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| mit partieller Integration (<math>\int{u'v=uv-\int{v'u}}</math>) mit | | mit partieller Integration (<math>\int{u'v=uv-\int{v'u}}</math>) mit |
| <math>u=\delta q,v={{\partial }_{{\dot{q}}}}L</math> | | <math>u=\delta q,v={{\partial }_{{\dot{q}}}}L</math> |
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| <math>\delta S\left[ q \right]=--\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\left( {{\partial }_{q}}L\delta q-{{d}_{t}}\left( {{\partial }_{{\dot{q}}}}L \right)\delta q \right)dt}</math>
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| <math>\begin{align} | | <math>\begin{align} |
| & \delta S\left[ q \right]=--\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\left( {{\partial }_{q}}L\delta q-{{d}_{t}}\left( {{\partial }_{{\dot{q}}}}L \right)\delta q \right)dt} \\ | | & \delta S\left[ q \right]=\cancel {\left[ {{\partial }_{{\dot{q}}}}L\delta q \right]_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}} -\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\left( {{\partial }_{q}}L\delta q-{{d}_{t}}\left( {{\partial }_{{\dot{q}}}}L \right)\delta q \right)dt} \\ |
| & =\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\left( {{d}_{t}}{{\partial }_{{\dot{q}}}}-{{\partial }_{q}} \right)L\delta qdt} | | & =\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\left( {{d}_{t}}{{\partial }_{{\dot{q}}}}-{{\partial }_{q}} \right)L\delta qdt} |
| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
auch Prinzip der kleinsten Wirkung genannt
- Variation der ganzen Bahn im Konfigurationsraum <> Gegensatz d'Ambertsches Prinzip
- Wirkung (S) wird extrenmal (minimal)
- Start und Zielpunkt sind fest vorgegeben (hier keine Variation)
- Zeit wird nicht mitvarieiert
- Vergleich ART Teilchen Bewegt sich auf Geodäten <> aber nicht im Ereignisraum
- (2 fach stetig diffb. Funktionen)
- unabhängig von Koordinatenwahl
- Allgemein
mit
spezielle Form
- holonome Zwangsbedingungen --> generalisierte Koordinaten
- konservative Kräfte -->
führt zur Wirkung
M1
Herleitung der Euler-Lagrange-Gleichungen
oder
mit partieller Integration () mit