Identische Teilchen: Spin und Statistik

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Identische Teilchen: Spin und Statistik basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 5) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Identische Teilchen: Spin und Statistik	Spin und Systeme identischer Teilchen
	Spin- Operatoren und Zustände Dynamik des 2- Zustands- Systems Zustände mit Bahn- und Spinvariablen Addition von Drehimpulsen Identische Teilchen: Spin und Statistik	Schrödingsche Wellenmechanik Formalisierung der Quantenmechanik Drehimpuls Spin und Systeme identischer Teilchen Näherungsmethoden Streutheorie Relativistische Quntenmechanik

Betrachte: Systeme identischer Teilchen

Beispiel: N Elektronen im äußeren Potenzial V mit Coulomb- Wechselwirkung $W\left(\left|{{\bar {r}}_{i}}-{{\bar {r}}_{j}}\right|\right)$

Hamiltonoperator: ${\hat {H}}=\sum \limits _{i=1}^{N}{}\left({\frac {{{\hat {p}}_{i}}^{2}}{2m}}+V({{\hat {r}}_{i}})\right)+{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i\neq j}{}W\left(\left|{{\hat {\bar {r}}}_{i}}-{{\hat {\bar {r}}}_{j}}\right|\right)$

Dabei beschreibt ${\frac {1}{2}}\sum \limits _{i\neq j}{}W\left(\left|{{\hat {\bar {r}}}_{i}}-{{\hat {\bar {r}}}_{j}}\right|\right)$

die Wechselwirkungsnenergie der Elektronen!

N- Elektronen - Zustand: $\left|{{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},...,{{a}_{N}}\right\rangle \in H\times H\times H\times ...\times H:={{H}^{\times N}}$

mit ${{a}_{i}}$

= Satz von Quantenzahlen, z.B. $\left|{{j}_{i}}{{m}_{j}}_{i}{{l}_{i}}{{s}_{i}}\right\rangle ,\left|{{n}_{i,}}{{l}_{i,}}{{m}_{i}},{{m}_{s}}_{i}\right\rangle$

oder auch $\left|{{\bar {r}}_{i}},{{m}_{s}}_{i}\right\rangle$

Die Nummer des Teilchen bestimmt dabei die Stellung in $\left|{{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},...,{{a}_{N}}\right\rangle \in H\times H\times H\times ...\times H:={{H}^{\times N}}$

Schrödingergleichung:

${\hat {H}}\left|{{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},...,{{a}_{N}}\right\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left|{{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},...,{{a}_{N}}\right\rangle$

Ortsdarstellung

${\begin{aligned}&{\hat {H}}\left|{{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}},...,{{q}_{N}};t\right\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left|{{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}},...,{{q}_{N}};t\right\rangle \\&{{q}_{i}}\equiv \left({{\bar {r}}_{i}},{{m}_{3i}}\right)\\\end{aligned}}$

In den verallgemeinerten Koordinaten werden also Ort UND Spin der Teilchen zusammengefasst.

Dabei ist ${{q}_{i}}\equiv \left({{\bar {r}}_{i}},{{m}_{3i}}\right)$

ein verallgemeinerter Ausdruck für einen vollständigen Satz Quantenzahlen!

Mikroskopische Teilchen mit gleichen Quantenzahlen sind ununterscheidbar.

Oder: Zwei durch jeweils eine einzige Wellenfunktion beschriebene Mehrteilchensysteme, in denen die mikroskopischen Teilchen i und j gegeneinander ausgetauscht sind, sind ununterscheidbar.

Definiere: Permutationsoperator: ${{\hat {p}}_{\left(ij\right)}}$ ,

der i-tes und j-tes Teilchen tauscht:

${{\hat {p}}_{\left(ij\right)}}\left|{{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},...{{a}_{i}},...,{{a}_{j}},{{a}_{N}}\right\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left|{{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},..{{a}_{j}},...,{{a}_{i}}...,{{a}_{N}}\right\rangle$

${{\hat {p}}_{\left(ij\right)}}$

ist unitär und hermitsch.

Dabei werden streng genommen die ZUSTÄNDE der Teilchen Nr. i und j vertauscht.

Man könnte sich vorstellen, dass die beiden Zustände jeweils auf das entsprechende andere Teilchen "teleportiert" werden.

