\ }\acute{\ }}=\frac{2\sin \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ } \right)\cos \gamma }{\sin \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma \right)} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <u>'''Intensitätsverhältnisse:'''</u>
| |
| | |
| <u>'''betrachte: Zeitmittel des Poynting- Vektors:'''</u>
| |
| | |
| <math>\left\langle {\bar{S}} \right\rangle =\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{{}}dt\left( \bar{E}\times \bar{H} \right)</math>
| |
| | |
| '''Reflexionskoeffizient: ( bei senkrechter Polarisation)'''
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{R}_{\bot }}={{\left| \frac{E{{\acute{\ }}_{02}}}{{{E}_{02}}} \right|}^{2}}=\frac{{{\sin }^{2}}\left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }-\gamma \right)}{{{\sin }^{2}}\left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma \right)} \\
| |
| & \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Transmissionskoeffizient ( bei senkrechter Polarisation)
| |
| | |
| <math>{{T}_{\bot }}={{\left| \frac{E\acute{\ }{{\acute{\ }}_{02}}}{{{E}_{02}}} \right|}^{2}}=\frac{4{{\sin }^{2}}\left( \gamma \acute{\ }\acute{\ } \right){{\cos }^{2}}\gamma }{{{\sin }^{2}}\left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma \right)}=1-{{R}_{\bot }}</math>
| |
| | |
| # <u>'''Polarisation von'''</u>
| |
| # <math>\bar{E}||</math>
| |
| # Einfallsebene:
| |
| <u>'''Dadurch:'''</u>
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| <math>\bar{B}\bot </math>
| |
| Einfallsebene
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| | |
| * Analoge Argumentation:
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{B}_{01}}={{B}_{01}}\acute{\ }={{B}_{01}}\acute{\ }\acute{\ }=0 \\
| |
| & {{B}_{03}}={{B}_{03}}\acute{\ }={{B}_{03}}\acute{\ }\acute{\ }=0 \\
| |
| & {{B}_{02}}+{{B}_{02}}\acute{\ }={{B}_{02}}\acute{\ }\acute{\ } \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| usw... ebenfalls Bildung der Verhältnisse in Abhängigkeit von k -> wie beim Vorgehen in a) weiter rechnen.
| |
| k durch Zwischenwinkel ausdrücken:
| |
| Zur Übung berechnen, es ergibt sich:
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \frac{E{{\acute{\ }}_{||}}}{{{E}_{||}}}=\frac{\tan \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }-\gamma \right)}{\tan \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma \right)} \\
| |
| & \frac{E\acute{\ }{{\acute{\ }}_{||}}}{{{E}_{||}}}=\frac{2\sin \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ } \right)\cos \gamma }{\sin \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma \right)\cos \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }-\gamma \right)} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Ebenso:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{R}_{||}}={{\left| \frac{E{{\acute{\ }}_{||}}}{{{E}_{||}}} \right|}^{2}}=\frac{{{\tan }^{2}}\left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }-\gamma \right)}{{{\tan }^{2}}\left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma \right)}=1-{{T}_{||}} \\
| |
| & \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| '''Bemerkung'''
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| Bei Reflexion und Brechung wird im Allgemeinen die Polarisationsrichtung gedreht. Speziell für den Fall
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma =\frac{\pi }{2} \\
| |
| & ->\tan \left( \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma \right)\to \infty \\
| |
| & {{R}_{||}}=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| In diesem Fall kommt es nicht zu Teilpolarisation sondern: die reflektierte Welle wird vollständig polarisiert ( senkrecht zur Einfallsebene)
| |
| * Dies ist der Brewsterwinkel:
| |
| *
| |
| * <math>\begin{align}
| |
| * & \gamma \acute{\ }\acute{\ }+\gamma =\frac{\pi }{2}->\gamma =\left( {{\gamma }_{Brew}} \right) \\
| |
| * & \tan {{\gamma }_{B}}=\sqrt{\frac{{{\varepsilon }_{2}}}{{{\varepsilon }_{1}}}} \\
| |
| * \end{align}</math>
| |
| *
| |
| | |
| '''Totalreflexion'''
| |
| '''Sei'''
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{\varepsilon }_{2}}<{{\varepsilon }_{1}} \\
| |
| & \sin {{\gamma }_{G}}=\sqrt{\frac{{{\varepsilon }_{2}}}{{{\varepsilon }_{1}}}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Totalreflexion unter diesem Winkel oder flacher !
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| | |
| Grenzwinkel der Totalreflexion ->
| |
| <math>\gamma \acute{\ }\acute{\ }=\frac{\pi }{2}</math>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{R}_{\bot }}={{R}_{||}}=1 \\
| |
| & {{T}_{\bot }}={{T}_{||}}=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{\varepsilon }_{2}}<{{\varepsilon }_{1}} \\
| |
| & \gamma >{{\gamma }_{G}}\Rightarrow \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <math>k\acute{\ }\acute{\ }</math>
| |
| wird imaginär -> es dringt kein reeller Strahl mehr ins Medium ein !
| |
| | |
| <u>'''6. Relativistische Formulierung der Elektrodynamik'''</u>
| |
| | |
| <u>'''6.1 Ko- und Kontravariante Schreibweise der Relativitätstheorie'''</u>
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| | |
| Grundpostulat der speziellen Relativitätstheorie:
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| | |
| Kein Inertialsystem ist gegenüber einem anderen ausgezeichnet ! ( Einstein, 1904).
| |
| Die Lichtgeschwindigkeit c ist in jedem Inertialsystem gleich !
| |
| * Kugelwellen sind
| |
| * -> Lorentz- Invariant, also:
| |
| *
| |
| * <math>{{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=r{{\acute{\ }}^{2}}-{{c}^{2}}t{{\acute{\ }}^{2}}</math>
| |
| *
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| | |
| Für Lorentz- Transformationen !
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| | |
| <u>'''Formalisierung:'''</u>
| |
| <u>'''Der Raumzeitliche Abstand als'''</u>
| |
| | |
| <math>{{\left( ds \right)}^{2}}:={{\left( cdt \right)}^{2}}-{{\left( d\bar{r} \right)}^{2}}</math>
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| | |
| Zwischen 2 Ereignissen bleibt der raumzeitliche Abstand invariant bei Lorentz- Transformationen ! zwischen den Inertialsystemen :
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| <math>\Sigma \leftrightarrow \Sigma \acute{\ }</math>
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| | |
| Ziel: Um dies sofort zu sehen führt man Vierervektoren ein.
| |
| Dann schreibt man
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| <math>{{\left( ds \right)}^{2}}</math>
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| als Skalarprodukt von Vierervektoren im Minkowski- Raum V und man benutze den Formalismus der '''linearen orthogonalen '''Transformation , unter denen das Skalarprodukt invariant bleibt:
| |
| | |
| In der ko / kontravarianten Schreibweise tritt jeder Vierervektor in 2 möglichen Versionen auf:
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| | |
| <u>'''kontravariante Komponenten:'''</u>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{x}^{i}} \\
| |
| & {{x}^{1}}:=ct \\
| |
| & {{x}^{1}},{{x}^{2}},{{x}^{3}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| als Komponenten des Ortsvektors
| |
| <math>\bar{r}</math>
| |
| :
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| | |
| <u>'''kovariante Komponenten'''</u>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{x}_{i}}: \\
| |
| & {{x}_{0}}:=ct \\
| |
| & {{x}_{\alpha }}=-{{x}^{\alpha }},\alpha =1,2,3 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| kovarianter Vektor
| |
| <math>\in \tilde{V}</math>
| |
| , dualer Vektorraum zu V !
| |
| Merke: Die Räume der kovarianten Vektoren ist dual zur menge der kontravarianten
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| ->
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| <math>\in \tilde{V}</math>
| |
| als Raum der linearen Funktionale l:
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| <math>V\to R</math>
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| | |
| Damit werden dann die Skalarprodukte gebildet !
