Hamilton-Jacobische Differenzialgleichung

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Hamilton-Jacobische Differenzialgleichung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 1) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Hamilton-Jacobische Differenzialgleichung	Die Hamilton-Jacobi-Theorie
	Hamilton-Jacobische Differenzialgleichung Wirkungs- und Winkelvariable Störungen integrabler Systeme	Das d'Alembertsche Prinzip Das Hamiltonsche Prinzip Symmetrien und Erhaltungsgrößen Der Hamiltonsche kanonische Formalismus Die Hamilton-Jacobi-Theorie Mechanik des starren Körpers Dynamische Systeme und deterministisches Chaos

Der einfachste Fall, bei dem alle Koordinaten zyklisch sind:

${\bar {H}}\equiv 0$

Allgemeiner wähle man speziell als Erzeugende der kanonischen Trafo:

${{M}_{2}}({\bar {q}},{\bar {P}},t)=:S$

dann suchen wir die folgende Trafo:

${\begin{aligned}&({\bar {q}},{\bar {p}})\to \left({\bar {Q}},{\bar {P}}\right)\\&H({\bar {q}},{\bar {p}},t)\to {\bar {H}}\left({\bar {Q}},{\bar {P}}\right)=H+{\frac {\partial S}{\partial t}}\\\end{aligned}}$ mit ${\begin{aligned}&{{p}_{k}}={\frac {\partial S}{\partial {{q}_{k}}}}\\&{{Q}_{k}}={\frac {\partial S}{\partial {{P}_{k}}}}\\\end{aligned}}$

So dass:

${\bar {H}}\left({\bar {Q}},{\bar {P}}\right)=H\left({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{\frac {\partial S}{\partial {{q}_{1}}}},...,{\frac {\partial S}{\partial {{q}_{f}}}},t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0$

Dies ist eine Differenzialgleichung zur Bestimmung von S und der Koordinaten P und Q, die so genannte

Hamilton- Jacobi- Differenzialgleichung.

Eine nichtlineare partielle Differenzialgleichung erster Ordnung für ${\begin{aligned}&S({\bar {q}},{\bar {\alpha }},t)\\&{{\alpha }_{k}}={{P}_{k}}=const.\\\end{aligned}}$

Also haben wir nur Abhängigkeit von f+1 Variablen: ${\bar {q}},t$

Die kanonischen Gleichungen lauten:

${\begin{aligned}&{{\dot {P}}_{k}}=-{\frac {\partial H}{\partial {{Q}_{k}}}}\equiv 0\Rightarrow {{P}_{k}}={{\alpha }_{k}}=cons\\&{{\dot {Q}}_{k}}={\frac {\partial {\bar {H}}}{\partial {{P}_{k}}}}\equiv 0\Rightarrow {{Q}_{k}}={{\beta }_{k}}=const\\\end{aligned}}$

Lösungsschema für die Hamilton- Jacobi DGL:

${\begin{aligned}&H({\bar {q}},{\bar {p}},t)\\&{{p}_{k}}={\frac {\partial S}{\partial {{q}_{k}}}}\\&H({\bar {q}},{\frac {\partial S}{\partial {\bar {q}}}},t)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0\quad Ham.Jac.DGL\\\end{aligned}}$

1. Lösung der Ham- Jacobi-DGL:

${\begin{aligned}&S({\bar {q}},{\bar {\alpha }},t)\\&{{\alpha }_{k}}={{P}_{k}}=const.\\\end{aligned}}$

1. Aus der Erzeugenden

$S({\bar {q}},{\bar {\alpha }},t)$ folgt:

${{Q}_{k}}={\frac {\partial S({\bar {q}},{\bar {\alpha }},t)}{\partial {{\alpha }_{k}}}}={{\beta }_{k}}$

mit der implizierten Umkehrung:

${{q}_{j}}={{q}_{j}}({\bar {\alpha }},{\bar {\beta }},t)$

möglich wegen

$\det {\frac {{{\partial }^{2}}S({\bar {q}},{\bar {\alpha }},t)}{\partial {{\alpha }_{k}}\partial {{q}_{l}}}}\neq 0$

