Poisson- Gleichung und Greensche Funktion

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Poisson- Gleichung und Greensche Funktion basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 3) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Poisson- Gleichung und Greensche Funktion

$\overline{E}\left(\overline{r}\right)=-\mathrm{\nabla }\Phi (\overline{r})$ in $\mathrm{\nabla }\cdot \overline{E}\left(\overline{r}\right)=\frac{\rho \left(\overline{r}\right)}{{\epsilon }_0}$ liefert:

$\Delta \Phi (\overline{r})=-\frac{\rho \left(\overline{r}\right)}{{\epsilon }_0}$

Dies ist nicht anderes als die berühmte Poisson- Gleichung

Eine partielle DGL zur Berechnung des elektrischen Potenzials für eine vorgegebene Ladungsverteilung.

Die Eindeutigkeit kommt aus den Randbedingungen:

Entweder: 1) $\Phi (\overline{r})\to 0$ hinreichend rasch für $r\to \mathrm{\infty }$

oder 2) $\Phi (\overline{r})$ sei gegeben auf Flächen im Endlichen, Beispielsweise Leiteroberflächen

Lösung zu 1):

$\Phi (\overline{r})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}{\int }_{R^3}^{}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\frac{\rho \left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}$ für hinreichend rasch abfallendes $\rho \left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)$

Einsetzen in Poisson- Gleichung:

$\Delta \Phi (\overline{r})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}{\Delta }_r{\int }_{R^3}^{}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\frac{\rho \left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}{\int }_{R^3}^{}{d}^{3}r\stackrel{´}{}{\Delta }_r\frac{\rho \left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}$ , falls Integration und Differenziation vertauschbar, also über verschiedene Koordinaten ausgeführt wird.

Man definiere für ein festes $\overline{r}\stackrel{´}{}$ , dass $\begin{array}{cc}& \overline{s}:=\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}\\ & {\mathrm{\nabla }}_r={\mathrm{\nabla }}_s\\ \end{array}$

Also:

$\begin{array}{cc}& {\Delta }_r\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}={\mathrm{\nabla }}_S\left({\mathrm{\nabla }}_S\frac{1}{s}\right)=-{\mathrm{\nabla }}_S\frac{1}{s^2}\frac{\overline{s}}{s}=-\frac{1}{s^3}{\mathrm{\nabla }}_S\overline{s}-\overline{s}{\mathrm{\nabla }}_S\frac{1}{s^3}\\ & {\mathrm{\nabla }}_S\overline{s}=3\\ & \Rightarrow {\Delta }_r\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}=-\frac{1}{s^3}{\mathrm{\nabla }}_S\overline{s}-\overline{s}{\mathrm{\nabla }}_S\frac{1}{s^3}=-\frac{3}{s^3}+\frac{1}{s^3}=0\\ \end{array}$

Dies ist aber ein Widerspruch zu $\Delta \Phi (\overline{r})=-\frac{\rho \left(\overline{r}\right)}{{\epsilon }_0}$

Grund ist , dass die Vertauschung von ${\Delta }_r$ und ${\int }_{R^3}^{}{d}^{3}r\stackrel{´}{}$ sowie auch die obige Umformung nicht erlaubt ist für $\overline{r}=\overline{r}\stackrel{´}{}$ , also s=0 ( Singularität!!)

Stattdessen für beliebige V:

Nun kann man $\underset{\partial V}{\oint }d\overline{f}\cdot {\mathrm{\nabla }}_r$ mit ${\int }_{R^3}^{}{d}^{3}r\stackrel{´}{}$ vertauschen. Dies ist erlaubt, falls der Integrand von ${\int }_{R^3}^{}{d}^{3}r\stackrel{´}{}$ nach der Vertauschung stetig ist !:

$\begin{array}{cc}& {\int }_V^{}{d}^{3}r\Delta \Phi (\overline{r})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}{\int }_{R^3}^{}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\rho \left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)\underset{\partial V}{\oint }d\overline{f}\cdot {\mathrm{\nabla }}_r\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\\ & {\mathrm{\nabla }}_r\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}=-\frac{(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}{|}^3}\\ \end{array}$