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| Schreibe
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| <math>{{\left( ds \right)}^{2}}=d{{x}^{0}}d{{x}_{0}}+d{{x}^{1}}d{{x}_{1}}+d{{x}^{2}}d{{x}_{2}}+d{{x}^{3}}d{{x}_{3}}=d{{x}^{i}}d{{x}_{i}}</math>
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| | |
| Mit: Summenkonvention !
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| über je einen ko- und einen kontravarianten Index ( hier i =0,1,2,3) wird summiert !
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| | |
| <u>'''Physikalische Anwendung'''</u>
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| | |
| Lorentz- Invarianten lassen sich als Skalarprodukt
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| <math>{{a}^{i}}{{a}_{i}}</math>
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| schreiben !
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| '''Beispiel: dÁlemebert- Operator:'''
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| | |
| <math>\#=\Delta -\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}=-\frac{\partial }{\partial {{x}^{i}}}\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}=-{{\partial }_{i}}{{\partial }^{i}}</math>
| |
| | |
| <u>'''Vierergeschwindigkeit'''</u>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{u}^{i}}:=\frac{d{{x}^{i}}}{ds}\Rightarrow {{u}^{i}}{{u}_{i}}=\frac{d{{x}^{i}}d{{x}_{i}}}{{{\left( ds \right)}^{2}}}=1 \\
| |
| & mit \\
| |
| & ds={{\left( d{{x}^{i}}d{{x}_{i}} \right)}^{\frac{1}{2}}}=c{{\left( 1-{{\beta }^{2}} \right)}^{\frac{1}{2}dt}}=\frac{c}{\gamma }dt \\
| |
| & \Rightarrow {{u}^{0}}=\gamma \\
| |
| & {{u}^{\alpha }}=\frac{\gamma }{c}{{v}^{\alpha }} \\
| |
| & {{v}^{\alpha }}:=\frac{d{{x}^{\alpha }}}{dt} \\
| |
| & \beta :=\frac{v}{c} \\
| |
| & \gamma :=\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| '''Physikalische Interpretation'''
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{u}^{\alpha }}=\frac{1}{c}\frac{d{{x}^{\alpha }}}{d\tau } \\
| |
| & d\tau =\frac{dt}{\gamma } \\
| |
| \end{align}</math>
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| '''Viererimpuls'''
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| <math>{{p}^{i}}:={{m}_{0}}c{{u}^{i}}</math>
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| mit der Ruhemasse m0
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| | |
| Also:
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| <math>\begin{align}
| |
| & {{p}^{i}}{{p}_{i}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}{{u}^{i}}{{u}_{i}} \\
| |
| & {{u}^{i}}{{u}_{i}}=1 \\
| |
| & \Rightarrow {{p}^{i}}{{p}_{i}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}} \\
| |
| & {{p}^{0}}={{m}_{0}}\gamma c=m(v)c=\frac{E}{c} \\
| |
| & {{p}^{\alpha }}={{m}_{0}}\gamma {{v}^{\alpha }}=m(v){{v}^{\alpha }} \\
| |
| & {{p}^{i}}{{p}_{i}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}{{u}^{i}}{{u}_{i}}\Leftrightarrow {{E}^{2}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}+{{c}^{2}}{{{\bar{p}}}^{2}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Mit der Energie
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| <math>E=m(v){{c}^{2}}</math>
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| | |
| '''Analoge Definition von Tensoren 2. Stufe:'''
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{A}^{ik}},{{A}^{i}}_{k},{{A}_{i}}^{k},{{A}_{ik}} \\
| |
| & {{A}^{00}}={{A}^{0}}_{0}={{A}_{0}}^{0}={{A}_{00}} \\
| |
| & {{A}^{10}}={{A}^{1}}_{0}=-{{A}_{1}}^{0}=-{{A}_{10}} \\
| |
| & {{A}^{11}}=-{{A}^{1}}_{1}=-{{A}_{1}}^{1}={{A}_{11}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <u>'''Der metrische Tensor'''</u>
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| | |
| <math>{{g}^{ik}}:={{\delta }^{ik}}=\left. \left\{ \begin{matrix}
| |
| {{\delta }^{i}}_{k}\quad k=0 \\
| |
| -{{\delta }^{i}}_{k}\quad k=1,2,3 \\
| |
| \end{matrix} \right. \right\}={{g}_{ik}}</math>
| |
| | |
| <math>{{g}^{ik}}={{g}_{ik}}=\left( \begin{matrix}
| |
| 1 & 0 & 0 & 0 \\
| |
| 0 & -1 & 0 & 0 \\
| |
| 0 & 0 & -1 & 0 \\
| |
| 0 & 0 & 0 & -1 \\
| |
| \end{matrix} \right)</math>
| |
| | |
| Mittels der Metrik werden Indices gehoben bzw. gesenkt:
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| | |
| <math>{{g}^{ik}}{{a}_{k}}={{a}^{i}}</math>
| |
| | |
| Wichtig fürs Skalarprodukt:
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| | |
| <math>d{{s}^{2}}={{g}^{ik}}d{{x}_{i}}d{{x}_{k}}={{g}_{ik}}d{{x}^{i}}d{{x}^{k}}</math>
| |
| | |
| <u>Lorentz- Trafo</u>
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| | |
| zwischen Bezugssystemen: Lineare / homogene Trafo
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| | |
| die Lorentz- Transformation für
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \left( {{x}^{0}}\begin{matrix}
| |
| , & {{x}^{1}}, & {{x}^{2}}, & {{x}^{3}} \\
| |
| \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
| |
| ct, & x, & y, & z \\
| |
| \end{matrix} \right) \\
| |
| & d{{s}^{2}}={{c}^{2}}d{{t}^{2}}-d{{x}^{2}}-d{{y}^{2}}-d{{z}^{2}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Nämlich:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \left( \begin{matrix}
| |
| {{x}_{0}}\acute{\ } \\
| |
| {{x}_{1}}\acute{\ } \\
| |
| {{x}_{2}}\acute{\ } \\
| |
| {{x}_{3}}\acute{\ } \\
| |
| \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
| |
| \frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & \frac{-\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & 0 & 0 \\
| |
| \frac{-\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & \frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & 0 & 0 \\
| |
| 0 & 0 & 1 & 0 \\
| |
| 0 & 0 & 0 & 1 \\
| |
| \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
| |
| {{x}_{0}} \\
| |
| {{x}_{1}} \\
| |
| {{x}_{2}} \\
| |
| {{x}_{3}} \\
| |
| \end{matrix} \right) \\
| |
| & x{{\acute{\ }}^{i}}={{U}^{i}}_{k}{{x}^{k}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Mit
| |
| <math>{{U}^{i}}_{k}=\left( \begin{matrix}
| |
| \frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & \frac{-\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & 0 & 0 \\
| |
| \frac{-\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & \frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & 0 & 0 \\
| |
| 0 & 0 & 1 & 0 \\
| |
| 0 & 0 & 0 & 1 \\
| |
| \end{matrix} \right)</math>
| |
| | |
| für
| |
| <math>v||{{x}_{1}}</math>
| |
| | |
| Wesentliche Eigenschaft ( die Viererschreibweise ist so konstruiert worden):
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| | |
| U ist orthogonale Trafo:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{U}^{i}}_{k}{{U}_{i}}^{l}=\delta _{k}^{l} \\
| |
| & \Rightarrow a{{\acute{\ }}^{i}}b{{\acute{\ }}_{i}}={{U}^{i}}_{k}{{U}_{i}}^{l}{{a}^{k}}{{b}_{l}}={{a}^{k}}{{b}_{k}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Das Skalarprodukt ist invariant, falls U eine orthogonale Trafo ist
| |
| Bzw.
