Einteilchenzustände im Kasten
Betrachte Gase, also Teilchen im Kasten, auch möglich Mödell für Festkörper:
Kastne mit Länge L und Energiedifferenz
Δ
ϵ
{\displaystyle \Delta \epsilon }
V
=
L
3
{\displaystyle V=L^{3}}
(Volumen)
Die Dichte des Energienivieaus ist bestimmt durch die Länge L.
H
=
p
2
2
m
+
V
K
a
s
t
e
n
(
r
→
)
{\displaystyle H={\frac {{p}^{2}}{2m}}+{{V}_{Kasten}}\left({\vec {r}}\right)}
für unendlich hohe Wände
Einteilchenfunktion
φ
n
(
r
→
)
=
2
L
sin
(
n
x
π
L
x
)
2
L
sin
(
n
y
π
L
y
)
2
L
sin
(
n
z
π
L
z
)
{\displaystyle {{\varphi }_{n}}\left({\vec {r}}\right)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {{{n}_{x}}\pi }{L}}x\right){\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {{{n}_{y}}\pi }{L}}y\right){\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {{{n}_{z}}\pi }{L}}z\right)}
mit
n
→
=
(
n
x
,
n
y
,
n
z
)
;
n
i
=
1
,
2
,
.
.
.
{\displaystyle {\vec {n}}=\left({{n}_{x}},{{n}_{y}},{{n}_{z}}\right);\quad {{n}_{i}}=1,2,...}
und Energieeigenwerten
ε
n
=
ℏ
π
2
2
m
L
2
(
n
x
2
+
n
y
2
+
n
z
2
)
{\displaystyle {{\varepsilon }_{n}}={\frac {\hbar {{\pi }^{2}}}{2m{{L}^{2}}}}\left({{n}_{x}}^{2}+{{n}_{y}}^{2}+{{n}_{z}}^{2}\right)}
Diracschreibweise: Zustand nur durch Qantenzahlen chartisiert
φ
n
(
r
→
)
=
⟨
r
→
|
n
⟩
→
|
n
⟩
{\displaystyle {{\varphi }_{n}}\left({\vec {r}}\right)=\left\langle {\vec {r}}|n\right\rangle \to \left|n\right\rangle }
(3-Quantenzahlen)
Großer Kasten, dichtliegende Zustände
in einem großen Kasten sollen die Randbeingungne nicht so wichtig sien, Modell für makroskopischen Körper, nehmen periodische Randbedingungen
φ
n
(
x
=
0
,
y
,
z
)
=
φ
n
(
x
=
L
,
y
,
z
)
∀
x
i
{\displaystyle {{\varphi }_{n}}\left(x=0,y,z\right)={{\varphi }_{n}}\left(x=L,y,z\right)\quad \forall {{x}_{i}}}
periodisch angeordnete Kästen nebeneinander
Ansatz :
freie Teilchen im Kasten:
e
i
k
→
.
r
→
{\displaystyle {{e}^{i{\vec {k}}.{\vec {r}}}}}
⇒
e
i
k
→
.
r
→
=
e
i
k
→
.
(
r
→
+
L
→
)
,
L
→
=
(
L
,
L
,
L
)
⇒
e
i
k
→
.
r
→
=
1
w
a
¨
hlen
⇒
k
i
=
(
k
x
,
k
y
,
k
z
)
:
k
i
=
2
π
L
m
i
,
m
i
∈
Z
{\displaystyle {\begin{aligned}&\Rightarrow {{e}^{i{\vec {k}}.{\vec {r}}}}={{e}^{i{\vec {k}}.\left({\vec {r}}+{\vec {L}}\right)}},\quad {\vec {L}}=\left(L,L,L\right)\\&\Rightarrow {{e}^{i{\vec {k}}.{\vec {r}}}}=1{\text{ w }}\!\!{\ddot {\mathrm {a} }}\!\!{\text{ hlen}}\\&\Rightarrow {{k}_{i}}=\left({{k}_{x}},{{k}_{y}},{{k}_{z}}\right):\,\,{{k}_{i}}={\frac {2\pi }{L}}{{m}_{i}},\,\,{{m}_{i}}\in \mathbb {Z} \\\end{aligned}}}
Damit sind die Quantenzahlen k_i im großen (makroskopischen) Kasten festgelegt als:
φ
k
→
=
1
V
e
i
k
→
.
r
→
,
k
i
=
2
π
L
m
i
,
m
i
∈
Z
k
→
.
r
→
=
∑
i
k
i
x
i
{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\varphi }_{\vec {k}}}={\frac {1}{\sqrt {V}}}{{e}^{i{\vec {k}}.{\vec {r}}}},{{k}_{i}}={\frac {2\pi }{L}}{{m}_{i}},\,\,{{m}_{i}}\in \mathbb {Z} \\&{\vec {k}}.{\vec {r}}=\sum \limits _{i}{{{k}_{i}}{{x}_{i}}}\\\end{aligned}}}
man kann mit den ebenen Wellen besser als mit den Sinusfunktionen rechen, weil:
man oft Quantenzahlen bzw. Zuständer zählen mus (wie in der klassichen Statiski beim Würfel =6)
k's zu zählen ist oft leichter als n's
z.B
∑
Zust
a
¨
nde
.