Somit:

$\begin{array}{cc}& {\int }_V^{}{d}^{3}r\Delta \Phi (\overline{r})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}{\int }_{R^3}^{}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\rho \left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)\underset{\partial V}{\oint }d\overline{f}\cdot {\mathrm{\nabla }}_r\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}=-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}{\int }_{R^3}^{}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\rho \left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)\underset{\partial V}{\oint }d\overline{f}\frac{\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}{|}^3}\\ & \underset{\partial V}{\oint }d\overline{f}\frac{\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}{|}^3}={\int }_{}^{}d\Omega \\ \end{array}$

aber:

$\underset{\partial V}{\oint }d\overline{f}\frac{\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}{|}^3}={\int }_{}^{}d\Omega =4\pi$ , falls $\overline{r}\stackrel{´}{}\in V$

$\underset{\partial V}{\oint }d\overline{f}\frac{\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}{|}^3}={\int }_{}^{}d\Omega =0$ falls $\overline{r}\stackrel{´}{}\notin V$

Somit:

${\int }_V^{}{d}^{3}r\Delta \Phi (\overline{r})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}{\int }_{R^3}^{}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\rho \left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)\underset{\partial V}{\oint }d\overline{f}\cdot {\mathrm{\nabla }}_r\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}=-\frac{1}{{\epsilon }_0}{\int }_V^{}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\rho \left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)$

Mathematisch streng gilt im Distributionen- Sinn:

${\Delta }_r\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}=-4\pi \delta (\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})$

Mit Hilfe der delta- Distribution, die auf eine Testfunktion anzuwenden ist !

Greensche Funktion der Poisson- Gleichung

$\Delta \Phi (\overline{r})=-\frac{\rho \left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)}{{\epsilon }_0}\Rightarrow$ Invertierung $\Rightarrow \Phi (\overline{r})=\hat{G}\rho \left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)$

Mit dem Greenschen Operator $\hat{G}$

Eine Fourier- Transformation von $\Delta \Phi (\overline{r})=-\frac{\rho \left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)}{{\epsilon }_0}\Rightarrow$ liefert $-k^2\tilde{\Phi }=-\frac{\tilde{\rho }}{{\epsilon }_0}\Rightarrow$

Man kann schreiben:

$\begin{array}{cc}& \tilde{\Phi }=\tilde{\hat{G}}\tilde{\rho }\\ & \tilde{\hat{G}}:=\frac{1}{{\epsilon }_0{k}^2}\\ \end{array}$

Die einfache Fourier- Transformierte Form von $\Rightarrow \Phi (\overline{r})=\hat{G}\rho \left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)$ , nur dass der Fourier- transformierte Greens- Operator angegeben werden kann.

Die Rücktransformation löst dann die Poiisson-gleichung:

$\Rightarrow \Phi (\overline{r})={\int }_{}^{}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\hat{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})\rho \left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)$

Es gilt:

${\Delta }_r\hat{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})=-\frac{1}{{\epsilon }_0}\delta (\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})$

Das heißt, die Greensfunktion ist eine Lösung der Poissongleichung für eine Punktladung q=1 an $\overline{r}\stackrel{´}{}$

Insbesondere bei speziellen Randbedingungen

$\begin{array}{c}lim\\ \overline{r}\to \mathrm{\infty }\end{array}\Phi (\overline{r})=0$

ist die Greensfunktion dann:

$G(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}$

Denn

${\Delta }_{r}G=\Delta \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}=-\frac{1}{{\epsilon }_0}\delta (\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})$

Für eine beliebige Ladungsverteilung $\rho$ ist also die Lösung der Poissongleichung

$\Phi (\overline{r})={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\rho (\overline{r}\stackrel{´}{})}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{d}^{3}r\stackrel{´}{}={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}G(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})\rho (\overline{r}\stackrel{´}{})d^{3}r\stackrel{´}{}$

wobei die Identität insgesamt nur für die Randbedingungen $\begin{array}{c}lim\\ \overline{r}\to \mathrm{\infty }\end{array}\Phi (\overline{r})=0$ gilt, ansonsten ist G durch die andern Randbdingungen festgelegt.