| |
| Forderung: Skalarprodukt invariant -> U muss orthogonale Trafo sein !
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| | |
| Umkehr- Transformation:
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| | |
| <math>{{x}^{i}}={{U}_{k}}^{i}x{{\acute{\ }}^{k}}</math>
| |
| | |
| <u>'''6.2 Transformationsverhalten der Ströme und Felder'''</u>
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| | |
| <u>'''Ziel: Ko- / Kontravariante Schreibweise der Elektrodynamik im Vakuum'''</u>
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| | |
| Grund: Die klassische Elektrodynamik ist bereits eine Lorentz- invariante Theorie !!
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| | |
| Historisch gab die Maxwellsche Elektrodynamik und nicht die Mechanik den Anstoß zur Relativitätstheorie überhaupt !
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| | |
| '''Ladungserhaltung aus Kontinuitätsgleichung:'''
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & div\bar{j}+\frac{\partial \rho }{\partial t}=\frac{\partial {{j}_{x}}}{\partial x}+\frac{\partial {{j}_{y}}}{\partial y}+\frac{\partial {{j}_{z}}}{\partial z}+\frac{\partial c\rho }{\partial ct}=0 \\
| |
| & 0=\frac{\partial \rho }{\partial t}+\sum\limits_{\alpha =1}^{3}{{}}{{\partial }_{\alpha }}{{j}^{\alpha }} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Somit gewinnen wir aber ebenfalls wieder einen Lorentz- Skalar, nämlich
| |
| | |
| <math>{{\partial }_{\mu }}{{j}^{\mu }}=0</math>
| |
| | |
| in Viererschreibweise.
| |
| Die Vierer- Stromdichte ist
| |
| | |
| <math>\left\{ {{j}^{\mu }} \right\}=\left\{ c\rho ,\bar{j} \right\}</math>
| |
| ebenfalls ein kontravarianter Vierer- Vektor . Er heißt Vierer- Stromdichte.
| |
| Die Kontinuitätsgleichung ist gleich
| |
| <math>{{\partial }_{\mu }}{{j}^{\mu }}=0</math>
| |
| | |
| '''Forderung:'''
| |
| Ladungserhaltung soll in allen Inertialsystemen gelten !
| |
| ->
| |
| | |
| <math>{{j}^{\mu }}=0</math>
| |
| muss sich wie ein Vierervektor transformieren, damit das Skalarprodukt
| |
| <math>{{\partial }_{\mu }}{{j}^{\mu }}=0</math>
| |
| Lorentz- invariant ist !:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{x}^{0}}\acute{\ }=\gamma \left( {{x}^{0}}-\beta {{x}^{1}} \right)\Leftrightarrow t\acute{\ }=\gamma \left( t-\frac{v}{{{c}^{2}}}{{x}^{1}} \right) \\
| |
| & {{x}^{1}}\acute{\ }=\gamma \left( {{x}^{1}}-\beta {{x}^{0}} \right)\Leftrightarrow {{x}^{1}}\acute{\ }=\gamma \left( {{x}^{1}}-vt \right) \\
| |
| & {{x}^{2}}\acute{\ }={{x}^{2}} \\
| |
| & {{x}^{3}}\acute{\ }={{x}^{3}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Also gilt für Ladungs- und Stromdichten:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{j}^{0}}\acute{\ }=\gamma \left( {{j}^{0}}-\beta {{j}^{1}} \right)\Leftrightarrow \rho \acute{\ }=\gamma \left( \rho -\frac{v}{{{c}^{2}}}{{j}^{1}} \right) \\
| |
| & {{j}^{1}}\acute{\ }=\gamma \left( {{j}^{1}}-\beta {{j}^{0}} \right)\Leftrightarrow {{j}^{1}}\acute{\ }=\gamma \left( {{j}^{1}}-v\rho \right) \\
| |
| & {{j}^{2}}\acute{\ }={{j}^{2}} \\
| |
| & {{j}^{3}}\acute{\ }={{j}^{3}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Merke: Es sollte kein Missverständnis geschehen: Ist ein Vektor in ein Lorentz- invariantes Skalarprodukt verwickelt, so ist es ein Vierervektor. Damit ist klar: Seine Komponenten transfornmieren nach der Lorentz- Trafo.
| |
| Dadurch aber ist die Trafo für seine Komponenten, die Beispielsweise Ladungs- und Stromdichten sind, gefunden.
| |
| | |
| <u>'''4- Potenziale:'''</u>
| |
| | |
| <u>Die </u>Potenziale
| |
| <math>\Phi ,\bar{A}</math>
| |
| sind in der Lorentz- Eichung
| |
| <math>\nabla \cdot \bar{A}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\phi =0</math>
| |
| Lösungen von
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\
| |
| & \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\
| |
| & \#=-{{\partial }_{\mu }}{{\partial }^{\mu }} \\
| |
| & {{\mu }_{0}}c=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c} \\
| |
| & \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j}\Leftrightarrow {{\partial }_{\mu }}{{\partial }^{\mu }}c{{A}^{\alpha }}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\alpha }} \\
| |
| & \alpha =1,2,3 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \Delta \phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}=-{{\mu }_{0}}{{c}^{2}}\rho \\
| |
| & \#\phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}\Leftrightarrow {{\partial }_{\mu }}{{\partial }^{\mu }}\phi =\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{0}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Zusammen:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & -\#{{\Phi }^{\mu }}={{\partial }_{\alpha }}{{\partial }^{\alpha }}{{\Phi }^{\mu }}={{\mu }_{0}}{{j}^{\mu }} \\
| |
| & {{\Phi }^{0}}:=\phi \\
| |
| & {{\Phi }^{i}}:=c{{A}^{i}}\quad i=1..3 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Da
| |
| <math>{{j}^{\mu }}</math>
| |
| Vierervektoren sind ( wie Vierervektoren transformieren), muss auch
| |
| <math>{{\Phi }^{\mu }}</math>
| |
| wie ein Vierervektor transformieren.
