Einteilchenzustände im Kasten Betrachte Gase, also Teilchen im Kasten, auch möglich Mödell für Festkörper:
Kastne mit Länge L und Energiedifferenz
Δ
ϵ
{\displaystyle \Delta \epsilon }
V
=
L
3
{\displaystyle V=L^{3}}
Die Dichte des Energienivieaus ist bestimmt durch die Länge L.
H
=
p
2
2
m
+
V
K
a
s
t
e
n
(
r
→
)
{\displaystyle H={\frac {{p}^{2}}{2m}}+{{V}_{Kasten}}\left({\vec {r}}\right)}
φ
n
(
r
→
)
=
2
L
sin
(
n
x
π
L
x
)
2
L
sin
(
n
y
π
L
y
)
2
L
sin
(
n
z
π
L
z
)
{\displaystyle {{\varphi }_{n}}\left({\vec {r}}\right)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {{{n}_{x}}\pi }{L}}x\right){\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {{{n}_{y}}\pi }{L}}y\right){\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {{{n}_{z}}\pi }{L}}z\right)}
n
→
=
(
n
x
,
n
y
,
n
z
)
;
n
i
=
1
,
2
,
.
.
.
{\displaystyle {\vec {n}}=\left({{n}_{x}},{{n}_{y}},{{n}_{z}}\right);\quad {{n}_{i}}=1,2,...}
ε
n
=
ℏ
π
2
2
m
L
2
(
n
x
2
+
n
y
2
+
n
z
2
)
{\displaystyle {{\varepsilon }_{n}}={\frac {\hbar {{\pi }^{2}}}{2m{{L}^{2}}}}\left({{n}_{x}}^{2}+{{n}_{y}}^{2}+{{n}_{z}}^{2}\right)}
φ
n
(
r
→
)
=
⟨
r
→
|
n
⟩
→
|
n
⟩
{\displaystyle {{\varphi }_{n}}\left({\vec {r}}\right)=\left\langle {\vec {r}}|n\right\rangle \to \left|n\right\rangle }
Großer Kasten, dichtliegende Zustände in einem großen Kasten sollen die Randbeingungne nicht so wichtig sien, Modell für makroskopischen Körper, nehmen periodische Randbedingungen
φ
n
(
x
=
0
,
y
,
z
)
=
φ
n
(
x
=
L
,
y
,
z
)
∀
x
i
{\displaystyle {{\varphi }_{n}}\left(x=0,y,z\right)={{\varphi }_{n}}\left(x=L,y,z\right)\quad \forall {{x}_{i}}}
Ansatz :
freie Teilchen im Kasten:
e
i
k
→
.
r
→
{\displaystyle {{e}^{i{\vec {k}}.{\vec {r}}}}}
⇒
e
i
k
→
.
r
→
=
e
i
k
→
.
(
r
→
+
L
→
)
,
L
→
=
(
L
,
L
,
L
)
⇒
e
i
k
→
.
r
→
=
1
w
a
¨
hlen
⇒
k
i
=
(
k
x
,
k
y
,
k
z
)
:
k
i
=
2
π
L
m
i
,
m
i
∈
Z
{\displaystyle {\begin{aligned}&\Rightarrow {{e}^{i{\vec {k}}.{\vec {r}}}}={{e}^{i{\vec {k}}.\left({\vec {r}}+{\vec {L}}\right)}},\quad {\vec {L}}=\left(L,L,L\right)\\&\Rightarrow {{e}^{i{\vec {k}}.{\vec {r}}}}=1{\text{ w }}\!\!{\ddot {\mathrm {a} }}\!\!{\text{ hlen}}\\&\Rightarrow {{k}_{i}}=\left({{k}_{x}},{{k}_{y}},{{k}_{z}}\right):\,\,{{k}_{i}}={\frac {2\pi }{L}}{{m}_{i}},\,\,{{m}_{i}}\in \mathbb {Z} \\\end{aligned}}}
Damit sind die Quantenzahlen k_i im großen (makroskopischen) Kasten festgelegt als:
φ
k
→
=
1
V
e
i
k
→
.
r
→
,
k
i
=
2
π
L
m
i
,
m
i
∈
Z
k
→
.
r
→
=
∑
i
k
i
x
i
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\varphi }_{\vec {k}}}={\frac {1}{\sqrt {V}}}{{e}^{i{\vec {k}}.{\vec {r}}}},{{k}_{i}}={\frac {2\pi }{L}}{{m}_{i}},\,\,{{m}_{i}}\in \mathbb {Z} \\&{\vec {k}}.{\vec {r}}=\sum \limits _{i}{{{k}_{i}}{{x}_{i}}}\\\end{aligned}}}
k's zu zählen ist oft leichter als n's
z.B
∑
Zust
a
¨
nde
.
.
.
≜
∑
k
′
s
.
.
.
{\displaystyle \sum \limits _{{\text{Zust }}\!\!{\ddot {\mathrm {a} }}\!\!{\text{ nde}}}{...}\triangleq \sum \limits _{{\text{k }}\!\!'\!\!{\text{ s}}}{...}}
∑
k
→
∈
3-Dim Raum
=
∑
k
Δ
3
k
Δ
3
k
⏟
Δ
k
x
Δ
Δ
k
y
Δ
k
z
=
(
L
2
π
)
3
∑
k
Δ
3
k
→
(
L
2
π
)
3
∫
d
3
k
{\displaystyle {{\sum }_{{\vec {k}}\in {\text{3-Dim Raum}}}}=\sum \limits _{\text{k}}{\frac {{{\Delta }^{\text{3}}}k}{\underbrace {{{\Delta }^{\text{3}}}k} _{\Delta {{k}_{x\Delta }}\Delta {{k}_{y}}\Delta {{k}_{z}}}}}={{\left({\frac {L}{2\pi }}\right)}^{3}}\sum \limits _{\text{k}}{{{\Delta }^{\text{3}}}k}\to {{\left({\frac {L}{2\pi }}\right)}^{3}}\int {{{d}^{\text{3}}}k}}
Δ
k
{\displaystyle \Delta k}
1
L
→
∫
{\displaystyle {\frac {1}{L}}\to \int _{}^{}{}}
So übersetzt:
∑
k
≜
(
L
2
π
)
3
∫
d
3
k
{\displaystyle {{\sum }_{k}}\triangleq {{\left({\frac {L}{2\pi }}\right)}^{3}}\int {{{d}^{\text{3}}}k}}
Vielteilchenzustände 
