Wirkungs- und Winkelvariable

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Wirkungs- und Winkelvariable basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 2) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Wirkungs- und Winkelvariable	Die Hamilton-Jacobi-Theorie
	Hamilton-Jacobische Differenzialgleichung Wirkungs- und Winkelvariable Störungen integrabler Systeme	Das d'Alembertsche Prinzip Das Hamiltonsche Prinzip Symmetrien und Erhaltungsgrößen Der Hamiltonsche kanonische Formalismus Die Hamilton-Jacobi-Theorie Mechanik des starren Körpers Dynamische Systeme und deterministisches Chaos

Nun betrachten wir eine Modifikation des Hamilton- Jacobi- Verfahrens. Dabei geht es speziell um periodische Systeme. Das Ganze soll an einem Beispiel skizziert werden und erst dann Verallgemeinerung finden.

Klassifikation von periodischem Verhalten:

• geschlossene Phasenraumkurvn welcher Art auch immer sind Librationen. Diese sind beispielsweise Schwingungen.
• dabei gilt:

${\begin{aligned}&q(t+\tau )=q(t)\\&p(t+\tau )=p(t)\\\end{aligned}}$

• periodische ( hinsichtlich des Ortes), aber nicht geschlossene Phasenraumkurven, also Phasenraumkurven, die selbst entlang des Ortes im Impuls schwingen ( dies sind nicht Schwingungen im ortsraum !) sind Rotationen. Die Phasenbahnen sind offen und es gilt:

${\begin{aligned}&q(t+\tau )=q(t)+{{q}_{0}}\\&p(t+\tau )=p(t)\\\end{aligned}}$

• Beispiel für eine Rotation ist die Drehung einer Achse:

${\begin{aligned}&q(t)=\phi \\&{{q}_{0}}=2\pi \\\end{aligned}}$

Beispiel: Das mathematische Pendel ( mit beliebig großen Auslenkungen)

f= 1, verallgemeinerte Koordinate: Winkel

$\phi$

., s=

$\phi$ l ${\begin{aligned}&T={\frac {1}{2}}m{{l}^{2}}{{\dot {\phi }}^{2}}\\&V=mgl(1-\cos \phi )\\\end{aligned}}$

verallgemeinerter kanonischer Impuls:

${\begin{aligned}&{{p}_{\phi }}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}={\frac {\partial T}{\partial {\dot {\phi }}}}=m{{l}^{2}}{\dot {\phi }}\\&H(\phi ,{{p}_{\dot {\phi }}})=T+V={\frac {{{p}_{\phi }}^{2}}{2m{{l}^{2}}}}+mgl(1-\cos \phi )\\\end{aligned}}$

für ein konservatives System

Es folgen die Hamiltonschen Gleichungen:

${\begin{aligned}&{\dot {\phi }}={\frac {\partial H(\phi ,{{p}_{\dot {\phi }}})}{\partial {{p}_{\phi }}}}={\frac {{p}_{\phi }}{m{{l}^{2}}}}\\&{{\dot {p}}_{\phi }}=-{\frac {\partial H(\phi ,{{p}_{\dot {\phi }}})}{\partial \phi }}=-mgl\sin \phi \\\end{aligned}}$

1. Integral ( Enrgieerhaltung): Phasenbahn

$H(\phi ,{{p}_{\dot {\phi }}})=T+V={\frac {{{p}_{\phi }}^{2}}{2m{{l}^{2}}}}+mgl(1-\cos \phi )=E=const.$

Für kleine Winkel gilt die bekannte Kleinwinkelnäherung:

${\frac {{{p}_{\phi }}^{2}}{2m{{l}^{2}}}}+mgl{\frac {{\phi }^{2}}{2}}=E=const.$

-> Ellipsen, wie vom harmon. Oszi bekannt.

Gleichgewichtslagen: Fixpunkte:

${\begin{aligned}&{\dot {\phi }}={{\dot {p}}_{\phi }}=0\\&{{p}_{\phi }}=0\\&\phi =n\pi ,n\in N\\\end{aligned}}$

$E\leq 2mgl$

Libration: Schwingung mit

$\left|\phi \right|\leq {{\phi }_{0}}$

$E>2mgl$

Rotation: überschlagendes Pendel:

$\phi$

unbeschränkt

Für E=2mgl haben wir den Spezialfall einer Kriechbahn ( Separatrix zwischen a) und b):

Übergang zu neuen kanonischen Variablen ( f=1)

${\begin{aligned}&\left(q,p\right)\to \left(\theta ,I\right)\\&I(E):=\oint \limits _{{\Gamma }_{E}}{pdq}\\\end{aligned}}$

I(E) ist als Wirkungsvariable zu verstehen, als die Fläche, die von einer notwendigerweise geschlossenen Bahn

${{\Gamma }_{E}}$

zur Energie E im Phasenraum eingeschlossen ist. ( = Phasenintegral).

