Dynamik des 2- Zustands- Systems

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Dynamik des 2- Zustands- Systems basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 2) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Die potenzielle Energie des magnetischen Moments des Elektronen- Spins$\overline{\mu }$

im äußeren Magnetfeld $\overline{B}=B{\overline{e}}_3$

beträgt:

$V=-\hat{\overline{\mu }}\cdot \overline{B}$

mit $\hat{\overline{\mu }}=+g\frac{e}{2m_0}\hat{\overline{S}}=+\frac{e\hslash }{2m_0}\hat{\overline{\sigma }}$

mit g~ 2 und e<0

Somit:

$\hat{V}=-\frac{e\hslash }{2m_0}\hat{\overline{\sigma }}\cdot \overline{B}=-\frac{e\hslash B}{2m_0}{\hat{\overline{\sigma }}}_3=\hslash {\omega }_l{\hat{\overline{\sigma }}}_3$

Mit der Larmor- Frequenz ${\omega }_l:=\frac{|e|B}{2m_0}$

Wenn der Spin an keine weitere Variable ankoppelt, so ist $\hat{H}=\hat{V}$ der Hamiltonoperator der Spinvariable ( im Spin- Hilbertraum). Die Dynamik eines Spins im Magnetfeld ergibt sich über den Zeitableitungsoperator: ${\hat{\overline{\sigma }}}^{\circ }=\frac{i}{\hslash }[\hat{H},\hat{\overline{\sigma }}]=i{\omega }_l[{\hat{\overline{\sigma }}}_3,{\hat{\overline{\sigma }}}_{}]$

Berechnung der Erwartungswerte mit $[{\hat{\overline{\sigma }}}_j,{\hat{\overline{\sigma }}}_k]=2i{\epsilon }_{jkl}{\hat{\overline{\sigma }}}_l$

$\frac{d}{dt}⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_1⟩=\frac{i}{\hslash }⟨[H,{\hat{\overline{\sigma }}}_1]⟩=i{\omega }_l⟨[{\hat{\overline{\sigma }}}_3,{\hat{\overline{\sigma }}}_1]⟩=-2{\omega }_l⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_2⟩$

$\begin{array}{cc}& \frac{d}{dt}⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_1⟩=-2{\omega }_l⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_2⟩\\ & \frac{d}{dt}⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_2⟩=2{\omega }_l⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_1⟩\\ & \frac{d}{dt}⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_3⟩=0\\ \end{array}$

Dies läßt sich reduzieren: $\frac{d^2}{d{t}^2}⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_1⟩+{\left(2{\omega }_l\right)}^2⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_1⟩=0$ Die Dynamik der Spins bildet also einen Oszillator in der x-y- Ebene. Die zeitliche Unabhängigkeit der Spin3- Komponente liegt dabei alleine an der Wahl des Koordinatensystems, bzw. der Basis ! Wir haben diese gerade so gewählt, dass die 3- Komponente zeitlich unabhängig wird. Die Lösung der Diffgleichung liefert: $\begin{array}{cc}& {⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_1⟩}_t={⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_2⟩}_0\sin \left(2{\omega }_{l}t\right)+{⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_1⟩}_0\cos \left(2{\omega }_{l}t\right)\\ & {⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_2⟩}_t={⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_2⟩}_0\cos \left(2{\omega }_{l}t\right)-{⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_1⟩}_0\sin \left(2{\omega }_{l}t\right)\\ & {⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_3⟩}_t={⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_3⟩}_0\\ \end{array}$

Die Anfangsbedingungen können ebenfalls durch Wahl des Koordinatensystems ( feste x-y- Ebene) beeinflusst werden. Wähle: o.B. d.A.: ${⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_2⟩}_0=0$

Wir können uns den Betrag des Erwartungswertes des gesamten Spinvektors ansehen und es zeigt sich :

${\left|{⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_{}⟩}_t\right|}^2={{⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_1⟩}_t}^2+{{⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_2⟩}_t}^2+{{⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_3⟩}_t}^2={{⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_1⟩}_0}^2[{\cos }^2\left(2{\omega }_{l}t\right)+{\sin }^2\left(2{\omega }_{l}t\right)]+{{⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_3⟩}_0}^2={{⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_1⟩}_0}^2+{{⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_3⟩}_0}^2$

Mit anderen Worten:

${\left|{⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_{}⟩}_t\right|}^2={\left|{⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_{}⟩}_0\right|}^2=const$ , der Betrag des Spins ändert sich zeitlich nicht !

