Das ideale Fermigas

Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Das ideale Fermigas basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 2) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Teilchen- Zustände sind die Eigenzustände zur 1- Teilchen- Energie Ei

Großkanonischer Statistischer Operator:

\hat{ρ} = Y^{- 1} \exp (- β (\hat{H} - μ \hat{N}))

Die Wahrscheinlichkeit, das System in einem bestimmten Zustand zu finden ist gleich dem Erwartungswert des statistischen Operators in diesem Zustand:

Also für den Vielteilchenzustand $| α ⟩$ :

{E_{α}}^{g e s .} = \sum_{j = 1}^{l} E_{j} N_{j}

mit der Einteilchenenergie Ej und den Besetzungszahlen Nj

Diese Wahrscheinlichkeit ist:

P_{α} = ⟨ α | \hat{ρ} | α ⟩ = Y^{- 1} ⟨ α | \exp (- β (\hat{H} - μ \hat{N})) | α ⟩ = Y^{- 1} \exp (- β \sum_{j = 1}^{l} (N_{j} E_{j} - μ N_{j}))

Dies ist ein Ergebnis für einen Zustand!

Die Großkanonsiche Zustandsumme Y gewinnt man, indem man über alle möglichen Vielteilchenzustände noch summiert, also:

Y = \sum_{N_{1} ... N_{l}}^{} \exp (- β \sum_{j = 1}^{l} (N_{j} E_{j} - μ N_{j})) = \prod_{j = 1}^{l} (\sum_{N_{j}}^{} \exp (- β (N_{j} E_{j} - μ N_{j})))

Jetzt muss bei der Auswertung die unterschiedliche Teilchenart berücksichtigt werden, nämlich in der Summation über Nj. Handelt es sich um Fermionen, so wird nur bis 1 summiert. Handelt es sich um Bosonen, so wird bis unendlich summiert!

Fermionen

\begin{matrix} Y = \sum_{N_{1} ... N_{l} = 0}^{1} \exp (- β \sum_{j = 1}^{l} (N_{j} E_{j} - μ N_{j})) = \prod_{j = 1}^{l} (\sum_{N_{j} = 0}^{1} \exp (- β (N_{j} E_{j} - μ N_{j}))) \\ = \prod_{j = 1}^{l} (\sum_{N_{j} = 0}^{1} {t_{j}}^{N_{j}}) \\ t_{j} := \exp (- β (E_{j} - μ)) \\ Y = \prod_{j = 1}^{l} (1 + t_{j}) = \prod_{j = 1}^{l} Y_{j} \end{matrix}

Also folgt:

P (N_{1}, ..., N_{l}) = \prod_{j = 1}^{l} \frac{{t_{j}}^{N_{j}}}{(1 + t_{j})} = \prod_{j = 1}^{l} P (N_{j})

separiert!!

Dies als Gesamtwahrscheinlichkeit, das System mit der Besetzung $(N_{1}, ..., N_{l})$ zu finden!

Mittlere Besetzungszahl im Einteilchenzustand $E_{j}$ :

Aus $P (N_{j}) = \exp (Ψ_{j} - β E_{j} - α N_{j})$ mit

\begin{matrix} Ψ_{j} = - \ln Y_{j} = - \ln (1 + t_{j}) \\ α = - β μ \end{matrix}

folgt:

⟨ N_{j} ⟩ = \frac{\partial Ψ_{j}}{\partial α} = \frac{1}{β} \frac{\partial}{\partial μ} \ln Y_{j} = \frac{t_{j}}{1 + t_{j}} = \frac{1}{{t_{j}}^{- 1} + 1}

Also:

\Rightarrow ⟨ N_{j} ⟩ = \frac{1}{\exp (\frac{E_{j} - μ}{k T}) + 1}

Die Fermi-Verteilung!

Dies folgt auch explizit aus

⟨ N_{j} ⟩ = \sum_{N_{1} = 0}^{1} \sum_{N_{2} = 0}^{1} ... {N_{j} \frac{{t_{1}}^{N_{1}}}{1 + t_{1}} ... \frac{{t_{j}}^{N_{j}}}{1 + t_{j}} ....} = \sum_{N_{j} = 0}^{1} N_{j} . \frac{{t_{j}}^{N_{j}}}{1 + t_{j}} = \frac{0 {t_{j}}^{0} + 1 t_{j}}{1 + t_{j}} = \frac{t_{j}}{1 + t_{j}}

speziell folgt dies auch aus

⟨ N_{j} ⟩ = p (N_{j} = 1) = \frac{t_{j}}{1 + t_{j}}

aber nur wegen Nj = 0,1

2 Möglichkeiten! → Mittelwert liegt in der Mitte

rechts besetzte und links unbesetzte Zustände

FJ: Nj:=1/(1+exp((Ej-mue)/Boltz)); 1 Nj := --------------------- 1 + exp(1/5 Ej - 1/5) > Boltz:=5; Boltz := 5 > mue:=1; mue := 1 * plot(Nj,Ej=0..50);]]

