Lösungen der Dirac-Gleichung (freies Teilchen)

Quantenmechanikvorlesung von Brandes

Der Artikel Lösungen der Dirac-Gleichung (freies Teilchen) basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 7) der Quantenmechanikvorlesung von Brandes.

Lösungen der Dirac-Gleichung (freies Teilchen)

Wir starten von

$\left({\mathfrak {i}}{{\gamma }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}-m\right)\Psi =0\Leftrightarrow \left[{\mathfrak {i}}\left({{\gamma }^{0}}{{\partial }_{t}}+{{\gamma }^{1}}{{\partial }_{{x}^{1}}}+{{\gamma }^{2}}{{\partial }_{{x}^{2}}}+{{\gamma }^{3}}{{\partial }_{{x}^{3}}}\right)-m\right]\Psi =0$

a) Separationsansatz $\Psi \left({\underline {x}},t\right)={{e}^{-{\mathfrak {i}}Et}}\phi \left({\underline {x}}\right)$

$\left[\mathrm {E} {{\gamma }^{0}}+{\mathfrak {i}}\left({{\gamma }^{1}}{{\partial }_{1}}+{{\gamma }^{2}}{{\partial }_{2}}+{{\gamma }^{3}}{{\partial }_{3}}\right)-m\right]\phi \left({\underline {x}}\right)=0$

(1.66)

Ansatz $\phi \left({\underline {x}}\right)=\phi =const\Rightarrow \left(E{{\gamma }^{0}}-m\right)\phi =0$(Eigenwertgleichung)

${{\gamma }^{0}}\phi ={\frac {m}{E}}\phi \Leftrightarrow \left({\begin{matrix}1&{}&{}&{}\\{}&1&{}&{}\\{}&{}&-1&{}\\{}&{}&{}&-1\\\end{matrix}}\right)\phi ={\frac {m}{E}}\phi \,$

(hat 2 Eigenwerte)

${\frac {m}{E}}=+1\Leftrightarrow {{\phi }_{+}}=\left({\begin{aligned}&{{u}_{1}}\\&{{u}_{2}}\\&0\\&0\\\end{aligned}}\right)\quad und\quad {\frac {m}{E}}=-1\Leftrightarrow {{\phi }_{-}}=\left({\begin{aligned}&0\\&0\\&{{u}_{1}}\\&{{u}_{2}}\\\end{aligned}}\right)$

(1.67)

Diskussion:

• ${{\Psi }_{+}}={{e}^{-{\mathfrak {i}}Et}}\left({\begin{aligned}&{{u}_{1}}\\&{{u}_{2}}\\&0\\&0\\\end{aligned}}\right),\quad E=+m{{c}^{2}}$, zwei linear unabhängige Lösungen beschreibt ruhendes Teilchen der Masse m, Ruheenergie $E=m{{c}^{2}}>0$
• Zwei Komponenten u₁, u₂ beschreiben Spin - ½, z.B.

$\left({\begin{aligned}&{{u}_{1}}\\&{{u}_{2}}\\\end{aligned}}\right)=\left({\begin{aligned}&1\\&0\\\end{aligned}}\right)=\left|\uparrow \right\rangle \quad \left({\begin{aligned}&{{u}_{1}}\\&{{u}_{2}}\\\end{aligned}}\right)=\left({\begin{aligned}&0\\&1\\\end{aligned}}\right)=\left|\downarrow \right\rangle$

(1.68)

→ Dirac-Gleichung beschreibt Spin- ½ Teilchen.

${{\Psi }_{-}}={{e}^{-{\mathfrak {i}}Et}}\left({\begin{aligned}&0\\&0\\&{{u}_{1}}\\&{{u}_{2}}\\\end{aligned}}\right),\quad E=-m{{c}^{2}}$zwei linear unabhängige Lösungen

(1.69)

hat aber negative Energie! Interpretationsproblem wie Klein-Gordon-Gleichung. Zufriedenstellend gelöst erst in der Quantenfeldtheorie (Teilchenerzeugung und Vernichtung).