Der Erwartungswert des Spins präzediert also mit der Frequenz $2{\omega }_l$ um das Magnetfeld.

Schrödingergleichung für die Spinzustände ( Pauli- Gleichungen)

$\hslash {\omega }_l{\hat{\overline{\sigma }}}_3|a(t)⟩=i\hslash \frac{\partial }{\partial t}|a(t)⟩$ Achtung ! Nur Spin- Hamiltonian ! Dabei muss der Zustand $|a(t)⟩$ in der Spinbasis entwickelbar sein: $|a(t)⟩=a_1(t)|\uparrow ⟩+a_2(t)|\downarrow ⟩$

Matrix- Darstellung:

$\hslash {\omega }_l\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{a}_1(t)\\ a_2(t)\end{array}\right)=i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\left(\begin{array}{c}{a}_1(t)\\ a_2(t)\end{array}\right)\iff \begin{array}{c}-i{\omega }_l{a}_1={\dot{a}}_1\\ i{\omega }_l{a}_2={\dot{a}}_2\end{array}$

Die Lösung lautet:

$\begin{array}{cc}& a_1(t)=a_{10}{e}^{-i{\omega }_{l}t}\\ & a_2(t)=a_{20}{e}^{i{\omega }_{l}t}\\ \end{array}$

$|a(t)⟩=a_{10}{e}^{-i{\omega }_{l}t}|\uparrow ⟩+a_{20}{e}^{i{\omega }_{l}t}|\downarrow ⟩$

Nebenbemerkung: Hieraus gewinnt man ${⟨{\hat{\overline{\sigma }}}_j⟩}_t$ , also die Spinpräzession wie oben !

Zustände mit Bahn- und Spinvariablen

Sei nun $|nlm{m}_s⟩$ ein Zustand, der Bahn- und Spinfreiheitsgrade beschreibt: $\begin{array}{cc}& |nlm{m}_s⟩=|nlm⟩|m_s⟩\in H_B\times H_S\\ & |nlm⟩\in H_B\\ & |m_s⟩\in H_S\\ \end{array}$

Der Bahnzustand ist Element des Bahn- Hilbertraumes und der Spinzustand Element des Spin- Hilbertraumes. Der Gesamtzustand erfordert einen Raum, der sich als DIREKTES PRODUKT der beiden Hilberträume zeigt. Allgemein gilt für separable oder Produktzustände $|n_1{n}_2⟩=|n_1⟩|n_2⟩$ ( äquivalente Sprechweise): $⟨m_1{m}_2||n_1{n}_2⟩=⟨m_1{m}_2||n_1⟩⟨m_1{m}_2||n_2⟩=⟨m_1||n_1⟩⟨m_2||n_2⟩$

Ein beliebiger Zustand kann nach Spin- Basis Zuständen $|\uparrow ⟩,|\downarrow ⟩$ zerlegt werden: ${|\Psi ⟩}_t={|{\Psi }_1⟩}_t|\uparrow ⟩+{|{\Psi }_2⟩}_t|\downarrow ⟩$

mit ${|{\Psi }_{\alpha }⟩}_t={\int }_{}^{}{d}^{3}r|\overline{r}⟩⟨\overline{r}|{|{\Psi }_{\alpha }⟩}_t$ In der Ortsraum- Basis mit dem Bahn- Zustand $\alpha =1,2$

In der Matrix- Darstellung des Spinraumes ergibt dies: ${|\Psi ⟩}_t=\left(\begin{array}{c}{|{\Psi }_1⟩}_t\\ {|{\Psi }_2⟩}_t\end{array}\right)={\int }_{}^{}{d}^{3}r|\overline{r}⟩\left(\begin{array}{c}⟨\overline{r}|{|{\Psi }_1⟩}_t\\ ⟨\overline{r}|{|{\Psi }_2⟩}_t\end{array}\right)$

Mit $\left(\begin{array}{c}{|{\Psi }_1⟩}_t\\ {|{\Psi }_2⟩}_t\end{array}\right)$ entsprechend 2 Spinkomponenten, also entsprechend $|\uparrow ⟩,|\downarrow ⟩$