Für T → 0: $⟨ N_{j} ⟩ \to Θ (μ - E_{j})$ (Stufenfunktion), sogenannter Quantenlimes!
T>0: Aufweichungszone bei $E_{j} \tilde{} μ$ der Breite $\approx k T$

$E_{j} - μ > > k T$ (sehr hohe Energien) → $⟨ N_{j} ⟩ \tilde{} \exp (- \frac{E_{j} - μ}{k T})$

die Fermiverteilung nähert sich der Boltzmann- Verteilung an (klassischer Grenzfall!!)
keine Berücksichtigung des Pauli- Prinzips mehr!

Beispiel einer Maxwell- Boltzmann- Verteilung sehr hoher Energien!

Gesamte mittlere Teilchenzahl: $\bar{N} = \sum_{j = 1}^{l} ⟨ N_{j} ⟩$

thermische Zustandsgleichung: $p V = k T \ln Y = k T \sum_{j = 1}^{l} \ln Y_{i} = k T \sum_{j = 1}^{l} \ln (1 + \exp (β (μ - E_{j})))$

Energie und Zustandsdichte freier Teilchen

Energie- Eigenwerte:

E_{j} = \frac{{\bar{k}}^{2} ℏ^{2}}{2 m}

Das System sei in einem Würfel V = L³ eingeschlossen!

Zyklische Randbedingungen (Born - v. Karman):

\begin{matrix} Ψ_{j} (\bar{r}) = \frac{1}{\sqrt{V}} e^{i \bar{k} \bar{r}} \\ k_{a} L = 2 π n_{a} \\ n_{a} = \pm 1, \pm 2, \pm 3.... \\ a = 1, 2, 3 \end{matrix}

Ein Zustand im k- Raum beansprucht also das Volumen:

{(Δ k)}^{3} = {(\frac{2 π}{L})}^{3} Δ n_{1} Δ n_{2} Δ n_{3} = {(\frac{2 π}{L})}^{3} = (\frac{8 π^{3}}{V})

Dabei wurde jedoch kein Spin berücksichtigt!

Thermodynamischer limes (großes Volumen V):

Übergang zum Quasikontinuum:

\begin{matrix} \sum_{j} \to (\frac{V}{8 π^{3}}) \int_{}^{} d^{3} k \\ \bar{p} = ℏ \bar{k} \\ \to \sum_{j} \to (\frac{V}{8 π^{3} ℏ^{3}}) \int_{}^{} d^{3} p = (\frac{V}{h^{3}}) \int_{}^{} d^{3} p \end{matrix}

In Übereinstimmung mit Kapitel 4.1, Seite 100

Spinentartung:

(2s+1)- fache Entartung!

Kugelsymmetrisches Integral:

\to \sum_{j} \to (\frac{V}{8 π^{3} ℏ^{3}}) \int_{}^{} d^{3} p = (\frac{V}{h^{3}}) \int_{}^{} d^{3} p = (2 s + 1) (\frac{V}{h^{3}}) 4 π \int_{}^{} p^{2} d p

Großkanonische Zustandssumme:

\begin{matrix} \ln Y = \sum_{j} \ln (1 + ξ e^{- β E_{j}}) \\ ξ := e^{β μ} \end{matrix}

sogenannte Fugizität!

\begin{matrix} \ln Y = \sum_{j} \ln (1 + ξ e^{- β E_{j}}) \\ \approx (2 s + 1) (\frac{V}{h^{3}}) 4 π \int_{0}^{\infty} p^{2} d p \ln (1 + ξ e^{- β E_{j}}) = (2 s + 1) (\frac{V}{h^{3}}) 4 π \int_{0}^{\infty} p^{2} d p \ln (1 + ξ e^{- β \frac{p^{2}}{2 m}}) \end{matrix}

Partielle Integration:

\begin{matrix} \ln Y \approx (2 s + 1) (\frac{V}{h^{3}}) 4 π \int_{0}^{\infty} p^{2} d p \ln (1 + ξ e^{- β \frac{p^{2}}{2 m}}) \\ = (2 s + 1) (\frac{V}{h^{3}}) 4 π [{(\frac{p^{3}}{3} \ln (1 + ξ e^{- β \frac{p^{2}}{2 m}})) |}_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} {\frac{p}{3}}^{3} \frac{- β \frac{p}{m} ξ e^{- β \frac{p^{2}}{2 m}}}{(1 + ξ e^{- β \frac{p^{2}}{2 m}})} d p] \\ {(\frac{p^{3}}{3} \ln (1 + ξ e^{- β \frac{p^{2}}{2 m}})) |}_{0}^{\infty} = 0 \\ \Rightarrow \ln Y = - (2 s + 1) (\frac{V}{h^{3}}) 4 π \int_{0}^{\infty} {\frac{p}{3}}^{3} \frac{- β \frac{p}{m} ξ e^{- β \frac{p^{2}}{2 m}}}{(1 + ξ e^{- β \frac{p^{2}}{2 m}})} d p = \frac{2}{3} (2 s + 1) (\frac{V}{h^{3}}) 4 π \int_{0}^{\infty} d p p^{2} \frac{β \frac{p^{2}}{2 m}}{(\frac{1}{ξ} e^{β \frac{p^{2}}{2 m}} + 1)} \\ = \frac{2}{3} β (2 s + 1) (\frac{V}{h^{3}}) 4 π \int_{0}^{\infty} d p p^{2} ⟨ N (p) ⟩ \frac{p^{2}}{2 m} \end{matrix}

Mit der Fermi- Verteilung $⟨ N (p) ⟩$ , also:

\ln Y = \frac{2}{3} β (2 s + 1) (\frac{V}{h^{3}}) 4 π \int_{0}^{\infty} d p p^{2} ⟨ N (p) ⟩ E (p)

Diskret:

\begin{matrix} \ln Y = \frac{2}{3} β \sum_{j = 1}^{l} ⟨ N_{j} ⟩ E_{j} = \frac{2}{3} β U \\ U = ⟨ E^{g e s .} ⟩ \end{matrix}

Somit haben wir die thermische Zustands-Gleichung

p V = k T \ln Y = \frac{2}{3} U = \frac{2}{3} ⟨ E^{g e s .} ⟩

Bemerkungen

Dies gilt auch für ein klassisches ideales Gas!

Klassisch:

\begin{matrix} p V = \bar{N} k T \\ U = \frac{3}{2} \bar{N} k T \\ \Rightarrow p V = \frac{2}{3} U \end{matrix}

Später werden wir sehen: Das gilt auch für Bose- Verteilung!!

Also unabhängig von der speziellen Statistik!

Entartetes Fermi-Gas

Klassischer Grenzfall der Fermi- Verteilung:

⟨ N (p) ⟩ = \frac{1}{(\frac{1}{ξ} e^{β \frac{p^{2}}{2 m}} + 1)} \approx ξ e^{- β \frac{p^{2}}{2 m}}

(Maxwell- Boltzmann- Verteilung)

für $ξ = e^{\frac{μ}{k T}} < < 1 \Rightarrow μ < 0$

(stark verdünnt)

klassischer Limes!
Merke positives chemisches Potenzial ist ein QM- Grenzfall!!

Nichtklassischer Grenzfall ("Fermi- Entartung ")

Für $ξ > > 1$

(Grenzfall hoher Dichte!)

Gesamte Teilchenzahl:

\bar{N} = (2 s + 1) (\frac{V}{h^{3}}) 4 π \int_{0}^{\infty} d p p^{2} \frac{1}{(e^{β (\frac{p^{2}}{2 m} - μ)} + 1)}

Innere Energie:

U = (2 s + 1) (\frac{V}{h^{3}}) 4 π \int_{0}^{\infty} d p p^{2} \frac{\frac{p^{2}}{2 m}}{(e^{β (\frac{p^{2}}{2 m} - μ)} + 1)}

Substitution

\begin{matrix} \frac{p^{2}}{2 m k T} = y \\ p d p = m k T d y \\ \frac{μ}{k T} = η = - α \\ \bar{N} = \frac{(2 s + 1)}{2} (\frac{V}{h^{3}}) 4 π {(2 m k T)}^{\frac{3}{2}} \int_{0}^{\infty} d y \frac{y^{\frac{1}{2}}}{(e^{y - η} + 1)} \\ U = \frac{(2 s + 1)}{2} (\frac{V}{h^{3}}) 4 π {(2 m k T)}^{\frac{3}{2}} k T \int_{0}^{\infty} d y \frac{y^{\frac{3}{2}}}{(e^{y - η} + 1)} \end{matrix}

Definition: Fermi- Dirac- Integral der Ordnung s:

\begin{matrix} F_{s} (η) := \frac{1}{Γ (s + 1)} \int_{0}^{\infty} d y \frac{y^{s}}{(e^{y - η} + 1)} \\ s > 0 \end{matrix}

Entwicklung für

η > > 1 \Rightarrow ξ > > 1

, also Entartung:

\begin{matrix} Γ (s + 1) F_{s} (η) := \int_{0}^{\infty} d y \frac{y^{s}}{(e^{y - η} + 1)} = \frac{1}{s + 1} \int_{0}^{\infty} d y \frac{d}{d y} (y^{s + 1}) \frac{1}{(e^{y - η} + 1)} \\ = \frac{1}{s + 1} {[(y^{s + 1}) \frac{1}{(e^{y - η} + 1)}] |}_{0}^{\infty} + \frac{1}{s + 1} \int_{0}^{\infty} d y y^{s + 1} \frac{e^{y - η}}{{(e^{y - η} + 1)}^{2}} \\ \frac{1}{s + 1} {[(y^{s + 1}) \frac{1}{(e^{y - η} + 1)}] |}_{0}^{\infty} = 0 \end{matrix}

weitere Substitution:

\begin{matrix} x = y - η \\ \Rightarrow Γ (s + 1) F_{s} (η) = \frac{1}{s + 1} \int_{0}^{\infty} d y y^{s + 1} \frac{e^{y - η}}{{(e^{y - η} + 1)}^{2}} = \frac{1}{s + 1} \int_{- η}^{\infty} d x {(x + η)}^{s + 1} \frac{e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}} \\ η > > 1 \end{matrix}

Somit kann man die Grenzen erweitern, da $η > > 1$

\begin{matrix} x = y - η \\ \Rightarrow Γ (s + 1) F_{s} (η) = \frac{1}{s + 1} \int_{- η}^{\infty} d x {(x + η)}^{s + 1} \frac{e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}} \approx \frac{1}{s + 1} \int_{- \infty}^{\infty} d x {(x + η)}^{s + 1} \frac{e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}} + O (e^{- η}) \\ O (e^{- η}) < < 1 \end{matrix}

Dies kann man durch Entwicklung von

{(x + η)}^{s + 1}

lösen:

{(x + η)}^{s + 1} \approx {(η)}^{s + 1} + (s + 1) {(η)}^{s} x + \frac{s (s + 1)}{2} {(η)}^{s - 1} x^{2} + ....

Somit:

\begin{matrix} Γ (s + 1) F_{s} (η) = \frac{1}{s + 1} \int_{- η}^{\infty} d x {(x + η)}^{s + 1} \frac{e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}} \approx \frac{1}{s + 1} \int_{- \infty}^{\infty} d x {(x + η)}^{s + 1} \frac{e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}} + O (e^{- η}) \\ \approx \frac{1}{s + 1} \int_{- \infty}^{\infty} d x {(η)}^{s + 1} \frac{e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}} + \int_{- \infty}^{\infty} d x {(η)}^{s} x \frac{e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}} + \frac{s}{2} \int_{- \infty}^{\infty} d x {(η)}^{s - 1} x^{2} \frac{e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}} \\ = \frac{{(η)}^{s + 1}}{s + 1} \int_{- \infty}^{\infty} d x \frac{e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}} + {(η)}^{s} \int_{- \infty}^{\infty} d x \frac{x e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}} + \frac{s}{2} {(η)}^{s - 1} \int_{- \infty}^{\infty} d x x^{2} \frac{e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}} \end{matrix}

Für die Terme gilt im Einzelnen:

\begin{matrix} \int_{- \infty}^{\infty} d x \frac{e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}} = {[\frac{- 1}{(e^{x} + 1)}]}_{- \infty}^{\infty} = 1 \\ \int_{- \infty}^{\infty} d x \frac{x e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}} = 0 d a I n t e g r a n d u n g e r a d e \\ \int_{- \infty}^{\infty} d x x^{2} \frac{e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}} := I \end{matrix}

Bleibt Integral I zu lösen:

\begin{matrix} I = \int_{- \infty}^{\infty} d x x^{2} \frac{e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}} = 2 \int_{0}^{\infty} d x x^{2} \frac{e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}} = - 2 {[x^{2} \frac{1}{(e^{x} + 1)}]}_{0}^{\infty} + 4 \int_{0}^{\infty} d x \frac{x}{(e^{x} + 1)} \\ {[x^{2} \frac{1}{(e^{x} + 1)}]}_{0}^{\infty} = 0 \\ \int_{0}^{\infty} d x \frac{x}{(e^{x} + 1)} = \frac{π^{2}}{12} \\ \Rightarrow I = \frac{π^{2}}{3} \end{matrix}

Somit ergibt sich das Fermi- Dirac- Integral gemäß

\begin{matrix} Γ (s + 1) F_{s} (η) \approx \frac{{(η)}^{s + 1}}{s + 1} + \frac{s}{2} {(η)}^{s - 1} \frac{π^{2}}{3} \\ Γ (s + 1) F_{s} (η) = \frac{{(η)}^{s + 1}}{s + 1} + \frac{s}{2} {(η)}^{s - 1} \frac{π^{2}}{3} + O ({(η)}^{s - 3}) \\ \Rightarrow F_{s} (η) = \frac{1}{Γ (s + 1)} [\frac{{(η)}^{s + 1}}{s + 1} + \frac{s π^{2}}{6} {(η)}^{s - 1} + O ({(η)}^{s - 3})] \end{matrix}

Speziell:

\begin{matrix} F_{\frac{1}{2}} (η) \approx \frac{2}{\sqrt{π}} [\frac{{(η)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + \frac{π^{2}}{12} {(η)}^{- \frac{1}{2}}] \\ F_{\frac{3}{2}} (η) \approx \frac{4}{3 \sqrt{π}} [\frac{{(η)}^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + \frac{π^{2}}{4} {(η)}^{\frac{1}{2}}] \end{matrix}

Also:

\begin{matrix} \bar{N} = \frac{(2 s + 1)}{2} (\frac{V}{h^{3}}) 4 π {(2 m k T)}^{\frac{3}{2}} \int_{0}^{\infty} d y \frac{y^{\frac{1}{2}}}{(e^{y - η} + 1)} = \frac{(2 s + 1)}{2} (\frac{V}{h^{3}}) 4 π {(2 m k T)}^{\frac{3}{2}} [\frac{2}{3} {(\frac{μ}{k T})}^{\frac{3}{2}} + \frac{π^{2}}{12} {(\frac{μ}{k T})}^{- \frac{1}{2}}] \\ \Rightarrow \bar{N} = \frac{2}{3} \frac{(2 s + 1)}{2} (\frac{V}{h^{3}}) 4 π {(2 m μ)}^{\frac{3}{2}} [1 + \frac{π^{2}}{8} {(\frac{k T}{μ})}^{2}] \end{matrix}

Definition: Fermi- Energie:

E_{F} := μ (T = 0, \bar{N}, V)

Bei T= 0 Kelvin sind die Zustände mit $E < E_{F}$

voll besetzt, die anderen leer!

Wir können dann $μ (T = 0, \bar{N}, V)$

durch $E_{F}$

und $\bar{N}$

eliminieren:

T→0

\begin{matrix} \bar{N} = \frac{2}{3} \frac{(2 s + 1)}{2} (\frac{V}{h^{3}}) 4 π {(2 m μ)}^{\frac{3}{2}} [1 + \frac{π^{2}}{8} {(\frac{k T}{μ})}^{2}] = \frac{2}{3} \frac{(2 s + 1)}{2} (\frac{V}{h^{3}}) 4 π {(2 m E_{F})}^{\frac{3}{2}} \end{matrix}

Für größere Temperaturen T>0 wird nun

\begin{matrix} \bar{N} = \frac{2}{3} \frac{(2 s + 1)}{2} (\frac{V}{h^{3}}) 4 π {(2 m E_{F})}^{\frac{3}{2}} \end{matrix}

in niedrigster Ordnung in $\frac{k T}{E_{F}}$

entwickelt und diese Entwicklung dann eingesetzt in die Formel

\begin{matrix} \bar{N} = \frac{2}{3} \frac{(2 s + 1)}{2} (\frac{V}{h^{3}}) 4 π {(2 m μ)}^{\frac{3}{2}} [1 + \frac{π^{2}}{8} {(\frac{k T}{μ})}^{2}] = \frac{2}{3} \frac{(2 s + 1)}{2} (\frac{V}{h^{3}}) 4 π {(2 m E_{F})}^{\frac{3}{2}} \\ \Rightarrow {(μ)}^{\frac{3}{2}} [1 + \frac{π^{2}}{8} {(\frac{k T}{μ})}^{2}] \approx {(E_{F})}^{\frac{3}{2}} \\ \Rightarrow μ \approx E_{F} {[1 + \frac{π^{2}}{8} {(\frac{k T}{μ})}^{2}]}^{- \frac{2}{3}} \end{matrix}

Jetzt wird in niedrigster Ordnung in $\frac{k T}{E_{F}}$

entwickelt:

Das heißt, für kT=1 zeigt µ über Ef etwa folgenden verlauf:

die Kurve wird für höhere Temperaturen immer weiter auseinandergedehnt!

Innere Energie

\begin{matrix} U = \frac{(2 s + 1)}{2} (\frac{V}{h^{3}}) 4 π {(2 m k T)}^{\frac{3}{2}} k T \int_{0}^{\infty} d y \frac{y^{\frac{3}{2}}}{(e^{y - η} + 1)} \\ F_{\frac{3}{2}} (η) \approx \frac{4}{3 \sqrt{π}} [\frac{{(η)}^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + \frac{π^{2}}{4} {(η)}^{\frac{1}{2}}] \end{matrix}

Also:

\begin{matrix} U = \frac{(2 s + 1)}{2} (\frac{V}{h^{3}}) 4 π {(2 m)}^{\frac{3}{2}} {(k T)}^{\frac{5}{2}} [\frac{2}{5} {(\frac{μ}{k T})}^{\frac{5}{2}} + \frac{π^{2}}{4} {(\frac{μ}{k T})}^{\frac{1}{2}}] \\ = \frac{2}{5} (\frac{V}{h^{3}}) 4 π \frac{(2 s + 1)}{2} {(2 m)}^{\frac{3}{2}} {(μ)}^{\frac{5}{2}} [1 + \frac{5}{2} \frac{π^{2}}{4} {(\frac{k T}{μ})}^{2}] \end{matrix}

Verwende:

So dass:

\begin{matrix} U = \frac{2}{5} (\frac{V}{h^{3}}) 4 π \frac{(2 s + 1)}{2} {(2 m)}^{\frac{3}{2}} {(μ)}^{\frac{5}{2}} [1 + \frac{5}{2} \frac{π^{2}}{4} {(\frac{k T}{μ})}^{2}] \\ \approx \frac{2}{5} (\frac{V}{h^{3}}) 4 π \frac{(2 s + 1)}{2} {(2 m)}^{\frac{3}{2}} {(E_{F})}^{\frac{5}{2}} {[1 - \frac{π^{2}}{12} {(\frac{k T}{E_{F}})}^{2}]}^{\frac{5}{2}} [1 + \frac{5}{2} \frac{π^{2}}{4} {(\frac{k T}{E_{F}})}^{2}] \end{matrix}

Mit

\bar{N} = \frac{2}{3} \frac{(2 s + 1)}{2} (\frac{V}{h^{3}}) 4 π {(2 m E_{F})}^{\frac{3}{2}}

folgt:

\begin{matrix} U \approx \frac{2}{5} (\frac{V}{h^{3}}) 4 π \frac{(2 s + 1)}{2} {(2 m)}^{\frac{3}{2}} {(E_{F})}^{\frac{5}{2}} {[1 - \frac{π^{2}}{12} {(\frac{k T}{E_{F}})}^{2}]}^{\frac{5}{2}} [1 + \frac{5}{2} \frac{π^{2}}{4} {(\frac{k T}{E_{F}})}^{2}] \\ \frac{2}{5} (\frac{V}{h^{3}}) 4 π \frac{(2 s + 1)}{2} {(2 m)}^{\frac{3}{2}} {(E_{F})}^{\frac{5}{2}} \approx \frac{3}{5} \bar{N} E_{F} \\ {[1 - \frac{π^{2}}{12} {(\frac{k T}{E_{F}})}^{2}]}^{\frac{5}{2}} [1 + \frac{5}{2} \frac{π^{2}}{4} {(\frac{k T}{E_{F}})}^{2}] \approx 1 + 5 \frac{π^{2}}{12} {(\frac{k T}{E_{F}})}^{2} \\ \Rightarrow U \approx \frac{3}{5} \bar{N} E_{F} [1 + 5 \frac{π^{2}}{12} {(\frac{k T}{E_{F}})}^{2}] \end{matrix}

Somit haben wir die kalorische Zustandsgleichung

U \approx \frac{3}{5} \bar{N} E_{F} [1 + 5 \frac{π^{2}}{12} {(\frac{k T}{E_{F}})}^{2}]

und die thermische Zustandsgleichung

p V = \frac{2}{3} U \approx \frac{2}{5} \bar{N} E_{F} [1 + 5 \frac{π^{2}}{12} {(\frac{k T}{E_{F}})}^{2}]

Das bedeutet:

Der Druck des fermigases ist um einen Faktor $\frac{E_{F}}{k T}$

größer als in klassischen idealen Gasen

Beispiel:

E_{F} \approx 1 e V \Rightarrow T \tilde{} 10^{4} K

1 eV entspricht 10.000 K!!

Grund ist das Pauli- Prinzip!!

Also eine effektive Abstoßung der Teilchen! Dies bewirkt für niedrige Temperaturen den enormen Faktor

\frac{E_{F}}{k T}

,

mit dem der Druck gegenüber dem idealen Gas zu multiplizieren ist.

Für sehr hohe Temperaturen überwiegt dann der hintere teil, und es gilt:

Der Fermidruck ist etwa

p V = \frac{2}{3} U \approx \frac{2}{5} \bar{N} E_{F} 5 \frac{π^{2}}{12} {(\frac{k T}{E_{F}})}^{2} = \frac{π^{2}}{6} \bar{N} k T (\frac{k T}{E_{F}})

Also auch größer als beim klassischen idealen Gas, nämlich um den Faktor $(\frac{k T}{E_{F}})$

!

Spezifische Wärme

\begin{matrix} C_{V} = {(\frac{\partial U}{\partial T})}_{V} = \frac{π^{2}}{2} \bar{N} k (\frac{k T}{E_{F}}) \\ c_{V} = \frac{π^{2}}{2} R (\frac{k T}{E_{F}}) \tilde{} T \end{matrix}

Die Wärmekapazität ist sage und schreibe um den Faktor $(\frac{k T}{E_{F}})$

kleiner als bei idealen gasen.

Bei T ~ 300 K ist dies 1/ 40!

ideales Gas:

c_{V} = \frac{3}{2} R

Physikalsicher Grund:

Nur die Teilchen in der " Aufweichungszone"

E_{F} - k T < E < E_{F} + k T

tragen zur spezifischen Wärme bei, da nur sie in freie Zustände thermisch angeregt werden könen :

Zahl:

Δ N \tilde{} \bar{N} \frac{k T}{E_{F}}

jedes hat Energie ~ kT

\begin{matrix} \Rightarrow Δ U \tilde{} \bar{N} \frac{{(k T)}^{2}}{E_{F}} \\ \Rightarrow C_{v} \tilde{} \bar{N} k \frac{(k T)}{E_{F}} \end{matrix}

Beispiele für entartete Fermigase

Elektronen in Metallen → hohe Dichten!
Elektronen in Halbleitern, bei sehr tiefen Temperaturen oder hoher Dotierung!

Nichtenatartetes fermigas

verdünntes, nichtrelativistisches Quantengas!

z.B. Elektronen in Halbleitern im Normalbereich!

Voraussetzung:

ξ = e^{\frac{μ}{k T}} < < 1

das heißt:

\begin{matrix} μ < 0 \\ η = \frac{μ}{k T} < 0 \end{matrix}

Entwicklung der Fermi- Dirac- Integrale nach Potenzen von $ξ = e^{\frac{μ}{k T}} < < 1$

\begin{matrix} F_{s} (η) = \frac{1}{Γ (s + 1)} \int_{0}^{\infty} d y \frac{y^{s}}{e^{y - η} + 1} \\ = \frac{1}{Γ (s + 1)} \int_{0}^{\infty} d y y^{s} \frac{ξ e^{- y}}{1 + ξ e^{- y}} \approx \frac{1}{Γ (s + 1)} [ξ \int_{0}^{\infty} d y y^{s} e^{- y} - ξ^{2} \int_{0}^{\infty} d y y^{s} e^{- 2 y} + ....] \\ \int_{0}^{\infty} d y y^{s} e^{- y} = Γ (s + 1) \\ \int_{0}^{\infty} d y y^{s} e^{- 2 y} = \frac{1}{2^{s + 1}} \int_{0}^{\infty} d z z^{s} e^{- z} = \frac{1}{2^{s + 1}} Γ (s + 1) \\ \Rightarrow F_{s} (η) \approx [ξ - ξ^{2} \frac{1}{2^{s + 1}} + ....] \approx [ξ - ξ^{2} \frac{1}{2^{s + 1}}] = e^{\frac{μ}{k T}} [1 - e^{\frac{μ}{k T}} \frac{1}{2^{s + 1}}] \end{matrix}

Dabei ist

F_{s} (η) = e^{\frac{μ}{k T}}

das Boltzman- Limit mit der Quantenkorrektur $- e^{2 \frac{μ}{k T}} \frac{1}{2^{s + 1}}$

Also:

\bar{N} = \frac{(2 s + 1)}{2} (\frac{V}{h^{3}}) 4 π {(2 m k T)}^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{π}}{2} F_{\frac{1}{2}} (η) = V N_{C} F_{\frac{1}{2}} (\frac{μ}{k T})

mit der Entartungskonzentration

N_{C} := (2 s + 1) {(\frac{2 π m k T}{h^{2}})}^{\frac{3}{2}}

Also genähert:

\bar{N} = V N_{C} F_{\frac{1}{2}} (\frac{μ}{k T}) \approx V N_{C} e^{\frac{μ}{k T}} [1 - e^{\frac{μ}{k T}} \frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}]