$\theta$

ist die Winkelvariable, auf Periode 1 normiert.

Gelegentlich findet sich:

${\begin{aligned}&\left(q,p\right)\to \left(\theta ,I\right)\\&I(E):={\frac {1}{2\pi }}\oint \limits _{{\Gamma }_{E}}{pdq}\\\end{aligned}}$

In diesem Fall ist

$\theta$ auf $2\pi$

normiert.

gesucht ist die zugehörige kanonische Transformation:

${\begin{aligned}&p={\frac {\partial W(q,I)}{\partial q}}\\&\theta ={\frac {\partial W(q,I)}{\partial I}}\\\end{aligned}}$

Mit der neuen Hamiltonfunktion:

$H\left(q,{\frac {\partial W(q,I)}{\partial q}}\right)=E(I)$

Dies ist die Umkehrfunktion von I(E), existiert genau dann, wenn

${\frac {dI}{dE}}\neq 0$

.

Da

$\theta$

zyklisch ist muss I konstant sein.

Die Hamiltonsche Bewegungsgleichung für

$\theta$

lautet:

${\begin{aligned}&{\dot {\theta }}={\frac {\partial E(I)}{\partial I}}:={{\nu }_{I}}=const.\\&\theta ={{\nu }_{I}}t+{{\theta }_{0}}\quad {\bmod {\quad }}1\\&I=const\\\end{aligned}}$

Die Lösung für

$\theta$

ist bei Normierung auf

$2\pi$

natürlich modulo

$2\pi$

zu verstehen.

Mit der Lösung jedoch ist für jedes E(I) die frequenz

${{\nu }_{I}}$

berechnet.

Das Phasenraumportrait ist der folgenden gestalt:

Beispiel: eindimensionaler Oszillator

$H\left(q,p={\frac {\partial W(q,I)}{\partial q}}\right)={\frac {{p}^{2}}{2m}}+{\frac {m{{\omega }^{2}}}{2}}{{q}^{2}}=E(I)$

Phasenbahn:

${\frac {\partial W(q,I)}{\partial q}}=p=\pm m\omega {\sqrt {{\frac {2E}{m{{\omega }^{2}}}}-{{q}^{2}}}}$

Umkehrpunkte:

${{q}_{\pm }}={\sqrt {\frac {2E}{m{{\omega }^{2}}}}}$

Wirkungsvariable:

${\begin{aligned}&I(E)=\oint {pdq}=2m\omega \int \limits _{{q}_{-}}^{{q}_{+}}{}{\sqrt {{\frac {2E}{m{{\omega }^{2}}}}-{{q}^{2}}}}dq\\&I(E)=2m\omega \left[{\frac {q}{2}}{\sqrt {{\frac {2E}{m{{\omega }^{2}}}}-{{q}^{2}}}}+{\frac {E}{m{{\omega }^{2}}}}\arcsin {\frac {q}{\sqrt {\frac {2E}{m{{\omega }^{2}}}}}}\right]_{q+}^{q-}={\frac {2\pi }{\omega }}E\\\end{aligned}}$

Transformierte Hamiltonfunktion:

${\begin{aligned}&{\bar {H}}=E={\frac {\omega }{2\pi }}I\\&{\dot {\theta }}={\frac {\partial E}{\partial I}}={\frac {\omega }{2\pi }}:={{\nu }_{I}}\\\end{aligned}}$

Die zeitliche Änderung des Winkels, also die Frequenz des harmonischen Oszillators ist völlig unabhängig von E(I)

Nebenbemerkungen:

1.

$I={\frac {2\pi }{\omega }}E=\tau E$

hat die Dimension Zeit* Energie, also Wirkung

$\theta$

ist die Winkelvariable, die zur periodischen Bewegung im Phasenraum ! gehört und hat überhaupt nichts mit dem Winkel im ortsraum ( des Pendels Phi) zu tun

Allgemein: Perdiodische Bewegungen werden immer durch eine Winkelvariable parametrisiert.

• die periodische Bewegung wird damit auf die 1-Sphäre S1 ( Kreis mit Radius 1) abgebildet.