Die Vollständigkeit der Zustände $|\overline{r}\uparrow ⟩=|\overline{r}⟩|\uparrow ⟩,|\overline{r}\downarrow ⟩=|\overline{r}⟩|\downarrow ⟩$

folgt aus: ${\int }_{}^{}{d}^{3}r\{|\overline{r}\uparrow ⟩⟨\overline{r}\uparrow |+|\overline{r}\downarrow ⟩⟨\overline{r}\downarrow |\}=1\in H_B\times H_S$

Weiter: $\begin{array}{cc}& ⟨\overline{r}\uparrow |{|\Psi ⟩}_t=⟨\overline{r}|{|{\Psi }_1⟩}_t\\ & ⟨\overline{r}\downarrow |{|\Psi ⟩}_t=⟨\overline{r}|{|{\Psi }_2⟩}_t\\ \end{array}$ Also die Komponenten von ${|\Psi ⟩}_t$ am Ort $\overline{r}$ , einmal die Komponente mit Spin $\uparrow$ und einmal die Komponente mit Spin $\downarrow$ . Dabei gilt:

1. Das d'Alembertsche Prinzip
2. Das Hamiltonsche Prinzip
3. Symmetrien und Erhaltungsgrößen
4. Der Hamiltonsche kanonische Formalismus
5. Die Hamilton-Jacobi-Theorie
6. Mechanik des starren Körpers
7. Dynamische Systeme und deterministisches Chaos

entspricht der Wahrscheinlichkeit, das Elektron zur Zeit t bei $\overline{r}$

mit Spin $\uparrow$ bzw. Spin $\downarrow$ zu finden. Schrödingergleichung im Spin- Bahn- Raum Hamilton- Operator für Bahn: ${\hat{H}}_B=\frac{1}{2m_0}{(\overline{p}-e\overline{A})}^2+V(r)$ Elektron mit Ladung e<0 Wirkt alleine im Hilbertraum $H_B$

Hamilton- Operator für Spin: $\begin{array}{cc}& {\hat{H}}_S=-\hslash {\omega }_l{\hat{\overline{\sigma }}}_3\\ & {\omega }_l=\frac{\left|e\right|B}{2m_0}\\ \end{array}$

${\hat{H}}_S$ wirkt dabei nur im Hilbertraum $H_S$

Ohne Berücksichtigung von ${\hat{H}}_S$

$\begin{array}{cc}& {\hat{H}}_B{|{\Psi }_{\alpha }⟩}_t=i\hslash \frac{\partial }{\partial t}{|{\Psi }_{\alpha }⟩}_t\\ & \alpha =1,2\\ \end{array}$

Also haben wir je nach Spinzustand schon 2 Schrödingergleichungen in $H_B$

Es gilt (äquivalente Darstellung): $\begin{array}{cc}& {\hat{H}}_B{|{\Psi }_{\alpha }⟩}_t=i\hslash \frac{\partial }{\partial t}{|{\Psi }_{\alpha }⟩}_t\iff ({\hat{H}}_B\times 1){|\Psi ⟩}_t=i\hslash \frac{\partial }{\partial t}{|\Psi ⟩}_t\\ & \alpha =1,2\\ \end{array}$

Dabei $1$ = Einsoperator im Spinraum -> Spin bleibt unberücksichtigt. Einheitsmatrix für beliebigen Vorgang im Spinraum: $1=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

MIT Berücksichtigung von ${\hat{H}}_S$

$({\hat{H}}_B\times 1+{\hat{H}}_S){|\Psi ⟩}_t=i\hslash \frac{\partial }{\partial t}{|\Psi ⟩}_t$

In Matrix- Darstellung: $\begin{array}{cc}& \left(\begin{array}{cc}{\hat{H}}_{\stackrel{´}{}B}+\hslash {\omega }_l& 0\\ 0& {\hat{H}}_{\stackrel{´}{}B}-\hslash {\omega }_l\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{|{\Psi }_1⟩}_t\\ {|{\Psi }_2⟩}_t\end{array}\right)=i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\left(\begin{array}{c}{|{\Psi }_1⟩}_t\\ {|{\Psi }_2⟩}_t\end{array}\right)\\ & \iff ({\hat{H}}_{\stackrel{´}{}B}+\hslash {\omega }_l){|{\Psi }_1⟩}_t=i\hslash \frac{\partial }{\partial t}{|{\Psi }_1⟩}_t\\ & ({\hat{H}}_{\stackrel{´}{}B}-\hslash {\omega }_l){|{\Psi }_2⟩}_t=i\hslash \frac{\partial }{\partial t}{|{\Psi }_2⟩}_t\\ \end{array}$ PAULI- GLEICHUNG Anwendung - einfacher Zeeman- Effekt mit Spin. 1 Elektron im kugelsymmetrischen Potenzial ( Kern (H)oder Atomrumpf(Na)) und homogenen Magnetfeld $\overline{B}=B{\overline{e}}_3$

