Affine Quadrik

Definition

Eine Teilmenge $Q \in K^{n}$ heißt Quadrik, wenn es ein quadratisches Polynom P gibt, so dass $Q = {(x_{1}, ..., x_{n}) \in K^{n} : P (x_{1}, ..., x_{n}) = 0}$

Affine Hauptachsentransformationen reeller Quadriken

Satz über die affinen Hauptachsentransformationen von reellen Quadriken

Sei

Q = {x \in ℝ^{n} :^{t} x^{'} A^{'} x^{'}}

wobei  $A'$ eine symmetrische (n+1)-reihige Matrix bezeichnet. Es sei

m := R a n g A

, $m' := r a n g A^{'}$ Dann gibt es eine Affinität $f : ℝ^{n} \to ℝ^{n}$ , so dass f(Q) beschrieben wird durch eine Gleichung in Hauptachsentransformation, d.h. von der Form

{\begin{matrix} y_{1}^{2} + ... + y_{k}^{2} - y_{k + 1}^{2} - ... - y_{m}^{2} = 0 falls m = m^{'} \\ y_{1}^{2} + ... + y_{k}^{2} - y_{k + 1}^{2} - ... - y_{m}^{2} = 1 falls m + 1 = m^{'} \\ y_{1}^{2} + ... + y_{k}^{2} - y_{k + 1}^{2} - ... - y_{m}^{2} + 2 y_{m + 1} = 0 falls m + 2 = m^{'} \end{matrix}

Affine Quadrik

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Satz über die affinen Hauptachsentransformationen von reellen Quadriken

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