Somit ergeben sich f Gleichungen für q1,...qf

4. ${{p}_{j}}={\frac {\partial S}{\partial {{q}_{j}}}}={{p}_{j}}\left({\bar {q}},{\bar {\alpha }},t\right)={{p}_{j}}\left({\bar {q}}({\bar {\alpha }},{\bar {\beta }}),{\bar {\alpha }},t\right)$

5. Bestimmung von ${\bar {\alpha }},{\bar {\beta }}$ aus den Anfangsbedingungen:

In drei (3.): ${{q}_{j}}(0)={{q}_{j}}({\bar {\alpha }},{\bar {\beta }},0)$

In vier ( 4.): ${{p}_{j}}(0)={{p}_{j}}\left({\bar {\alpha }},{\bar {\beta }},0\right)$

${\begin{aligned}&\Rightarrow {\bar {\alpha }}({\bar {q}}(0),{\bar {p}}(0))\\&{\bar {\beta }}({\bar {q}}(0),{\bar {p}}(0))\\\end{aligned}}$

Nach Gleichungen 3) und 4) ist damit ${{q}_{j}}(t)$ und ${{p}_{j}}(t)$ bestimmt

Physikalische Bedeutung von S:

${\begin{aligned}&{\frac {dS}{dt}}=\sum \limits _{j}{}{\frac {\partial S}{\partial {{q}_{j}}}}{{\dot {q}}_{j}}+{\frac {\partial S}{\partial t}}=\sum \limits _{j}{}{{p}_{j}}{{\dot {q}}_{j}}+{\frac {\partial S}{\partial t}}\\&{\frac {\partial S}{\partial t}}={\bar {H}}-H=-H\\&{\frac {dS}{dt}}=\sum \limits _{j}{}{{p}_{j}}{{\dot {q}}_{j}}-H=L\\&\Rightarrow S=\int {Ldt}\\\end{aligned}}$

S kann somit als Wirkungsfunktional interpretiert werden.

Beispiel: 1 dim Oszi

1. ${\begin{aligned}&H={\frac {{p}^{2}}{2m}}+{\frac {m}{2}}{{\omega }^{2}}{{q}^{2}}\\&S(q,P,t)\\\end{aligned}}$

H als Hamiltonfunktion und S als Erzeugende der kanonischen Trafo mit ${\frac {\partial S(q,P,t)}{\partial q}}=p$

Hamilton- Jacobi DGL:

${\frac {1}{2m}}\left({\frac {\partial S(q,P,t)}{\partial q}}\right)+{\frac {m}{2}}{{\omega }^{2}}{{q}^{2}}+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0$

2. Lösungsansatz:

$S(q,P,t)=W(q;P)+V(t;P)$

Dies ist als Separationsansatz nach q und t zu interpretieren. P ist ein Parameter

${\frac {1}{2m}}{{\left({\frac {dW}{dq}}\right)}^{2}}+{\frac {m}{2}}{{\omega }^{2}}{{q}^{2}}=-{\frac {dV}{dt}}$

Dabei ist die linke Seite unabhängig von t und die rechte unabhängig von q. Die Lösung kann also nur dann für alle t und q übereinstimmen, wenn:

${\frac {1}{2m}}{{\left({\frac {dW}{dq}}\right)}^{2}}+{\frac {m}{2}}{{\omega }^{2}}{{q}^{2}}=-{\frac {dV}{dt}}=\alpha \equiv const$

$V(t)=-\alpha t+{{V}_{0}}$

Es folgt:

${\begin{aligned}&{{\left({\frac {dW}{dq}}\right)}^{2}}={{m}^{2}}{{\omega }^{2}}\left({\frac {2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}}-{{q}^{2}}\right)\\&W=m\omega \int {dq}{\sqrt {\left({\frac {2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}}-{{q}^{2}}\right)}}\\\end{aligned}}$

Also:

$S(q,\alpha ,t)=m\omega \int {dq}{\sqrt {\left({\frac {2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}}-{{q}^{2}}\right)}}-\alpha t+{{V}_{0}}$

Da Potenziale um skalare Faktoren verschoben werden können:

$S(q,\alpha ,t)=m\omega \int {dq}{\sqrt {\left({\frac {2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}}-{{q}^{2}}\right)}}-\alpha t=-\alpha t+m\omega \left[{\frac {q}{2}}{\sqrt {\left({\frac {2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}}-{{q}^{2}}\right)}}+{\frac {\alpha }{m{{\omega }^{2}}}}\arcsin \left(q{\sqrt {\frac {m{{\omega }^{2}}}{2\left|\alpha \right|}}}\right)\right]$ 3. ${\begin{aligned}&Q=\left({\frac {\partial S(q,P,t)}{\partial \alpha }}\right)=-t+{\frac {1}{\omega }}\int {dq}{{\left({\frac {2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}}-{{q}^{2}}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}}=\beta \\&Q=\beta =-t+{\frac {1}{\omega }}\arcsin \left(q{\sqrt {\frac {m{{\omega }^{2}}}{2\left|\alpha \right|}}}\right)\\&\Rightarrow q={\frac {1}{\omega }}{\sqrt {\frac {2\alpha }{m}}}\sin \left(\omega (t+\beta )\right)\\\end{aligned}}$

Mit der Nebenbedingung, dass Q=to ( Dimension: Zeit) !

4. $p=\left({\frac {\partial S(q,P,t)}{\partial q}}\right)={\frac {dW}{dq}}=m\omega {\sqrt {{\frac {2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}}-{{q}^{2}}}}={\sqrt {2\alpha m}}\cos \left(\omega (t+\beta )\right)$

5. Anfangsbedingungen: t=0: p(0)=0, q(0)=q0 ungleich 0 !

$p(0)=0,q(0)={{q}_{0}}\neq 0$

${\begin{aligned}&\Rightarrow {{q}_{0}}={\frac {1}{\omega }}{\sqrt {\frac {2\alpha }{m}}}\sin \left(\omega (\beta )\right)\\&0={{p}_{0}}={\sqrt {2\alpha m}}\cos \left(\omega (\beta )\right)\\&\Rightarrow \beta ={\frac {\pi }{2\omega }}\Rightarrow {{q}_{0}}={\sqrt {\frac {2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}}}\\&\Rightarrow \alpha ={\frac {m}{2}}{{\omega }^{2}}{{q}_{0}}^{2}=E\\\end{aligned}}$

Alpha beschreibt also die Gesamtenergie. Physikalisch sinnvoll, da zu dieser Zeit nur potenzielle Energie vorhanden ist.

Also: P=E ( Energie) , Q= to ( Zeit) -> Energie und Zeit als neue verallgemeinerte Koordinaten bei der Transformation, die durch $S(q,P,t)$ erzeugt wird.

Spezialfall:

Nicht explizit zeitabhängige Hamiltonfunktion H

${\frac {\partial H}{\partial t}}=0\Leftrightarrow {\frac {dH}{dt}}=\left\{H,H\right\}=0$ H ist dann Integral der Bewegung

Hamilton- Jacobi DGL:

$H({\bar {q}},{\frac {\partial S}{\partial {{q}_{1}}}},...,{\frac {\partial S}{\partial {{q}_{f}}}})+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0$

Lösungsansatz:

$S({\bar {q}},{\bar {P}},t)=W({\bar {q}};{\bar {P}})-Et$

Somit folgt:

$H({\bar {q}},{\frac {\partial W}{\partial {{q}_{1}}}},...,{\frac {\partial W}{\partial {{q}_{f}}}})=E$ Energie bei skleronomen Zwangsbedingungen

$W({\bar {q}};{\bar {P}})$ heißt verkürztes Wirkungsfunktional

Dieses kann auch als Erzeugende einer kanonischen Trafo ( im engeren Sinn) aufgefasst werden:

