Helizität und Spin

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes

Der Artikel Helizität und Spin basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 8) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes.

Helizität und Spin	Relativistische Quantenmechanik
	Klein Gordon Gleichung Klein Gordon und Relativität Klein Gordon im (Vektor)Potential, Eichinvarianz Die Dirac Gleichung Dirac-Gleichung und Spin: nichtrelativistischer Grenzfall Weitere Eigenschaften der Dirac-Gleichung Lösungen der Dirac-Gleichung (freies Teilchen) Helizität und Spin Kurzer Ausblick Relativistische Quantenphysik in Graphen, einem neuen Material	Relativistische Quantenmechanik Formaler Aufbau der Quantenmechanik

Erinnerung ${\underline {\sigma }}=\underbrace {\left({{\underline {\underline {\sigma }}}_{1}},{{\underline {\underline {\sigma }}}_{2}},{{\underline {\underline {\sigma }}}_{3}}\right)} _{\text{Vektor der Pauli-Matrizen}},$ Produkte ${\underline {k}}{\underline {\sigma }}$in Dirac Spinoren ${{\phi }_{\pm }}^{\left(i\right)}$ (1.72).

Definiere:

${\hat {k}}:={\frac {\underline {k}}{\left|{\underline {k}}\right|}}=\left(\sin \theta \cos \varphi ,\sin \theta \sin \varphi ,\cos \theta \right)$

(1.73)

als Einheitsvektor in ${\underline {k}}$-Richtung in Polarkoordinaten bezüglich der z-Achse. Dann gilt

${\hat {k}}.{\underline {\sigma }}=\left({\begin{matrix}\cos \theta &\sin \left(\theta \right){{e}^{i\varphi }}\\\sin \left(\theta \right){{e}^{i\varphi }}&-\cos \theta \\\end{matrix}}\right)$

(1.74)

Eigenvektoren $\left|\uparrow ,{\hat {k}}\right\rangle ,\left|\downarrow ,{\hat {k}}\right\rangle$von ${\underline {k}}{\underline {\sigma }}$ bestimmen! Die Eigenwerte sind $\pm 1$. Die Spinoren (1.72) als Eigenvektoren des Helizitätsoperators (4x4 Matrix)

${\hat {k}}\Sigma =\left({\begin{matrix}{\hat {k}}{\underline {\sigma }}&0\\0&{\hat {k}}{\underline {\sigma }}\\\end{matrix}}\right)$

(1.75)

wählen: Hierzu (1.72) ${{\underline {u}}^{\left(1\right)}}:=\left|\uparrow ,{\hat {k}}\right\rangle ,{{\underline {u}}^{\left(2\right)}}:=\left|\downarrow ,{\hat {k}}\right\rangle$ damit haben wir die Basis

${{\phi }_{+}}^{\left(\sigma \right)}\left({\underline {k}}\right):=N\left({\begin{aligned}&\left(E+m\right)\left|\sigma ,{\hat {k}}\right\rangle \\&\left({\underline {k}}.{\underline {\sigma }}\right)\left|\sigma ,{\hat {k}}\right\rangle \\\end{aligned}}\right)\quad {{\phi }_{-}}^{\left(\sigma \right)}\left({\underline {k}}\right):=N\left({\begin{aligned}&\left({\underline {k}}.{\underline {\sigma }}\right)\left|\sigma ,{\hat {k}}\right\rangle \\&\left(E+m\right)\left|\sigma ,{\hat {k}}\right\rangle \\\end{aligned}}\right)$

(1.76)

mit ${\begin{aligned}&\sigma =\uparrow \quad {\text{negative Helizit }}\!\!{\ddot {\mathrm {a} }}\!\!{\text{ }}t\\&\sigma =\downarrow \quad {\text{negative Helizit }}\!\!{\ddot {\mathrm {a} }}\!\!{\text{ }}t\\\end{aligned}}.$

• Der HamiltonoperatorHamiltonoperator des freien Dirac-Teilchens, ${\hat {H}}={\underline {a}}{\underline {\hat {p}}}+\beta m$(1.31), kommutiert mit dem Helizitätsoperator ${\hat {k}}\Sigma$(1.75), (AUFGABE) aber nicht mit dem Spin-Operator $\Sigma =\left({\begin{matrix}{\underline {\sigma }}&0\\0&{\underline {\sigma }}\\\end{matrix}}\right)$. Deshalb kann man die Lösungen der freien Dirac-Gleichungen als Eigenvektoren von ${\hat {k}}\Sigma$ zählen.