Verallgemeinerung auf beliebiges f:

Eine Bewegung heißt periodisch bzw. quasiperiodisch, falls die Projektion der Phasenbahn (Trajektorie) auf jede (pj,qj)- Ebene periodisch mit Frequenz

${{\omega }_{j}}={\frac {2\pi }{{\tau }_{j}}}$

ist. Jede Projektion also für gleiche Koordinaten in Ort und Impuls !

Falls:

${{\omega }_{1}}:{{\omega }_{2}}:{{\omega }_{3}}:...:{{\omega }_{f}}$

rational ist, so ist die Bahn geschlossen, also einfach periodisch.

Falls:

$\exists i,j\to {{\omega }_{i}}:{{\omega }_{j}}$

irrational -> offene Bahn ( quasiperiodisch).

Parametrisierung erfolgt durch die Winkelvariable

${{\theta }_{j}}$ zu ${{\omega }_{j}}$

Abbildung auf

${{S}^{1}}\times {{S}^{1}}\times {{S}^{1}}\times ...\times {{S}^{1}}=:{{T}^{f}}$

(f mal S1- Sphären- Räume), Abbildung auf den sogenannte f-Torus

Beispiel: 2Torus:

Ist das Frequenzverhältnis irrational, so wirkt der Torus nur als Phasenraumattraktor. Die Bahn füllt den gesamten Torus dicht aus !

Satz über integrable Systeme

Einautonomes System ( Hamiltonsch) habe f unabhängige Integrale der Bewegung

${{g}_{k}}({\bar {q}},{\bar {p}})$

k=1,...,f

mit

${{g}_{1}}({\bar {q}},{\bar {p}})=H({\bar {q}},{\bar {p}})$

Energie und

$\left\{{{g}_{i}},{{g}_{j}}\right\}=0\quad \forall i,j$

Dann gilt:

1. die durch

${{g}_{k}}({\bar {q}},{\bar {p}})={{\alpha }_{k}}=const$

gegebene Hyperfläche des Phasenraums ( falls kompakt und beschränkt und abgeschlossen) läßt sich diffeomorph auf einen f-dimensionalen Torus

${{T}^{f}}$

abbilden.

1. die Allgemeine Bewegung auf

${{T}^{f}}$

ist quasiperiodisch:

${\frac {d{{\theta }_{i}}}{dt}}={{\omega }_{i}}$

,

${{\theta }_{i}}$

ist zugehörige Winkelvariable, i=1,...,f

1. das System ist INTEGRABEL, das heißt, die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen lassen sich vollständig und global integrieren.

Beispiele: 2- Körper- Problem mit Zentralkraft, gekoppelte harmonische Oszillatoren

Gegenbeispiel: 3- Körperproblem mit Zentralkraft (f=9, nur 6 unabhängige Integrale der Bewegung:

$E,{{\bar {P}}_{gesamt}},{{l}^{2}},{{l}_{3}}$

Nebenbemerkung:

Wegen

$\left\{{{l}_{3}},{{l}_{1}}\right\}={{l}_{3}}$

und zyklisch erfüllen die 3 Drehimpulskomponenten nicht alle die Bedingung

$\left\{{{g}_{i}},{{g}_{j}}\right\}=0$

obgleich gilt:

$\left\{{{l}_{i}},H\right\}=0$

.

Wirkunsgvariable:

${{I}_{k}}({{\alpha }_{1}},...,{{\alpha }_{f}}):=\oint \limits _{{\Gamma }_{k}}{{{p}_{k}}d{{q}_{k}}\quad (k=1,..,f)}$

Für ein separables System gilt:

${\begin{aligned}&W=\sum \limits _{j=1}^{f}{{{W}_{j}}({{q}_{j}},{\bar {\alpha }})}\\&{{p}_{k}}={\frac {d{{W}_{k}}}{d{{q}_{k}}}}\\\end{aligned}}$

Die Umkehrung liefert die Energie:

$E\equiv {{\alpha }_{1}}={{\alpha }_{1}}({{I}_{1}},...,{{I}_{f}})$

Die Hamiltongleichungen lauten:

${\begin{aligned}&{\dot {\theta }}={\frac {\partial E({{I}_{1}},...,{{I}_{f}})}{\partial {{I}_{k}}}}={{\nu }_{k}}({{I}_{1}},...,{{I}_{f}})\\&\Rightarrow {{\theta }_{k}}={{\nu }_{k}}t+{{\beta }_{k}}\\&{{\nu }_{k}}={\frac {1}{{\tau }_{k}}}\\\end{aligned}}$

Fazit:

Mit der Wirkungs- und Winkelvariablen können die Frequenzen

${{\nu }_{k}}$

periodischer Bewegungen bestimmt werden, ohne die vollständige Lösung angeben zu müssen.