ART-Skript

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Einleitung Die leitenden Gedanken der Allgemeinen Relativitätstheorie Methodische Vorbemerkung zur Art der folgenden Darstellung Man muss über Probleme der Newtonschen Meachanik und der SRT Sprechen Ausgangspunkt: Beschreibung der Bewegung Man muss über zulässige Koorinatensysteme und über Zeit reden C. Neumann & L Lange zur Bestimmung von Intertialsystemen in der Newtonschen Mechanik M. v. Laue zur Bestimmung von Inertialsystemen in der Speziellen Relatitätstheorie SRT (Relativitätsprinzip) und Newtonsche Gravitationstheorie (Δφ=4πGρ,mTd2xidt2=Ki(i=1,2,3), Ki=mpiφ,mT=mP) Einstein (1907): „Der glücklichste Gedanke meines Lebens“ Das Äquivalenzprinzio ist der Relativitätstheorie zugrunde zu legen. Verallgemeinerung der SRT zur ART Übersicht und Literatur (ausgelassen) Der Übergang von der Speziellen zur Allgemeinen Relativitätstheorie Newtonsche Mechanik und Galilei-Invarianz etc. Zeit Transformationen (Translationen)

t=t+τ,τ=constdt=dtInvarianz des Zeitmaßes und der Bewegungsgleichungen

Raum Transformationen (Translationen und Rotationen) Kovarianz der Bewegungsgleichung

x'i=αkixk+ai mit xi,x'iin kartesischen Koordinaten, ai=const,αik=constund der Beziehung αki(αT)jk=δji.

Invarianz des Raummaßes

dσ2=(dx1)2+(dx2)2+(dx3)2=(dx'1)2+(dx'2)2+(dx'3)2=dσ'2

Spezielle Galilei Transformation Invarianz der Bewegungsgleichung

x'i=xi+vit mit vi=const

Keine Kovarianz des Raummaßes (dσdσ) Insgesamt: Kovarianz der Bewegungsgleichungen bezüglich der allgemeinen Galilei Gruppe:

t=t+τx'i=αikxk+ai+vit

Formal lässt sich das 4-Dimensional formulieren dies ist aber physikalisch ohne Bedeutung, da das keine irreduzibele 4-Dimensionale Gruppe ist):

(tx'i)=(10viαki)+(τai)

10-parametriege Gruppe Allgemeine bzw. andere Transformationen ändern die Form der Bewegungsgleichungen: Beispiel Rotierendes Bezugssystem (ω=const):

x1=x'1cosωtx'2sinωtx2=x'1sinωtx'2cosωt


md2x1dt2m(d2x'1dt2ϕx'1+...)md2x2dt2m(d2x'2dt2ϕx'2+...) mit ϕ:=ω2[(x'1)2+(x'2)2]

(Ausführlicher in § 9) Systematische und historische Bemerkungen zum Verhältnis von Galilei-Invarianz und Elektrodynamik: Bedeutung des Prinzips der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit Lichtgeschwindigkeit ist unabhängig von der Bewegung der Lichtquelle Konstanz der Lichtgeschwindigkeit Relativitätsprinzip  Δr=cΔtgilt in allen Inertialsystemen

Δr=cΔt(Δr)2=c2(Δt)2(Δx1)2+(Δx2)2+(Δx3)2=c2Δt2Δs2:=c2Δt2(Δx1)2(Δx2)2(Δx3)2ds2=c2dt2(dx1)2(dx2)2(dx3)2=0


ds2=ds'2

(1.1) Minkowski-Raum: 4-Dimeionale pseudo-euklidische Metrik (in Inertialkoordinaten) bzw. pseudo-Karth. Koordinaten) ημν=diag(1111). (später siehe §4) Linienelement in Inertialkoordianten (x0:=ct)

ds2=cdt2(dx1)2(dx2)2(dx3)2=(dx0)2(dx1)2(dx2)2(dx3)2=ημνdxνdxμ


ds2=!ds'2  Bestimmung der Inertialsysteme bzw. der sie verbinden Transformationenen (Lorentz-Transformation) Ansatz Ansatz: x'α=Λγαxγ+aαmit

ds=ηαβdx'αdx'β=ηαβΛμαΛνβdxμdxν=ds2=ημνdxμdxν

ηαβΛμαΛνβ=ημν Also: Allgemeine Lorentz-Transformation (Poincaré-Transformation)

x'α=Λβαxβ+aα mit

Spezialfall der räumlichen Rotation:

x'α=Λβαxβ mit Λki=dki,Λ00=1,Λ0i=Λi0=0

Spezielle Lorentz-Transformation

γ=11(vc)2Lorentz-Transformation ohne räumliche Rotation und ohne Translation
Λ00=γ,Λki=δki+(γ1)vivjv2,Λ0i=Λi0=γvjc

Spezielle LT in x1-Richtung

Eigentliche Lorentz Transformation (schließt räumliche und zeitliche Speigelungen aus):

detΛ=1

(10 parametrige Gruppe) Tensoren im Minkowski- Raum Minkowski-Raum: 4 dimensionaler pseudo euklidischer Raum 3-dim euklid. Raum: Ist durch pythagoreische Maßbestimmungen definiert

dσ2=(dx1)2+(dx2)2+(dx3)2=δikdxidxk

mit Metrik δik 4-dim euklid. Raum

ds2=(dx0)2+(dx1)2+(dx2)2+(dx3)2=δμνdxμdxν mit Metrik δik

4-dim pseudo-euklid. Raum

ds2=(dx0)2(dx1)2(dx2)2(dx3)2=ημνdxμdxν

mit Metrik ημν=diag(1111) Lorentz Transformation wurde grade so bestimmt (s §3), daß ds2und ημνinvariant sind Es gibt 3 Arten von Abständen: Zeitartig ( ds2>0 ) Lichtartig( ds2=0 ) Spannen den Lichtkegel auf raumartig( ds2<0 ) Tensoren (durch Transformationsgesetz definiert) Kontravarianter Vektor vβ:v'β=Λαβvα Kovarianter Vektor

vβ=ηβαvα

Heben und Senken von Indices

vβ=ηβαvα
mit ηασησβ=δβα

Also v'β=ηβαv'α=ηβαΛσβvσ=ηβαΛσβησδΛ¯δβvδ=Λ¯δβvδ Allgemein T'α...βμ...ν=Λρα...ΛσβΛ¯??...Λ¯??Tρ...σμ...ν Die partielle Ableitung ist eine tensorielle Operation: Sie führt ein Tensorfeld N-ter Stufe in ein Tensorfeld (n+1)-ter Stufe über Beispiel

Txα=αT=T,α


(vβxα)=vβ,α=v'βx'α=x'α(Λσβvσ)=Λσβvσx'α=Λσβvσxρxρx'α=ΛσβΛ¯αρvσxρ

Also aist kovariant und α=ηαββist kontravariant

αα=:=c2t2Δ

Relativistische Mechanik 1 . Newton`sche Axiom

mdxidt=constfür Kräftefreie Bewegung mdxidτ=const
mLorentz Skalar m
dxiLorentzvektor dxμ
dtLorentz Skalardτ:=1c2ds=dt1v2c2

Vierergeschwindigkeit uμ:=dxμdτ=γ(cv1v2v3) es gilt uμuμ=c2 Viererimpuls pμ=mdxμdτ=γm(cv1v2v3)=(Ecpi) es gilt pμpμ=m2c2 Mit Ruhemasse m und träger Masse

m1(vc)2

Das erste Axiom besagt in seiner 4-dimensionalen Fassung die Erhaltung von Energie und Impuls

E=γmc2=const,pi=γmvi=const

pμpμ=m2c2lautet ausgeschrieben E2=m2c4+c2p2 mit p2=pipi Für kleine Geschwindigkeiten gilt E=m2c4+c2p2mc2+12mv2 Allgemein E0:=mc2E=E0+E1=constalso gilt der Zusammenhang ΔmΔE0ΔE1(Äquivalenz von Masse und Energie) 2. Newton`sche Axiom

Die 0-Komponente ist bis auf einen Faktor von der Dimension einer Leistung bestimmt. Im nichtrelativistischen Grenzfall lautet die 0-Komponente der Bewegugnsgleichung

dtE=Kivi

3. Newton`sche Axiom Hat keine direkte relativistische Entsprechung# Elektordynamik (im Leeren Raum) Maxwellsche Gleichungen EINFÜGEN

tρ+.j=0

Bewegungsgleichungen

dtp=q(E+vc×B)
(Lorentzkraft)	(1.2)

4- Stromvektor jμ=(cρe,ji) (Kontinuitätsgleichung αjα=0 4- Feldstromstärke sei

Fμν=(0E1E2E3E10B3B2E2B30B1E3B2B10)

Lorentzinvarianz Inhomogene Maxwellgleichungen nun αFαβ=4πcjβ Homogene Maxwellgleichungen εαβμνbFμν=0 Lösung der homogenen MWG mit Vektorpotential A=(ϕ,Ai) Dann ist Fαβ=αAββAα+ homogene MWG und αAα=0Aμ=4πcjμ Also Aμ=4πcjμ,αAα=0 Aus der Lorentzkraft wird mdτuμ=qcFαβuβ Der Energie Impuls Tensor lautet Tαβ=14π(FασFσβ14ηαβFμνFμν) Relativistische Hydrodynamik Ideale Flüssigkeit: Charakterisiert durch Dicht ρ(xj,t), Gewindigkeitsfeld vi(xj,t), isptrpües Druckfeld P(xj,t) also 5 Feldfunktionen Bewegungsgleichungen in der nichtrelativistschen Fassung 3 Euler Gleichungen ÜBERSPRUNGEN Beschleunigte Bezugssystem im Minkowski-Raum Newtonsche Mechanik Inertialsystem (x,t)

mdt2x=0

(für freies Teilchen) Nicht-Inertialsystem(x,t=t) Beispiel: Rotierendes Bezussystem (ω=Winkelgeschwindigkeit)

mdt2x=2mω×vCoriolismω×(ω×r)Zentrifugalmdωdt×rEulerkraft


Spezielle Relativitätstheorie Inertialsystem (xi,t) Linienelement ds2=ημνdxμdxν Bewegungsgleichung (eines freien Teilchens der Messe m):

Übergang zu einem Nicht-Inertialsystem (x'i,t)

Linienelement ds2=ημν'αxμ'βxνdx'αdx'β=g'μνdx'μdx'ν Beispiel:

x0=x'0t=tx1=x'1sinωtx'2cosωtx2=x'1sinωt+x'2cosωtx3=x'3

Mit ds2=ημν'αxμ'βxνdx'αdx'β=[c2ω2((x'1)2+(x'2)2)]dt'2+2ωx'2dx'1dt2ωx'1dx'2dt(dx'2)2(dx'3)2 Bewegungsgleichung: Man erhält sie durch die Transformation xμ=xμ(x'ν) aus der Gleichung mdτ2xμ=0:

mdτ2xμ=mdτ(dτxμ)=mdτ('αxμτx'α)=0=m('αβ2xμτx'ατx'β+'αxμdτ2x'α)=0

Durch Multiplikation mit μx'σliefert mit 'αxμμx'σ=δασ:

dτ2x'σ+μx'σ'αβ2xμ=:Γ'αβστx'ατx'β''Tr a¨ gheitskr a¨ fte''=0

Da gemäß ds2=ημν'αxμ'βxνdx'αdx'β=g'μνdx'μdx'νdie Metrik im Nicht-Inertialsystem x'μdurch gμν=ημν'αxμ'βgegeben ist folgt

Γ'νρμ=12g'μα(g'αρ,ν+g'αν,ρg'νρ,α)
g'μν=''Tr a¨ gheitspotentiale''

Der Übergang von der Newton`schen Gravitationstheorie zur Allgemeinen Relativitätstheorie Newton‘sche Gravitationstheorie Die gravitative Wechselwirkung (gemäß der Newton`schen Axiomatik)

Mit

m=tr a¨ ge MasseM=passisve Schwere Masse (passive Gravitationsladung)M=aktive schwere Masse (aktive Graviationsladung)

Bewegungsgleichungen (gemäß dem 2. Axiom):

3. Axiom F21i=F12i d.h.

Newtons Pendelversuch:m=M da SchwingungsdauerT=2πmMlgAlsom=M=MÄquivalenz von schweren und Trägen Massen) Dieses sogenannte Äquivalenzprinzip ist eine Besonderheit der Gravitation (siehe dazu §10) Das Äquivalenzprinzip in der Newtonschen Gravitationstheorie Dieses Prinzip benennt die Besonderheit der graviativen Wechselwirkung wie ein Verglich mit der elektrischen Wechselwirkung zeigt

Bewegungsgleichungen

3. Axiom q=Q Diese Äquivalenz wird auch in der Elektrodynamik vorrausgesetzt, da ansonsten weder ein Potential nochj eine Lagrange-Funktion eingeführt werden kann (Clausius). Denn nur dann gilt:

q1E2i=q1U2x1i=Ux1iq2E1i=q2U1x2i=Ux2i

Mit U=q1U1=q2U2 Also mq=Q(die elektrische Ladung ist also nicht gleich der trägen Masse, wohl aber ist die Gravitationsladung gleich der trägen Masse) Die lokale Äquivalenz von Trägheit und Schwere (Einsteinsches Äquivalenzprinzip) Verschiedene Versionen des Newton`schen Äquivalenzprinzips Die träge Masse m ist gleich der schweren Masse M Bezüglich eines in einem homogenen Gravitationsfeld frei Fallenden Bezugssystems („Einsteinscher Fahrstuhl“) verlaufen alle Prozesse so, als wäre kein Gravitationsfeld vorhanden. Denn


xi
Kartesische Koordinaten in den O ruht
x'imit dem frei fallenden Fahrstuhl verbundene kartesische Koordinaten
xix'i=xi12git2
(also
xi=x'i+12git2

)

mAdt2xAi=MAgi+FimAdt2x'Ai=(MAmA)gi+F'i=Fi

Mit Fi irgendwelche andere auf mA wirkende Kräfte Bezüglich eines in eines im homogenen Gravitationsfeld frei fallenden lokalen Bezugssystems verlaufen alle Prozesse, so als wäre kein Gravitationsfeld vorhanden. Mit Einstein (1907): „Der Glücklichste Gedanke meines Lebens“: Diese Eigenschaft der Graviation ist wesentlich und sollte auch in der relativistischen Theorie der Graviation gelten  Einsteinsche Äquivalenzprinzip In einem frei fallenden lokalen Bezugssystem gelten die Gesetze der SRT bzw. In einem lokalen Inertialssystem gelten die Gesetzte der SRT bzw. umgekehrt Durch eine Transformation die den Übergang von einem lokalen Inertialsystem (LIS) zu einem dagegen beschleunigtem System beschreibt erhalten die SRT-Gleichungen eine Form, die den Einfluß eines äußeren Gravitationsfeldes berücksichtigt.

gμν=Gravitationspotentiale

Resümee der Kapitel II und III Kap II Kap III In der SRT (also ohne Berücksichtigung der Gravitation) gilt: Aufgrund des für die Gravitation vorausgesetzten Äquivalenzprinzips gilt: In einem globalen (u. dann natürlich auch lokalen) IS gelten die Gesetze der SRT In einem lokalen IS gelten die Gesetze der SRT In einem globalen (u. dann natürlich auch lokalen) NICHT-IS beschreibt die dann auftretende Metrik gμνημν Trägheitsfelder In einem lokalen NICHT-IS beschreibt die dann auftretende Metrik gμνημν auch Gravitationsfelder

Aufgrund des Äquivalenzprinizips werden Trägheit und Schwere lokal definiert (d.h. durch ein und dasselbe Feld gμν(xα)beschrieben Formales Schema: Gleichungen der SRT, die irgendwelche physikalischen Prozesse in einem IS ohne den Einfluss eines Gravitationsfeldes beschreiben ALLGEMEINE KOORDINATENTRANSFORMATION Gleichungen die diese Prozesse unter Berücksichtigung der Graviation Physikalische Beobachtung genügt der Übergang zu allgemeinen kovarianten Gleichungen aber erst im Riemann`schen Raum. Riemannsche Geometrie Der Riemannsche Raum Vergleich 2-dimeionsonale ebener und 2 dim gekrümmter Räume um den Begriff des gekrümmten Raumes an einem Beispiel zu illustrieren Euklidischer Raum (n=2) Gekrümmter Raum (n=2) In kartesischen Koordinaten Linienelment ds2=(dx1)2+(dx2)2=δαβdxαdxβ Geradengleichung dt2xα=0mit t=Kurvenparameter Es existieren keine kartesischen Koordinaten

	z.B. ds2=a2(dθ2+sin2θdφ2)d

Krummlinige Koordinaten (Polarkoordinaten)

ds2=dr2+r2dφ2=gμν(x)dx'μdx'ν
dt2xα+Γμναdtxμdtxν=0 Es gibt nur Krummlinige Koordinaten z.B. die obrigen
ds2=gμν(x)dxμdxν
dt2xα+Γμναdtxμdtxν=0


Minkowsik Raum (n=4) Gekrümmter Raum (n=4) In quasi kartesischen Koordinaten (Globale Inertialsystem) Linienelment

ds2=(dx0)2(dx1)2(dx2)2(dx3)2=ημνdxμdxν

Geradengleichung (gradlinige gleichförmige Bewegung)

dτ2xμ=0

Mit Koordinatentransformation ISNICHT-IS Es gibt keine quasi kartesischen Koordinaten, d.h. keine globalen IS.

In krummlinigen Koordinaten (Nicht Inertialsystem)

ds2=gμν(x)dx'μdx'ν
dτ2xα+Γμναdτxμdτxν=0 In krummlinigen Koordinaten (Nicht Inertialsystem)
ds2=gμν(x)dxμdxν
dτ2xα+Γμναdτxμdτxν=0

Definition: Riemannscher Raum V4=4-dimensionale Mannigfaltigkeit auf der eine Metrik gμνdefiniert ist, derart dass ds2=gμνdxμdxνinvariant ist gegenüber allgemeinen Koordinatentransformationen gμνdie Signatur -2 hat Tensoren im Riemannschen Raum (vgl. auch Kapitel 4) Riemannscher Raum V4=4-dimensionale Mannigfaltigkeit auf der eine Metrik gμνdefiniert ist, derart dass ds2=gμνdxμdxνinvariant ist gegenüber allgemeinen Koordinatentransformationen gμνdie Signatur -2 hat Beziehungen:

Es gibt wieder (wie im Minkowski-Raum) drei Arten von Abständen Zeitarting ( ds2>0 ) Lichtartig( ds2=0 ) Spannen den Lichtkegel auf raumartig( ds2<0 ) Tensoren (sie werden durch ihr Verhalten bei allgemeinen Koordinatentranformationenn bestimmt) kontravarianter Vektor vβ

v'β=Λαβvαv'β=μx'βvμ

Kovarianter Vektor vβ:

vβ=ηβαvαvβ:=gβαvα

Heben und Senken von Indices

vβ=gβαvα
mit gασgσβ=δβα

Also v'β=g'αβv'α=βxσvσ Allgemein T'α...βμ...ν=ρx'α...σx'β'μxτ...'νxρTρ...σμ...ν Die Symmetrien bleiben bei Transformationen erhalten

T(μν)Sμν:=12(Tμν+Tνμ)=SνμT[μν]Aμν:=12(TμνTνμ)=AνμTμν=Sμν+Aμν
S'μν='μxα'νxβSαβ='μxβ'νxαSβα='μxβ'νxαSαβ=S'νμ

Die partielle Ableitung ist keine kovariante Operation, d.h. sie macht einem Tensor k-ter Stufe keinen Tensor (k+1)-ter Stufe. Denn:

'νA'μ=ρA'μ'νxρ=ρ(σx'μAσ)'νxρ=ρσ2x'μ'νAσ+σx'μ'νxρρAσ

Daher ist es notwendig eine kovariante Ableitung einzuführen Partielle und kovariante Ableitung Definition der kovarianten Ableitung durch de Forderungen: Die kovariante Ableitung eines Tensors k-ter Stufe ergibt ein Tensor (k+1)-ter Stufe Im Minkowski-Raum reduziert sich im quasi-kartesischen Koordinaten (d.h. in einem globalen IS) die kovariante auf die partielle Ableitung (In einem Riemannschen Raum ist das für lokale IS zu fordern. Man betrachte dazu die Transformations-Eigenschaften der Christoffel-Symbole die in den §§8 und 11 beim Übergang von einem IS bzw. lokalen IS zu beliebigen Koordinaten auftreten. IS bzw. lokales IS Beliebiges KS Koordinaten ξμ Metrik ημν Geradengleichung bzw. Bewegungsgleichung eines freien Teilchens: dτ2xα=0 Koordinaten xμ Metrik gμν Geradengleichung bzw. Bewegungsgleichung eines freien Teilchens: dτ2xα+Γμναdτxμdτxν=0 Wobei Γμνα:=xαξρ2ξρxμxν=12gασ(gμσ,ν+gνσ,μgμν,σ)

Nun Übergang von Koordinaten xμzu neuen Koordinaten x'μ:

Γ'νλμ=x'μξτ2ξτx'νx'λ=x'μξσxσξτx'ν(ξτxαxαx'λ)=x'μξσxσξτ(2ξτxαxρxρxαxαx'λ+2xαx'νx'λξτxα)=x'μξσxσξτxαx'λΓαρσ+x'μxσ2xσx'νx'λ

Betrachte nun Γ'νλμA'λ

Daher gilt wegen des letzten Ausdrucks von §13:

'νA'α+Γ'μναA'μ=σx'α'νxρ(ρAσ+ΓβσσAβ)

Transformation eines Tensors 2-ter Stufe! Definition der kovarianten Ableitung:

νAαAα;ν:=Aα,ν+ΓμναAμ

Allgemein gilt:

Trs...;lik...=Trs...,lik...+ΓmliTrs...mk...+ΓmlkTrs...im......u¨ r jeden oberen IndexΓrlmTms...ik...ΓslmTrm...ik......u¨ r jeden unteren IndexTrs...;lik...=Trs...,lik...+ΓmliTrs...mk...+ΓmlkTrs...im......u¨ r jeden oberen IndexΓrlmTms...ik...ΓslmTrm...ik......u¨ r jeden unteren Index

Es gilt gμν;σ0(das ist ein Charakteristikum der Riemannschen Geometrie) Paralleltransport von Vektoren Anschauliche Bedeutung der kovarianten Ableitung führt zum Begriff „Parlleltransport“ bzw. „Parallelität von Vektoren in infinitesimal benachbarten Punkten“: Das totale Differential eines Vektors Aα

dAα=Aα,νdxν=Aα(xλ+dxλ)Aμ(xλ)

Ist also kein Vektor (s.o), weil die Termine

Aα(xλ+dxλ)
und Aα(x)sich verschieden transformieren, denn ααν(x+dx)ααν(x). Die Differenz ist deshalb kein Tensor.

Man muss also

Aα(x+dx)
zum Punkt x transportieren, ohne dass z sich im Minkowski-Fall ändert (d.h. ihn nach x parallel verschieben). Die Änderung bei Parallelverschiebung sei δAαgenannt.
DAα=Aα(x+dx)Aμ(x)δAα=Aα,νdxνδAα

(man zieht also die Änderung bei der Parallelverschiebung ab) Aufgrund der oben definierten kovarianten Ableitung weiß man, wie δAαaussieht:

DAα=Aα;νdxν=Aα,νdxν+ΓμναAμdxν

d.h. δAα=ΓμναAμdxν Also: 2 Vektoren in infinitesimalen Punkten sind genau dann parallel, wenn die beiden Änderungen dAαund δAαsich gegenseitig kompensieren, d.h. wenn die kovariante Ableitung verschwindet:dAαδAα=Aα,νdxν+ΓμναAμdxν=0. Bemerkungen: Es gibt keinen Fernvergleich von Vektoren (d.h. von Richtungen sondern nur den von Winkeln)

Bei dieser Art der Verschiebung ändert sich der Winkel zwischen Vektor und Kurve (anders beim Fermi-Walker-Transport) Geodätische Linien (Geodäten) Def. der Autoparallel (die „gradeste Verbindung“ zweier Punkte): (Für beliebige Kurven ändert sich der Winkel zwischen Vektro und Kurve (s.o.)) Autoparllele=Kurve, längst der der Tangentenvektor parallel verschoben wird

Aα,νdτxν+ΓμναAμdτxν=0
(Parallelverschiebung)
Aα=dτxα
(Tangentenvektor an Kurve mit Kurvenparameter τ)
dτ2xα+Γμναdτxμdτxν=0

(Autoparallelengleichung) Definition der Geodäten (die „kürzeste Verbindung“ zweier Punkte): Geodäte=Kurve länger der δABds=0.

dτ2xα+Γμναdτxμdτxν=0

(Geodätengleichung) Die Autoparallele ist gleich der Geodäten (ein Charakteristikum der Riemannschen Geometrie) Der Krümmungstensor Der Krümmungstensor ist ein kovariantes Maß für die Krümmung des Raumes (Die Metrik und die Konnektoren sind ungeeignet: gμνist kein „punktuelles“ Maß, da in einem Punkt immer auf ημνzu transformieren und Γμναist kein Tensor.) Erste Art der Definition

Aα;μ;νAα;ν;μ=RαβμνAβRαβμν=Γβν,μαΓβμ,να+ΓσμαΓβνσΓσναΓβμσ

Zweite Art der Definition


Aα(q)=Aα(xλ+dxλ+dx¯λ)=Aα(xλ+dx¯λ+dxλ)

1. Weg

2. Weg

ΔAα=δAα(1)δAα(2)=RαβμνAμdx¯βdxν

Symmetrien des Riemannschen Krümmungstensors

Rαβμν=Rβαμν=Rαβνμ=RμναβRαβμν+Rαμνβ+Rανβμ=0

Es bleiben also noch 20 algebraisch unabhängige Komponenten Differentialidentität (Bianchi-Identität)

Rαβμν;λ+Rαβνλ;μ+Rαβλμ;ν=0

Ricci-TensorRβν:=gαμRαβμν Ricci-Skalar R=gβνRβν Damit verfügen wir über das gemometrische Inventar zur Formulierung der Einsteinschen Gravitationsgleichungen. ………RECHNUNG FEHLT……… Grundgesetze der Allgemeinen Relativitätstheorie Grundgesetze der Physik im Riemannschen Raum (schwaches Äquivalenzprinzip bzw. Einsteinsches Äquivalenzprinzip) SRT Gesetze ohne Gravitation Koordinaten Transformation ART-Gesetze (Relativistisch) Gesetze mit Gravitation

ξαxαημνgμνμDμ

Tensoren im M4  Tensoren im V4

dξαdxα=xαdξμdξμημνgμν=ηαβξαxμξβxνAM4αAV4α=xαξμAM4μ
Mechanik
mdτuα=fαmdτuα=fα+Γμναuμuν

(nichtrelativistische Näherung §31a) Elektrodynamik

Fμν,ν=4πcjμενμαβFαβ,μ=0}{Fμν;ν=4πcjμ1gενμαβFαβ;μ=0{1g(gFμν),ν=4πcjμενμαβFαβ,μ=0

Nichtrelativistischer Grenzfall Der mechanischen Bewegungsgleichung

fα=0
vicdtxicdtxidt(ct)dtdxidtdx0dτxidτx0

Also

mdτ2xα=mΓμναdτxμdτxνmΓ00αdτx0dτx0
gμν,0=0 (statische Felder)
Γ00α=12gασ(gσ0,0+g0σ,0g00,σ)=12gαig00,i
(schwache Felder)

Bewegungsgleichungen:

dτ2t=0dτt=const


dτ2xi=12c2ih00(dτt)2dt2xi=c22h00,ig00=1+h00=1+2ϕc

Man kann Δφ=4πGρ daher schreiben als

Δg00=8πGc2ρ


Energie – Impuls Tensor Alle Energieformen au0er der Gravitation tragen zum Energie-Impuls-Tensor bei

Tμν=THDμν+TEDμνTEDμν=14π(FαμFμν+14ημνFαβFαβ)(TED00=18π(E2+B2),S=ciTED0iei=c4πE×B)


μTμν=0

differentieller Energie-Impuls-Erhaltungssatz Daraus folgt für räumlich begrenzte Systeme:

(ct)V3Tα0d3x=V3iTαid3x=V3TαidFi=0


pα=1cV3Tα0d3x=const

(Integraler Energie-Impuls-Erhaltungs-Satz) In der ART gilt

DαTαβ=Tαβ,β+ΓμβαTμβ+ΓμββTαμ=0

Einsteinsche Feldgleichungen der Gravitation Struktur („Ableitung“) der Gleichungen Aufgabe: Relativistische Verallgemeinerung der Newtonschen Gravitationsgleichung

Δϕ=4πGρ

(1.3) Wobei die gesuchten Gleichungen Differentialgleichungen für gμνsind. Nichtrelativistischer Grenzfall der Bewegungsgleichungen  Hinweis für die Verallgemeinerung der linken Seite von (1.3):

g001+2ϕc2

Vergleich weiter oben Nichtrelativistischer Grenzfall des Energie-Impuls-Tensors einer idealen Flüssigkeit  Hinweis für die Verallgemeinerung der rechten Seite von (1.3)

(Tαβ)=δαβ0ρc2

Denn für vic1,pρc21gilt

Tαβ=(ρ+pc2)uαuβPgαβ


T00ρc2,T0iT00vic21,TijT00=O(v2c2)1

Also mögliche Formulierung von (1.3)

Δg00=8πGc4T00

(1.4) Gesucht ist eine Verallgemeinerung dieser Gleichung, die es erlaubt, alle gμνzu bestimmen. Naheliegende Verallgemeinerungen von (1.4):

ηgμν=8πGc4Tμνη:=ηαβαβ

<-> -Widerspricht der Gleichung Tαβ;β=0

ggμν=8πGc4Tμνg:=gαβDαDβ

<-> -Sinnlos da Dαgμν0 Man hat für die linke Seite der Gleichung einen Tensor zu suchen der folgenden Bedingungen genügt:

Gμν=8πGc4Tμν

Gμνist ein Riemannscher Tensor 2ter Stufe GμνIst symmetrisch Gμνenthält keine höheren Ableitungen von gμνals die zweite: Gμν=Gμν[gμν,gμν,2gμν] Gαβ;β=0 Für schwache, statische Felder gilt G00Δg00 Aus (1)-(3) folgt Gμν=aRμν+bRgμν Aus (4) folgt a=2b Da


Gαβ;α=aRαβ;α+bgαβR;α=0a=2b

Aus (5) folgt a=1 Also

Rμν12gμνR=8πGc4Tμν

(Einsteinsche Gleichungen ohne kosmologischen Term)

Rμν12gμνR+Λgμν=8πGc4Tμν

(Einsteinsche Gleichungen mit kosmologischem Term) Einsteinsche Gleichungen und Bewegungsgleichungen SRT

Tαβ,β=0pα=1cVTα0d3x=const(Energie Impuls Erhaltung)

ART

Tαβ,β=0 A¨ quivalenzprinzipTαβ;β=0
Tαβ;β=0Tαβ,β0 keine Energie Impuls Erhaltung

In der ART sind die Gleichungen Tαβ;β=0keine Energie Impuls Erhaltungssätze sondern Bewegungsgleichungen.

Das Variationsproblem der Einsteinschen Gravitationsgleichungen Allgemeines Schema Man konstruiert ein das physikalische System charakterisierende Wirkungsintegral S

S=t1t2L(Φ,Φ)dt

Die Feld bzw. Bewegungsgleichungen folgen dann aus dem Hamiltonschen Wirkungsprinzip δS=0für die Euler-Variation δΦder Variablen Φ. Mechanik (Systeme mit einer endlichen Anzahl von Freiheitsgraden) Voraussetzung: L enthält bisauf Terme der Form dtF(wobei F=F(q,t)) nur erste Ableitungen der Variablen Φ Hamiltonsches Prinzip

Resultierende Bewegungsgleichungen (Euler-Lagrange-Gleichungen)(dtq˙iqi)L=0 Einstein Gleichungen Einstein Hilbertsches Wirkungsintegral SEH

SEH=V4(R+2κLMat)gd4x

Mit

LMat

= kovariant geschriebene Lagrangefunktion für die das Gravitationspotential gμνerzeugenden Terme Einsteinsches Wirkungsintegral SE

R=1g[g(gμνΓμνα+gμαΓμνν)],α+LE(g,Γ)LE=gμν(ΓμναΓαββΓμβαΓναβ)SEH=V4(LE+2κLMat)gd4x+V41g[g(gμνΓμνα+gμαΓμνν)],αgd4x

Der Term

V41g[g(gμνΓμνα+gμαΓμνν)],αgd4x

liefert keinen Betrag zu δSda es sich beim Integranden um enie Divergenz νKνhandelt (s.o.).

δSEH=δSE=0Rμν12gμνR=κTμνmit Tμν:=2gδ(gLMat)δgμν

Lineare Näherung der Einsteinschen Gleichungen

Von den Einsteinschen zu den linearisierten Gleichungen Vorbemerkung Elektrodynamik: 4 algebraisch unabhängige Gleichungen 1 Differentialidentität  4-1=3 funktional unabhängige Gleichungen für 4-1=3 Feldfreiheitsgrade (wegen Eichfreiheit AαAα+dαχ ART 10 algebraisch unabhängige Gleichungen Rμν12gμνR=8πGc4Tμν 4 Differentialidentitäten  10-4=6 funktional unabhängige Gleichungen für 10-4=6 Feldfreiheitsgrade (wegen Koordinatenkovarianz xμx'μ) Linearisierung der Gleichungen

Rμν=8πGc4(Tμν12gμνT)

Ansatz gμν=ημν+hμνmit |hμν|1(schwache Felder)

gμσgσν=δμσgμν=ημνημαηνβhαβ

Nachbemerkung (Zum Vergleich von Elektrodynamik und linearisierter ART) Elektrodynamik (in Potentialform)

Fαβ,ν=4πcjαFαβ=Aα,βAβ,α}AαAβ,α,β=4πcjα

Eichinvarianz bzgl. AαAα+αχ. Daher Äquivalente Formulierung der ED:

Linearisierte ART

Rμν12gμνR=8πGc4Tμνgμν=ημν+hμν}hμν+...=16πGc4Sμν


Bemerkung (Ähnlichkeiten und Unterschiede) Von den linearisierten zu den Einsteinschen Gleichungen -entfällt- Die Schwarzschildlösung und Experimente zur Allgemeinen Relativitätstheorie Das Kugelsymetrische Graviationsfeld (Schwarzschild-Lösung) Bewegung von Teilchen im kugelsymetrischen Gravitationsfeld Lichtablenkung, Periheldrehung, Radarecheo-Effekt, geodätische Präzession Statische Sternmodelle Gravitationsstrahlung

Wellenlösungen Nachweis von Gravitationsstrahlung Übersicht über die durchgeführten und geplanten Experimente zur Allgemeinen Relativitätstheorie Vorbemerkung Der Name „schwaches Äquivalenzprinzip“ steht hier für das was in §11 als Newtonsches und Einsteinsches Äquivalenzptinzip bezeichnet wurde. Das schwache ÄP macht aber Aussagen über den Einfluss eines gegebenen äußeren Gravitationsfeldes auf physikalische Prozesse Das starke Äquivalenzprinzip betrifft die Gravitation selbst, also die Potentiale und deren Bestimmungs-gleichungen. Es besagt: Das Gravitationsfeld ist einzig und allein durch die gμνgegeben, und diese werden durch die Einsteinschen Feldgleichungen bestimmt [ES GIBT UNTERSCHIEDLICHE DEFINITIONEN DES SCHWACHEN UND STARKEN ÄP] Tests des schwachen Äquvalenzprinzips Eötvös Versuch (mit Vorläufern und Nachfolgern) Galileisches Fallgesetz Newtons „Äquivalenzprinzip“ m=M Test durch Newton: Pendelversuche T=2πlgmMfür kleine Winkel Δm=mMm103 Bessel (1784-1846): Pendelversuche Δm106 Eötvös (1848-1918): Versuche mit der Torosionswage in den Jahren 1880-1919 1922: Δm1091990Δm1012 Rotverschiebung Bemerkungen über Koordinaten und Eigenzeit SRT ART IS:v0

ds2=ημνdxμdxνdτ=1cημνdxμdxν=1(vc)2dt IS:v0
ds2=ημνdxμdxνdτ=1cημνdxμdxν=1(vc)2dt

IS: v=0 (Ruhesystem)

ds2=ημνdx'μdx'νdτ=1cημνdx'μdx'ν=1(vc)2dt=dt Allgemeines KS:v=0(Ruhesystem)
ds2=gμνdx'μdx'νdτ=1cgμνdx'μdx'ν=1cgμνdx'μdtdx'νdtdt=g00dt

Jede in einem Inertialsystem ruhende Uhr misst die Eigenperiodedτ. Unter dem Einfluss der Gravitation musst eine ruhende Uhr eine Periodedtdτ. Nur eine frei fallende Uhr misst dτ. (d..h. eine Uhr im lokalen IS.) Gravitationsrotverschiebung Betrachten zwei identische Uhren in einem statischen Gravitationsfeld (an den Orten A und B)

A:dτA=g00(xiA)dtAB:dτB=g00(xiB)dtB

Sei dτder Abstand zwiscehn 2 Wellenbergen und dt die Koordinatenzeit zwischen 2 Wellenberen  dτA=1vA,dτB=1vB,dtA=dtBz:=vAvBvB=vAvB1=g00(xiB)g00(xiA)1 mit (z=Rotverschiebungsparameter)

Es gibt 3 Arten der Rotverschiebung Doppler-Verschiebung Gravitationsrotverschiebung Kosmologische Rotverschiebung Messung der gravitativen Rotverschiebung mittels des Mößbauer-Effektes durch Pund&Suider (1965) im Erdfeld:

(Δν)exp(Δν)theo=1.00±0.01

Messung der gravitativen Rotverschiebung des Sonnenlichtes die durch das Gravitationsfeld der bewirkt wird (Snider 1972):

(Δν)exp(Δν)theo=1.01±0.06(störende Faktoren: Relativgeschwindigkeit: Erde – Sonne termische Bewegung der Atome, Konvektion der solaren Gase)

1980 H2-Maser: (Δν)exp(Δν)theo=1±104 Bewegte Uhren (in Flugzeugen, Raketen und Stelliten bestätigen die allg. Beziehung zwischen dτund dt) Test des starken Äquivalenzprinzips Roberson-Entwicklung für gμνim schwachen Gravitationsfeld, d.h. für GMc2r1 (im Sonnenfeld2106)

B(r)=12GMc2r+2(βγ)(GMc2r)2+...A(r)=1+2γGMc2r+...

Für ART: β=γ=1für Newtonβ=γ=0) Rotverschiebung Test für g00 in erster Näherung (diese Bedingung muss jede Theorie erfüllen) Lichtablenkung, Gravitationswellen

Δφ=4ar01+γ2

(Winkel der Lichtablenkung)

Gravitationslinsen: Qusarzwillinge erwiesen sich als 2 Bilder eines Quasars, dessen Radiowellen durch eine zwischen uns und dem Quasar befindlichen („Gravitationslinse“) Periheldrehung

Δφ=6πap2β+2γ3(Drehung pro Umlauf)

Unter verwendung des aus anderen Beobachtungen gegeben γ-Wertes erhielt man 1989/90:

β=1±0.003


Radarecho-Effekt

δt=4ac[1+1+γ2ln(4rErRR2)]Für Venusreflektor γ=1.000±0.002

Präzession von Kreiseln Kreisel „Erde-Mond“ (1988-1996) 1% genauigkeit d geod. Präzession Standford Satelliten Exp. Zur Messung der geodätischen Präzession und des Thirring-Lense Effekts: Demnächst sollen Resultat gefunden werden. Nordvedt-Effekt Abstand „Erde-Mond“-Messung liefert Doppelpulsarsystem Indirekter Nachweis der Gravitationsstrahlung am Doppelpulsarsystem PSR 1913+16 Zusammenfassung Die ART ist für schwache Gravitationsfelder hervorragen bestätigt Für starke Felder können astrophysikalische und kosmologische Untersuchungen als Tests dienen.

Vorlesung ART II


Zusammenfassende Darstellung der Grundlagen der ART Hamilton Lagrange Formalismus für Feldtheorie (Ableitung der Einsteinschen Feldgleichungen aus einem Variationsprinzip) Allgemeines Schema Hamiltonsches Wirkungsprinzip

δS=0für Euler-Variation von
δϕ

der Variation von

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle & \phi }
wobei S=L(ϕ,δϕ)dtdas Wirkungsintegral ist (L:=Lagrangefunktion)

Jeweilige Symmetrieforderung (aller Arten von Relativitätsprinzipien) werden automatisch erfüllt Aber beim Start mit Hamiltonfunktion (bzw. Hamiltondichte) bedarf es der speziellen Prüfung Systeme mit endlichen Anzahl von Freiheitsgraden (Mechanik) Voraussetzung L enthält nur erste Ableitung von Variablen qi,q˙i Geschwindigkeitsphasenraum (Konfigurationsraum q^i (Verallgemeinerte Koordinaten), Konfigurationsraum q˙i(q˙i=dtqi verallgemeinerte Geschwindigkeiten) i=1..N (N Freiheitsgrade) Lagrange Funktion L=L(qi,q˙i)bzw. L=L(qi,q˙i,t) Hamilton Prinzip: Für die Teilchenbahn ist

S=t1t2L(q˙i,qi)dt

Bezüglich Euler-Variation der qistationär. (

δS=δt1t2L(q˙i,qi)dt=0
wobei δqi(t1)=δqi(t2)=0

Euler-Lagrange-Gleichung (Mechanik)

δLδqi:=LqiddtLq˙i=0Euler-Variation des Wirkungsintegrals ist gleich der Funktionalableitung von L.

Zusatzterme der Form dF(qi)dtsind „wirkungslos“ (verändern die resultierende Bewegungsgleichung nicht.) Also L=L(q˙i,qi)+dF(qi,t)dt sind hinsichtlich Euler-Variation äquivalent zu L: Warum?

t1t2L(q˙i,qi)dt=t1t2L(q˙i,qi)dt+F(qi,t1)F(qi,t2)

so daß wegen δqi(t1)=δqi(t2)=0gilt

δt1t2L(q˙i,qi)dt=δt1t2L(q˙i,qi)dt

. Für den Fall, dass L auch von der 2. Ableitung abhängt muss man fordern, dass δqi(t1)=δqi(t2)=0und δq˙i(t1)=δq˙i(t2)=0Dann sind L=L(qi,q˙i,q¨i,t), L'=L+dFdtmit F=F(qi,q˙i,q¨i)Euler-Äquivalent Systeme mit einer kontinuierlichen unendlichen Anzahl von Freiheitsgraden (klassische Feldtheorie) (Canonical Gravity: From Classical to Quantum, J. Ekler, H Fredrich (eds. Springer 1994) (A.Wipf) Tabelle 1 Vergleich von Mechanik und Feldtheorie Mechanik Feldtheorie

qi(t)=q(t,i)(Endliche Anzahl an Freiheitsgraden) φ(t,xb,a)=φa(t,xb)=φa(xα)kontinuierliche und endliche Freiheitsgrade (a))

(z.B. elektrodynamisches Potential Aμoder skalares Potential φ)

q˙i φ˙a(xα)

Weitere Übersetzungen (Math. Operationen, …) Tabelle 2 Vergleich von Mechanik und Feldtheorie Mechanik Feldtheorie

iq˙iq˙i αφ˙a(xμ)φ˙a(xμ)d4x
F(qi,q˙i) F(φa(xα),φ˙a(xα))
fqi δFδφa(xμ)

(Der Konfigurationsraum muss entsprechend oft genug differenzierbar sein.) Lagrangian und Wirkungsintegral … Hamiltonsches Prinzip Tabelle 3 Vergleich von Mechanik und Feldtheorie Mechanik Feldtheorie

L(qi,q˙i) L=V3(φa,φ˙a,kφ,t)d3x= Lagrangedichte (lokale Feldtheorie)
S=t1t2L(q˙i,qi)dt
S=t1t2Ldt=V4(φa,φ˙a,kφ,t)d3xdt


δS=δt1t2L(q˙i,qi)dt=0
δS=δV4d4x=0
δqi(t1)=δqi(t2)=0 φ|V4=0

Lagrange Dynamik bzw. ELG der freien Teilchen Tabelle 4 Vergleich von Mechanik und Feldtheorie Mechanik Feldtheorie

LqiddtLq˙i=0 μ(Lμ(μφa))Lφa

Ableitung der Einsteinschen Gleichungen durch Variation nach g Vorbemerkung zu Integralen im Riemannschen Raum: Integrale können nur überskalare Dichten ρgebildet werden. Alle andere wäre sinnlos Also:

ρ:ρ=|xx|ρ(Allgemeine Definition)
ρd4x:=ρdx0dx1dx2dx3

Denn: Es kommen nur skalare („indexfreie“) Objekte als Integrand in Frage Es dürfen keine gemeinsamen Skalare sein, da d4x=|xx|d4x Also ρd4x=ρd4x=Skalar Man kann skalare Dichte immer aus Skalar duch Multiplikation mit g erhalten, weil g=|xx|g Gaußscher Satz gilt nur für skalare Dichten z.B. Jα;αgnicht aber für Tαβ;αg. Einstein Gleichungen Einstein Hilbertsches Wirkungsintegral SEH

SEH=V4(R+2κLMat)gd4x

Mit

LMat

= kovariant geschriebene Lagrangefunktion für die das Gravitationspotential gμνerzeugenden Terme Einsteinsches Wirkungsintegral SE

R=1g[g(gμνΓμνα+gμαΓμνν)],α+LE(g,Γ)LE=gμν(ΓμναΓαββΓμβαΓναβ)SEH=V4(LE+2κLMat)gd4x+V41g[g(gμνΓμνα+gμαΓμνν)],αgd4x

Der Term

V41g[g(gμνΓμνα+gμαΓμνν)],αgd4x

liefert keinen Betrag zu δSda es sich beim Integranden um enie Divergenz νKνhandelt (s.o.).

δSEH=δSE=0Rμν12gμνR=κTμνmit Tμν:=2gδ(gLMat)δgμν

Ableitung der Einsteinschen Vakuum-Gleichungen mittels der Palatini-Variation (von Einstein „gemischte“ und von Wegl „neutrale“Variation genannt) Im Riemannschen Raum giltgμν;ρ=0Γ[μν]α=0Γμνα={μνα}Daher ist dann nur die obrige metrische Variation möglich. Nehmen wir an, dass man in einem Raum ist, der durch eine Metrik gμνund eine symmetrische Konnerktion Γcharakterisiert ist. Dann kann man nach g und l‘ variieren. Resultat:Rgd4x=LG Variation von

LG

nach Γzu:

gμν;ρ=0u¨ r Γ[μν]α=0 gilt Γ={}

Damit führt Variation von

LG
nach gμνzu
Rμν=0

Erhaltungssätze und Bewegungsgleichungen in der ART Spezielle Relativitätstheorie Es gilt Energie-Impuls-Erhaltung

Tαβ,β=0pα=1cV3Tα0d3x=const

ART

Tαβ,β=0 A¨ quivalenzprinzipTαβ;β=0
Tαβ;β=0(gTαβ),β=gTμνΓμνα0 keine Energie Impuls Erhaltung

In der ART sind die Gleichungen Tαβ;β=0keine Energie Impuls Erhaltungssätze sondern Bewegungsgleichungen. Beispiel Ideale Flüssigkeit:

[μ+pc2uαuβpgαβ];β=0(μ+pc2)uα;βuβ=(gαβ1c2uαuβ)hαβp;βgαβp;β=0uα;βuβ=0

Die kovariante Herleitung und Formulierung dieses Sachverhaltes lautet:

SRT


ART

Tαβ;α=0V4Tαβ;βd4x=0

Hier bricht die Argumentationskette aber ab, da für Tensorfelder 2ter und höherer Stufe im Riemannschen Raum kein Gaußscher Satz gilt. Es folgt also kein integraler Erhaltungssatz. Es existieren Killing Vektorenξμ:ξμ;ν+ξν;μ=0

(ξνTμν);μist die Divergenz eines Tensors 1. Stufe für den der Gaußsche Satz gilt

(ξνTμν);μ=ξν;μTμν=0+ξνTμν;μ=0=0

x0=constξνTμνdfμ=x0=constξνT0νd3x=const

Im übrigen gilt

Tα;α=1g(gTα),αV4(gTα),αd4x=V4(gTα)dfα(Tα:=ξβTαβ)

Lineare Näherung der Feldgleichungen Vorbemerkungen (Elektrodynamik) Elektrodynamik: 4 algebraisch unabhängige Gleichungen 1 Differentialidentität  4-1=3 funktional unabhängige Gleichungen für 4-1=3 Feldfreiheitsgrade (wegen Eichfreiheit AαAα+dαχ ART 10 algebraisch unabhängige Gleichungen Rμν12gμνR=8πGc4Tμν 4 Differentialidentitäten  10-4=6 funktional unabhängige Gleichungen für 10-4=6 Feldfreiheitsgrade (wegen Koordinatenkovarianz xμx'μ) Beispiele diag(1;1;1;1) und diag(1;1;r2;r2sin2θ)sind Lösungen der Gleichungen Rμν=0 Gravitationsstrahlung

Gravitationswellen (ebene Wellen) Lösungen der Wellengleichung hμν=0 Wieder zum Vergleich: Elektrodynamik Aα=0Feldgleichungen Aα,α=0Eichbedingungen A0=0(1 Zusatzbedingung, die im Vakuumfall wegen der Invarianz der Feldgleichungen bezüglich AαAα+αχ mit χ=0möglich ist Daraus folgt dass nur 2 unabhängige Felder (bzw. Feldfreiheitsgrade) existieren Ansatz: Ebene Wellen

Aα=eαexp(kβxβ)+c.c.mit kβ=(ω/c,ki),|k|:=2πλ,xβ:=(ct,xi)

eαkα=0 eα=(0,ei) Also Welle in x3-Richtung

(Aα)=(0(c),e1,e2,0(b))exp(ik(x3(a)ct))+c.c.

Lineareisierte ART hμν=0(Feldgleichungen) 2hμν,μ=hμμ,ν(Eichbedingungen) 4 Zusatzbedingungen, die im Vakuumfall wegen der Invarianz der Feldgleichungen bezüglich möglich sind Es exisitieren also nur 2 unabhängige Felder Ansatz: Ebene Welle

hμν=eμνexp[ikβxβ]+c.c.


2ημρeρνkμ=eρμηρμkν Dazu gilt die Annahme einer Welle, die in x3-Richtung läuft hμν=eμνexp[ik(x3ct)]+c.c.


(hμν)=(00000e11e1200e12e1100000)exp[ik(x3ct)]+c.c

Explizit sichtbar das nur 2 unabhängige Felder nämlich e11 und e12 existieren Energie und Impuls der ebenen Wellen

tμν=c48πGkμkν(|e11|2+|e12|2)

Linear polarisierte Welle e11=h, e12=0 oder andersrum

tμν=c48πGkμkνh2

Und wenn in x3-Richtung (kα)=(ω/c,0,0,ω/c)dann folgt daraus

Energiestromdichte=EnergieZeit Fl a¨ che (in x3Richtung)=ΦGW:=ct03=c38πGω2h2

Quadropulstrahlung Welcher Art ist die Strahlung? Dazu Quellterme mit betrachten. Elektrodynmaik (elektromagentische Strahlung) Räumlich begrenzte zeitlich periodische Ladungsverteilung

jα(xi,t)=jα(xi)eiωt+cc

Retardierte Potentiale:

Aμ(xi,t)=1cd3xjμ(x'i,t|x'ixi|c1)|x'ixi|=1cexp(iωt)d3xjμ(x'i)exp(ik|x'ixi|)|x'ixi|+cc=Aμ(xi)exp(iωt)+cc

Frequenz der Potentiale = Frequenz der Ladungsverteilung Annahmen Betraten asymptotische Felder, d.h. nehmen an dass r0r|xix'i|=rxixir+... Machen Langewellen-Näherung d.h. nehmen an dass r0λdaraus folgt für die räumlichen Komponenten An(xi)=exp(ikr)crd3xjn(x'i)exp(ikr)rd3xjn(x'i)kjx'j Mit der Kontinuitätsgleichung folgt


Kosmologische Lösungen der Einsteinschen Gleichungen Übersicht über die Grundlagen der Kosmologie und die wichtigsten Weltmodelle Metagalaxis R10Lj

M=21030kg1Lj=9,461015m1pc=3,26Lj

Galaxien: Galaxienhaufen: (1.5) Die über ein Raaster von 108Lj gemittelte Materie ist homogen und isotrop verteilt. (es existiert ein homogener und isotroper Hubble-Fluss Friedmann – Roberson Walker Metrik (s. Goenner 14.1) Annomalien über die Materie und die Metrik Kontinuumsmodell (idealesGas bzw. ideale Flüssigkeit)

Tαβ=(ρ+pc2)uαuβPgαβ

Es existiert ein durch x0=const gezeichnetes momentanes Ruhesystem der Materie (mitbewegtes Bezugssystem) Das heißt uα(=δ0α)x0=constFla¨che und

uα=dxαdτ=1g00dxαdx0=1g00δ0αnα=φ,α=δα0

… Also

ds2=g00(x0,xk)c2dt2+gik(x0,xk)dxidxk

Die Weltlinien der Materie sind zeitartige Geodäten

ds2xα+Γμναdsxμdsxν=0

(1) + (2)  g00,i=0 Also

ds2=g00(x0)c2dt2+gij(x0,xk)dxidxj

(1.6) Bzw mit Koordinatentransformation x¯0=0xg00(u)du

ds2=(dx¯0)2+gij(x0,xk)dxidxj

(1.6) Der Hubble Fluß der kosmischen Materie ist homogen und isotrop, d.h. das Verhältnis der Raumschnitte x¯0=constzu verschiedene Epochen x¯0 und x¯0+dx¯0 ist nur eine Funktion der kosmischen Zeit:

ds2|x¯0+δx¯0=constds2|x¯0=const=1+δx¯0h(x¯0)+O((δx¯0)2)gik(x¯0,xk)=S2(x¯0)γij(xk)ds2=(dx¯0)2+S2(x¯0)γij(xk)

Kosmologisches Prinzip: In unserer Epoche ist kein Ort im Raumschnitt x¯0=constvor einem anderen ausgezeichnet, d.h. der 3Dimensionale Ortsraum ist homogen und isotrop. Daraus folgt


Beispiel k=+1 S3:x2+y2+z2+w2=1(Einheitsspähre) Durch Einbettung in einen 4-dimensionalen euklidischen Raum mit dem Linienelement dσ4=dx2+dy2+dz2+dω2und geeigneten Koordinaten erhält man