Betrachte Gase, also Teilchen im Kasten, auch möglich Mödell für Festkörper:
Die Dichte des Energienivieaus ist bestimmt durch die Länge L.
für unendlich hohe Wände
Einteilchenfunktion
mit
und Energieeigenwerten
Diracschreibweise: Zustand nur durch Qantenzahlen chartisiert
(3-Quantenzahlen)
Großer Kasten, dichtliegende Zustände
in einem großen Kasten sollen die Randbeingungne nicht so wichtig sien, Modell für makroskopischen Körper, nehmen periodische Randbedingungen
periodisch angeordnete Kästen nebeneinander
Ansatz:
freie Teilchen im Kasten:
Damit sind die Quantenzahlen k_i im großen (makroskopischen) Kasten festgelegt als:
man kann mit den ebenen Wellen besser als mit den Sinusfunktionen rechen, weil:
man oft Quantenzahlen bzw. Zuständer zählen mus (wie in der klassichen Statiski beim Würfel =6)
k's zu zählen ist oft leichter als n's
z.B
sind dicht ~
Summe über die k-Quantenzahlen werden also
So übersetzt:
Vielteilchenzustände
Kasten mit vielen Teilchen, wovon wird der Gesamtzustand abhängen?
N-Teilchenzahl , wie sind die Teilchen auf die Einzeichenzustände verteilt
-> nur Quantenzahlen der Einteilchenzustände verwenden wenn Wechselwirkungsfreies Gas
Hamiltonfunktion, Eingenwertproblem:
i: Teilchennummer
mit Quantenzahln n
-> in einem nicht WW. System sind die Lösungen durch Produktzustände aus 1-Teilchenwellenfunktionen gegeben, die Einergie ist gegegeben durch die Summe aller besetzten Zuständer (Quantenmechanisch)
wobei die Einteilchenenergie mit 3 Quantenzahlen ist
Vorläuftig :
aufgrund der Ununterscheidbarkeit der Teilchen sollte
die Invarianz von Messgrößen gegen Vertauschung von Teilchenkoordinaten gegeben sein
antisymmetrisch sind Teilchen mit halbzahligem Spin
Bosonen (-)
symmetrisch sind Teilchen mit ganzzaligem Spin (Spin-Statistik Theorem (W Pauli 1940))
Das heißt: wenn man mit Vielteilchensystenem arbeitet muss man immer die richtige Symmetrie der Wellenfunktion gewährleisten.
(klassich: Grenzfall beider )
Beispiel:2 Teilchen
vorläuftig
Erfüllt die Schrödingergleichung aber nicht die Symmetrie
Daher (Anti)symmetriesierung durch
wobei der Normierungsfaktor ist.
((3 Teilchen als Übung))
Interpretation:
In einem fermionischen System können nicht 2 Teilchen im selben Zustand sein (a=b) --> Pauliprinzip
In einem bosonischen System kann man durchaus mehrer Teilchen in dem selben Zustand haben. (lustiger Fall k_i=0 --> Bosekondensation)
--> völlig unterschiedliches Verhalten der makroskopischen Größen weil die mikroskopischen Verteilungen anders sind.
allgemin Ansätzte für N-Teilchen
recht komplizierte Schreibweise:
besser Diracschreibweise für eine übersichtliche Darstellung.
jeden möglichen Zustand als Konfiguration vorstellen
Datei:Fermi-Bose
aus einer Konfiguration kann man diesen Zustand im Diracbild schreiben als:
ist gekennzeichnet durch
die Gesamtteilchenzahl N
wo man die Teilchen sitzen hat n
als Quantenzahl mit
Teilchen
Fermionen
Bosonen
2 Bosonen
2 Fermionen
verschiedenen Symmetrien/ Spin erzeugt verschiedene Zustandszahlen, die in Analogie mit klassischen Würfel (6) die makroskopischen Eigenschaften bestimmen.