| |
| Denn: Der d´Alembert- Operator ist Lorentz- invariant:
| |
| | |
| <math>{{\partial }_{\alpha }}{{\partial }^{\alpha }}</math>
| |
| lorentz- invariant !:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{\Phi }^{0}}\acute{\ }=\gamma \left( {{\Phi }^{0}}-\beta {{\Phi }^{1}} \right)\quad bzw.\quad \Phi \acute{\ }=\gamma \left( \Phi -v{{A}^{1}} \right) \\
| |
| & {{\Phi }^{1}}\acute{\ }=\gamma \left( {{\Phi }^{1}}-\beta {{\Phi }^{0}} \right)\quad bzw.\quad A{{\acute{\ }}^{1}}=\gamma \left( {{A}^{1}}-\frac{v}{{{c}^{2}}}\Phi \right),{{A}^{\acute{\ }2}}={{A}^{2}},A{{\acute{\ }}^{3}}={{A}^{3}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Nun: Lorentz- Eichung:
| |
| | |
| <math>\nabla \cdot \bar{A}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\phi =0</math>
| |
| | |
| Lorentz- Eichung <-> Lorentz- Invarianz
| |
| <math>{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}=0</math>
| |
| ( Gegensatz zur Coulomb- Eichung)
| |
| | |
| <math>{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}=0\Leftrightarrow \nabla \cdot \bar{A}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\phi =0</math>
| |
| | |
| <u>'''Umeichung:'''</u>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \tilde{\bar{A}}=\bar{A}+\nabla F \\
| |
| & \tilde{\phi }=\phi -\frac{\partial }{\partial t}F \\
| |
| & \Leftrightarrow \\
| |
| & c{{{\tilde{A}}}^{\alpha }}=c{{A}^{\alpha }}+{{\partial }_{\alpha }}cF=c{{A}^{\alpha }}-{{\partial }^{\alpha }}cF \\
| |
| & {{{\tilde{\Phi }}}^{0}}={{\Phi }^{0}}-{{\partial }_{0}}cF={{\Phi }^{0}}-{{\partial }^{0}}cF \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| '''Also:'''
| |
| | |
| <math>{{\tilde{\Phi }}^{\mu }}={{\Phi }^{\mu }}-{{\partial }^{\mu }}cF</math>
| |
| | |
| '''Felder E und B:'''
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{E}=-grad\phi -\frac{\partial }{\partial t}\bar{A} \\
| |
| & \Rightarrow {{E}^{\alpha }}=-{{\partial }_{\alpha }}\phi -\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}c{{A}^{\alpha }}=-{{\partial }_{\alpha }}{{\Phi }^{0}}-{{\partial }_{0}}{{\Phi }^{\alpha }}={{\partial }^{\alpha }}{{\Phi }^{0}}-{{\partial }^{0}}{{\Phi }^{\alpha }} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{B}=\nabla \times \bar{A} \\
| |
| & \Rightarrow c{{B}^{1}}={{\partial }_{2}}c{{A}^{3}}-{{\partial }_{3}}c{{A}^{2}}={{\partial }_{2}}{{\Phi }^{3}}-{{\partial }_{3}}{{\Phi }^{2}}={{\partial }^{3}}{{\Phi }^{2}}-{{\partial }^{2}}{{\Phi }^{3}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Die anderen Komponenten gewinnt man durch zyklische Vertauschung:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & c{{B}^{2}}={{\partial }^{1}}{{\Phi }^{3}}-{{\partial }^{3}}{{\Phi }^{1}} \\
| |
| & c{{B}^{3}}={{\partial }^{2}}{{\Phi }^{1}}-{{\partial }^{1}}{{\Phi }^{2}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Diese Gleichungen werden zusammengefasst durch den antisymmetrtischen Feldstärketensor:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \left\{ {{F}_{\mu \nu }} \right\}=\left\{ {{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}-{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }} \right\}=\left( \begin{matrix}
| |
| 0 & \frac{1}{c}{{E}_{x}} & \frac{1}{c}{{E}_{y}} & \frac{1}{c}{{E}_{z}} \\
| |
| -\frac{1}{c}{{E}_{x}} & 0 & -{{B}_{z}} & {{B}_{y}} \\
| |
| -\frac{1}{c}{{E}_{y}} & {{B}_{z}} & 0 & -{{B}_{x}} \\
| |
| -\frac{1}{c}{{E}_{z}} & -{{B}_{y}} & {{B}_{x}} & 0 \\
| |
| \end{matrix} \right) \\
| |
| & {{F}^{\mu \nu }}=\left\{ {{\partial }^{\mu }}{{\Phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\mu }} \right\}=\left( \begin{matrix}
| |
| 0 & -\frac{1}{c}{{E}_{x}} & -\frac{1}{c}{{E}_{y}} & -\frac{1}{c}{{E}_{z}} \\
| |
| \frac{1}{c}{{E}_{x}} & 0 & -{{B}_{z}} & {{B}_{y}} \\
| |
| \frac{1}{c}{{E}_{y}} & {{B}_{z}} & 0 & -{{B}_{x}} \\
| |
| \frac{1}{c}{{E}_{z}} & -{{B}_{y}} & {{B}_{x}} & 0 \\
| |
| \end{matrix} \right) \\
| |
| & \Leftrightarrow {{F}^{\mu \nu }}=\left\{ {{\partial }^{\mu }}{{\Phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\mu }} \right\}=\left( \begin{matrix}
| |
| 0 & -{{E}^{1}} & -{{E}^{2}} & -{{E}^{3}} \\
| |
| {{E}^{1}} & 0 & -c{{B}^{3}} & c{{B}^{2}} \\
| |
| {{E}^{2}} & c{{B}^{3}} & 0 & -c{{B}^{1}} \\
| |
| {{E}^{3}} & -c{{B}^{2}} & c{{B}^{1}} & 0 \\
| |
| \end{matrix} \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Wegen der Antisymmetrie hat
| |
| <math>{{F}^{\mu \nu }}</math>
| |
| nur 6 unabhängige Komponenten !
| |
| | |
| Das bedeutet, die Raum- Raum- Komponenten entsprechen
| |
| | |
| <math>rot\bar{A}=\bar{B}</math>
| |
| | |
| während die Raum- zeit- Komponenten:
| |
| | |
| <math>\bar{E}=-grad\phi -\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}</math>
| |
| erfüllen.
| |
| | |
| <u>'''Lorentz- Trafo der Felder:'''</u>
| |
| | |
| Der Feldstärketensor ist kovariant und transformiert demnach über die inverse Lorentz- Transformation.
| |
| Das heißt: Für die Transformation in ein in x- Richtung mit konstanter Geschwindigkeit
| |
| <math>\bar{v}</math>
| |
| bewegtes System K´ gilt:
| |
| | |
| <math>{{F}_{{}}}{{\acute{\ }}^{\mu \nu }}={{U}^{\mu }}_{\lambda }{{U}^{\nu }}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}</math>
| |
| | |
| <math>{{U}^{i}}_{k}=\left( \begin{matrix}
| |
| \frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & \frac{-\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & 0 & 0 \\
| |
| \frac{-\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & \frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & 0 & 0 \\
| |
| 0 & 0 & 1 & 0 \\
| |
| 0 & 0 & 0 & 1 \\
| |
| \end{matrix} \right)</math>
| |
| | |
| Damit läßt sich nun das uns unbekannte Transformationsverhalten der Felder
| |
| <math>\bar{E}</math>
| |
| und
| |
| <math>rot\bar{A}=\bar{B}</math>
| |
| berechnen, die auch kovariant transformieren müssen. Dabei sollte keinesfalls die Summation über die Indices auf der rechten Seite vergessen werden !!
