Stabilität und Langzeitverhalten

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Stabilität und Langzeitverhalten basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 7.Kapitels (Abschnitt 2) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Stabilität und Langzeitverhalten	Dynamische Systeme und deterministisches Chaos
	Vektorfelder als dynamische Systeme Stabilität und Langzeitverhalten Bifurkationen Deterministisches Chaos	Das d'Alembertsche Prinzip Das Hamiltonsche Prinzip Symmetrien und Erhaltungsgrößen Der Hamiltonsche kanonische Formalismus Die Hamilton-Jacobi-Theorie Mechanik des starren Körpers Dynamische Systeme und deterministisches Chaos

Hier soll eine allgemeinere Definition von Stabilität gegeben werden.

Fixpunkte

${\bar {x}}*$

des autonomen dynamischen Systems

Definition:

${\bar {x}}*$

heißt stabil (auch : Ljapunov- stabil), wenn zu jeder Umgebung U von

${\bar {x}}*$

eine Umgebung V von

${\bar {x}}*$

existiert, so dass:

${\bar {x}}\in V\Rightarrow \varphi ({\bar {x}},t)\in U\quad \forall t\geq 0$

Definition:

${\bar {x}}*$

heißt asymptotisch stabil (auch : Ljapunov- stabil), wenn zu

${\bar {x}}*$

eine Umgebung U und eine Umgebung U´ von

${\bar {x}}*$

existiert, so dass:

$\varphi (U,{{t}_{2}})\in U{\acute {\ }}\subset \varphi (U,{{t}_{1}})\in U\quad f{\ddot {u}}r\ {{t}_{2}}>{{t}_{1}}\geq 0$ und ${\begin{matrix}\lim \\t\to \infty \\\end{matrix}}\varphi ({\bar {x}},t)={\bar {x}}*\quad \forall {\bar {x}}\in U$

Das heißt anschaulich: Die Umgebung U schrumpft mit wachsendem t auf

${\bar {x}}*$

zusammen. Das heißt: Phasenraumvolumina schrumpfen.

asymptotisch stabile Fixpunkte treten somit nur in nicht hamiltonschen Systemen (also bei nicht alleine konservativen Kräften) auf. (Vergl. Kapitel 4.5: Satz von Liouville)

Def.: Ein dynamisches System heißt dissipativ, wenn Phasenraumvolumina schrumpfen.

Lokales Kriterium für Stabilität

Wenn

${\bar {x}}*$

stabil ist, dann hat keiner der Eigenwerte der Jacobimatrix

${{(DF)}_{{\bar {x}}*}}$

einen positiven Realteil

Beispiel: Fixpunkt a) des Pendels mit / ohne Reibung, also der Fixpunkt mit Winkel und Ort =0, x1=x2=0

Hinreichende Bedingung für asymptotische Stabilität:

Alle Eigenwerte haben negative Realteile

Somit wird die Lösung für die Störung für unendliche Zeit beliebig klein und divergiert nicht. Imaginärteile sind oszillierend und damit irrelevant für die Stabilität. Sie geben an, in welcher Zeit die Annäherung an den Fixpunkt (falls vorhanden) erfolgt.

Beispiel für Instabilität: Fixpunkte b)

Allgemeines System mit n=2:

Linearisierung

${\begin{aligned}&\left({\begin{matrix}\delta {{\dot {x}}_{1}}\\\delta {{\dot {x}}_{2}}\\\end{matrix}}\right)=A\left({\begin{matrix}\delta {{x}_{1}}\\\delta {{x}_{2}}\\\end{matrix}}\right)\\&\left({\begin{matrix}{{a}_{11}}&{{a}_{12}}\\{{a}_{21}}&{{a}_{22}}\\\end{matrix}}\right):=A\\\end{aligned}}$

Eigenwertgleichung:

$\det(A-\lambda 1)=0\Rightarrow \left|\left({\begin{matrix}{{a}_{11}}-\lambda &{{a}_{12}}\\{{a}_{21}}&{{a}_{22}}-\lambda \\\end{matrix}}\right)\right|=\left({{a}_{11}}-\lambda \right)\left({{a}_{22}}-\lambda \right)-{{a}_{12}}{{a}_{21}}={{\lambda }^{2}}-\lambda \mathbf {t} rA+\det A=0$

Somit:

${{\lambda }_{1/2}}={\frac {1}{2}}\left(trA\pm {\sqrt {{{\left(trA\right)}^{2}}-4\det A}}\right)$ mit $trA=\sum \limits _{i}{{\frac {\partial {{F}_{i}}}{\partial {{x}_{i}}}}=div{\bar {F}}}$

Fallunterscheidung

Stabiler Fokus (Strudelpunkt)

detA>0

trA<0

${{\left(trA\right)}^{2}}<4\det A$

${\begin{aligned}&{{\lambda }_{1/2}}=-{{\lambda }_{0}}\pm i\omega \\&{{\lambda }_{0}},\omega >0\\\end{aligned}}$

Dies ist eine gedämpfte Schwingung im Phasenraum. Die Phasenraumkruve ist eine elliptische Spirale:

Instabiler Fokus

detA>0

trA>0

${{\left(trA\right)}^{2}}<4\det A$

${\begin{aligned}&{{\lambda }_{1/2}}=+{{\lambda }_{0}}\pm i\omega \\&{{\lambda }_{0}},\omega >0\\\end{aligned}}$

Dies ist eine entdämpfte Schwingung. Die Phasenraumkurve ist ebenfalls eine elliptische Spirale, die jedoch in positiver Zeitrichtung nach Außen durchlaufen wird. Damit tr A >0 muss dem System von Außen zugeführt werden (Beispiel: "negative Reibung"):

Stabiler Knoten

detA>0

trA<0

${{\left(trA\right)}^{2}}>4\det A$

${\begin{aligned}&{{\lambda }_{1/2}}<0\\&{{\lambda }_{1/2}}\in R\\\end{aligned}}$

Dies ist ein exponenzieller Zerfall. Fast alle Trajektorien nähern sich dabei entlang des Eigenvektors, der zum betragsmäßig kleineren Eigenwert gehört. Weil hier das "Kriechen" zum Fixpunkt, also der Zerfall langsamer stattfindet:

Instabiler Knoten

detA>0

trA>0

${{\left(trA\right)}^{2}}>4\det A$

${\begin{aligned}&{{\lambda }_{1/2}}>0\\&{{\lambda }_{1/2}}\in R\\\end{aligned}}$

Das System ist exponenziell entdämpft.

Sattelpunkt

detA>0

${\begin{aligned}&{{\lambda }_{1}}>0\\&{{\lambda }_{2}}<0\\&{{\lambda }_{1/2}}\in R\\\end{aligned}}$

Summary:

Grenze zwischen den 5 Bereichen: entartete Fälle:

• in diesem Fall versagt die lineare Stabilitätsanalyse völlig. Es ist nötig, höhere Terme der Taylorentwicklung um den Fixpunkt zu betrachten.

Beispiel:

trA=0

detA>0

${\begin{aligned}&{{\lambda }_{1/2}}=\pm i\omega \\&{{\lambda }_{1/2}}\in I\\\end{aligned}}$

Dies kann ZENTRUM sein, also der Mittelpunkt der Phasenraumtrajektorien, die ungedämpfte Schwingungen beschreiben (energieabhängige, aber unveränderliche Ellipsen).

Dieses Zentrum ist stabil, aber nicht asymptotisch stabil!

Vergleiche: ungedämpfter Oszillator.

