Helizität und Spin

Quantenmechanikvorlesung von Brandes

Der Artikel Helizität und Spin basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 8) der Quantenmechanikvorlesung von Brandes.

Helizität und Spin

Erinnerung ${\underline {\sigma }}=\underbrace {\left({{\underline {\underline {\sigma }}}_{1}},{{\underline {\underline {\sigma }}}_{2}},{{\underline {\underline {\sigma }}}_{3}}\right)} _{\text{Vektor der Pauli-Matrizen}},$ Produkte ${\underline {k}}{\underline {\sigma }}$in Dirac Spinoren ${{\phi }_{\pm }}^{\left(i\right)}$ (1.72).

Definiere:

${\hat {k}}:={\frac {\underline {k}}{\left|{\underline {k}}\right|}}=\left(\sin \theta \cos \varphi ,\sin \theta \sin \varphi ,\cos \theta \right)$

(1.73)

als Einheitsvektor in ${\underline {k}}$-Richtung in Polarkoordinaten bezüglich der z-Achse. Dann gilt

${\hat {k}}.{\underline {\sigma }}=\left({\begin{matrix}\cos \theta &\sin \left(\theta \right){{e}^{i\varphi }}\\\sin \left(\theta \right){{e}^{i\varphi }}&-\cos \theta \\\end{matrix}}\right)$

(1.74)

Eigenvektoren $\left|\uparrow ,{\hat {k}}\right\rangle ,\left|\downarrow ,{\hat {k}}\right\rangle$von ${\underline {k}}{\underline {\sigma }}$ bestimmen! Die Eigenwerte sind $\pm 1$. Die Spinoren (1.72) als Eigenvektoren des Helizitätsoperators (4x4 Matrix)

${\hat {k}}\Sigma =\left({\begin{matrix}{\hat {k}}{\underline {\sigma }}&0\\0&{\hat {k}}{\underline {\sigma }}\\\end{matrix}}\right)$

(1.75)

wählen: Hierzu (1.72) ${{\underline {u}}^{\left(1\right)}}:=\left|\uparrow ,{\hat {k}}\right\rangle ,{{\underline {u}}^{\left(2\right)}}:=\left|\downarrow ,{\hat {k}}\right\rangle$ damit haben wir die Basis

${{\phi }_{+}}^{\left(\sigma \right)}\left({\underline {k}}\right):=N\left({\begin{aligned}&\left(E+m\right)\left|\sigma ,{\hat {k}}\right\rangle \\&\left({\underline {k}}.{\underline {\sigma }}\right)\left|\sigma ,{\hat {k}}\right\rangle \\\end{aligned}}\right)\quad {{\phi }_{-}}^{\left(\sigma \right)}\left({\underline {k}}\right):=N\left({\begin{aligned}&\left({\underline {k}}.{\underline {\sigma }}\right)\left|\sigma ,{\hat {k}}\right\rangle \\&\left(E+m\right)\left|\sigma ,{\hat {k}}\right\rangle \\\end{aligned}}\right)$

(1.76)

mit ${\begin{aligned}&\sigma =\uparrow \quad {\text{negative Helizit }}\!\!{\ddot {\mathrm {a} }}\!\!{\text{ }}t\\&\sigma =\downarrow \quad {\text{negative Helizit }}\!\!{\ddot {\mathrm {a} }}\!\!{\text{ }}t\\\end{aligned}}.$

• Der HamiltonoperatorHamiltonoperator des freien Dirac-Teilchens, ${\hat {H}}={\underline {a}}{\underline {\hat {p}}}+\beta m$(1.31), kommutiert mit dem Helizitätsoperator ${\hat {k}}\Sigma$(1.75), (AUFGABE) aber nicht mit dem Spin-Operator $\Sigma =\left({\begin{matrix}{\underline {\sigma }}&0\\0&{\underline {\sigma }}\\\end{matrix}}\right)$. Deshalb kann man die Lösungen der freien Dirac-Gleichungen als Eigenvektoren von ${\hat {k}}\Sigma$ zählen.