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| führt zur Wirkung <math>S\left[ q \right]:=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{L\left( q,\dot{q},t \right)dt}</math> | | führt zur Wirkung <math>S\left[ q \right]:=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{L\left( q,\dot{q},t \right)dt}</math> |
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| | [[FragenID::M1]] |
| =Herleitung der Euler-Lagrange-Gleichungen= | | =Herleitung der Euler-Lagrange-Gleichungen= |
| | <math>\begin{align} |
| | \delta S\left[ q \right] & =\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\delta L\left( q,\dot{q},t \right)dt} \\ |
| | & =\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\left( {{\partial }_{q}}L\delta q+{{\partial }_{{\dot{q}}}}L\delta \dot{q} \right)dt} |
| | \end{align}</math> |
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| | oder |
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| <math>\begin{align} | | <math>\begin{align} |
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| & =-\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\left( {{\partial }_{q}}L\delta q+{{\partial }_{{\dot{q}}}}L\delta \dot{q} \right)dt} | | & =-\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\left( {{\partial }_{q}}L\delta q+{{\partial }_{{\dot{q}}}}L\delta \dot{q} \right)dt} |
| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
| oder
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| <math>\begin{align} | | mit partieller Integration (<math>\int{u'v=uv-\int{v'u}}</math>) mit |
| \delta S\left[ q \right] & =\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\delta L\left( q,\dot{q},t \right)dt} \\
| | <math>u=\delta q,v={{\partial }_{{\dot{q}}}}L</math> |
| & =\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\left( {{\partial }_{q}}L\delta q+{{\partial }_{{\dot{q}}}}L\delta \dot{q} \right)dt}
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| \end{align}</math>
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| mit partieller Integration
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| <math>{{\partial }_{{\dot{q}}}}L\delta \dot{q}={{d}_{t}}\left( {{\partial }_{{\dot{q}}}}L\delta q \right)-{{d}_{t}}\left( {{\partial }_{{\dot{q}}}}L \right)\delta q</math> | | <math>{{\partial }_{{\dot{q}}}}L\delta \dot{q}={{d}_{t}}\left( {{\partial }_{{\dot{q}}}}L\delta q \right)-{{d}_{t}}\left( {{\partial }_{{\dot{q}}}}L \right)\delta q</math> |
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| [[FragenID::M1]] | | <math>\delta S\left[ q \right]=--\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\left( {{\partial }_{q}}L\delta q-{{d}_{t}}\left( {{\partial }_{{\dot{q}}}}L \right)\delta q \right)dt}</math> |
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| | <math>\begin{align} |
| | & \delta S\left[ q \right]=--\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\left( {{\partial }_{q}}L\delta q-{{d}_{t}}\left( {{\partial }_{{\dot{q}}}}L \right)\delta q \right)dt} \\ |
| | & =\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\left( {{d}_{t}}{{\partial }_{{\dot{q}}}}-{{\partial }_{q}} \right)L\delta qdt} |
| | \end{align}</math> |
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| | <math>\left( {{d}_{t}}{{\partial }_{{\dot{q}}}}-{{\partial }_{q}} \right)L=0</math> |
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| [[Kategorie:Mechanik]] | | [[Kategorie:Mechanik]] |
auch Prinzip der kleinsten Wirkung genannt
- Variation der ganzen Bahn im Konfigurationsraum <> Gegensatz d'Ambertsches Prinzip
- Wirkung (S) wird extrenmal (minimal)
- Start und Zielpunkt sind fest vorgegeben (hier keine Variation)
- Zeit wird nicht mitvarieiert
- Vergleich ART Teilchen Bewegt sich auf Geodäten <> aber nicht im Ereignisraum
- (2 fach stetig diffb. Funktionen)
- unabhängig von Koordinatenwahl
- Allgemein
mit
spezielle Form
- holonome Zwangsbedingungen --> generalisierte Koordinaten
- konservative Kräfte -->
führt zur Wirkung
M1
Herleitung der Euler-Lagrange-Gleichungen
oder
mit partieller Integration () mit