Lösungen der Dirac-Gleichung (freies Teilchen)

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes

Der Artikel Lösungen der Dirac-Gleichung (freies Teilchen) basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 7) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes.

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(𝔦 γ^{μ} \partial_{μ} - m) Ψ = 0 \Leftrightarrow [𝔦 (γ^{0} \partial_{t} + γ^{1} \partial_{x^{1}} + γ^{2} \partial_{x^{2}} + γ^{3} \partial_{x^{3}}) - m] Ψ = 0

Separationsansatz

Ψ (\underline{x}, t) = e^{- 𝔦 E t} ϕ (\underline{x})

[E γ^{0} + 𝔦 (γ^{1} \partial_{1} + γ^{2} \partial_{2} + γ^{3} \partial_{3}) - m] ϕ (\underline{x}) = 0

(1.66)

Ansatz $ϕ (\underline{x}) = ϕ = c o n s t \Rightarrow (E γ^{0} - m) ϕ = 0$ (Eigenwertgleichung)

γ^{0} ϕ = \frac{m}{E} ϕ \Leftrightarrow (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \\ - 1 \end{matrix}) ϕ = \frac{m}{E} ϕ

(hat 2 Eigenwerte)

\frac{m}{E} = + 1 \Leftrightarrow ϕ_{+} = (\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) u n d \frac{m}{E} = - 1 \Leftrightarrow ϕ_{-} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ u_{1} \\ u_{2} \end{matrix})

(1.67)

Diskussion

$Ψ_{+} = e^{- 𝔦 E t} (\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), E = + m c^{2}$ , zwei linear unabhängige Lösungen beschreibt ruhendes Teilchen der Masse m, Ruheenergie $E = m c^{2} > 0$
Zwei Komponenten u₁, u₂ beschreiben Spin - ½, z.B.

(\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) = | ↑ ⟩ (\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) = | ↓ ⟩

(1.68)

→ Dirac-Gleichung beschreibt Spin- ½ Teilchen.

Ψ_{-} = e^{- 𝔦 E t} (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ u_{1} \\ u_{2} \end{matrix}), E = - m c^{2}

zwei linear unabhängige Lösungen

(1.69)

hat aber negative Energie! Interpretationsproblem wie Klein-Gordon-Gleichung. Zufriedenstellend gelöst erst in der Quantenfeldtheorie (Teilchenerzeugung und Vernichtung).

„Anschauliche Interpretation“

Annahme vieler gleichartiger Spin- ½ -Teilchen der Masse m
Annahme: Es gibt einen Vielteilchen-Grundzustand („Vakuumzustand“), in dem alle Einzelteilchenzustände $Ψ_{-}$ besetzt sind.
Ein einziges Elektron ist dann z.B. das Vakuum +1 Teilchen in einem Zustand $Ψ_{+}$ .
„Teilchen-Loch“ Anregung: Anregung von $Ψ_{+}$ nach $Ψ_{-}$ lässt „Loch“ im „Fermi-See“ zurück: dies hat positive Ladung (fehlende negative Ladung)
nützliches Konzept für die Halbleiterphysik

Vorteile der Löcher-Theorie:

Vorrausage des Positron (Antiteilchen zum Elektron, gleiche Masse, entgegengesetzte Ladung)
Paarvernichtung / Erzeugung

Nachteile der Löcher-Theorie:

Unendlicher See nicht beobachteter Elektronen
Beruht auf „Paul-Prinzip“ und funktionier bei der Klein-Gordon-Gleichung, die Bosonen mit Spin 0 beschreibt nicht.

→ konsistente Lösung dieses Problems in der zweiten Quantisierung (letzer Teil VL): $Ψ$ als Feld, das quantisiert wird.

