Störungen integrabler Systeme

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Störungen integrabler Systeme basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 3) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Störungen integrabler Systeme	Die Hamilton-Jacobi-Theorie
	Hamilton-Jacobische Differenzialgleichung Wirkungs- und Winkelvariable Störungen integrabler Systeme	Das d'Alembertsche Prinzip Das Hamiltonsche Prinzip Symmetrien und Erhaltungsgrößen Der Hamiltonsche kanonische Formalismus Die Hamilton-Jacobi-Theorie Mechanik des starren Körpers Dynamische Systeme und deterministisches Chaos

ein integrables, quasiperiodisches, autonomes Hamiltonsches System mit der Wirkungsvariablen

${\bar {I}}({{I}_{1}},...,{{I}_{f}})$

und der Winkelvariablen

${\bar {\theta }}({{\theta }_{1}},...,{{\theta }_{f}})$

, Hamiltonfunktion

${{H}_{0}}({\bar {I}})$

Betrachten wir nun eine kleine Störung der Stärke

$\varepsilon$

$H({\bar {\theta }},{\bar {I}},\varepsilon )={{H}_{0}}({\bar {I}})+\varepsilon {{H}_{1}}({\bar {\theta }},{\bar {I}},\varepsilon )$

In diesem Fall ist

$\theta$

nicht mehr zyklisch.

${\bar {I}}({{I}_{1}},...,{{I}_{f}})$

ist also keine Bewegungskonstante mehr !

Beispiel:

Himmelsmechanik, beispielsweise restringiertes 3- Körper- Problem

System: Sonne, Erde, Mond

• integrables 2- Körper- Problem mit 2 größeren Massen ( annähernd Kreisbahn) und einer kleinen Masse m3 als Störung
• Frage: Ist die quasiperiodische Bewegung über lange Zeiten stabil ? Das heißt: Verändert die Störung die Struktur der Bewegungsmannigfaltigkeit nur wenig ?

Also:

Durch eine dritte Masse m3 ist eine Störung gegeben. Die Bewegung konnte auch vorher ( bei irrationalem Verhältnis der Umlaufszeiten oder Frequenzen) schon nur quasiperiodisch sein.

Ist die quasiperiodische Lösung unter Anwesenheit der dritten Masse jedoch noch stabil ?

• Dies ist bis heute ungelöst... Es gibt jedoch Hinweise auf chaotische Bewegungen, beispielsweise chaotische Bewegungen des Planeten Pluto !

Teilantwort liefert die KAM_ Theorie ( Kolmogorov, Arnold, Moser, 1954, 1963, 1967)

• Stabilitätsaussagen

Voraussetzung:

Die Frequenzen des integrablen Systems

${{H}_{0}}({\bar {I}})$

sind rational unabhängig, also:

$\sum \limits _{i=1}^{f}{{{r}_{i}}{{\omega }_{i}}=0\quad {{r}_{i}}\in Z\Leftrightarrow {{r}_{1}}=...={{r}_{f}}=0}$

Dann überdeckt jede Bahn für festes

${{I}_{k}}={{\alpha }_{k}}$

den Torus

${{T}^{f}}$

dicht ohne sich jedoch zu schließen: Die Bewegung ist ergodisch.

ERGODISCHE Bewegung ( nichtresonanter Torus)

KAM- Theorem

Sind in einem integablen Hamiltonschen System Ho die Frequenzen genügend irrational:, das heißt

$\left|\sum \limits _{i=1}^{f}{{{r}_{i}}{{\omega }_{i}}}\right|\geq \gamma {{\left|{\bar {r}}\right|}^{\alpha }}\quad \alpha ,\gamma >0$

So hat das gestörte System

$H({\bar {\theta }},{\bar {I}},\varepsilon )={{H}_{0}}({\bar {I}})+\varepsilon {{H}_{1}}({\bar {\theta }},{\bar {I}},\varepsilon )$

für kleine

$\varepsilon$

überwiegend ebenfalls quasiperiodische Lösungen und die eisten nichtresonanten Tori von

${{H}_{0}}$

werden nur wenig deformiert, aber nicht zerstört.

Anwendung:

Das restringierte 3-Körper-Problem ist KAM- Stabil. Aber: keine Aussage über eine Langzeitstabilität unseres Planetensystems !

Praktische Verfahren zur Berechnung der gestörten Lösungen:

• störungstheoretische Entwicklung in

$\varepsilon$

• Mittelung über die Störungen