${\begin{aligned}&{{p}_{j}}={\frac {\partial W}{\partial {{q}_{j}}}}\\&{{Q}_{j}}={\frac {\partial W}{\partial {{P}_{j}}}}\\&{\bar {H}}=H=E\\&\Rightarrow {{\dot {Q}}_{j}}={\frac {\partial {\bar {H}}}{\partial {{P}_{j}}}}={\frac {\partial E}{\partial {{\alpha }_{j}}}}={{\omega }_{j}}\Rightarrow {{Q}_{j}}={{\omega }_{j}}t+{{\beta }_{j}}={\frac {\partial W}{\partial {{P}_{j}}}}\\\end{aligned}}$

Bezug zur Quantenmechanik

• Betrachten wir 1 Teilchen im Potenzial

$V({\bar {q}}),{\bar {q}}\in {{R}^{3}}$ , gilt auch für $V({\bar {q}}),{\bar {q}}\in {{R}^{f}}$

$W({\bar {q}})=const$ sind dann Flächen im R³:

Dabei sind $S({\bar {q}},t)=W({\bar {q}})-Et$ Wirkunsgwellen mit einer Phasengeschwindigkeit

${\bar {u}}\approx \nabla W({\bar {q}})$ mit ${\bar {u}}\bot W({\bar {q}})=const$

Der Teilchenimpuls eines fliegenden Teilchens dagegen berechnet such ebenfalls als Gradient der Erzeugenden:

${\bar {p}}=\nabla W({\bar {q}})$

Damit haben wir jedoch eine Betrachtung der " Wirkungswellen" entgegen einer Darstellung als Teilchen mit Impuls p ( Welle- Teilchen- Dualismus).

In jedem Fall erhält man als Hamilton- Jacobi- DiffGl:

$H({\bar {q}},\nabla W)={\frac {1}{2m}}{{\left(\nabla W({\bar {q}})\right)}^{2}}+V({\bar {q}})=E$

Der Übergang zur Quantenmehcanik ist analog dem Übergang von der geometrischen Optik zur Wellenoptik ( Wellenoptik als geometrische Optik für große Wellenlängen) und geometrische optik als Wellenoptik für kleine Weglängen ( gut Übergangsresultate). Die typische optisch- mechanische Analogie

Wir erhalten in der quantenmechanischen Analogie als Wellenformalismus dagegen die Schödingergleichung:

$\left({\frac {-{{\hbar }^{2}}}{2m}}\Delta +V({\bar {r}})\right)\Psi ({\bar {r}})=E\Psi ({\bar {r}})$

links mit H = hamiltonoperator in Ortsdarstellung. $\Psi ({\bar {r}})={{e}^{{\frac {i}{\hbar }}W({\bar {r}})}}$ als Wellenfunktion

Unsere Koordinatentrafo lautet:

${\begin{aligned}&{\bar {q}}\to {\bar {r}}\\&{\bar {p}}\to {\frac {\hbar }{i}}\nabla \\\end{aligned}}$

Auch hier sieht man die Analogie bei kleinen Wellenlängen, wenn folgende Näherung erlaubt ist:

$\Delta {{e}^{{\frac {i}{\hbar }}W({\bar {r}})}}=\nabla {\frac {i}{\hbar }}\left(\nabla W{{e}^{{\frac {i}{\hbar }}W({\bar {r}})}}\right)\cong -{\frac {1}{{\hbar }^{2}}}{{\left(\nabla W\right)}^{2}}{{e}^{{\frac {i}{\hbar }}W({\bar {r}})}}$

Veranschaulichung der Zusammenhänge:

Aus der klassischen Mechanik gelangen wir durch Übergang von Poissonklammernauf Kommutatoren zur Heisenbergschen Matrizenmechanik, die sich zur Quantenmechanik transformieren läßt.

führt man in der klassischen Mechanik dagegen die Hamilton- Jacobi- Theorie ein ( optisch- mechanisches Analogon), so gelangt man leicht zur Wellenmechanik ( Schrödinger) und kann sich auf diesem Weg ebenso der Quantenmechanik nähern.