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & E{{\acute{\ }}^{1}}=F{{\acute{\ }}^{10}}={{U}^{1}}_{\lambda }{{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}=-\beta \gamma {{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{0\kappa }}+\gamma {{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{1\kappa }}={{\left( \beta \gamma \right)}^{2}}{{F}^{01}}+{{\gamma }^{2}}{{F}^{10}}= \\
| |
| & ={{\gamma }^{2}}\left( 1-{{\beta }^{2}} \right){{F}^{10}}={{E}^{1}} \\
| |
| & {{\gamma }^{2}}\left( 1-{{\beta }^{2}} \right)=1 \\
| |
| & \\
| |
| & E{{\acute{\ }}^{2}}=F{{\acute{\ }}^{20}}={{U}^{2}}_{\lambda }{{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}={{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{2\kappa }}=\gamma {{F}^{20}}-\beta \gamma {{F}^{21}}=\gamma \left( {{E}^{2}}-v{{B}^{3}} \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <math>E{{\acute{\ }}^{3}}=F{{\acute{\ }}^{30}}={{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{3\kappa }}=\gamma {{F}^{30}}-\beta \gamma {{F}^{31}}=\gamma \left( {{E}^{3}}+v{{B}^{2}} \right)</math>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & B{{\acute{\ }}^{1}}=\frac{1}{c}F{{\acute{\ }}^{32}}=\frac{1}{c}{{U}^{3}}_{\lambda }{{U}^{2}}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}=\frac{1}{c}{{F}^{32}}={{B}^{1}} \\
| |
| & B{{\acute{\ }}^{2}}=\frac{1}{c}F{{\acute{\ }}^{13}}=\frac{1}{c}{{U}^{1}}_{\lambda }{{U}^{3}}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}=\frac{1}{c}{{U}^{1}}_{\kappa }{{F}^{\kappa 3}}=-\frac{\beta \gamma }{c}{{F}^{03}}+\frac{\gamma }{c}{{F}^{13}}=\gamma \left( {{B}^{2}}+\frac{v}{{{c}^{2}}}{{E}^{3}} \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <math>B{{\acute{\ }}^{3}}=\gamma \left( {{B}^{3}}-\frac{v}{{{c}^{2}}}{{E}^{2}} \right)</math>
| |
| | |
| '''Zusammenfassung'''
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{E}^{1}}\acute{\ }={{E}^{1}} \\
| |
| & {{E}^{2}}\acute{\ }=\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}\left( {{E}^{2}}-v{{B}^{3}} \right) \\
| |
| & {{E}^{3}}\acute{\ }=\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}\left( {{E}^{3}}+v{{B}^{2}} \right) \\
| |
| & {{B}^{1}}\acute{\ }={{B}^{1}} \\
| |
| & {{B}^{2}}\acute{\ }=\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}\left( {{B}^{2}}+\frac{v}{{{c}^{2}}}{{E}^{3}} \right) \\
| |
| & {{B}^{3}}\acute{\ }=\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}\left( {{B}^{3}}-\frac{v}{{{c}^{2}}}{{E}^{2}} \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Elektrische und magnetische Felder werden beim Übergang zwischen verschiedenen Inertialsystemen ineinander transformiert !
| |
| | |
| <u>'''Umeichung:'''</u>
| |
| | |
| <math>{{\tilde{\Phi }}^{\mu }}={{\Phi }^{\mu }}+{{\partial }^{\mu }}\phi </math>
| |
| | |
| Somit:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{{\tilde{F}}}^{\mu \nu }}={{\partial }^{\mu }}{{{\tilde{\Phi }}}^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{{\tilde{\Phi }}}^{\mu }}={{\partial }^{\mu }}\left( {{\Phi }^{\nu }}+{{\partial }^{\nu }}\phi \right)-{{\partial }^{\nu }}\left( {{\Phi }^{\mu }}+{{\partial }^{\mu }}\phi \right) \\
| |
| & ={{\partial }^{\mu }}{{\Phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\mu }}+{{\partial }^{\mu }}{{\partial }^{\nu }}\phi -{{\partial }^{\nu }}{{\partial }^{\mu }}\phi ={{F}^{\mu \nu }} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <u>'''Homogene Maxwell- Gleichungen'''</u>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \nabla \cdot \bar{B}={{\partial }_{1}}{{B}^{1}}+{{\partial }_{2}}{{B}^{2}}+{{\partial }_{3}}{{B}^{3}}=0 \\
| |
| & \Rightarrow {{\partial }_{1}}{{F}^{32}}+{{\partial }_{2}}{{F}^{13}}+{{\partial }_{3}}{{F}^{21}}=0 \\
| |
| & \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Mit
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{\partial }_{1}}=-{{\partial }^{1}} \\
| |
| & {{F}^{32}}=-{{F}^{23}} \\
| |
| & \Rightarrow {{\partial }^{1}}{{F}^{23}}+{{\partial }^{2}}{{F}^{31}}+{{\partial }^{3}}{{F}^{12}}=0 \\
| |
| & \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| + zyklisch in (123)
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| '''innere Feldgleichung für E- Feld'''
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| <math>\nabla \times \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}</math>
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| # Komponente
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| <math>{{\partial }_{2}}{{E}^{3}}-{{\partial }_{3}}{{E}^{2}}+\frac{\partial }{\partial t}{{B}^{1}}=0</math>
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| <math>\Rightarrow {{\partial }^{0}}{{F}^{23}}+{{\partial }^{2}}{{F}^{30}}+{{\partial }^{3}}{{F}^{02}}=0</math>
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| und zyklisch (023)
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| zyklische Permutation 1 -> 2 -> 3 -> 1 und mit
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| <math>{{F}^{ik}}=-{{F}^{ki}}</math>
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| liefert:
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| <math>\begin{align}
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| & \Rightarrow {{\partial }^{0}}{{F}^{13}}+{{\partial }^{3}}{{F}^{01}}+{{\partial }^{1}}{{F}^{30}}=0\quad zyklisch(013) \\
| |
| & \Rightarrow {{\partial }^{0}}{{F}^{12}}+{{\partial }^{1}}{{F}^{20}}+{{\partial }^{2}}{{F}^{01}}=0\quad zyklisch(012) \\
| |
| \end{align}</math>
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| '''Zusammenfassung der homogenen Maxwellgleichungen'''
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| <math>{{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}{{\partial }_{\lambda }}{{F}_{\mu \nu }}=0</math>
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| <math>{{\varepsilon }_{\kappa \lambda \mu \nu }}{{\partial }^{\lambda }}{{F}^{\mu \nu }}=0</math>
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| Die "4- Rotation" des Feldstärketensors verschwindet !