.
.
≜
∑
k
′
s
.
.
.
{\displaystyle \sum \limits _{{\text{Zust }}\!\!{\ddot {\mathrm {a} }}\!\!{\text{ nde}}}{...}\triangleq \sum \limits _{{\text{k }}\!\!'\!\!{\text{ s}}}{...}}
∑
k
→
∈
3-Dim Raum
=
∑
k
Δ
3
k
Δ
3
k
⏟
Δ
k
x
Δ
Δ
k
y
Δ
k
z
=
(
L
2
π
)
3
∑
k
Δ
3
k
→
(
L
2
π
)
3
∫
d
3
k
{\displaystyle {{\sum }_{{\vec {k}}\in {\text{3-Dim Raum}}}}=\sum \limits _{\text{k}}{\frac {{{\Delta }^{\text{3}}}k}{\underbrace {{{\Delta }^{\text{3}}}k} _{\Delta {{k}_{x\Delta }}\Delta {{k}_{y}}\Delta {{k}_{z}}}}}={{\left({\frac {L}{2\pi }}\right)}^{3}}\sum \limits _{\text{k}}{{{\Delta }^{\text{3}}}k}\to {{\left({\frac {L}{2\pi }}\right)}^{3}}\int {{{d}^{\text{3}}}k}}
Δ
k
{\displaystyle \Delta k}
sind dicht ~
1
L
→
∫
{\displaystyle {\frac {1}{L}}\to \int _{}^{}{}}
Summe über die k-Quantenzahlen werden also
So übersetzt:
∑
k
≜
(
L
2
π
)
3
∫
d
3
k
{\displaystyle {{\sum }_{k}}\triangleq {{\left({\frac {L}{2\pi }}\right)}^{3}}\int {{{d}^{\text{3}}}k}}
Vielteilchenzustände
Kasten mit vielen Teilchen, wovon wird der Gesamtzustand abhängen?
N-Teilchenzahl , wie sind die Teilchen auf die Einzeichenzustände verteilt
-> nur Quantenzahlen der Einteilchenzustände verwenden wenn Wechselwirkungsfreies Gas
Hamiltonfunktion, Eingenwertproblem:
H
=
∑
i
H
i
;
H
i
=
p
i
2
2
m
+
V
K
a
s
t
e
n
(
r
→
i
)
{\displaystyle H=\sum \limits _{i}{{H}_{i}}\,;\,{{H}_{i}}={\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+{{V}_{Kasten}}\left({{\vec {r}}_{i}}\right)}
i: Teilchennummer
H
Ψ
n
,
N
(
{
r
i
}
⏟
alle Koordinaten
)
=
ε
n
,
N
Ψ
n
,
N
(
{
r
i
}
)
{\displaystyle H{{\Psi }_{n,N}}\left(\underbrace {\left\{{{r}_{i}}\right\}} _{\text{alle Koordinaten}}\right)={{\varepsilon }_{n,N}}{{\Psi }_{n,N}}\left(\left\{{{r}_{i}}\right\}\right)}
mit Quantenzahln n
-> in einem nicht WW. System sind die Lösungen durch Produktzustände aus 1-Teilchenwellenfunktionen gegeben, die Einergie ist gegegeben durch die Summe aller besetzten Zuständer (Quantenmechanisch)
ε
n
,
N
=
∑
i
=
1
N
ε
n
(
i
)
{\displaystyle {{\varepsilon }_{n,N}}=\sum \limits _{i=1}^{N}{{{\varepsilon }_{n}}\left(i\right)}}
wobei
ε
n
(
i
)
{\displaystyle {{\varepsilon }_{n}}\left(i\right)}
die Einteilchenenergie mit 3 Quantenzahlen ist
Vorläuftig :
Ψ
n
,
N
(
{
r
i
}
)
=
φ
n
(
1
)
(
r
→
1
)
φ
n
(
2
)
(
r
→
2
)
…
φ
n
(
N
)
(
r
→
N
)
{\displaystyle {{\Psi }_{n,N}}\left(\left\{{{r}_{i}}\right\}\right)={{\varphi }_{n\left(1\right)}}\left({{\vec {r}}_{1}}\right){{\varphi }_{n\left(2\right)}}\left({{\vec {r}}_{2}}\right)\ldots {{\varphi }_{n\left(N\right)}}\left({{\vec {r}}_{N}}\right)}
aufgrund der Ununterscheidbarkeit der Teilchen sollte
|
Ψ
(
X
1
…
X
i
…
X
j
…
X
N
)
|
2
=
|
Ψ
(
X
1
…
X
j
…
X
i
…
X
N
)
|
2
{\displaystyle {{\left|\Psi \left({{X}_{1}}\ldots {{X}_{i}}\ldots {{X}_{j}}\ldots {{X}_{N}}\right)\right|}^{2}}={{\left|\Psi \left({{X}_{1}}\ldots {{X}_{j}}\ldots {{X}_{i}}\ldots {{X}_{N}}\right)\right|}^{2}}}
die Invarianz von Messgrößen gegen Vertauschung von Teilchenkoordinaten gegeben sein
X
i
=
(
r
→
i
,
s
→
i
)
{\displaystyle {{X}_{i}}=\left({{\vec {r}}_{i}},{{\vec {s}}_{i}}\right)}
Das geht für:
Ψ
(
X
1
…
X
j
…
X
i
…
X
N
)
{\displaystyle \Psi \left({{X}_{1}}\ldots {{X}_{j}}\ldots {{X}_{i}}\ldots {{X}_{N}}\right)}
Beide Lösungen werden realisiert und als symmetrisch (+) und antisymmetrisch (-) bezeichnet:
Fermionen (-)
antisymmetrisch sind Teilchen mit halbzahligem Spin
Bosonen (-)
symmetrisch sind Teilchen mit ganzzaligem Spin (Spin-Statistik Theorem (W Pauli 1940))
Das heißt: wenn man mit Vielteilchensystenem arbeitet muss man immer die richtige Symmetrie der Wellenfunktion gewährleisten.
