D'Alembertsches Prinzip der virtuellen Arbeit

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Gegeben sei ein System von N Massepunkten mit beliebigen (holonomen oder nicht holonomen) Zwangsbed.

Schreiben wir die Bewegungsgleichungen mit den Zwangskräften Zi als:


mir¨i(t)Xi=Zii=1...Ni(mir¨i(t)Xi)δri=iZiδri


Dabei versteht man
iXiδri als virtuelle Arbeit der eingeprägten Kräfte und
iZiδri als virtuelle Arbeit der Zwangskräfte.



Beispiel: Bewegung auf einer Fläche


f(ri,t)=0


das ist auf der Ebene gerade durch die Normale auszudrücken:


a(rro(t))=0


Annahme: Alle Zwangskräfte stehen senkrecht auf die Fläche:


Zi=λi(r1,r2,...,rN)rifrifz.B.afu¨rEbene


Die Virtuelle Arbeit der Zwangskräfte verschwindet nun:


Ziδri=0=λi(r1,r2,...,rN)rifδri=λiδf


Begründung:


rifδri

ist als Variation der Zwangsbedingung zu verstehen:


rif

ist ein Differenzial senkrecht auf die Fläche


fδri

ein Differenzial parallel zur Fläche

Also folgt:


iZiδri=0


Die reale Arbeit der Zwangskräfte verschwindet dagegen im Allgemeinen nicht:


iZidri0


Beispiel: Starrer Körper


fλ=|rirj|lij:=rijlij=0


Annahme: Die Zwangskräfte wirken in Richtung

rirj


Zij=λijrirjrij


Das Vorgehen läßt sich also folgendermaßen schematisieren:

Bestimme die Richtung der Zwangskraft und multipliziere einen beliebigen skalaren Faktor mit dieser Richtung.

Falls die Richtungen für verschiedene Zwangskräfte verschieden sind, so muss man diese indizieren (mit einem Index kenntlich machen). Die Zwangskräfte erhalten dann ebenso indizierte skalare Faktoren.

Mit Hilfe des 3. Newtonschen Axioms können wir weiter einschränken:


Zij=Zjiλij=λji


Auf das Teilchen i wirkt also insgesamt die Zwangskraft:


Zi=jiZij=jλijrirjrij


Ziδri0

im Allgemeinen. Es verschwindet also nicht die virtuelle Arbeit für jede Masse einzeln.

Jedoch gilt:


iZiδri=i,jλijrirjrijδri=12i,jλijrirjrijδ(rirj)=12i,jλijδrij=0


Beweis:


δ|r|=δ(rr)12=12(rr)122rδr=rδrr und δrij=0


Allgemeine Forderung

Allgemein kann man fordern:

iZiδri=0

für alle betrachteten Zwangskräfte.

Das bedeutet: Gleitreibungskräfte längs einer Fläche sind als Zwangskräfte ausgeschlossen.


Somit folgt als d'Alembertsches Prinzip:
iZiδri=i(mir¨iXi)δri=0


Das d´Alembertsche Prinzip gilt gleichermaßen für holonome und anholonome Zwangsbedingungen

Beispiel für ein Variationsprinzip:

Differentialprinzip: (für infinitesimal kleine Variationen):

Der wirklich angenommene Zustand eines Systems ist in Extremalzustand in dem Sinn, dass die gesamte virtuelle Arbeit Null ist. Dieser Zustand ist stabil gegen kleine Verrückungen der Bahn

{δri}.

Variationsprinzip mit Nebenbedingungen

Wir numerieren nun die Vektorkoordinaten um:

rrj(j=1...3)XXjabjn


Aus dem d´Alembertschen Prinzip gewinnen wir:

i=13NZiδri=i=13N(mir¨iXi)δri=0


Nebenbedingung:

i=13Nbinδri=0n=1,...,ν


ν charakterisiert auch hier die Zahl der Nebenbedingungen, der Index n steht für die n-te Nebenbedingung

Dies ist lösbar mit der Methode der Lagrange-Multiplikatoren.

Denn: Wenn die Vektorkomponenten ri frei variierbar wären, also δri beliebig, so müsste gelten:

mir¨iXi=0


Also wäre es sinnvoll, das lineare Gleichungssystem so umzuschreiben, dass ein Satz von Faktoren frei variierbar ist:

mjr¨jXjn=1νλnbjn=0Lagrange- Gleichung der 1. Art


n=1νλnbjn kann als Zwangskraft interpretiert werden und taucht in der Statik als Lagrange- Parameter auf.


Beispiel Atwoodsche Fallmaschine
Atwoods Fallmaschine

Aus der Schule bekannt ist die Kraft, die an m1 angreift, nämlich -m1g und die Kraft, die an m2 angreift, nämlich -m2g. Beginnen wir mit dem d´Alembertschen Prinzip:

iZiδri=i(mir¨iXi)δri=0

so folgt:

(m1h¨1X1)δh1+(m2h¨2X2)δh2=0

Da der Aufbau nur ein Rädchen besitzt gilt ganz einfach:

h1+h2=const.δh1=δh2h¨1=h¨2


Also folgt:

(m1h¨1+m1g)δh1(m2h¨1+m2g)δh1=0
m1h¨1+m1g+m2h¨1m2g=0
h¨1=(m2m1)m1+m2g

Also: Am bedeutendsten ist das d´Alembertsche Prinzip, welches sagt, dass die Summe über alle virtuellen Arbeiten der Zwangskräfte Null ist:

iZiδri=i(mir¨iXi)δri=0