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| '''Levi- Civita- Tensor:'''
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| '''+1 für gerade Permutation von 0123'''
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| '''-1 für ungerade Permutation von 0123'''
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| '''0, sonst'''
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| '''Bemerkungen'''
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| # Levi- Civita ist vollständig antisymmetrisch ( per Definition).
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| #
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| # <math>{{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}</math>
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| # transformiert unter Lorentz- Trafo
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| <math>\begin{align}
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| & {{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}\acute{\ }={{U}^{\kappa }}_{\alpha }{{U}^{\lambda }}_{\beta }{{U}^{\mu }}_{\gamma }{{U}^{\nu }}_{\delta }{{\varepsilon }^{\alpha \beta \gamma \delta }} \\
| |
| & =\left| \begin{matrix}
| |
| {{U}^{\kappa }}_{0} & {{U}^{\kappa }}_{1} & {{U}^{\kappa }}_{2} & {{U}^{\kappa }}_{3} \\
| |
| {{U}^{\lambda }}_{0} & {{U}^{\lambda }}_{1} & {{U}^{\lambda }}_{2} & {{U}^{\lambda }}_{3} \\
| |
| {{U}^{\mu }}_{0} & {{U}^{\mu }}_{1} & {{U}^{\mu }}_{2} & {{U}^{\mu }}_{3} \\
| |
| {{U}^{\nu }}_{0} & {{U}^{\nu }}_{1} & {{U}^{\nu }}_{2} & {{U}^{\nu }}_{3} \\
| |
| \end{matrix} \right|=\left( \det U \right)\cdot {{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }} \\
| |
| & \left( \det U \right)=\pm 1 \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Damit nun der Levi- Civita- Tensor invariant unter Lorentz- Trafos wird, also
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| | |
| <math>{{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}\acute{\ }={{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}</math>
| |
| , muss vereinbart werden, dass die Transformation lautet
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| | |
| <math>{{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}\acute{\ }=\left( \det U \right){{U}^{\kappa }}_{\alpha }{{U}^{\lambda }}_{\beta }{{U}^{\mu }}_{\gamma }{{U}^{\nu }}_{\delta }{{\varepsilon }^{\alpha \beta \gamma \delta }}</math>
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| | |
| Damit ist der Tensor aber ein Pseudotensor !
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| | |
| Insgesamt ist die vierdimensionale Schreibweise die gleiche Formalisierung wie im Dreidimensionalen:
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| <math>{{\left( \nabla \times \bar{A} \right)}_{\alpha }}={{\varepsilon }^{\alpha \beta \gamma }}{{\partial }_{\beta }}{{A}_{\gamma }}</math>
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| | |
| Mit Pseudovektor
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| | |
| <math>{{\left( \nabla \times \bar{A} \right)}_{\alpha }}</math>
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| | |
| <u>'''Inhomogene Maxwellgleichungen im Vakuum ( Erregungsgleichungen)'''</u>
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}=\rho \\
| |
| & \Leftrightarrow {{\partial }_{1}}{{E}^{1}}+{{\partial }_{2}}{{E}^{2}}+{{\partial }_{3}}{{E}^{3}}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}c\rho \\
| |
| & \Leftrightarrow {{\partial }_{1}}{{F}^{10}}+{{\partial }_{2}}{{F}^{20}}+{{\partial }_{3}}{{F}^{30}}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{0}} \\
| |
| & \Leftrightarrow {{\partial }_{\nu }}{{F}^{\nu 0}}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{0}} \\
| |
| & wegen{{\partial }_{0}}{{F}^{00}}=0 \\
| |
| & auch{{\partial }_{i}}{{F}^{i0}}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{0}} \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| #
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| # <math>\nabla \times \bar{B}-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E}={{\mu }_{0}}\left( \nabla \times \bar{H}-{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E} \right)={{\mu }_{0}}\bar{j}</math>
| |
| #
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| | |
| # Komponente
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{\partial }_{2}}{{B}^{3}}-{{\partial }_{3}}{{B}^{2}}={{\mu }_{0}}{{j}^{1}}+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}{{E}^{1}} \\
| |
| & {{\mu }_{0}}c=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c} \\
| |
| & \Leftrightarrow {{\partial }_{2}}{{F}^{21}}-.{{\partial }_{3}}{{F}^{13}}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{1}}+.{{\partial }_{0}}{{F}^{10}} \\
| |
| & {{\partial }_{2}}{{F}^{21}}+{{\partial }_{3}}{{F}^{31}}+{{\partial }_{0}}{{F}^{01}}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{1}} \\
| |
| & \Leftrightarrow {{\partial }_{\nu }}{{F}^{\nu 1}}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{1}} \\
| |
| & wegen{{\partial }_{1}}{{F}^{11}}=0 \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Dies kann analog für die zweite und dritte Komponente durchgeixt werden. Aus der Nullten Komponente hatten wir die Nullte des Stroms ( Erregungsgleichung des elektrischen Feldes), so dass insgesamt folgt:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{\partial }_{\nu }}{{F}^{\mu \nu }}=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\mu }} \\
| |
| & {{\partial }_{\nu }}{{F}^{\nu \mu }}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\mu }} \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Die Viererdivergenz des elektrischen Feldstärketensors !
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| '''Bemerkungen'''
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| | |
| # die homogenen Maxwellgleichungen sind durch den Potenzialansatz
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| | |
| <math>\left\{ {{F}_{\mu \nu }} \right\}=\left\{ {{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}-{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }} \right\}=\left( \begin{matrix}
| |
| 0 & \frac{1}{c}{{E}_{x}} & \frac{1}{c}{{E}_{y}} & \frac{1}{c}{{E}_{z}} \\
| |
| -\frac{1}{c}{{E}_{x}} & 0 & -{{B}_{z}} & {{B}_{y}} \\
| |
| -\frac{1}{c}{{E}_{y}} & {{B}_{z}} & 0 & -{{B}_{x}} \\
| |
| -\frac{1}{c}{{E}_{z}} & -{{B}_{y}} & {{B}_{x}} & 0 \\
| |
| \end{matrix} \right)</math>
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| automatisch erfüllt:
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| <math>\begin{align}
| |
| & {{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{F}_{\mu \nu }}={{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}-{{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }} \\
| |
| & {{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}=0, \\
| |
| & da:{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}\quad symmetrisch \\
| |
| & {{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}\quad antisymmetrisch \\
| |
| & {{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }}=0 \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Aus den inhomogenen Maxwell- Gleichungen
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| | |
| <math>{{\partial }_{\beta }}{{F}^{\beta \nu }}={{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\beta }}{{\Phi }^{\nu }}-{{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\beta }}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\nu }}</math>
| |
| | |
| folgt mit Lorentz- Eichung
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| | |
| <math>{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}=0</math>
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\beta }}={{\partial }^{\nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\Phi }^{\beta }}=0 \\
| |
| & also: \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| <math>{{\partial }_{\beta }}{{F}^{\beta \nu }}={{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\beta }}{{\Phi }^{\nu }}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\nu }}</math>
| |
| als inhomogene Wellengleichung
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| | |
| '''Die Maxwellgleichungen'''
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{F}_{\mu \nu }}={{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}-{{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }}=0 \\
| |
| & {{\partial }_{\beta }}{{F}^{\beta \nu }}={{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\beta }}{{\Phi }^{\nu }}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\nu }} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| sind ihrerseits nun Lorentz- kovariant, da sie durch 4 Pseudovektoren ausgedrückt sind.