„Anschauliche Interpretation“

• Annahme vieler gleichartiger Spin- ½ -Teilchen der Masse m
• Annahme: Es gibt einen Vielteilchen-Grundzustand („Vakuumzustand“), in dem alle Einzelteilchenzustände ${{\Psi }_{-}}$besetzt sind.
• Ein einziges Elektron ist dann z.B. das Vakuum +1 Teilchen in einem Zustand ${{\Psi }_{+}}$.
• „Teilchen-Loch“ Anregung: Anregung von ${{\Psi }_{+}}$ nach ${{\Psi }_{-}}$ lässt „Loch“ im „Fermi-See“ zurück: dies hat positive Ladung (fehlende negative Ladung)
• nützliches Konzept für die Halbleiterphysik

Vorteile der Löcher-Theorie:

• Vorrausage des Positron (Antiteilchen zum Elektron, gleiche Masse, entgegengesetzte Ladung)
• Paarvernichtung / Erzeugung

Nachteile der Löcher-Theorie:

• Unendlicher See nicht beobachteter Elektronen
• Beruht auf „Paul-Prinzip“ und funktionier bei der Klein-Gordon-Gleichung, die Bosonen mit Spin 0 beschreibt nicht.

→ konsistente Lösung dieses Problems in der zweiten Quantisierung (letzer Teil VL): $\Psi$ als Feld, das quantisiert wird.

b) Laufenden ebene Wellen („laufende, nicht ruhende Teilchen“) Ansatz${{\Psi }_{\pm }}={{e}^{\mp \left(Et-{\underline {k}}.{\underline {x}}\right)}}{{\phi }_{\pm }}\left(E,{\underline {k}}\right),\quad E=+{\sqrt {{{k}^{2}}+{{m}^{2}}}}>0$ mit ${{k}_{\mu }}{{x}^{\mu }}:=Et-{\underline {k}}.{\underline {x}}\Rightarrow {{k}_{\mu }}=\left(E,-{{k}_{x}},-{{k}_{y}},-{{k}_{z}}\right)$

${\begin{aligned}&\left({{\gamma }^{0}}E-{{\gamma }^{1}}{{k}_{x}}-{{\gamma }^{2}}{{k}_{y}}-{{\gamma }^{3}}{{k}_{z}}-m\right){{\phi }_{+}}=0\Leftrightarrow \left({{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}-m\right){{\phi }_{+}}=0\\&\left(-{{\gamma }^{0}}E+{{\gamma }^{1}}{{k}_{x}}+{{\gamma }^{2}}{{k}_{y}}+{{\gamma }^{3}}{{k}_{z}}-m\right){{\phi }_{-}}=0\Leftrightarrow \left({{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}+m\right){{\phi }_{-}}=0\\\end{aligned}}$

(1.70)

(1.70) sind Gleichundgen für Spinoren (4-Komponentige Vektoren)${{\phi }_{\pm }}$.

Lösung wie Matrixgleichung ${\underline {\underline {M}}}{\underline {x}}=0$möglich, einfacher Trick:

${\begin{aligned}&\left({{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}-m\right)\left({{\gamma }^{\nu }}{{k}_{\nu }}+m\right)={{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}{{\gamma }^{\nu }}{{k}_{\nu }}-{{m}^{2}}={{E}^{2}}-{{k}^{2}}-{{m}^{2}}=0,\quad \\&mit\,{{\left({{\gamma }^{\mu }}\right)}^{2}}=\pm 1,{{E}^{2}}={{k}^{2}}+{{m}^{2}},\hbar =c=1\\\end{aligned}}$

---

$\left({{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}-m\right)\underbrace {\left({{\gamma }^{\nu }}{{k}_{\nu }}+m\right)\left({\begin{aligned}&{{u}_{1}}\\&{{u}_{2}}\\&0\\&0\\\end{aligned}}\right)} _{{\tilde {\phi }}_{+}}=0$

