Helizität und Spin

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes

Der Artikel Helizität und Spin basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 8) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes.

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Erinnerung $\underset{\_}{\sigma }=\underset{\text{Vektor der Pauli-Matrizen}}{\underbrace{({\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_1,{\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_2,{\underset{\_}{\underset{\_}{\sigma }}}_3)}},$ Produkte $\underset{\_}{k}\underset{\_}{\sigma }$in Dirac Spinoren ${{\varphi }_{\pm }}^{\left(i\right)}$ (1.72).

Definiere:

$\hat{k}:=\frac{\underset{\_}{k}}{\left|\underset{\_}{k}\right|}=(\sin \theta \cos \phi ,\sin \theta \sin \phi ,\cos \theta )$

(1.73)

als Einheitsvektor in $\underset{\_}{k}$-Richtung in Polarkoordinaten bezüglich der z-Achse. Dann gilt

$\hat{k}.\underset{\_}{\sigma }=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \left(\theta \right)e^{i\phi }\\ \sin \left(\theta \right)e^{i\phi }& -\cos \theta \\ \end{array}\right)$

(1.74)

Eigenvektoren $|\uparrow ,\hat{k}⟩,|\downarrow ,\hat{k}⟩$von $\underset{\_}{k}\underset{\_}{\sigma }$ bestimmen! Die Eigenwerte sind $\pm 1$. Die Spinoren (1.72) als Eigenvektoren des Helizitätsoperators (4x4 Matrix)

$\hat{k}\mathrm{\Sigma }=\left(\begin{array}{cc}\hat{k}\underset{\_}{\sigma }& 0\\ 0& \hat{k}\underset{\_}{\sigma }\\ \end{array}\right)$

(1.75)

wählen: Hierzu (1.72) ${\underset{\_}{u}}^{\left(1\right)}:=|\uparrow ,\hat{k}⟩,{\underset{\_}{u}}^{\left(2\right)}:=|\downarrow ,\hat{k}⟩$ damit haben wir die Basis

${{\varphi }_{+}}^{\left(\sigma \right)}\left(\underset{\_}{k}\right):=N\left(\begin{array}{rl}& (E+m)|\sigma ,\hat{k}⟩\\ & (\underset{\_}{k}.\underset{\_}{\sigma })|\sigma ,\hat{k}⟩\\ \end{array}\right){{\varphi }_{-}}^{\left(\sigma \right)}\left(\underset{\_}{k}\right):=N\left(\begin{array}{rl}& (\underset{\_}{k}.\underset{\_}{\sigma })|\sigma ,\hat{k}⟩\\ & (E+m)|\sigma ,\hat{k}⟩\\ \end{array}\right)$

(1.76)

mit $\begin{array}{rl}& \sigma =\uparrow \text{negative Helizit }\ddot{\mathrm{a}}t\\ & \sigma =\downarrow \text{negative Helizit }\ddot{\mathrm{a}}t\\ \end{array}.$

• Der HamiltonoperatorHamiltonoperator des freien Dirac-Teilchens, $\hat{H}=\underset{\_}{a}\underset{\_}{\hat{p}}+\beta m$(1.31), kommutiert mit dem Helizitätsoperator $\hat{k}\mathrm{\Sigma }$(1.75), (AUFGABE) aber nicht mit dem Spin-Operator $\mathrm{\Sigma }=\left(\begin{array}{cc}\underset{\_}{\sigma }& 0\\ 0& \underset{\_}{\sigma }\\ \end{array}\right)$. Deshalb kann man die Lösungen der freien Dirac-Gleichungen als Eigenvektoren von $\hat{k}\mathrm{\Sigma }$ zählen.