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| <math>\left[ \Epsilon {{\gamma }^{0}}+\mathfrak{i} \left( {{\gamma }^{1}}{{\partial }_{1}}+{{\gamma }^{2}}{{\partial }_{2}}+{{\gamma }^{3}}{{\partial }_{3}} \right)-m \right]\phi \left( {\underline{x}} \right)=0</math> |(1.66)|RawN=.}} | | <math>\left[ \Epsilon {{\gamma }^{0}}+\mathfrak{i} \left( {{\gamma }^{1}}{{\partial }_{1}}+{{\gamma }^{2}}{{\partial }_{2}}+{{\gamma }^{3}}{{\partial }_{3}} \right)-m \right]\phi \left( {\underline{x}} \right)=0</math> |(1.66)|RawN=.}} |
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| Ansatz <math>\phi \left( {\underline{x}} \right)=\phi =const\Rightarrow \left( E{{\gamma }^{0}}-m \right)\phi =0</math>(Eigenwertgleichung) | | Ansatz <math>\phi \left( {\underline{x}} \right)=\phi =const\Rightarrow \left( E{{\gamma }^{0}}-m \right)\phi =0</math> (Eigenwertgleichung) |
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| <math>{{\gamma }^{0}}\phi =\frac{m}{E}\phi \Leftrightarrow \left( \begin{matrix} | | :<math>{{\gamma }^{0}}\phi =\frac{m}{E}\phi \Leftrightarrow \left( \begin{matrix} |
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| 1 & {} & {} & {} \\ | | 1 & {} & {} & {} \\ |
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| | |(1.71)|RawN=.|Border=1|extra= |
| <math>\left( {{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}-m \right)\underbrace{\left( {{\gamma }^{\nu }}{{k}_{\nu }}+m \right)\left( \begin{align} | | <math>\left( {{\gamma }^{\mu }}{{k}_{\mu }}-m \right)\underbrace{\left( {{\gamma }^{\nu }}{{k}_{\nu }}+m \right)\left( \begin{align} |
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| \end{align} \right) | | \end{align} \right) |
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| \end{align}</math> | | \end{align}</math>}} |
| |(1.71)|RawN=.}}
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| Insgesamt existieren also 4 linear unabhängige Lösungen mit der Basis | | Insgesamt existieren also 4 linear unabhängige Lösungen mit der Basis |
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Quantenmechanikvorlesung von Brandes
Lösungen der Dirac-Gleichung (freies Teilchen) |
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Wir starten von
a) Separationsansatz
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(1.66)
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Ansatz (Eigenwertgleichung)
- (hat 2 Eigenwerte)
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(1.67)
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Diskussion:
- , zwei linear unabhängige Lösungen beschreibt ruhendes Teilchen der Masse m, Ruheenergie
- Zwei Komponenten u1, u2 beschreiben Spin - ½, z.B.
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(1.68)
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→ Dirac-Gleichung beschreibt Spin- ½ Teilchen.
zwei linear unabhängige Lösungen
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(1.69)
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hat aber negative Energie! Interpretationsproblem wie Klein-Gordon-Gleichung. Zufriedenstellend gelöst erst in der Quantenfeldtheorie (Teilchenerzeugung und Vernichtung).
„Anschauliche Interpretation“
- Annahme vieler gleichartiger Spin- ½ -Teilchen der Masse m
- Annahme: Es gibt einen Vielteilchen-Grundzustand („Vakuumzustand“), in dem alle Einzelteilchenzustände besetzt sind.
- Ein einziges Elektron ist dann z.B. das Vakuum +1 Teilchen in einem Zustand .
- „Teilchen-Loch“ Anregung: Anregung von nach lässt „Loch“ im „Fermi-See“ zurück: dies hat positive Ladung (fehlende negative Ladung)
- nützliches Konzept für die Halbleiterphysik
Vorteile der Löcher-Theorie:
- Vorrausage des Positron (Antiteilchen zum Elektron, gleiche Masse, entgegengesetzte Ladung)
- Paarvernichtung / Erzeugung
Nachteile der Löcher-Theorie:
- Unendlicher See nicht beobachteter Elektronen
- Beruht auf „Paul-Prinzip“ und funktionier bei der Klein-Gordon-Gleichung, die Bosonen mit Spin 0 beschreibt nicht.
→ konsistente Lösung dieses Problems in der zweiten Quantisierung (letzer Teil VL): als Feld, das quantisiert wird.
b) Laufenden ebene Wellen („laufende, nicht ruhende Teilchen“)
Ansatz mit
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(1.70)
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(1.70) sind Gleichundgen für Spinoren (4-Komponentige Vektoren).
Lösung wie Matrixgleichung möglich, einfacher Trick:
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(1.71)
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Insgesamt existieren also 4 linear unabhängige Lösungen mit der Basis
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(1.72)
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AUFGABE: Bestimme Normierungsfaktor N so, dass
Zeige aber Hierbei gilt