$\hat{H}={\hat{H}}_B\times 1+H_S=[\frac{1}{2m_0}{(\overline{p}-e\overline{A})}^2+V(r)]\times 1-\frac{\left|e\right|\hslash B}{2m_0}{\hat{\overline{\sigma }}}_3$

Dabei wird durch ${\hat{H}}_B\times 1$ der Bahndrehimpuls Hamiltonian durch den Spinraum erweitert. $\begin{array}{cc}& \hat{H}={\hat{H}}_B\times 1+H_S=[\frac{1}{2m_0}{(\overline{p}-e\overline{A})}^2+V(r)]\times 1-\frac{\left|e\right|\hslash B}{2m_0}{\hat{\overline{\sigma }}}_3\\ & \hat{H}\cong [\frac{{\overline{p}}^2}{2m_0}+V(r)]\times 1-\frac{\left|e\right|B}{2m_0}({\hat{L}}_3\times 1+\hslash {\hat{\overline{\sigma }}}_3)\\ & \frac{{\overline{p}}^2}{2m_0}+V(r)=H_0\\ & H_0|nlm⟩=E_{nl}|nlm⟩\\ \end{array}$

Wie man sieht bekommt man durch den Korrekturterm $\frac{\left|e\right|B}{2m_0}({\hat{L}}_3\times 1+\hslash {\hat{\overline{\sigma }}}_3)$ eine Korrektur an die Energie. Für B=0 -> Eigenzustände mit Spin $(H_0\times 1)|nlm{m}_s⟩=E_{nl}|nlm{m}_s⟩$

Insgesamt $2(2l+1)$ fach entartet. Beim H- Atom: zusätzliche l- Entartung $B\ne 0$

$\begin{array}{cc}& \hat{H}|nlm{m}_s⟩=H_0|nlm⟩|m_s⟩-\frac{\left|e\right|B}{2m_0}\{\left({\hat{L}}_3|nlm⟩\right)|m_s⟩+\hslash \left({\hat{\overline{\sigma }}}_3|m_s⟩\right)|nlm⟩\}\\ & {\hat{L}}_3|nlm⟩=\hslash m|nlm⟩\\ & {\hat{\overline{\sigma }}}_3|m_s⟩=2m_S|m_s⟩\\ & H_0|nlm⟩|m_s⟩-\frac{\left|e\right|B}{2m_0}\{\left({\hat{L}}_3|nlm⟩\right)|m_s⟩+\hslash \left({\hat{\overline{\sigma }}}_3|m_s⟩\right)|nlm⟩\}=[E_{nl}-\frac{\left|e\right|\hslash B}{2m_0}(m+2m_s)]|nlm{m}_s⟩\\ \end{array}$

Das bedeutet: teilweise Aufhebung der $2(2l+1)$ - fachen Entartung ( sogenannter Anomaler Zeemann- Effekt !) $E=E_{nl}-{\mu }_{B}B(m+2m_s)$

Dies gilt für PARAMAGNETISCHE Atome mit magnetischem Moment ${\mu }_3={\mu }_B(m+2m_s)$

Dabei entspricht $2$ vor ms dem gyromagnetischen Verhältnis, kommt also wegen dem Landé- Faktor g=2, auch wenn dieser leicht von 2 verschieden ist ! ( Siehe oben). Für dieses Beispiel wird die Energieverschiebung linear zu B am besten in Einheiten von ${\mu }_B$ angegeben. s und p - Orbital lassen sich folgendermaßen in einem sogenannten Termschema skizzieren ( für den anomalen Zeemann- Effekt ): Das heißt: die m- Entartung, die ohne Spin vollständig aufgehoben wurde, ist jetzt nur noch teilweise aufgehoben ! Da die Aufhebung der Spin- Entartung die Energiezustände wieder so " weiterrückt", dass vorher getrennte wieder zusammenfallen ! Tabelle: Landé- Faktoren Teilchen s g Q Elektron 1/2 2 -e Proton 1/2 5,59 e Neutron 1/2 -3,83 0 Neutrino 1/2 0 0 Photon 1 0 0