Bei vollständiger Nichtentartung:

\begin{matrix} \frac{\bar{N}}{V} \approx N_{C} e^{\frac{μ}{k T}} \\ e^{\frac{μ}{k T}} < < 1 \\ \frac{\bar{N}}{V} < < N_{C} \end{matrix}

Die klassische Maxwell- Boltzmann- Verteilung (vergl. S. 101)

\begin{matrix} U = \frac{(2 s + 1)}{2} (\frac{V}{h^{3}}) 4 π {(2 m k T)}^{\frac{3}{2}} k T \int_{0}^{\infty} d y \frac{y^{\frac{3}{2}}}{(e^{y - η} + 1)} = \frac{(2 s + 1)}{2} (\frac{V}{h^{3}}) 4 π {(2 m k T)}^{\frac{3}{2}} k T \frac{3 \sqrt{π}}{4} F_{\frac{3}{2}} (\frac{μ}{k T}) \\ U = V N_{C} \frac{3}{2} k T F_{\frac{3}{2}} (\frac{μ}{k T}) \\ U \approx V N_{C} \frac{3}{2} k T e^{\frac{μ}{k T}} [1 - e^{\frac{μ}{k T}} \frac{1}{2^{\frac{5}{2}}}] \end{matrix}

Elimination von $μ$

durch $\bar{N} = V N_{C} F_{\frac{1}{2}} (\frac{μ}{k T}) \approx V N_{C} ξ [1 - ξ 2^{- \frac{3}{2}}]$

Näherung:

\bar{N} = V N_{C} ξ

Näherung

\begin{matrix} \bar{N} = V N_{C} ξ [1 - 2^{- \frac{3}{2}} \frac{\bar{N}}{V N_{C}}] \\ \Rightarrow ξ = e^{\frac{μ}{k T}} \approx \frac{\bar{N}}{V N_{C}} [1 + 2^{- \frac{3}{2}} \frac{\bar{N}}{V N_{C}}] \\ \Rightarrow U \approx V N_{C} \frac{3}{2} k T e^{\frac{μ}{k T}} [1 - e^{\frac{μ}{k T}} \frac{1}{2^{\frac{5}{2}}}] \approx \frac{3}{2} k T \bar{N} [1 + 2^{- \frac{3}{2}} \frac{\bar{N}}{V N_{C}}] [1 - \frac{1}{2^{\frac{5}{2}}} \frac{\bar{N}}{V N_{C}}] \end{matrix}

U \approx \frac{3}{2} k T \bar{N} [1 + 2^{- \frac{5}{2}} \frac{\bar{N}}{V N_{C} (T)}]

Dabei wurden alle Terme der Ordnung ${(\frac{\bar{N}}{V N_{C} (T)})}^{2}$

weggenähert!

Also:

kalorische Zustandsgleichung

U \approx \frac{3}{2} k T \bar{N} [1 + 2^{- \frac{5}{2}} \frac{\bar{N}}{V N_{C} (T)}]

mit der Quantenkorrektur $O (\frac{\bar{N}}{V N_{C} (T)})$

\frac{3}{2} k T \bar{N} 2^{- \frac{5}{2}} \frac{\bar{N}}{V N_{C} (T)}

thermische Zustandsgleichung

p V = \frac{2}{3} U \approx k T \bar{N} [1 + 2^{- \frac{5}{2}} \frac{\bar{N}}{V N_{C} (T)}]

Also:

p v \approx R T [1 + 2^{- \frac{5}{2}} \frac{N_{A}}{v N_{C} (T)}]

Dabei ist

p v \approx R T

die Zustandsgleichung des klassischen idealen Gases und $R T 2^{- \frac{5}{2}} \frac{N_{A}}{v N_{C} (T)}$

eine Erhöhung des klassischen Drucks durch die Fermi- Abstoßung!

Nebenbemerkung:

Mit der thermischen Wellenlänge $λ := {(\frac{h^{2}}{2 π m k T})}^{\frac{1}{2}}$ entsprechend der de Broglie-Wellenlänge für $\frac{k^{2} ℏ^{2}}{2 m} \tilde{} k T \Rightarrow λ = {(\frac{h^{2}}{2 m k T})}^{\frac{1}{2}}$

E= kT also, schreibt man:

N_{C} = \frac{2 s + 1}{λ^{3}}

Das ideale Fermigas

Inhaltsverzeichnis

Energie und Zustandsdichte freier Teilchen

Thermodynamischer limes (großes Volumen V):

Entartetes Fermi-Gas

Definition: Fermi- Dirac- Integral der Ordnung s:

Spezifische Wärme

Nichtenatartetes fermigas

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