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Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
ist ( Schrödinger- Bild) eine Schrödingergleichung mit dem zeitunabhängigen Hamiltonoperator
Es ergibt sich ein Anfangs- bzw. Randwertproblem:
Die Anfangsbedingung ist gegeben.
Aus der Normierbarkeit folgt:
Eine spezielle Lösung findet man über den Separationsansatz:
da in der letzten Zeile rechts nur Abhängigkeit vom Ort und links nur Abhängigkeit von der Zeit vorliegt, kann diese Übereinstimmung nur gelten, wenn beide Seiten für sich konstant sind. Also:
Also:
Wir finden eine Lösung für den zeitabhängigen Teil:
und erhalten gleichzeitig eine zeitunabhängige Schrödingergleichung:
Somit haben wir als Eigenwertproblem des Hamilton- Operators:
die Energie- Eigenfunktionen und die Energie- Eigenwerte E. Dies sind die möglichen Meßwert der Observablen "Energie".
Die Energie- Eigenzustände lauten:
Diese heißen stationäre Zustände, da die zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichte
zeitunabhängig ist.
Also: Die Wahrscheinlichkeit bleibt erhalten !! ( wegen Normierbarkeit !)
Nebenbemerkung:
Die Wellenfunktion selbst ist natürlich zeitabhängig, da die Materiewelle mit
oszilliert. Dies gilt auch mit Potenzial ( mit Potenzial nimmt die Ozsillationsfrequenz sogar zu, da die Energie steigt !)
Weiterhin sind jedoch alle Erwartungswerte von Observablen ( nicht die Observablen selbst, sondern ihre Erwartungswerte !) innerhalb von Eigenzuständen ( und nur in diesen) zeitunabhängig:
Insbesondere gilt:
Ehrenfest- Theorem
Nach dem Ehrenfestschen Theorem ( Siehe III: Statistische Physik)
gilt mit
auch
Bemerkungen
1. Die Energie- Eigenwerte E des Hamilton- Operators sind reell.
Beweis:
Nach § 1.4 gilt:
Der Rand des R³ liegt jedoch im Unendlichen. Aus Gründen der Normierbarkeit muss der Strom dort jedoch verschwinden.
Also gilt:
Andererseits aber gilt:
Also folgt:
Für ein komplexes E mit
wäre und würden für E2 <0 zerfallen ( und für E2 > 0 explodieren !)
Somit folgt bereits aus der Kontinuitätsgleichung, dass alle Energieeigenwerte reell sind !!
2. Die Energie- Eigenzustände sind scharf in der Energie, jedoch beliebig unscharf in der Zeit:
Erwartungswert= Eigenwert
Unschärfe:
E und t sind wie zueinander konjugierte Variablen, jedoch keine Operatoren !
Dies ist analog zur Situation, dass der Impuls in Impuls- Eigenzuständen beliebig scharf ist. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist dann ortsunabhängig ( also beliebig unscharf im Ort, also: gleichverteilt !, konstant !):
scharf
unabhängig von r
Dies läuft analog zur klassischen Mechanik. Dort bedingt die Zeittranslationsinvarianz der Hamiltonfunktion eine Erhaltung der Energie ( E Erhaltungsgröße) und die Ortstranslationsinvarianz der Hamiltonfunktion bedingt eine Impulserhaltung.
Die Bedingung der Normierbarkeit schränkt die zulässigen Werte der Energie deutlich ein.
Randbedingungen Eigenwertproblem !
Allgemeine Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung
Ein jeder Zustand kann nach stationären Zuständen entwickelt werden:
Für verschiedene En ist dies jedoch kein stationärer Zustand mehr: Also ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung zeitabhängig:
zeitabhängig !!
ist kein Energie- Eigenzustand !
Die Entwicklungskoeffizienten lassen sich durch die Anfangsbedingungen bestimmen:
Falls ein vollständiges Orthonormalsystem darstellt, kann jede stückweise steige Funktion nach den stationären Zuständenentwickelt werden:
Orthonormierung:
Man sagt: Durch die Anfangsbedingung können die Entwicklungskoeffizienten "herausprojiziert" werden.
P.S:: Dies ist im Dirac- Formalismus wesentlich einfacher !!