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| :<math>\,\left\langle f \right|{{V}_{I}}\left( t \right)\left| i \right\rangle =\,\left\langle f \right|U_{0}^{+}V{{U}_{0}}\left| i \right\rangle =\,{{e}^{i\left( {{E }_{f}}-{{E }_{i}} \right)t}}\left\langle f \right|V\left| i \right\rangle </math> | | :<math>\,\left\langle f \right|{{V}_{I}}\left( t \right)\left| i \right\rangle =\,\left\langle f \right|U_{0}^{+}V{{U}_{0}}\left| i \right\rangle =\,{{e}^{i\left( {{E }_{f}}-{{E }_{i}} \right)t}}\left\langle f \right|V\left| i \right\rangle </math> |
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| <math>{{P}_{i\to f}}\left( t \right):={{\left| \left\langle f \right|V\left| i \right\rangle \right|}^{2}}{{\left| \int\limits_{0}^{t}{dt'\,\,{{e}^{i\left( {{E }_{f}}-{{E }_{i}} \right)t'}}} \right|}^{2}}</math> | | :<math>{{P}_{i\to f}}\left( t \right):={{\left| \left\langle f \right|V\left| i \right\rangle \right|}^{2}}{{\left| \int\limits_{0}^{t}{dt'\,\,{{e}^{i\left( {{E }_{f}}-{{E }_{i}} \right)t'}}} \right|}^{2}}</math> |
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| Unter Verwendung der Definition der [http://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus#Analytische_Definition|Sinusfunktion] ergibt das Integral | | Unter Verwendung der Definition der [http://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus#Analytische_Definition|Sinusfunktion] ergibt das Integral |
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| Nach NOLTING macht jedoch Sinn, ein kontinuierliches Spektrum zu betrachten und Übergänge in ein Energieintervall zu betrachten. Also muss ersetzt man (grob gesagt) die Deltafunktion durch die Zustandsdichte <math>\rho(E)</math>. | | Nach NOLTING macht jedoch Sinn, ein kontinuierliches Spektrum zu betrachten und Übergänge in ein Energieintervall zu betrachten. Also muss ersetzt man (grob gesagt) die Deltafunktion durch die Zustandsdichte <math>\rho(E)</math>. |
| <math>{{\Gamma }_{i\to f}}=\frac{2\pi }{\left( \hbar \right)}\rho \left( {{E}_{f}} \right){{\left| \left\langle f \right|V\left| i \right\rangle \right|}^{2}}</math> | | :<math>{{\Gamma }_{i\to f}}=\frac{2\pi }{\left( \hbar \right)}\rho \left( {{E}_{f}} \right){{\left| \left\langle f \right|V\left| i \right\rangle \right|}^{2}}</math> |
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| Zu bemerken ist noch, dass | | Zu bemerken ist noch, dass |
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| Dabei wurde bei ... | | Dabei wurde bei ... |
| <math>{{\delta }_{\epsilon }}(x)=\frac{1}{\pi x}\sin \left( \frac{x}{\epsilon } \right)</math> | | :<math>{{\delta }_{\epsilon }}(x)=\frac{1}{\pi x}\sin \left( \frac{x}{\epsilon } \right)</math> |
| mit <math>\int\limits_{-\infty }^{\infty }{dx\operatorname{sinc}\left( x \right)}=\int\limits_{-\infty }^{\infty }{dx{{\operatorname{sinc}}^{2}}\left( x \right)}=\pi </math> folgt dass | | mit <math>\int\limits_{-\infty }^{\infty }{dx\operatorname{sinc}\left( x \right)}=\int\limits_{-\infty }^{\infty }{dx{{\operatorname{sinc}}^{2}}\left( x \right)}=\pi </math> folgt dass |
| <math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
| & \underset{E \to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{E }f\left( \frac{x}{E } \right)=\delta \left( x \right) \\ | | & \underset{E \to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{E }f\left( \frac{x}{E } \right)=\delta \left( x \right) \\ |
| & \underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,tf\left( tx \right)=\delta \left( x \right) \\ | | & \underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,tf\left( tx \right)=\delta \left( x \right) \\ |
Sei und es gelte die Schödingergleichung mit
Definiert man ein Wechselwirkungsbild bezüglich mit also
- ,
so folgt für die Entwicklung des Zustands im Wechselwirkungsbild (mit Produktregel)
Setzt man dies in die Schrödingergleichung ein so erhält man
- mit .
Unter Verwendung von erhält man
Nun kann man mit der Abkürzung und die Zeitentwicklung im Wechselwirkungsbild hinschreiben:
Nimmt man die Eigenwerte der ungestörten Schrödingergleichung als bekannt an so erhält man mit der Festlegung
Für folgt in erster Ordnung (also unter Vernachlässigung von )
- (das –i verschwindet durch den Betrag).
Für folgt nun,
Unter Verwendung der Definition der [1] ergibt das Integral
Um die Rate, die durch
- definiert ist, zu berechnen kann man den "Trick", Umschreiben der Sinc-Funktion als [2], verwenden.
Nach NOLTING macht jedoch Sinn, ein kontinuierliches Spektrum zu betrachten und Übergänge in ein Energieintervall zu betrachten. Also muss ersetzt man (grob gesagt) die Deltafunktion durch die Zustandsdichte .
Zu bemerken ist noch, dass
Dabei wurde bei ...
mit folgt dass
Mit und folgt
verwendet