Quantentheoretischer Zugang

Einteilchenzustände im Kasten

Betrachte Gase, also Teilchen im Kasten, auch möglich Mödell für Festkörper:

Kastne mit Länge L und Energiedifferenz $\Delta \epsilon$ $V=L^{3}$ (Volumen)

Die Dichte des Energienivieaus ist bestimmt durch die Länge L. $H={\frac {{p}^{2}}{2m}}+{{V}_{Kasten}}\left({\vec {r}}\right)$ für unendlich hohe Wände Einteilchenfunktion ${{\varphi }_{n}}\left({\vec {r}}\right)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {{{n}_{x}}\pi }{L}}x\right){\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {{{n}_{y}}\pi }{L}}y\right){\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {{{n}_{z}}\pi }{L}}z\right)$ mit ${\vec {n}}=\left({{n}_{x}},{{n}_{y}},{{n}_{z}}\right);\quad {{n}_{i}}=1,2,...$ und Energieeigenwerten ${{\varepsilon }_{n}}={\frac {\hbar {{\pi }^{2}}}{2m{{L}^{2}}}}\left({{n}_{x}}^{2}+{{n}_{y}}^{2}+{{n}_{z}}^{2}\right)$ Diracschreibweise: Zustand nur durch Qantenzahlen chartisiert ${{\varphi }_{n}}\left({\vec {r}}\right)=\left\langle {\vec {r}}|n\right\rangle \to \left|n\right\rangle$(3-Quantenzahlen)

Großer Kasten, dichtliegende Zustände

in einem großen Kasten sollen die Randbeingungne nicht so wichtig sien, Modell für makroskopischen Körper, nehmen periodische Randbedingungen ${{\varphi }_{n}}\left(x=0,y,z\right)={{\varphi }_{n}}\left(x=L,y,z\right)\quad \forall {{x}_{i}}$ periodisch angeordnete Kästen nebeneinander

Ansatz:

freie Teilchen im Kasten: ${{e}^{i{\vec {k}}.{\vec {r}}}}$

${\begin{aligned}&\Rightarrow {{e}^{i{\vec {k}}.{\vec {r}}}}={{e}^{i{\vec {k}}.\left({\vec {r}}+{\vec {L}}\right)}},\quad {\vec {L}}=\left(L,L,L\right)\\&\Rightarrow {{e}^{i{\vec {k}}.{\vec {r}}}}=1{\text{ w }}\!\!{\ddot {\mathrm {a} }}\!\!{\text{ hlen}}\\&\Rightarrow {{k}_{i}}=\left({{k}_{x}},{{k}_{y}},{{k}_{z}}\right):\,\,{{k}_{i}}={\frac {2\pi }{L}}{{m}_{i}},\,\,{{m}_{i}}\in \mathbb {Z} \\\end{aligned}}$

Damit sind die Quantenzahlen k_i im großen (makroskopischen) Kasten festgelegt als: ${\begin{aligned}&{{\varphi }_{\vec {k}}}={\frac {1}{\sqrt {V}}}{{e}^{i{\vec {k}}.{\vec {r}}}},{{k}_{i}}={\frac {2\pi }{L}}{{m}_{i}},\,\,{{m}_{i}}\in \mathbb {Z} \\&{\vec {k}}.{\vec {r}}=\sum \limits _{i}{{{k}_{i}}{{x}_{i}}}\\\end{aligned}}$ man kann mit den ebenen Wellen besser als mit den Sinusfunktionen rechen, weil: man oft Quantenzahlen bzw. Zuständer zählen mus (wie in der klassichen Statiski beim Würfel =6)

k's zu zählen ist oft leichter als n's z.B $\sum \limits _{{\text{Zust }}\!\!{\ddot {\mathrm {a} }}\!\!{\text{ nde}}}{...}\triangleq \sum \limits _{{\text{k }}\!\!'\!\!{\text{ s}}}{...}$

${{\sum }_{{\vec {k}}\in {\text{3-Dim Raum}}}}=\sum \limits _{\text{k}}{\frac {{{\Delta }^{\text{3}}}k}{\underbrace {{{\Delta }^{\text{3}}}k} _{\Delta {{k}_{x\Delta }}\Delta {{k}_{y}}\Delta {{k}_{z}}}}}={{\left({\frac {L}{2\pi }}\right)}^{3}}\sum \limits _{\text{k}}{{{\Delta }^{\text{3}}}k}\to {{\left({\frac {L}{2\pi }}\right)}^{3}}\int {{{d}^{\text{3}}}k}$

$\Delta k$ sind dicht ~ ${\frac {1}{L}}\to \int _{}^{}{}$ Summe über die k-Quantenzahlen werden also

So übersetzt:${{\sum }_{k}}\triangleq {{\left({\frac {L}{2\pi }}\right)}^{3}}\int {{{d}^{\text{3}}}k}$

Vielteilchenzustände

Kasten mit vielen Teilchen, wovon wird der Gesamtzustand abhängen?