Wegen der Ununterscheidbarkeit müssen ALLE Observablen mit ${{\hat {p}}_{\left(ij\right)}}$

vertauschen:

(Schließlich darf sich eine Wahrscheinlichkeit von Messwerten durch die Vertauschung nicht ändern. Es darf keine Unschärfe geben. Das bedeutet: Die Vertauschung ist nicht festzustellen!

$\left[{\hat {F}},{{\hat {p}}_{\left(ij\right)}}\right]=0$

Insbesondere

$\left[{\hat {H}},{{\hat {p}}_{\left(ij\right)}}\right]=0$

${{\hat {p}}_{\left(ij\right)}}$

ist also eine Erhaltungsgröße und es existieren gemeinsame Eigenzustände zu JEDEM Operator und dem Permutationsoperator ${{\hat {p}}_{\left(ij\right)}}$

Wie beim Paritätsoperator gilt:

${\begin{aligned}&{{\left[{{\hat {p}}_{\left(ij\right)}}\right]}^{2}}=1\\&{{\hat {p}}_{\left(ij\right)}}\left|\Psi \right\rangle ={{\lambda }_{ij}}\left|\Psi \right\rangle \\&{{\lambda }_{ij}}^{2}=1\\\end{aligned}}$

Die Forderung ${{\left[{{\hat {p}}_{\left(ij\right)}}\right]}^{2}}=1$

folgt aus der Ununterscheidbarkeit der Teilchen, aus ${{\left[{{\hat {p}}_{\left(ij\right)}}\right]}^{2}}=1$

folgt jedoch

${\begin{aligned}&{{\left|{{\hat {p}}_{\left(ij\right)}}\Psi ({{q}_{1}},{{q}_{2}}...,{{q}_{N}},t)\right|}^{2}}={{\left|\Psi ({{q}_{1}},{{q}_{2}}...,{{q}_{N}},t)\right|}^{2}}=1={{\left|{{\lambda }_{ij}}\Psi ({{q}_{1}},{{q}_{2}}...,{{q}_{N}},t)\right|}^{2}}\\&\Rightarrow {{\left|{{\lambda }_{ij}}\right|}^{2}}=1\\&\Rightarrow {{\lambda }_{ij}}=\pm 1\\\end{aligned}}$

Dieser Eigenwert ist ein "ewiges" Charakteristikum des Zustandes!

Speziell: 2- Teilchensystem

Sei $\left|a,b\right\rangle ={{\left|a\right\rangle }_{1}}{{\left|a\right\rangle }_{2}}$ ein Zweiteilchenzustand $\in H\times H$.

Dann ist ${{\left|a,b\right\rangle }_{S}}:={\frac {1}{2}}\left(1+{{\hat {P}}_{(12)}}\right)\left|a,b\right\rangle$

Eigenzustand von ${{\hat {P}}_{(12)}}$ zum Eigenwert +1 Dieser Zustand ist symmetrisch, denn:

${{\hat {P}}_{(12)}}{{\left|a,b\right\rangle }_{S}}={\frac {1}{2}}\left({{\hat {P}}_{(12)}}+{{\hat {P}}_{(12)}}^{2}\right)\left|a,b\right\rangle ={\frac {1}{2}}\left({{\hat {P}}_{(12)}}+1\right)\left|a,b\right\rangle ={{\left|a,b\right\rangle }_{S}}$

Außerdem ist ${{\left|a,b\right\rangle }_{a}}:={\frac {1}{2}}\left(1-{{\hat {P}}_{(12)}}\right)\left|a,b\right\rangle$ Eigenzustand von ${{\hat {P}}_{(12)}}$ zum Eigenwert -1 und ist antisymmetrisch, denn:

${{\hat {P}}_{(12)}}{{\left|a,b\right\rangle }_{a}}={\frac {1}{2}}\left({{\hat {P}}_{(12)}}-1\right)\left|a,b\right\rangle =-{{\left|a,b\right\rangle }_{a}}$

N- Teilchensystem:

Alle ${{\hat {P}}_{(ij)}}$ kommutieren mit H, im Allgemeinen jedoch NICHT untereinander!