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| Merke: Pseudo - 4- Vektor stört nicht, da rechte Seite gleich Null !!
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| | |
| <u>'''Gauß- System:'''</u>
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| | |
| <math>{{\partial }_{\beta }}{{F}^{\beta \nu }}=\frac{4\pi }{c}{{j}^{\nu }}</math>
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| <u>'''Relativistisches Hamiltonprinzip'''</u>
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| <u>'''Ziel: '''</u>Formulierung der Elektrodynamik als Lagrange- Feldtheorie
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| Die rel. Dynamik eines Massepunktes kann aus dem Extremalprinzip abgeleitet werden, wenn man Die Punkt 1 und 2 als Anfangs- und Endereignis im 4- Raum sieht und wenn man die Ränder bei Variation festhält:
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \delta W=0 \\
| |
| & W=\int_{1}^{2}{{}}ds \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| letzteres: Wirkungsintegral
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| Wichtig:
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| <math>{{\left. \delta {{x}^{i}} \right|}_{1,2}}=0</math>
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| | |
| Newtonsche Mechanik ist Grenzfall:
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| | |
| <math>W=-{{m}_{0}}c\int_{1}^{2}{{}}ds</math>
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| | |
| Wechselwirkung eines Massepunktes mit einem 4- Vektor- Feld
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \left( {{\phi }^{i}} \right)({{x}^{j}}) \\
| |
| & \Rightarrow \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <math>W=\int_{1}^{2}{{}}\left\{ -{{m}_{0}}cds-{{\phi }^{i}}d{{x}_{i}} \right\}</math>
| |
| | |
| mit den Lorentz- Invarianten
| |
| | |
| <math>{{m}_{0}}cds</math>
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| | |
| und
| |
| | |
| <math>{{\phi }^{i}}d{{x}_{i}}</math>
| |
| | |
| '''Variation:'''
| |
| | |
| <math>\delta W=\int_{1}^{2}{{}}\left\{ -{{m}_{0}}c\delta \left( ds \right)-\delta \left( {{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }} \right) \right\}</math>
| |
| | |
| Nun:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \delta \left( ds \right)=\delta {{\left( d{{x}^{\mu }}d{{x}_{\mu }} \right)}^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}\frac{\left( d\delta {{x}^{\mu }} \right)d{{x}_{\mu }}+d{{x}^{\mu }}\left( d\delta {{x}_{\mu }} \right)}{ds} \\
| |
| & \left( d\delta {{x}^{\mu }} \right)d{{x}_{\mu }}=d{{x}^{\mu }}\left( d\delta {{x}_{\mu }} \right) \\
| |
| & =\frac{d{{x}^{\mu }}}{ds}\left( d\delta {{x}_{\mu }} \right)={{u}^{\mu }}\left( d\delta {{x}_{\mu }} \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Außerdem:
| |
| | |
| <math>\delta \left( {{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }} \right)=\delta {{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }}+{{\phi }^{\mu }}d\left( \delta {{x}_{\mu }} \right)</math>
| |
| | |
| Somit:
| |
| | |
| <math>\delta W=\int_{1}^{2}{{}}\left\{ -{{m}_{0}}c{{u}^{\mu }}\left( d\delta {{x}_{\mu }} \right)-\delta {{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }}-{{\phi }^{\mu }}d\left( \delta {{x}_{\mu }} \right) \right\}</math>
| |
| | |
| Weiter mit partieller Integration:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \int_{1}^{2}{{}}-{{m}_{0}}c{{u}^{\mu }}d\left( \delta {{x}_{\mu }} \right)=\left[ -{{m}_{0}}c{{u}^{\mu }}\left( \delta {{x}_{\mu }} \right) \right]_{1}^{2}+\int_{1}^{2}{{}}{{m}_{0}}cd{{u}^{\mu }}\left( \delta {{x}_{\mu }} \right) \\
| |
| & \left[ -{{m}_{0}}c{{u}^{\mu }}\left( \delta {{x}_{\mu }} \right) \right]_{1}^{2}=0,weil\delta {{x}_{\mu }}_{1}^{2}=0 \\
| |
| & \Rightarrow \int_{1}^{2}{{}}-{{m}_{0}}c{{u}^{\mu }}d\left( \delta {{x}_{\mu }} \right)=\int_{1}^{2}{{}}{{m}_{0}}cd{{u}^{\mu }}\left( \delta {{x}_{\mu }} \right)=\int_{1}^{2}{{}}{{m}_{0}}c\frac{d{{u}^{\mu }}}{ds}\left( \delta {{x}_{\mu }} \right)ds \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Weiter:
| |
| | |
| <math>\int_{1}^{2}{{}}-{{\phi }^{\mu }}d\left( \delta {{x}_{\mu }} \right)=-\left[ {{\phi }^{\mu }}\delta {{x}_{\mu }} \right]_{1}^{2}+\int_{1}^{2}{{}}d{{\phi }^{\mu }}\left( \delta {{x}_{\mu }} \right)</math>
| |
| | |
| Mit
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & d{{\phi }^{\mu }}={{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\nu }}={{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }}{{u}_{\nu }}ds \\
| |
| & \delta {{\phi }^{\mu }}={{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }}\delta {{x}_{\nu }} \\
| |
| & \delta {{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }}={{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }}\delta {{x}_{\nu }}d{{x}_{\mu }}=i<->k={{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}\delta {{x}_{\mu }}d{{x}_{\nu }}={{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}{{u}_{\nu }}\delta {{x}_{\mu }}ds \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Einsetzen in
| |
| | |
| <math>\delta W=\int_{1}^{2}{{}}\left\{ -{{m}_{0}}c{{u}^{\mu }}\left( d\delta {{x}_{\mu }} \right)-\delta {{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }}-{{\phi }^{\mu }}d\left( \delta {{x}_{\mu }} \right) \right\}</math>
| |
| | |
| liefert:
| |
| | |
| <math>\delta W=\int_{1}^{2}{{}}\left\{ {{m}_{0}}c\frac{d{{u}^{\mu }}}{ds}-\left( {{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }} \right){{u}_{\nu }} \right\}\delta {{x}_{\mu }}</math>
| |
| | |
| '''Wegen'''
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \delta W=\int_{1}^{2}{{}}\left\{ {{m}_{0}}c\frac{d{{u}^{\mu }}}{ds}-\left( {{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }} \right){{u}_{\nu }} \right\}\delta {{x}_{\mu }}=0 \\
| |
| & {{m}_{0}}c\frac{d{{u}^{\mu }}}{ds}=\left( {{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }} \right){{u}_{\nu }}:={{f}^{\mu \nu }}{{u}_{\nu }} \\
| |
| & {{f}^{\mu \nu }}=\left( {{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }} \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Dies ist dann die aus dem hamiltonschen Prinzip abgeleitete Bewegungsgleichung eines Massepunktes der Ruhemasse m0 und der Ladung q unter dem Einfluss der Lorentz- Kraft.
