Virtuelle Verrückungen

Virtuelle Verrückungen

Unter einer virtuellen Verrückung $\left\{\delta {{\vec {r}}_{i}}\right\}$ versteht man die infinitesimale Änderung der Koordinaten, di zu fester Zeit $\left\{\delta t=0\right\}$ die holonomen, bzw. nicht holonomen Zwangsbedingungen erfüllen.

Damit ist der Unterschied zu einer reellen Verrückung klar, die als $d{{\vec {r}}_{i}}$ im Zeitintervall $dt$ längs der Bahn geschieht.

Die Zwangsbedingungen lassen sich jedoch nicht virtuell verrücken.

Es gilt folglich

$\delta {{f}_{\lambda }}=\sum \limits _{i=1}^{N}{{{\nabla }_{ri}}{{f}_{\lambda }}\cdot \delta {{\vec {r}}_{i}}=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu$

$\sum \limits _{i=1}^{N}{{{\vec {a}}_{\lambda i}}({{\vec {r}}_{1}},{{\vec {r}}_{2}},...,{{\vec {r}}_{N}},t)\cdot \delta {{\vec {r}}_{i}}=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu$

Die zeitabhängigen Anteile fallen raus, da ja nach Definition $\left\{\delta t=0\right\}$ .

Als Beispiel betrachten wir die Bewegung eines Massepunktes in einer Ebene:

${\vec {a}}\cdot ({\vec {r}}-{{\vec {r}}_{o}}(t))=0$

Dabei ist ${{\vec {r}}_{o}}(t)$ der Startpunkt des Teilchens, also ein fester Punkt in der Ebene und nicht notwendigerweise zeitunabhängig. a charakterisiert den Normalenvektor auf der Ebene Schließlich kann sich die Ebene bewegen, beispielsweise hoch und runter.

Formuliert man nun holonome Zwangsbedingungen für N Massepunkte, so gilt:

${\begin{aligned}&f({{\vec {r}}_{i}})={\vec {a}}\cdot ({{\vec {r}}_{i}}-{{\vec {r}}_{o}}(t))=0\quad i=1,2,...,N\\&df({{\vec {r}}_{i}})={\vec {a}}\cdot (d{{\vec {r}}_{i}}-{{\vec {v}}_{o}}(t)dt)=0\quad i=1,2,...,N\quad {{\vec {v}}_{o}}(t)={\frac {d{{\vec {r}}_{o}}(t)}{dt}}\\\end{aligned}}$

also gilt im Allgemeinen:

${\vec {a}}\cdot d{{\vec {r}}_{i}}={\vec {a}}\cdot {{\vec {v}}_{o}}(t)dt\neq 0\quad i=1,2,...,N\quad {{\vec {v}}_{o}}(t)={\frac {d{{\vec {r}}_{o}}(t)}{dt}}$

aber:

$\delta f={\vec {a}}\cdot \delta {{\vec {r}}_{i}}=0\quad i=1,2,...,N\quad {{\vec {v}}_{o}}(t)={\frac {d{{\vec {r}}_{o}}(t)}{dt}}$

Das heißt, die virtuellen Verrückungen geschehen alle bei festgehaltenem ${{\vec {r}}_{o}}(t)$ . Es gilt: $\delta {{\vec {r}}_{i}}\bot {\vec {a}}$