Laufenden ebene Wellen

(„laufende, nicht ruhende Teilchen“)

Ansatz $Ψ_{\pm} = e^{\mp (E t - \underline{k} . \underline{x})} ϕ_{\pm} (E, \underline{k}), E = + \sqrt{k^{2} + m^{2}} > 0$ mit $k_{μ} x^{μ} := E t - \underline{k} . \underline{x} \Rightarrow k_{μ} = (E, - k_{x}, - k_{y}, - k_{z})$

\begin{matrix} (γ^{0} E - γ^{1} k_{x} - γ^{2} k_{y} - γ^{3} k_{z} - m) ϕ_{+} = 0 \Leftrightarrow (γ^{μ} k_{μ} - m) ϕ_{+} = 0 \\ (- γ^{0} E + γ^{1} k_{x} + γ^{2} k_{y} + γ^{3} k_{z} - m) ϕ_{-} = 0 \Leftrightarrow (γ^{μ} k_{μ} + m) ϕ_{-} = 0 \end{matrix}

(1.70)

(1.70) sind Gleichundgen für Spinoren (4-Komponentige Vektoren) $ϕ_{\pm}$ .

Lösung wie Matrixgleichung $\underline{\underline{M}} \underline{x} = 0$ möglich, einfacher Trick:

\begin{matrix} (γ^{μ} k_{μ} - m) (γ^{ν} k_{ν} + m) = γ^{μ} k_{μ} γ^{ν} k_{ν} - m^{2} = E^{2} - k^{2} - m^{2} = 0, \\ m i t {(γ^{μ})}^{2} = \pm 1, E^{2} = k^{2} + m^{2}, ℏ = c = 1 \end{matrix}

(γ^{μ} k_{μ} - m) \underset{{\tilde{ϕ}}_{+}}{\underset{⏟}{(γ^{ν} k_{ν} + m) (\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \\ 0 \\ 0 \end{matrix})}} = 0

\begin{matrix} {\tilde{ϕ}}_{+} = (E + m) (\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) - k_{x} (\begin{matrix} 0 & σ_{x} \\ - σ_{x} & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) - k_{y} ... \\ = (\begin{matrix} (E + m) (\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \end{matrix}) \\ \underline{k} . \underline{σ} (\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \end{matrix}) \end{matrix}) \end{matrix}

(γ^{μ} k_{μ} - m) \underset{{\tilde{ϕ}}_{-}}{\underset{⏟}{(γ^{ν} k_{ν} + m) (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ u_{1} \\ u_{2} \end{matrix})}} = 0

\begin{matrix} - {\tilde{ϕ}}_{-} = - (E + m) (\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) - k_{x} (\begin{matrix} 0 & σ_{x} \\ - σ_{x} & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) - k_{y} ... \\ = - (\begin{matrix} \underline{k} . \underline{σ} (\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \end{matrix}) \\ (E + m) (\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \end{matrix}) \end{matrix}) \end{matrix}

(1.71)

Insgesamt existieren also 4 linear unabhängige Lösungen mit der Basis

\begin{matrix} {ϕ_{+}}^{(1)} = N (\begin{matrix} (E + m) {\underline{u}}^{(1)} \\ (\underline{k} . \underline{σ}) {\underline{u}}^{(1)} \end{matrix}) {ϕ_{+}}^{(2)} = N (\begin{matrix} (E + m) {\underline{u}}^{(2)} \\ (\underline{k} . \underline{σ}) {\underline{u}}^{(2)} \end{matrix}) \\ {ϕ_{-}}^{(1)} = N (\begin{matrix} (\underline{k} . \underline{σ}) {\underline{u}}^{(1)} \\ (E + m) {\underline{u}}^{(1)} \end{matrix}) {ϕ_{-}}^{(2)} = N (\begin{matrix} (\underline{k} . \underline{σ}) {\underline{u}}^{(2)} \\ (E + m) {\underline{u}}^{(2)} \end{matrix}) \end{matrix}

(1.72)

AUFGABE: Bestimme Normierungsfaktor N so, dass ${| {ϕ_{\pm}}^{(i)} |}^{2} = 1$ Zeige ${ϕ_{\pm}}^{(1)} ⊥ {ϕ_{\pm}}^{(2)}$ aber $ϕ +^{(1)} NOT ⊥ {ϕ_{-}}^{(1)}$ Hierbei gilt

{\underline{u}}^{(1)} ⊥ {\underline{u}}^{(2)}, | {\underline{u}}^{(i)} | = 1

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