${\begin{aligned}&{{\hat {P}}_{(12)}}{{\hat {P}}_{(23)}}\left|a,b,c\right\rangle ={{\hat {P}}_{(12)}}\left|a,c,b\right\rangle =\left|c,a,b\right\rangle \\&{{\hat {P}}_{(23)}}{{\hat {P}}_{(12)}}\left|a,b,c\right\rangle ={{\hat {P}}_{(23)}}\left|b,a,c\right\rangle =\left|b,c,a\right\rangle \\\end{aligned}}$

Daher sind komplizierte Symmetrieeigenschaften denkbar. Nicht nur symmetrisch und/ oder antisymmetrisch!

Dennoch sind in der Natur jedoch nur Zustände realisiert, die bei Vertauschung zweier BELIEBIGER ununterscheidbarer Teilchen symmetrisch ${{\lambda }_{(ij)}}=+1$ oder antisymmetrisch ${{\lambda }_{(ij)}}=-1$ sind.

Dies ist zu verstehen als die REDUKTION des Hilbertraumes $H\times H\times H\times ...H(Nmal)$ auf einen symmetrischen ${{H}_{N}}^{+}$ und einen antisymmetrischen ${{H}_{N}}^{-}$ Teilraum ERLAUBTER Zustände. Symmetrie oder Antisymmetrie ist ein Charakteristikum der Teilchensorte und bleibt zeitlich erhalten wegen $\left[{\hat {H}},{{\hat {P}}_{(ij)}}\right]=0$

Bosonen

sind Teilchen mit symmetrischem Zustand, alle Teilchen mit ganzzahligem Spin (s=0,1,2,...) z.B. $\pi -$ oder K- Meson, Photon, Phonon, $\alpha$ - Teilchen, Wasserstoffmolekül,... Bose- Einstein- Statistik

Fermionen

sind Teilchen mit antisymmetrischem Zustand. Dies sind alle Teilchen mit HALBZAHLIGEM Spin $s={\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {5}{2}}$

z.B. Elektron, Proton, Neutron, Neutrino, Myon,...

Fermi- Dirac- Statistik An sich eine Erfahrungstatsache. der Beweis folgte jedoch aus der relativistischen Quantenfeldtheorie: Pauli, 1940

Pauli- Prinzip für Fermionen:

Die Wellenfunktionen sind total antisymmetrisch.

2 identische Fermionen können sich nicht in gleichen Einteilchenzuständen a befinden (Pauli- Verbot):

Denn:

${{\left|a,a\right\rangle }_{a}}={\frac {1}{2}}\left(1-{{\hat {P}}_{(12)}}\right)\left|a,a\right\rangle ={\frac {1}{2}}\left(\left|a,a\right\rangle -\left|a,a\right\rangle \right)=0$

Beispiel:

$\left|a\right\rangle =\left|n,l,m,{{m}_{s}}\right\rangle$

Anwendung auf die Ortsdarstellung

Die Wahrscheinlichkeit, 2 identische Fermionen am gleichen Ort $\left|{\bar {r}}\right\rangle$ mit gleichem Spin ${{m}_{s}}$ zu finden, ist identisch NULL. Das Pauli- Prinzip ist Grundlage für den Aufbau des Periodensystems der Elemente. Gilt natürlich NICHT für Bosonen!

Antisymmetrisierungs- Operator

Im 2- Teilchen Raum: ${\hat {A}}:={\frac {1}{2}}\left(1-{{\hat {P}}_{(12)}}\right)$

Im N- Teilchen- Raum ${\hat {A}}:={\frac {1}{N!}}\sum \limits _{r=1}^{N!}{}{{\left(-1\right)}^{p}}{{\hat {P}}_{(r)}}$

Dabei stellt ${{\hat {P}}_{(r)}}$ die r-te Permutation von (1,2,3,4...,N) her. Es gibt insgesamt N! Permutationen (inklusive r=1 → Identität). P, also der Exponent an -1 ist die Zahl der Vertauschung von je 2 Teilchen, also:

${{\left(-1\right)}^{p}}=\pm 1$

für gerade bzw. ungerade Permutation.

Mit Hilfe von ${\hat {A}}:={\frac {1}{N!}}\sum \limits _{r=1}^{N!}{}{{\left(-1\right)}^{p}}{{\hat {P}}_{(r)}}$ lassen sich quantenmechanische Zustände antisymmetrisieren. Dabei gilt:

${{\left|{{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{N}}\right\rangle }_{a}}:={\hat {A}}\left|{{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{N}}\right\rangle$

Beispiel für N=3:

${{\left|a,b,c\right\rangle }_{a}}={\frac {1}{6}}\left\{\left|abc\right\rangle +\left|bca\right\rangle +\left|cab\right\rangle -\left|bac\right\rangle -\left|cba\right\rangle -\left|acb\right\rangle \right\}$

Dieser Zustand ist antisymmetrisch bei der Vertauschung von jeweils 2 Teilchen!

Symmetrisierungsoperator

${\hat {S}}:={\frac {1}{N!}}\sum \limits _{r=1}^{N!}{}{{\hat {P}}_{(r)}}$

${{\left|{{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{N}}\right\rangle }_{S}}:={\hat {P}}\left|{{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{N}}\right\rangle$

Der Operator erzeugt einen Zustand der symmetrisch ist bei der Vertauschung von je 2 Teilchen.

${\hat {A}}$

und${\hat {S}}$ sind hermitesch und idempotent: ${\hat {A}}={{\hat {A}}^{2}};{{\hat {S}}^{2}}={\hat {S}}$.

Das bedeutet: Sie sind Projektoren. Sie projizieren einen Zustand auf den SYMMETRISCHEN oder den ANTISYMMETRISCHEN Anteil.

N=2:

${\hat {S}}+{\hat {A}}=1$.

Dies entspricht einer Vollständigkeitsrelation.

Nun können wir deutlich sehen, was eine solche VOLLSTÄNDIGKEIT eigentlich bedeutet. Hier: der Operator symmetrisiert oder antisymmetrisiert. Dies ist genau dann vollständig, wenn JEDE 2- Teilchen- Funktion entweder symmetrisch oder antisymmetrisch ist.

${\hat {S}}$

projiziert auf den symmetrischen Unterraum des Hilbertraumes $H\times H$. ${\hat {A}}$ dagegen projiziert auf den antisymmetrischen Unterraum des Hilbertraumes $H\times H$.

Für N>2 (Siehe oben, kompliziertere Symmetrien denkbar) projizieren ${\hat {S}}+{\hat {A}}$ auf einen echten Teilraum des Hilbertraumes $H\times H$.

$\sum \limits _{r=1}^{N!}{}{{\left(-1\right)}^{p}}{{\hat {P}}_{(r)}}$

oder $\sum \limits _{r=1}^{N!}{}{{\hat {P}}_{(r)}}$ würden insgesamt, als Gesamtzustand gesehen, einen nichtnormierten Zustand erzeugen, der nämlich aus$N!$ normierten Zuständen besteht . Durch den Vorfaktor ${\frac {1}{N!}}$ wird die Normierung garantiert!

Wechselwirkungsfreie, identische Teilchen

${\begin{aligned}&{\hat {H}}=\sum \limits _{i=1}^{N}{}{{\hat {H}}_{i}}\\&{{\hat {H}}_{i}}={\frac {{{\hat {p}}_{i}}^{2}}{2m}}+V({{\bar {r}}_{i}})\\\end{aligned}}$

Schrödingergleichung: ${\hat {H}}\left|{{a}_{1}},...,{{a}_{N}}\right\rangle =E\left|{{a}_{1}},...,{{a}_{N}}\right\rangle$ läßt sich separieren (keine Wechselwirkung, für jedes neue Teilchen wird der Hilbertraum einfach erweitert):

$\left|{{a}_{1}},...,{{a}_{N}}\right\rangle ={{\left|{{a}_{1}}\right\rangle }_{1}}{{\left|{{a}_{2}}\right\rangle }_{2}}...{{\left|{{a}_{N}}\right\rangle }_{N}}$

${{\left|{{a}_{j}}\right\rangle }_{k}}$

ist dabei der j. Satz Quantenzahlen, der dem k. Teilchen zugeordnet wird. Natürlich nummeriert man die Quantenzahlensätze nach den Teilchen, auf denen sie Sitzen. Um aber den Effekt vom Tauschen von Quantenzahlen zu analysieren macht man hypothetisch den Schritt, dass ein Satz Quantenzahlen, der dem 3. Teilchen gehört, nun auf dem 4. Teilchen sitzt. Also würde man schreiben ${{\left|{{a}_{3}}\right\rangle }_{4}}$

Dabei bezeichnet der innere Index den Quantenzahlensatz und der äußere Index die Teilchen- Nummer.

Jedes Element der Schrödingergleichung wirkt dann separat auf den ihm zugeordneten Zustand:

${\begin{aligned}&{{\hat {H}}_{i}}{{\left|{{a}_{i}}\right\rangle }_{i}}={{E}_{i}}{{\left|{{a}_{i}}\right\rangle }_{i}}\\&E=\sum \limits _{i}{}{{E}_{i}}\\\end{aligned}}$

Fermionen : Antisymmetrisierung

${{\left|{{a}_{1}},...,{{a}_{N}}\right\rangle }_{a}}={\hat {A}}\left({{\left|{{a}_{1}}\right\rangle }_{1}}{{\left|{{a}_{2}}\right\rangle }_{2}}...{{\left|{{a}_{N}}\right\rangle }_{N}}\right)={\frac {1}{N!}}\left|{\begin{matrix}{{\left|{{a}_{1}}\right\rangle }_{1}}&{{\left|{{a}_{1}}\right\rangle }_{2}}&...&{{\left|{{a}_{1}}\right\rangle }_{N}}\\{{\left|{{a}_{2}}\right\rangle }_{1}}&{{\left|{{a}_{2}}\right\rangle }_{2}}&...&{{\left|{{a}_{2}}\right\rangle }_{N}}\\...&...&...&...\\{{\left|{{a}_{N}}\right\rangle }_{1}}&{{\left|{{a}_{N}}\right\rangle }_{2}}&...&{{\left|{{a}_{N}}\right\rangle }_{N}}\\\end{matrix}}\right|$

Der Antisymmetrisierte Zustand ergibt sich als normierte Determinante einer Matrix, der die Teilchen Spaltenweise und ihre Quantenzahlen als separierte Einzelzustände zeilenweise aufgedröselt sind.

Diese Determinante heißt auch Slater- Determinante. Auf der Diagonalen sitzen die Teilchen mit denen ihnen natürlicherweise zugeordneten Quantenzahlensätzen. Außerhalb der Diagonale treten die systematisiert abgeklapperten hypothetischen Vertauschungen von Quantenzahlen auf. Die Determinante verschwindet, wenn 2 Zeilen gleich sind, also 2 Teilchen den gleichen Satz Quantenzahlen haben! Nur dann können zwei Zeilen gleich werden. Oder aber, wenn 2 Spalten gleich sind, was man so verstehen könnte, dass man sich zwei Teilchen, denen man die Nummern 1 und 2 geben sollte, als gleich definiert und ihnen beiden die Nummer 1 zuordnet!, also alle Quantenzahlen für 2 beliebige Teilchen gleich sind. Ein solcher Zustand existiert einfach nicht → Pauli- Prinzip!!

Bosonen: Symmetrisierung

${{\left|{{a}_{1}},...,{{a}_{N}}\right\rangle }_{S}}={\hat {S}}\left({{\left|{{a}_{1}}\right\rangle }_{1}}{{\left|{{a}_{2}}\right\rangle }_{2}}...{{\left|{{a}_{N}}\right\rangle }_{N}}\right)$

Normierung

für orthonogonale und normierte 1- Teilchen- Zustände:

${\begin{aligned}&{{f}_{n}}{{^{2}}_{a}}\left\langle {{a}_{1}},...,{{a}_{N}}\right|{{\left|{{a}_{1}},...,{{a}_{N}}\right\rangle }_{a}}={{f}_{n}}^{2}\left(_{1}\left\langle {{a}_{1}}\right|{{...}_{N}}\left\langle {{a}_{N}}\right|\right){\hat {A}}{\hat {A}}\left({{\left|{{a}_{1}}\right\rangle }_{1}}...{{\left|{{a}_{N}}\right\rangle }_{N}}\right)\\&={{f}_{n}}^{2}\left(_{1}\left\langle {{a}_{1}}\right|{{...}_{N}}\left\langle {{a}_{N}}\right|\right){\hat {A}}\left({{\left|{{a}_{1}}\right\rangle }_{1}}...{{\left|{{a}_{N}}\right\rangle }_{N}}\right)={{f}_{n}}^{2}\left(_{1}\left\langle {{a}_{1}}\right|{{...}_{N}}\left\langle {{a}_{N}}\right|\right){\frac {1}{N!}}\left|{\begin{matrix}{{\left|{{a}_{1}}\right\rangle }_{1}}&{{\left|{{a}_{1}}\right\rangle }_{2}}&...&{{\left|{{a}_{1}}\right\rangle }_{N}}\\{{\left|{{a}_{2}}\right\rangle }_{1}}&{{\left|{{a}_{2}}\right\rangle }_{2}}&...&{{\left|{{a}_{2}}\right\rangle }_{N}}\\...&...&...&...\\{{\left|{{a}_{N}}\right\rangle }_{1}}&{{\left|{{a}_{N}}\right\rangle }_{2}}&...&{{\left|{{a}_{N}}\right\rangle }_{N}}\\\end{matrix}}\right|\\&={{f}_{n}}^{2}{\frac {1}{N!}}\left|{\begin{matrix}_{1}\left\langle {{a}_{1}}\right|{{\left|{{a}_{1}}\right\rangle }_{1}}&_{2}\left\langle {{a}_{2}}\right|{{\left|{{a}_{1}}\right\rangle }_{2}}&...&_{N}\left\langle {{a}_{N}}\right|{{\left|{{a}_{1}}\right\rangle }_{N}}\\_{1}\left\langle {{a}_{1}}\right|{{\left|{{a}_{2}}\right\rangle }_{1}}&_{2}\left\langle {{a}_{2}}\right|{{\left|{{a}_{2}}\right\rangle }_{2}}&...&_{N}\left\langle {{a}_{N}}\right|{{\left|{{a}_{2}}\right\rangle }_{N}}\\...&...&...&...\\_{1}\left\langle {{a}_{1}}\right|{{\left|{{a}_{N}}\right\rangle }_{1}}&_{2}\left\langle {{a}_{2}}\right|{{\left|{{a}_{N}}\right\rangle }_{2}}&...&_{N}\left\langle {{a}_{N}}\right|{{\left|{{a}_{N}}\right\rangle }_{N}}\\\end{matrix}}\right|\\&_{1}\left\langle {{a}_{1}}\right|{{\left|{{a}_{1}}\right\rangle }_{1}}=1\\&_{1}\left\langle {{a}_{i}}\right|{{\left|{{a}_{j}}\right\rangle }_{1}}=0\quad i\neq j\\&\Rightarrow {{f}_{n}}^{2}{\frac {1}{N!}}\left|{\begin{matrix}_{1}\left\langle {{a}_{1}}\right|{{\left|{{a}_{1}}\right\rangle }_{1}}&_{2}\left\langle {{a}_{2}}\right|{{\left|{{a}_{1}}\right\rangle }_{2}}&...&_{N}\left\langle {{a}_{N}}\right|{{\left|{{a}_{1}}\right\rangle }_{N}}\\_{1}\left\langle {{a}_{1}}\right|{{\left|{{a}_{2}}\right\rangle }_{1}}&_{2}\left\langle {{a}_{2}}\right|{{\left|{{a}_{2}}\right\rangle }_{2}}&...&_{N}\left\langle {{a}_{N}}\right|{{\left|{{a}_{2}}\right\rangle }_{N}}\\...&...&...&...\\_{1}\left\langle {{a}_{1}}\right|{{\left|{{a}_{N}}\right\rangle }_{1}}&_{2}\left\langle {{a}_{2}}\right|{{\left|{{a}_{N}}\right\rangle }_{2}}&...&_{N}\left\langle {{a}_{N}}\right|{{\left|{{a}_{N}}\right\rangle }_{N}}\\\end{matrix}}\right|={{f}_{n}}^{2}{\frac {1}{N!}}\left|{\begin{matrix}1&0&...&0\\0&1&...&0\\...&...&...&...\\0&0&...&1\\\end{matrix}}\right|={{f}_{n}}^{2}{\frac {1}{N!}}\equiv 1!\\&\Rightarrow {{f}_{n}}={\sqrt {N!}}\\\end{aligned}}$

Normierte Antisymmetrische Zustände

${{\left|{{a}_{1}},...,{{a}_{N}}\right\rangle }_{a}}^{-}={\sqrt {N!}}{\hat {A}}\left({{\left|{{a}_{1}}\right\rangle }_{1}}...{{\left|{{a}_{N}}\right\rangle }_{N}}\right)={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\left|{\begin{matrix}{{\left|{{a}_{1}}\right\rangle }_{1}}&{{\left|{{a}_{1}}\right\rangle }_{2}}&...&{{\left|{{a}_{1}}\right\rangle }_{N}}\\{{\left|{{a}_{2}}\right\rangle }_{1}}&{{\left|{{a}_{2}}\right\rangle }_{2}}&...&{{\left|{{a}_{2}}\right\rangle }_{N}}\\...&...&...&...\\{{\left|{{a}_{N}}\right\rangle }_{1}}&{{\left|{{a}_{N}}\right\rangle }_{2}}&...&{{\left|{{a}_{N}}\right\rangle }_{N}}\\\end{matrix}}\right|$

