Quantentheoretischer Zugang

Einteilchenzustände im Kasten

Betrachte Gase, also Teilchen im Kasten, auch möglich Mödell für Festkörper:

Kastne mit Länge L und Energiedifferenz $\Delta \epsilon$ $V=L^{3}$ (Volumen)

Die Dichte des Energienivieaus ist bestimmt durch die Länge L. $H={\frac {{p}^{2}}{2m}}+{{V}_{Kasten}}\left({\vec {r}}\right)$ für unendlich hohe Wände Einteilchenfunktion ${{\varphi }_{n}}\left({\vec {r}}\right)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {{{n}_{x}}\pi }{L}}x\right){\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {{{n}_{y}}\pi }{L}}y\right){\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {{{n}_{z}}\pi }{L}}z\right)$ mit ${\vec {n}}=\left({{n}_{x}},{{n}_{y}},{{n}_{z}}\right);\quad {{n}_{i}}=1,2,...$ und Energieeigenwerten ${{\varepsilon }_{n}}={\frac {\hbar {{\pi }^{2}}}{2m{{L}^{2}}}}\left({{n}_{x}}^{2}+{{n}_{y}}^{2}+{{n}_{z}}^{2}\right)$ Diracschreibweise: Zustand nur durch Qantenzahlen chartisiert ${{\varphi }_{n}}\left({\vec {r}}\right)=\left\langle {\vec {r}}|n\right\rangle \to \left|n\right\rangle$(3-Quantenzahlen)

Großer Kasten, dichtliegende Zustände

in einem großen Kasten sollen die Randbeingungne nicht so wichtig sien, Modell für makroskopischen Körper, nehmen periodische Randbedingungen ${{\varphi }_{n}}\left(x=0,y,z\right)={{\varphi }_{n}}\left(x=L,y,z\right)\quad \forall {{x}_{i}}$ periodisch angeordnete Kästen nebeneinander

Ansatz:

freie Teilchen im Kasten: ${{e}^{i{\vec {k}}.{\vec {r}}}}$

${\begin{aligned}&\Rightarrow {{e}^{i{\vec {k}}.{\vec {r}}}}={{e}^{i{\vec {k}}.\left({\vec {r}}+{\vec {L}}\right)}},\quad {\vec {L}}=\left(L,L,L\right)\\&\Rightarrow {{e}^{i{\vec {k}}.{\vec {r}}}}=1{\text{ w }}\!\!{\ddot {\mathrm {a} }}\!\!{\text{ hlen}}\\&\Rightarrow {{k}_{i}}=\left({{k}_{x}},{{k}_{y}},{{k}_{z}}\right):\,\,{{k}_{i}}={\frac {2\pi }{L}}{{m}_{i}},\,\,{{m}_{i}}\in \mathbb {Z} \\\end{aligned}}$

Damit sind die Quantenzahlen k_i im großen (makroskopischen) Kasten festgelegt als: ${\begin{aligned}&{{\varphi }_{\vec {k}}}={\frac {1}{\sqrt {V}}}{{e}^{i{\vec {k}}.{\vec {r}}}},{{k}_{i}}={\frac {2\pi }{L}}{{m}_{i}},\,\,{{m}_{i}}\in \mathbb {Z} \\&{\vec {k}}.{\vec {r}}=\sum \limits _{i}{{{k}_{i}}{{x}_{i}}}\\\end{aligned}}$ man kann mit den ebenen Wellen besser als mit den Sinusfunktionen rechen, weil: man oft Quantenzahlen bzw. Zuständer zählen mus (wie in der klassichen Statiski beim Würfel =6)

k's zu zählen ist oft leichter als n's z.B $\sum \limits _{{\text{Zust }}\!\!{\ddot {\mathrm {a} }}\!\!{\text{ nde}}}{...}\triangleq \sum \limits _{{\text{k }}\!\!'\!\!{\text{ s}}}{...}$ Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{align}“): {\displaystyle \begin{align} & {{\varphi }_{{\vec{k}}}}=\frac{1}{\sqrt{V}}{{e}^{i\vec{k}.\vec{r}}},{{k}_{i}}=\frac{2\pi }{L}{{m}_{i}},\,\,{{m}_{i}}\in \mathbb{Z} \\ & \vec{k}.\vec{r}=\sum\limits_{i}{{{k}_{i}}{{x}_{i}}} \\ & \sum\limits_{\text{Zust }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ nde}}{...}\triangleq \sum\limits_{\text{k }\!\!'\!\!\text{ s}}{...} \\ & \sum\limits_{\text{\vec{k}}\in 3\text{-Dim Raum}}{{}}=\sum\limits_{\text{k}}{\frac{\Delta {}^\text{3}k}{\underbrace{\Delta {}^\text{3}k}_{\Delta {{k}_{x\Delta }}\Delta {{k}_{y}}\Delta {{k}_{z}}}}}={{\left( \frac{L}{2\pi } \right)}^{3}}\sum\limits_{\text{k}}{\Delta {}^\text{3}k}\to {{\left( \frac{L}{2\pi } \right)}^{3}}\int_{{}}^{{}}{d{}^\text{3}k} \\ \end{align}} $\Delta k$ sind dicht ~ ${\frac {1}{L}}\to \int _{}^{}{}$ Summe über die k-Quantenzahlen werden also so übersetzt