• N-Teilchenzahl , wie sind die Teilchen auf die Einzeichenzustände verteilt

-> nur Quantenzahlen der Einteilchenzustände verwenden wenn Wechselwirkungsfreies Gas

Hamiltonfunktion, Eingenwertproblem:

$H=\sum \limits _{i}{{H}_{i}}\,;\,{{H}_{i}}={\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+{{V}_{Kasten}}\left({{\vec {r}}_{i}}\right)$ i: Teilchennummer

$H{{\Psi }_{n,N}}\left(\underbrace {\left\{{{r}_{i}}\right\}} _{\text{alle Koordinaten}}\right)={{\varepsilon }_{n,N}}{{\Psi }_{n,N}}\left(\left\{{{r}_{i}}\right\}\right)$ mit Quantenzahln n

-> in einem nicht WW. System sind die Lösungen durch Produktzustände aus 1-Teilchenwellenfunktionen gegeben, die Einergie ist gegegeben durch die Summe aller besetzten Zuständer (Quantenmechanisch) ${{\varepsilon }_{n,N}}=\sum \limits _{i=1}^{N}{{{\varepsilon }_{n}}\left(i\right)}$ wobei ${{\varepsilon }_{n}}\left(i\right)$ die Einteilchenenergie mit 3 Quantenzahlen ist Vorläuftig : ${{\Psi }_{n,N}}\left(\left\{{{r}_{i}}\right\}\right)={{\varphi }_{n\left(1\right)}}\left({{\vec {r}}_{1}}\right){{\varphi }_{n\left(2\right)}}\left({{\vec {r}}_{2}}\right)\ldots {{\varphi }_{n\left(N\right)}}\left({{\vec {r}}_{N}}\right)$

aufgrund der Ununterscheidbarkeit der Teilchen sollte

${{\left|\Psi \left({{X}_{1}}\ldots {{X}_{i}}\ldots {{X}_{j}}\ldots {{X}_{N}}\right)\right|}^{2}}={{\left|\Psi \left({{X}_{1}}\ldots {{X}_{j}}\ldots {{X}_{i}}\ldots {{X}_{N}}\right)\right|}^{2}}$

die Invarianz von Messgrößen gegen Vertauschung von Teilchenkoordinaten gegeben sein ${{X}_{i}}=\left({{\vec {r}}_{i}},{{\vec {s}}_{i}}\right)$

Das geht für: $\Psi \left({{X}_{1}}\ldots {{X}_{j}}\ldots {{X}_{i}}\ldots {{X}_{N}}\right)$

Beide Lösungen werden realisiert und als symmetrisch(+) und antisymmetrisch(-) bezeichnet:

Fermionen (-) antisymmetrisch sind Teilchen mit halbzahligem Spin Bosonen (-) symmetrisch sind Teilchen mit ganzzaligem Spin (Spin-Statistik Theorem (W Pauli 1940))

Das heißt: wenn man mit Vielteilchensystenem arbeitet muss man immer die richtige Symmetrie der Wellenfunktion gewährleisten.

(klassich: Grenzfall beider $T\to \infty$)

Beispiel:2 Teilchen $i=1,2\,\,;\,\,n=a,b$ vorläuftig$\Psi ={{\varphi }_{a}}\left({{x}_{1}}\right){{\varphi }_{b}}\left({{x}_{2}}\right)$ Erfüllt die Schrödingergleichung aber nicht die Symmetrie Daher (Anti)symmetriesierung durch ${{\Psi }^{F/B}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({{\varphi }_{a}}\left({{x}_{1}}\right){{\varphi }_{b}}\left({{x}_{2}}\right)\mp {{\varphi }_{a}}\left({{x}_{1}}\right){{\varphi }_{b}}\left({{x}_{2}}\right)\right)$ wobei ${\frac {1}{\sqrt {2}}}$ der Normierungsfaktor ist.

((3 Teilchen als Übung))

Interpretation:

• In einem fermionischen System können nicht 2 Teilchen im selben Zustand sein (a=b) --> Pauliprinzip
• In einem bosonischen System kann man durchaus mehrer Teilchen in dem selben Zustand haben. (lustiger Fall k_i=0 --> Bosekondensation)

--> völlig unterschiedliches Verhalten der makroskopischen Größen weil die mikroskopischen Verteilungen anders sind.

• allgemin Ansätzte für N-Teilchen

${{\Psi }_{B}}={\frac {1}{\sqrt {\underbrace {N} _{\begin{smallmatrix}{\text{Teilchenzahl}}\\{\text{wg Normierung}}\end{smallmatrix}}!}}}{\frac {1}{\underbrace {\sqrt {\prod \limits _{k}^{K}{{{N}_{k}}!}}} _{\begin{smallmatrix}&{\text{wenn nur die Orbitale }}{{\varphi }_{k}}\\&k<N{\text{ besetzt weil mehrer}}\\&{\text{Teilchen in einem Orbital sitzen}}\\&{\text{so steht }}{{\text{N}}_{k}}{\text{ f }}\!\!{\ddot {\mathrm {u} }}\!\!{\text{ r die Zahl der}}\\&{\text{Teilchen in dem Orbital}}\\\end{smallmatrix}}}}\underbrace {\sum \limits _{P}{P\left({{\varphi }_{{n}_{1}}}\left({{x}_{1}}\right)\ldots {{\varphi }_{{n}_{k}}}\left({{x}_{k}}\right)\ldots {{\varphi }_{{n}_{N}}}\left({{x}_{N}}\right)\right)}} _{{\text{Zumme }}\!\!{\ddot {\mathrm {u} }}\!\!{\text{ ber alle Permutationen}}}$

${{\Psi }_{F}}={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\underbrace {\sum \limits _{P}{\operatorname {sign} \left(P\right)P\left({{\varphi }_{{n}_{1}}}\left({{x}_{1}}\right)\ldots {{\varphi }_{{n}_{k}}}\left({{x}_{k}}\right)\ldots {{\varphi }_{{n}_{N}}}\left({{x}_{N}}\right)\right)}} _{{\text{Anzahl der Vertauschungen um die Permutation zu konstruieren mal }}\left(-1\right)}$

recht komplizierte Schreibweise: besser Diracschreibweise für eine übersichtliche Darstellung.

jeden möglichen Zustand als Konfiguration vorstellen

Datei:Fermi-Bose aus einer Konfiguration kann man diesen Zustand im Diracbild schreiben als: