Hamiltonsches Prinzip

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auch Prinzip der kleinsten Wirkung genannt

  • Variation der ganzen Bahn im Konfigurationsraum <> Gegensatz d'Ambertsches Prinzip
  • Wirkung (S) wird extrenmal (minimal) δS=0
  • Start und Zielpunkt (q,t) sind fest vorgegeben (hier keine Variation)
  • Zeit wird nicht mitvarieiert δt=0
  • Vergleich ART Teilchen Bewegt sich auf Geodäten <> aber nicht im Ereignisraum
  • q_(t),q_(t)C2 (2 fach stetig diffb. Funktionen)
  • unabhängig von Koordinatenwahl
  • Allgemein
δS=t1t2(δTδA)dt=0 mit δA=iX_iδri_

spezielle Form

führt zur Wirkung S[q]:=t1t2L(q,q˙,t)dt

M1

Herleitung der Euler-Lagrange-Gleichungen

δS[q]=t1t2δL(q,q˙,t)dt=t1t2(qLδq+q˙Lδq˙)dt oder δS[q]=S[q0]t1t2L(q+δq,q˙+δq˙,t)dt=S[q0]t1t2(L=S[q0]+qLδq+q˙Lδq˙)dt=t1t2(qLδq+q˙Lδq˙)dt

mit partieller Integration (uv=uvvu) mit

u=δq,v=q˙L



q˙Lδq˙=dt(q˙Lδq)dt(q˙L)δq



δS[q]=[q˙Lδq]t1t2t1t2(qLδqdt(q˙L)δq)dt=t1t2(dtq˙q)Lδqdt


(dtq˙q)L=0

M2