Dynamik des 2- Zustands- Systems: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 10. September 2010, 17:17 Uhr

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Dynamik des 2- Zustands- Systems basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 2) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Die potenzielle Energie des magnetischen Moments des Elektronen- Spins $\bar{μ}$ im äußeren Magnetfeld $\bar{B} = B {\bar{e}}_{3}$ beträgt:

V = - \hat{\bar{μ}} \cdot \bar{B}

mit

\hat{\bar{μ}} = + g \frac{e}{2 m_{0}} \hat{\bar{S}} = + \frac{e ℏ}{2 m_{0}} \hat{\bar{σ}}

mit g~ 2 und e<0

Somit:

$\hat{V} = - \frac{e ℏ}{2 m_{0}} \hat{\bar{σ}} \cdot \bar{B} = - \frac{e ℏ B}{2 m_{0}} {\hat{\bar{σ}}}_{3} = ℏ ω_{l} {\hat{\bar{σ}}}_{3}$

Mit der Larmor-Frequenz

ω_{l} := \frac{| e | B}{2 m_{0}}

Wenn der Spin an keine weitere Variable ankoppelt, so ist $\hat{H} = \hat{V}$ der Hamiltonoperator der Spinvariable ( im Spin- Hilbertraum). Die Dynamik eines Spins im Magnetfeld ergibt sich über den Zeitableitungsoperator:

{\hat{\bar{σ}}}^{\circ} = \frac{i}{ℏ} [\hat{H}, \hat{\bar{σ}}] = i ω_{l} [{\hat{\bar{σ}}}_{3}, {\hat{\bar{σ}}}_{}]

Berechnung der Erwartungswerte mit $[{\hat{\bar{σ}}}_{j}, {\hat{\bar{σ}}}_{k}] = 2 i ε_{j k l} {\hat{\bar{σ}}}_{l}$ :

\frac{d}{d t} ⟨ {\hat{\bar{σ}}}_{1} ⟩ = \frac{i}{ℏ} ⟨ [H, {\hat{\bar{σ}}}_{1}] ⟩ = i ω_{l} ⟨ [{\hat{\bar{σ}}}_{3}, {\hat{\bar{σ}}}_{1}] ⟩ = - 2 ω_{l} ⟨ {\hat{\bar{σ}}}_{2} ⟩

$\begin{matrix} \frac{d}{d t} ⟨ {\hat{\bar{σ}}}_{1} ⟩ = - 2 ω_{l} ⟨ {\hat{\bar{σ}}}_{2} ⟩ \\ \frac{d}{d t} ⟨ {\hat{\bar{σ}}}_{2} ⟩ = 2 ω_{l} ⟨ {\hat{\bar{σ}}}_{1} ⟩ \\ \frac{d}{d t} ⟨ {\hat{\bar{σ}}}_{3} ⟩ = 0 \end{matrix}$

Dies läßt sich reduzieren:

\frac{d^{2}}{d t^{2}} ⟨ {\hat{\bar{σ}}}_{1} ⟩ + {(2 ω_{l})}^{2} ⟨ {\hat{\bar{σ}}}_{1} ⟩ = 0

Die Anfangsbedingungen können ebenfalls durch Wahl des Koordinatensystems (feste x-y- Ebene) beeinflusst werden. Wähle: o.B. d.A.: ${⟨ {\hat{\bar{σ}}}_{2} ⟩}_{0} = 0$

Wir können uns den Betrag des Erwartungswertes des gesamten Spinvektors ansehen und es zeigt sich :

{| {⟨ {\hat{\bar{σ}}}_{} ⟩}_{t} |}^{2} = {⟨ {\hat{\bar{σ}}}_{1} ⟩}_{t}^{2} + {⟨ {\hat{\bar{σ}}}_{2} ⟩}_{t}^{2} + {⟨ {\hat{\bar{σ}}}_{3} ⟩}_{t}^{2} = {⟨ {\hat{\bar{σ}}}_{1} ⟩}_{0}^{2} [\cos^{2} (2 ω_{l} t) + \sin^{2} (2 ω_{l} t)] + {⟨ {\hat{\bar{σ}}}_{3} ⟩}_{0}^{2} = {⟨ {\hat{\bar{σ}}}_{1} ⟩}_{0}^{2} + {⟨ {\hat{\bar{σ}}}_{3} ⟩}_{0}^{2}

Mit anderen Worten:

{| {⟨ {\hat{\bar{σ}}}_{} ⟩}_{t} |}^{2} = {| {⟨ {\hat{\bar{σ}}}_{} ⟩}_{0} |}^{2} = c o n s t

, der Betrag des Spins ändert sich zeitlich nicht !

Der Erwartungswert des Spins präzediert also mit der Frequenz $2 ω_{l}$ um das Magnetfeld.

Schrödingergleichung für die Spinzustände

ℏ ω_{l} {\hat{\bar{σ}}}_{3} | a (t) ⟩ = i ℏ \frac{\partial}{\partial t} | a (t) ⟩

(Schrödingergleichung für Spinzustände)

Achtung! Nur Spin- Hamiltonian!

Dabei muss der Zustand $| a (t) ⟩$ in der Spinbasis entwickelbar sein: $| a (t) ⟩ = a_{1} (t) | ↑ ⟩ + a_{2} (t) | ↓ ⟩$

Matrix- Darstellung:

ℏ ω_{l} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} a_{1} (t) \\ a_{2} (t) \end{matrix}) = i ℏ \frac{\partial}{\partial t} (\begin{matrix} a_{1} (t) \\ a_{2} (t) \end{matrix}) \Leftrightarrow \begin{matrix} - i ω_{l} a_{1} = {\dot{a}}_{1} \\ i ω_{l} a_{2} = {\dot{a}}_{2} \end{matrix}

Die Lösung lautet:

$\begin{matrix} a_{1} (t) = a_{10} e^{- i ω_{l} t} \\ a_{2} (t) = a_{20} e^{i ω_{l} t} \end{matrix}$

$| a (t) ⟩ = a_{10} e^{- i ω_{l} t} | ↑ ⟩ + a_{20} e^{i ω_{l} t} | ↓ ⟩$

Nebenbemerkung: Hieraus gewinnt man ${⟨ {\hat{\bar{σ}}}_{j} ⟩}_{t}$ , also die Spinpräzession wie oben!

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 Der Erwartungswert des Spins präzediert also mit der Frequenz <math>2{{\omega }_{l}}</math> um das Magnetfeld.
-==Schrödingergleichung  für die Spinzustände ==
+==Schrödingergleichung  für die Spinzustände==
-{{Gln|<math>\hbar {{\omega }_{l}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}\left| a(t) \right\rangle =i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left| a(t) \right\rangle </math>|Schrödinger-Gleichung für Spinzustände}}
+{{Gln|<math>\hbar {{\omega }_{l}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}\left| a(t) \right\rangle =i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left| a(t) \right\rangle </math>   '''(Schrödingergleichung  für Spinzustände)'''|Schrödinger-Gleichung für Spinzustände}}
 Achtung! Nur  Spin- Hamiltonian!
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 <math>\left| a(t) \right\rangle ={{a}_{10}}{{e}^{-i{{\omega }_{l}}t}}\left| \uparrow  \right\rangle +{{a}_{20}}{{e}^{i{{\omega }_{l}}t}}\left| \downarrow  \right\rangle </math>
-Nebenbemerkung: Hieraus gewinnt man <math>{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{j}} \right\rangle }_{t}}</math>, also die Spinpräzession wie oben !
+Nebenbemerkung: Hieraus gewinnt man <math>{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{j}} \right\rangle }_{t}}</math>, also die Spinpräzession wie oben!
-===Zustände mit Bahn- und Spinvariablen===
-Sei nun <math>\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle </math>
-ein Zustand, der Bahn- und Spinfreiheitsgrade beschreibt:
-<math>\begin{align}
-& \left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle =\left| nlm \right\rangle \left| {{m}_{s}} \right\rangle \in {{H}_{B}}\times {{H}_{S}} \\
-& \left| nlm \right\rangle \in {{H}_{B}} \\
-& \left| {{m}_{s}} \right\rangle \in {{H}_{S}} \\
-\end{align}</math>
-Der Bahnzustand ist Element des Bahn- Hilbertraumes und der Spinzustand Element des Spin- Hilbertraumes. Der Gesamtzustand erfordert einen Raum, der sich als DIREKTES  PRODUKT der beiden Hilberträume zeigt.
-Allgemein gilt für separable oder Produktzustände <math>\left| {{n}_{1}}{{n}_{2}} \right\rangle =\left| {{n}_{1}} \right\rangle \left| {{n}_{2}} \right\rangle </math>
-( äquivalente Sprechweise):
-<math>\left\langle  {{m}_{1}}{{m}_{2}} \right|\left| {{n}_{1}}{{n}_{2}} \right\rangle =\left\langle  {{m}_{1}}{{m}_{2}} \right|\left| {{n}_{1}} \right\rangle \left\langle  {{m}_{1}}{{m}_{2}} \right|\left| {{n}_{2}} \right\rangle =\left\langle  {{m}_{1}} \right|\left| {{n}_{1}} \right\rangle \left\langle  {{m}_{2}} \right|\left| {{n}_{2}} \right\rangle </math>
-Ein beliebiger Zustand kann nach Spin- Basis Zuständen <math>\left| \uparrow  \right\rangle ,\left| \downarrow  \right\rangle </math>
-zerlegt werden:
-<math>{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}={{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}}\left| \uparrow  \right\rangle +{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}}\left| \downarrow  \right\rangle </math>
-mit
-<math>{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left| {\bar{r}} \right\rangle \left\langle  {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}</math>
-In der Ortsraum- Basis mit dem Bahn- Zustand  <math>\alpha =1,2</math>
-In der Matrix- Darstellung des Spinraumes ergibt dies:
-<math>{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}=\left( \begin{matrix}
-{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}}  \\
-{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}}  \\
-\end{matrix} \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left| {\bar{r}} \right\rangle \left( \begin{matrix}
-\left\langle  {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}}  \\
-\left\langle  {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}}  \\
-\end{matrix} \right)</math>
-Mit
-<math>\left( \begin{matrix}
-{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}}  \\
-{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}}  \\
-\end{matrix} \right)</math>
-entsprechend 2 Spinkomponenten, also entsprechend <math>\left| \uparrow  \right\rangle ,\left| \downarrow  \right\rangle </math>
-Die Vollständigkeit der Zustände <math>\left| \bar{r}\uparrow  \right\rangle =\left| {\bar{r}} \right\rangle \left| \uparrow  \right\rangle ,\left| \bar{r}\downarrow  \right\rangle =\left| {\bar{r}} \right\rangle \left| \downarrow  \right\rangle </math>
-folgt aus:
-<math>\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left\{ \left| \bar{r}\uparrow  \right\rangle \left\langle  \bar{r}\uparrow  \right|+\left| \bar{r}\downarrow  \right\rangle \left\langle  \bar{r}\downarrow  \right| \right\}}=1\quad \in {{H}_{B}}\times {{H}_{S}}</math>
-Weiter:
-<math>\begin{align}
-& \left\langle  \bar{r}\uparrow  \right|{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}=\left\langle  {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\
-& \left\langle  \bar{r}\downarrow  \right|{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}=\left\langle  {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\
-\end{align}</math>
-Also die Komponenten von <math>{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}</math>
-am Ort <math>\bar{r}</math>
-, einmal die Komponente mit Spin <math>\uparrow </math>
-und einmal die Komponente mit Spin <math>\downarrow </math>
-.  Dabei gilt:
-{{#ask:[[Kategorie:Mechanik]] [[Abschnitt::0]]
-|format=ol
-|order=ASC
-|sort=Kapitel
-|offset=0
-|limit=20
-}}  entspricht der Wahrscheinlichkeit, das Elektron zur Zeit t bei <math>\bar{r}</math>
-mit Spin <math>\uparrow </math>
-bzw. Spin <math>\downarrow </math>
-zu finden.
-<u>'''Schrödingergleichung im Spin- Bahn- Raum'''</u>
-Hamilton- Operator für Bahn:
-<math>{{\hat{H}}_{B}}=\frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+V(r)</math>
-Elektron mit Ladung e<0
-Wirkt alleine im Hilbertraum <math>{{H}_{B}}</math>
-Hamilton- Operator für Spin:
-<math>\begin{align}
-& {{{\hat{H}}}_{S}}=-\hbar {{\omega }_{l}}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \\
-& {{\omega }_{l}}=\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}} \\
-\end{align}</math>
-<math>{{\hat{H}}_{S}}</math>
-wirkt dabei nur im Hilbertraum <math>{{H}_{S}}</math>
-Ohne Berücksichtigung von <math>{{\hat{H}}_{S}}</math>
-:
-<math>\begin{align}
-& {{{\hat{H}}}_{B}}{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}} \\
-& \alpha =1,2 \\
-\end{align}</math>
-Also haben wir je nach Spinzustand schon 2 Schrödingergleichungen in <math>{{H}_{B}}</math>
-:
-Es gilt (äquivalente Darstellung):
-<math>\begin{align}
-& {{{\hat{H}}}_{B}}{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}\Leftrightarrow \left( {{{\hat{H}}}_{B}}\times 1 \right){{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}} \\
-& \alpha =1,2 \\
-\end{align}</math>
-Dabei
-<math>1</math>
-=  Einsoperator im Spinraum -> Spin bleibt unberücksichtigt. Einheitsmatrix für beliebigen Vorgang im Spinraum: <math>1=\left( \begin{matrix}
-& 0  \\
-& 1  \\
-\end{matrix} \right)</math>
-MIT Berücksichtigung von <math>{{\hat{H}}_{S}}</math>
-:
-<math>\left( {{{\hat{H}}}_{B}}\times 1+{{{\hat{H}}}_{S}} \right){{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}</math>
-In Matrix- Darstellung:
-<math>\begin{align}
-& \left( \begin{matrix}
-{{{\hat{H}}}_{\acute{\ }B}}+\hbar {{\omega }_{l}} & 0  \\
-& {{{\hat{H}}}_{\acute{\ }B}}-\hbar {{\omega }_{l}}  \\
-\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
-{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}}  \\
-{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}}  \\
-\end{matrix} \right)=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left( \begin{matrix}
-{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}}  \\
-{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}}  \\
-\end{matrix} \right) \\
-& \Leftrightarrow \left( {{{\hat{H}}}_{\acute{\ }B}}+\hbar {{\omega }_{l}} \right){{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\
-& \left( {{{\hat{H}}}_{\acute{\ }B}}-\hbar {{\omega }_{l}} \right){{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\
-\end{align}</math>
-PAULI- GLEICHUNG
-'''Anwendung'''
-- einfacher Zeeman- Effekt mit Spin.  1 Elektron im kugelsymmetrischen Potenzial ( Kern (H)oder Atomrumpf(Na)) und homogenen Magnetfeld <math>\bar{B}=B{{\bar{e}}_{3}}</math>
-<math>\hat{H}={{\hat{H}}_{B}}\times 1+{{H}_{S}}=\left[ \frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+V(r) \right]\times 1-\frac{\left| e \right|\hbar B}{2{{m}_{0}}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}</math>
-Dabei wird durch <math>{{\hat{H}}_{B}}\times 1</math>
-der Bahndrehimpuls Hamiltonian durch den Spinraum erweitert.
-<math>\begin{align}
-& \hat{H}={{{\hat{H}}}_{B}}\times 1+{{H}_{S}}=\left[ \frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+V(r) \right]\times 1-\frac{\left| e \right|\hbar B}{2{{m}_{0}}}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \\
-& \hat{H}\cong \left[ \frac{{{{\bar{p}}}^{2}}}{2{{m}_{0}}}+V(r) \right]\times 1-\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}}\left( {{{\hat{L}}}_{3}}\times 1+\hbar {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right) \\
-& \frac{{{{\bar{p}}}^{2}}}{2{{m}_{0}}}+V(r)={{H}_{0}} \\
-& {{H}_{0}}\left| nlm \right\rangle ={{E}_{nl}}\left| nlm \right\rangle  \\
-\end{align}</math>
-Wie man sieht bekommt man durch den Korrekturterm <math>\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}}\left( {{{\hat{L}}}_{3}}\times 1+\hbar {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right)</math>
-eine Korrektur an die Energie.
-'''Für B=0 -> Eigenzustände  mit Spin'''
-<math>\left( {{H}_{0}}\times 1 \right)\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle ={{E}_{nl}}\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle </math>
-Insgesamt <math>2\left( 2l+1 \right)</math>
-fach entartet. Beim H- Atom: zusätzliche l- Entartung
-<math>B\ne 0</math>
-<math>\begin{align}
-& \hat{H}\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle ={{H}_{0}}\left| nlm \right\rangle \left| {{m}_{s}} \right\rangle -\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}}\left\{ \left( {{{\hat{L}}}_{3}}\left| nlm \right\rangle  \right)\left| {{m}_{s}} \right\rangle +\hbar \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}}\left| {{m}_{s}} \right\rangle  \right)\left| nlm \right\rangle  \right\} \\
-& {{{\hat{L}}}_{3}}\left| nlm \right\rangle =\hbar m\left| nlm \right\rangle  \\
-& {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}}\left| {{m}_{s}} \right\rangle =2{{m}_{S}}\left| {{m}_{s}} \right\rangle  \\
-& {{H}_{0}}\left| nlm \right\rangle \left| {{m}_{s}} \right\rangle -\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}}\left\{ \left( {{{\hat{L}}}_{3}}\left| nlm \right\rangle  \right)\left| {{m}_{s}} \right\rangle +\hbar \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}}\left| {{m}_{s}} \right\rangle  \right)\left| nlm \right\rangle  \right\}=\left[ {{E}_{nl}}-\frac{\left| e \right|\hbar B}{2{{m}_{0}}}\left( m+2{{m}_{s}} \right) \right]\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle  \\
-\end{align}</math>
-Das bedeutet:
-teilweise Aufhebung der <math>2(2l+1)</math>
-- fachen Entartung
-( sogenannter Anomaler Zeemann- Effekt !)
-<math>E={{E}_{nl}}-{{\mu }_{B}}B\left( m+2{{m}_{s}} \right)</math>
-Dies gilt für PARAMAGNETISCHE Atome mit magnetischem Moment
-<math>{{\mu }_{3}}={{\mu }_{B}}\left( m+2{{m}_{s}} \right)</math>
-Dabei entspricht
-<math>2</math>
-vor ms dem gyromagnetischen Verhältnis, kommt also wegen dem Landé- Faktor g=2, auch wenn dieser leicht von 2 verschieden ist ! ( Siehe oben).
-Für dieses Beispiel wird die Energieverschiebung linear zu B am besten in Einheiten von <math>{{\mu }_{B}}</math>
-angegeben. s und p - Orbital lassen sich folgendermaßen in einem sogenannten Termschema skizzieren ( für den anomalen Zeemann- Effekt ):
-Das heißt: die m- Entartung, die ohne Spin vollständig aufgehoben wurde, ist jetzt nur noch teilweise aufgehoben !
-Da die Aufhebung der Spin- Entartung die Energiezustände wieder so " weiterrückt", dass vorher getrennte wieder zusammenfallen !
-'''Tabelle: Landé- Faktoren'''
-'''Teilchen'''	'''s'''	'''g'''	'''Q'''
-'''Elektron'''	'''1/2'''	'''2'''	'''-e'''
-'''Proton'''	'''1/2'''	'''5,59'''	'''e'''
-'''Neutron'''	'''1/2'''	'''-3,83'''	'''0'''
-'''Neutrino'''	'''1/2'''	'''0'''	'''0'''
-'''Photon'''	'''1'''	'''0'''	'''0'''

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