${\begin{aligned}&{{\tilde {\phi }}_{+}}=\left(E+m\right)\left({\begin{aligned}&{{u}_{1}}\\&{{u}_{2}}\\&0\\&0\\\end{aligned}}\right)-{{k}_{x}}\left({\begin{matrix}0&{{\sigma }_{x}}\\-{{\sigma }_{x}}&0\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{aligned}&{{u}_{1}}\\&{{u}_{2}}\\&0\\&0\\\end{aligned}}\right)-{{k}_{y}}...\\&=\left({\begin{aligned}&\left(E+m\right)\left({\begin{aligned}&{{u}_{1}}\\&{{u}_{2}}\\\end{aligned}}\right)\\&{\underline {k}}.{\underline {\sigma }}\left({\begin{aligned}&{{u}_{1}}\\&{{u}_{2}}\\\end{aligned}}\right)\\\end{aligned}}\right)\end{aligned}}$

$\left({{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}-m\right)\underbrace {\left({{\gamma }^{\nu }}{{k}_{\nu }}+m\right)\left({\begin{aligned}&0\\&0\\&{{u}_{1}}\\&{{u}_{2}}\\\end{aligned}}\right)} _{{\tilde {\phi }}_{-}}=0$

${\begin{aligned}&-{{\tilde {\phi }}_{-}}=-\left(E+m\right)\left({\begin{aligned}&{{u}_{1}}\\&{{u}_{2}}\\&0\\&0\\\end{aligned}}\right)-{{k}_{x}}\left({\begin{matrix}0&{{\sigma }_{x}}\\-{{\sigma }_{x}}&0\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{aligned}&{{u}_{1}}\\&{{u}_{2}}\\&0\\&0\\\end{aligned}}\right)-{{k}_{y}}...\\&=-\left({\begin{aligned}&{\underline {k}}.{\underline {\sigma }}\left({\begin{aligned}&{{u}_{1}}\\&{{u}_{2}}\\\end{aligned}}\right)\\&\left(E+m\right)\left({\begin{aligned}&{{u}_{1}}\\&{{u}_{2}}\\\end{aligned}}\right)\\\end{aligned}}\right)\end{aligned}}$

(1.71)

Insgesamt existieren also 4 linear unabhängige Lösungen mit der Basis

${\begin{aligned}&{{\phi }_{+}}^{\left(1\right)}=N\left({\begin{aligned}&\left(E+m\right){{\underline {u}}^{\left(1\right)}}\\&\left({\underline {k}}.{\underline {\sigma }}\right){{\underline {u}}^{\left(1\right)}}\\\end{aligned}}\right)\quad {{\phi }_{+}}^{\left(2\right)}=N\left({\begin{aligned}&\left(E+m\right){{\underline {u}}^{\left(2\right)}}\\&\left({\underline {k}}.{\underline {\sigma }}\right){{\underline {u}}^{\left(2\right)}}\\\end{aligned}}\right)\\&{{\phi }_{-}}^{\left(1\right)}=N\left({\begin{aligned}&\left({\underline {k}}.{\underline {\sigma }}\right){{\underline {u}}^{\left(1\right)}}\\&\left(E+m\right){{\underline {u}}^{\left(1\right)}}\\\end{aligned}}\right)\quad {{\phi }_{-}}^{\left(2\right)}=N\left({\begin{aligned}&\left({\underline {k}}.{\underline {\sigma }}\right){{\underline {u}}^{\left(2\right)}}\\&\left(E+m\right){{\underline {u}}^{\left(2\right)}}\\\end{aligned}}\right)\\\end{aligned}}$

(1.72)

AUFGABE: Bestimme Normierungsfaktor N so, dass ${{\left|{{\phi }_{\pm }}^{\left(i\right)}\right|}^{2}}=1$ Zeige ${{\phi }_{\pm }}^{\left(1\right)}\bot {{\phi }_{\pm }}^{\left(2\right)}$ aber$\phi {{+}^{\left(1\right)}}{\text{ NOT }}\bot {{\phi }_{-}}^{\left(1\right)}$ Hierbei gilt ${{\underline {u}}^{\left(1\right)}}\bot {{\underline {u}}^{\left(2\right)}},\left|{{\underline {u}}^{\left(i\right)}}\right|=1$