| |
| | |
| Man setze:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{p}^{\mu }}={{m}_{0}}c{{u}^{\mu }} \\
| |
| & {{f}^{\mu \nu }}=\frac{q}{c}{{F}^{\mu \nu }}=\left( {{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }} \right) \\
| |
| & {{\phi }^{\mu }}=\frac{q}{c}{{\Phi }^{\mu }} \\
| |
| & \frac{d}{ds}{{p}^{\mu }}=\frac{q}{c}{{F}^{\mu \nu }}{{u}_{\nu }}\Leftrightarrow \delta W=\delta \int_{1}^{2}{{}}\left\{ -{{m}_{0}}cds-\frac{q}{c}{{\Phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }} \right\}=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Man bestimmt die Ortskomponenten
| |
| <math>\alpha =1,2,3</math>
| |
| über
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \frac{d}{dt}\bar{p}=q\left( \bar{E}+\bar{v}\times \bar{B} \right) \\
| |
| & \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| überein, denn mit
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{u}^{0}}=\gamma \\
| |
| & {{u}^{\alpha }}=\frac{\gamma }{c}{{v}^{\alpha }}=-{{u}_{\alpha }} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| folgt dann:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \frac{d}{dt}{{p}^{1}}=q\left( {{E}^{1}}+{{v}^{2}}{{B}^{3}}-{{v}^{3}}{{B}^{2}} \right) \\
| |
| & =q\left( {{F}^{10}}+{{F}^{21}}\frac{1}{c}{{v}^{2}}-{{F}^{13}}\frac{1}{c}{{v}^{3}} \right) \\
| |
| & =\frac{q}{\gamma }\left( {{F}^{10}}\gamma +{{F}^{21}}\frac{\gamma }{c}{{v}^{2}}-{{F}^{13}}\frac{\gamma }{c}{{v}^{3}} \right)=\frac{q}{\gamma }{{F}^{1\mu }}{{u}_{\mu }} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| mit
| |
| | |
| <math>ds=\frac{c}{\gamma }dt</math>
| |
| :
| |
| | |
| <math>\frac{d}{ds}{{p}^{1}}=\frac{q}{c}{{F}^{1\mu }}{{u}_{\mu }}</math>
| |
| | |
| Die zeitartige Komponente
| |
| <math>\mu =0</math>
| |
| gibt wegen
| |
| <math>{{p}^{0}}=\frac{E}{c}</math>
| |
| :
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \frac{d}{ds}\frac{E}{c}=\frac{\gamma }{{{c}^{2}}}\frac{dE}{dt}=\frac{q}{c}\left( {{F}^{01}}{{u}_{1}}+{{F}^{02}}{{u}_{2}}+{{F}^{03}}{{u}_{3}} \right)= \\
| |
| & =\frac{q\gamma }{{{c}^{2}}}\left( -{{E}^{1}}{{v}_{1}}-{{E}^{2}}{{v}_{2}}-{{E}^{3}}{{v}_{3}} \right)=\frac{q\gamma }{{{c}^{2}}}\left( {{E}^{1}}{{v}^{1}}+{{E}^{2}}{{v}^{2}}+{{E}^{3}}{{v}^{3}} \right) \\
| |
| & \frac{dE}{dt}=q\bar{E}\cdot \bar{v} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Dies ist die Leistungsbilanz: Die Änderung der inneren Energie ist gleich der reingesteckten Arbeit
| |
| | |
| <u>'''6.4 Eichinvarianz und Ladungserhaltung'''</u>
| |
| | |
| Wirkungsintegral:
| |
| | |
| <math>W=-{{m}_{0}}c\int_{1}^{2}{{}}ds-\frac{q}{c}\int_{1}^{2}{{}}d{{x}_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}</math>
| |
| | |
| Dabei:
| |
| | |
| <math>{{m}_{0}}c\int_{1}^{2}{{}}ds={{W}_{t}}</math>
| |
| ( Teilchen)
| |
| | |
| <math>-\frac{q}{c}\int_{1}^{2}{{}}d{{x}_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}={{W}_{tf}}</math>
| |
| ( Teilchen- Feld- Wechselwirkung)
| |
| | |
| Verallgemeinerung auf kontinuierliche Massendichte
| |
| <math>m\left( {{x}^{\mu }} \right)</math>
| |
| :
| |
| Vorsicht: m ist hier Massendichte !!!
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{W}_{t}}=-c\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}rm\int_{1}^{2}{{}}ds=-\int_{\Omega }^{{}}{{}}d\Omega m\frac{ds}{dt} \\
| |
| & d\Omega :={{d}^{3}}rcdt=d{{x}^{0}}d{{x}^{1}}d{{x}^{2}}d{{x}^{3}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| dOmega als Volumenelement im Minkowski- Raum !!!
| |
| | |
| Bemerkungen:
| |
| #
| |
| # <math>d\Omega </math>
| |
| # ist eine Lorentz- Invariante , da das Volumen unter orthogonalen Transformationen
| |
| | |
| <math>{{U}^{\mu }}_{\nu }</math>
| |
| erhalten bleibt.
| |
| | |
| 2) Aus
| |
| <math>d{{m}_{0}}d{{x}^{\mu }}=\frac{\mu }{c}\frac{d{{x}^{\mu }}}{dt}{{d}^{3}}rcdt;{{d}^{3}}rcdt=d\Omega \Rightarrow d{{m}_{0}}d{{x}^{\mu }}=\frac{\mu }{c}\frac{d{{x}^{\mu }}}{dt}d\Omega </math>
| |
| | |
| folgt, dass die Vierer- Massenstromdichte mit Massendichte m=
| |
| <math>d{{m}_{0}}d{{x}^{\mu }}=\frac{\mu }{c}\frac{d{{x}^{\mu }}}{dt}{{d}^{3}}rcdt;{{d}^{3}}rcdt=d\Omega \Rightarrow d{{m}_{0}}d{{x}^{\mu }}=\frac{\mu }{c}\frac{d{{x}^{\mu }}}{dt}d\Omega </math>
| |
| :
| |
| | |
| <math>{{m}_{0}}\frac{d{{x}^{\mu }}}{dt}\equiv {{g}^{\mu }}</math>
| |
| | |
| ein Vier- Vektor ist, da
| |
| <math>d{{m}_{0}},d\Omega </math>
| |
| Lorentz- Skalare sind und natürlich
| |
| <math>d{{x}^{\mu }}</math>
| |
| selbst auch ein Vierervektor
| |
| | |
| #
| |
| # <math>{{\mu }^{2}}\frac{d{{x}^{\mu }}d{{x}_{\mu }}}{{{\left( dt \right)}^{2}}}={{g}^{\mu }}{{g}_{\mu }}={{\left( \mu \frac{ds}{dt} \right)}^{2}}</math>
| |
| # ist Lorentz - Invariant.
| |
| | |
| Also
| |
| <math>{{g}^{\mu }}{{g}_{\mu }}</math>
| |
| ist Lorentz- Invariant. Also auch
| |
| <math>\left( \mu \frac{ds}{dt} \right)</math>
| |
| .
| |
| | |
| Somit ist
| |
| <math>{{W}_{t}}</math>
| |
| insgesamt Lorentz- Invariant !
| |
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| |
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