(klassich: Grenzfall beider
T
→
∞
{\displaystyle T\to \infty }
)
((3 Teilchen als Übung))
Interpretation :
In einem fermionischen System können nicht 2 Teilchen im selben Zustand sein (a=b) --> Pauliprinzip
In einem bosonischen System kann man durchaus mehrer Teilchen in dem selben Zustand haben. (lustiger Fall k_i=0 --> Bosekondensation)
--> völlig unterschiedliches Verhalten der makroskopischen Größen weil die mikroskopischen Verteilungen anders sind.
allgemin Ansätzte für N-Teilchen
Ψ
B
=
1
N
⏟
Teilchenzahl
wg Normierung
!
1
∏
k
K
N
k
!
⏟
wenn nur die Orbitale
φ
k
k
<
N
besetzt weil mehrer
Teilchen in einem Orbital sitzen
so steht
N
k
f
u
¨
r die Zahl der
Teilchen in dem Orbital
∑
P
P
(
φ
n
1
(
x
1
)
…
φ
n
k
(
x
k
)
…
φ
n
N
(
x
N
)
)
⏟
Zumme
u
¨
ber alle Permutationen
{\displaystyle {{\Psi }_{B}}={\frac {1}{\sqrt {\underbrace {N} _{\begin{smallmatrix}{\text{Teilchenzahl}}\\{\text{wg Normierung}}\end{smallmatrix}}!}}}{\frac {1}{\underbrace {\sqrt {\prod \limits _{k}^{K}{{{N}_{k}}!}}} _{\begin{smallmatrix}&{\text{wenn nur die Orbitale }}{{\varphi }_{k}}\\&k<N{\text{ besetzt weil mehrer}}\\&{\text{Teilchen in einem Orbital sitzen}}\\&{\text{so steht }}{{\text{N}}_{k}}{\text{ f }}\!\!{\ddot {\mathrm {u} }}\!\!{\text{ r die Zahl der}}\\&{\text{Teilchen in dem Orbital}}\\\end{smallmatrix}}}}\underbrace {\sum \limits _{P}{P\left({{\varphi }_{{n}_{1}}}\left({{x}_{1}}\right)\ldots {{\varphi }_{{n}_{k}}}\left({{x}_{k}}\right)\ldots {{\varphi }_{{n}_{N}}}\left({{x}_{N}}\right)\right)}} _{{\text{Zumme }}\!\!{\ddot {\mathrm {u} }}\!\!{\text{ ber alle Permutationen}}}}
Ψ
F
=
1
N
!
∑
P
sign
(
P
)
P
(
φ
n
1
(
x
1
)
…
φ
n
k
(
x
k
)
…
φ
n
N
(
x
N
)
)
⏟
Anzahl der Vertauschungen um die Permutation zu konstruieren mal
(
−
1
)
{\displaystyle {{\Psi }_{F}}={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\underbrace {\sum \limits _{P}{\operatorname {sign} \left(P\right)P\left({{\varphi }_{{n}_{1}}}\left({{x}_{1}}\right)\ldots {{\varphi }_{{n}_{k}}}\left({{x}_{k}}\right)\ldots {{\varphi }_{{n}_{N}}}\left({{x}_{N}}\right)\right)}} _{{\text{Anzahl der Vertauschungen um die Permutation zu konstruieren mal }}\left(-1\right)}}
recht komplizierte Schreibweise:
besser Diracschreibweise für eine übersichtliche Darstellung.
jeden möglichen Zustand als Konfiguration vorstellen
Datei:Fermi-Bose
aus einer Konfiguration kann man diesen Zustand im Diracbild schreiben als:
Wechselwirkung von System und Umgebung