Es kann sich aber auch um einen schwach stabilen oder instabilen Fokus handeln (der dann auch asymptotisch stabil ist)

• es sind in diesem Fall auch qualitative Änderungen im Verhalten des Flusses möglich (Bifurkationen = Verzweigungen der Lösungsmannigfaltigkeit)

Speziell: Hamiltonsche Vektorfelder:

${\begin{aligned}&{\dot {\bar {x}}}:=J{{\bar {H}}_{,x}}\\&\Leftrightarrow {{\dot {q}}_{k}}={\frac {\partial H}{\partial {{p}_{k}}}},{{\dot {p}}_{k}}=-{\frac {\partial H}{\partial {{q}_{k}}}}\\\end{aligned}}$

Linearisierung zum Fixpunkt

${\bar {x}}*$

${\begin{aligned}&\delta {\bar {x}}:={\bar {x}}-{\bar {x}}*\\&\delta {\dot {\bar {x}}}=A\delta {\bar {x}}\\&mit:\ \delta {{\dot {x}}_{i}}=\sum \limits _{k=1}^{2f}{{{\left({\frac {\partial {{F}_{i}}}{\partial {{x}_{k}}}}\right)}_{x*}}\delta {{x}_{k}}=}\sum \limits _{k,j=1}^{2f}{\left({{J}_{ij}}{\frac {{{\partial }^{2}}H}{\partial {{x}_{k}}\partial {{x}_{j}}}}\right)\delta {{x}_{k}}}\\&\sum \limits _{j=1}^{2f}{}\left({{J}_{ij}}{\frac {{{\partial }^{2}}H}{\partial {{x}_{k}}\partial {{x}_{j}}}}\right)={{A}_{ik}}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&trA=div{\bar {F}}=\sum \limits _{k=1}^{f}{\left({\frac {\partial }{\partial {{q}_{k}}}}{\frac {\partial H}{\partial {{p}_{k}}}}-{\frac {\partial }{\partial {{p}_{k}}}}{\frac {\partial H}{\partial {{q}_{k}}}}\right)=}0\\&trA=0=\sum \limits _{i=1}^{2f}{{\lambda }_{i}}\\\end{aligned}}$

Möglichkeit zur asymptotischen Stabilität

Wegen trA=0 folgt Keine asymptotische Stabilität möglich.

Beweis: Asymptotische Stabilität nur, wenn alle

${\begin{aligned}&\operatorname {Re} {{\lambda }_{i}}<0\\&\Rightarrow trA=\sum \limits _{i}{\operatorname {Re} {{\lambda }_{i}}}+\sum \limits _{i}{\operatorname {Im} {{\lambda }_{i}}}\\\end{aligned}}$

aber:

$\sum \limits _{i}{\operatorname {Im} {{\lambda }_{i}}}$

besteht aus komplex konjugierten Paaren, da die Eigenwertgleichung reell ist!

Somit gilt jedoch

$trA=\sum \limits _{i}{\operatorname {Re} {{\lambda }_{i}}}<0$,

was ein Widerspruch zur Voraussetzung für asymptotische Stabilität, mit trA=0

Nicht asymptotisch Stabilität

Nicht asymptotische Stabilität nur wenn

$\operatorname {Re} {{\lambda }_{i}}\leq 0$,

also kein

$\operatorname {Re} {{\lambda }_{i}}>0$

Aus genannten Gründen kann dann aber nur

$\operatorname {Re} {{\lambda }_{i}}=0\quad \forall i$

Also:

${{\lambda }_{i}}=\pm i{{\omega }_{i}}$

Also: Zentrum, reine Oszillationen, keine Dämpfung oder Unterdämpfung

Fall f=1 → n=2

In diesem Fall können die Fixpunkte nur Zentren (falls det A > 0 →

${{\lambda }_{i}}=\pm i{{\omega }_{i}}$)

oder Sattelpunkte

(falls detA <0 →

${{\lambda }_{1}}>0,{{\lambda }_{2}}<0,{{\lambda }_{i}}\in R$)

sein!

Beispiel zur Stabilität

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