Das ideale Gas

Aus PhysikWiki
Zur Navigation springen Zur Suche springen




fluide Systeme: Gas (Arbeitsparameter V, p)

oder Flüssigkeit (Arbeitsparameter, V, Oberfläche, p, Oberflächenspannung)

bei Flüssigkeiten: ideal ↔ komplex (z.B. anisotrop!)

mikroskopische Definition eines idealen Gases

N gleichartige Mikroteilchen (Punktteilchen) ohne gegenseitige Wechselwirkung

  • gilt für verdünnte Gase : mittlerer Abstand >> Reichweite des WW- Potenzials
  • Betrachte festes Volumen V, fluktuierende Teilchenzahl N:

Also: großkanonische Verteilung

Vergleiche § 2.2, 2.5

klassisch:

Phasenraum:

mit

i- tes Teilchen:

Ununterscheidbarkeit der Teilchen (ist neu gegenüber §2)

  • Alle N! Permutationen des Mikrozustands
  • sind äquivalent!
  • → ein Elementarereignis ist durch eine Äquivalenzklasse von N! Phasenraumpunkten
  • gegeben!

Grundmenge:

(geordnete N- Tupel)

Normierung:

dabei entspricht

der symmetrischen Fortsetzung von

auf den ganzen .


Problem:

hat die Dimension

quantenmechanisch gilt:

  • endliche Zustandsdichte!
  • Korrespondenzprinzip (Übergang zum klassischen Grenzfall):
  • Normierung des klassischen Zustandsraums durch

Großkanonische Zustandssumme:

(Seite 50)

mit dem großkanonischen Potenzial J (Seite 73)

Hamiltonian für ideales Gas ohne innere Freiheitsgrade:

für N punktförmige Teilchen

Entropiegrundfunktion

Bestimmung der Lagrange- Parameter

durch die Nebenbedingungen

Setzt man dies ineinander ein, so folgt:

kalorische Zustandsgleichung

wieder in 2):

Bestimmung des chemischen Potenzials

durch Teilchenzahl.

vergleiche Elektronenkonzentration

in nichtentarteten Halbleitern

Aus

(Seite 50)

folgt mit

dass

(thermische Zustandsgleichung

Bezug auf 1 mol

Bemerkungen

hängt nicht von V ab!

in Übereinstimmung mit

(Kapitel 3.3, Seite 77)

2) der unabhängige Teil der kalorischen Zustandsgleichung ist durch die isochore spezifische Wärme gegeben:

bzw.

3) im Normalbereich hängt

nicht von T ab:

weiter gilt mit

S. 92 und über

Adiabatengleichung (s= const. Reversibler Prozess)

Also:

mit

sogenannter Adiabatenexponent!

  • Adiabaten sind im p-V- Diagramm steiler als Isothermen!!

4) es gilt:

f=3 Translationsfreiheitsgrade (für ideales Gas)

Für Teilchen mit innerer Struktur (z.B. 2r harmonische Freiheitsgrade)

f = 3 + 2r

(Äquipartitionsgesetz)

2r harmonische Freiheitsgrade → nur im Quantenbereich (Tieftemperaturbereich).

Allgemein (Übung!):

2 - tomiges Molekül (f= 5: Rotation)

3 - u. mehr atomig: f=6 : Rotation

Mit

kann S (U,V,N) als eine Funktion der natürlichen Variablen geschrieben werden:

S ist extensiv!

Die Zustandsgleichungen folgen auch aus

eliminiert man in S

so folgt:

  • der dritte Hauptsatz ist NICHT erfüllt!!

Kanonische Verteilung:

für große N mit Stirling- Formel

und gemäß Seite 47:

Somit folgt für die Entropie:

Das heißt: im thermodynamischen Limes

ist die Entropiegrundfunktion für das kanonische und das großkanonische Ensemble identisch!

Die thermische Zustandsgleichung kann direkt (ohne Stirling- Näherung) aus

berechnet werden:

Maxwell- Verteilung

Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen mit einer Geschwindigkeit im Intervall

zu finden:

als Marginalverteilung von

bezüglich

ist die sogenannte Maxwell- Verteilung:


Die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen mit einer Geschwindigkeit im Intervall der " Schale " (Betragskugel)

zu finden:


Mit dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung kann man dann leicht

berechnen!


Übung!

… weitere Daten zur Seite „Das ideale Gas
InhaltstypDieses Attribut ist ein Spezialattribut in diesem Wiki.
Script +