Ortsdarstellung

$\left\langle {{\bar {r}}_{1}}...{{\hat {r}}_{N}}\right|{{\left|{{a}_{1}},...,{{a}_{N}}\right\rangle }_{a}}^{-}={{\Psi }^{-}}\left({{\bar {r}}_{1}},...,{{\bar {r}}_{N}}\right)={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\left|{\begin{matrix}{{\Psi }_{{a}_{1}}}\left({{\bar {r}}_{1}}\right)&{{\Psi }_{{a}_{1}}}\left({{\bar {r}}_{2}}\right)&...&{{\Psi }_{{a}_{1}}}\left({{\bar {r}}_{N}}\right)\\{{\Psi }_{{a}_{2}}}\left({{\bar {r}}_{1}}\right)&{{\Psi }_{{a}_{2}}}\left({{\bar {r}}_{2}}\right)&...&{{\Psi }_{{a}_{2}}}\left({{\bar {r}}_{N}}\right)\\...&...&...&...\\{{\Psi }_{{a}_{N}}}\left({{\bar {r}}_{1}}\right)&{{\Psi }_{{a}_{N}}}\left({{\bar {r}}_{2}}\right)&...&{{\Psi }_{{a}_{N}}}\left({{\bar {r}}_{N}}\right)\\\end{matrix}}\right|$

Unterschiede zur klassischen Statistik unterscheidbarer Teilchen (N=2)

${{\left|{{\Psi }_{ab}}\left({{\bar {r}}_{1}},{{\bar {r}}_{2}}\right)\right|}^{2}}={{\left|\left\langle {{\bar {r}}_{1}}{{\bar {r}}_{2}}|ab\right\rangle \right|}^{2}}={{\left|_{1}\left\langle {{\bar {r}}_{1}}\right|{{\left|a\right\rangle }_{1}}_{2}\left\langle {{\bar {r}}_{2}}\right|{{\left|b\right\rangle }_{2}}\right|}^{2}}={{\left|{{\Psi }_{a}}\left({{\bar {r}}_{1}}\right)\right|}^{2}}{{\left|{{\Psi }_{b}}\left({{\bar {r}}_{2}}\right)\right|}^{2}}$

Klassisch. Dies stimmt jedoch in der Quantenmechanik nicht mehr. Vollständig wird die Relation, wenn man den resultierenden Mehrteilchenzustand und seine Wahrscheinlichkeitsverteilung

${{\left|\left\langle {{\bar {r}}_{1}}{{\bar {r}}_{2}}|ab\right\rangle \right|}^{2}}$

symmetrisiert, bzw. antisymmetrisiert:

${{\left|\left\langle {{\bar {r}}_{1}}{{\bar {r}}_{2}}\right|{{\left|ab\right\rangle }_{s,a}}\right|}^{2}}$

Es folgt:

${\begin{aligned}&{{\left|{{\Psi }_{ab}}\left({{\bar {r}}_{1}},{{\bar {r}}_{2}}\right)\right|}^{2}}={{\left|\left\langle {{\bar {r}}_{1}}{{\bar {r}}_{2}}|ab\right\rangle s,a\right|}^{2}}={\frac {1}{2}}{{\left|_{1}\left\langle {{\bar {r}}_{1}}\right|{{\left|a\right\rangle }_{1}}_{2}\left\langle {{\bar {r}}_{2}}\right|{{\left|b\right\rangle }_{2}}{{\pm }_{1}}\left\langle {{\bar {r}}_{1}}\right|{{\left|a\right\rangle }_{1}}_{2}\left\langle {{\bar {r}}_{2}}\right|{{\left|b\right\rangle }_{2}}\right|}^{2}}\\&={\frac {1}{2}}{{\left|{{\Psi }_{a}}\left({{\bar {r}}_{1}}\right){{\Psi }_{b}}\left({{\bar {r}}_{2}}\right)\pm {{\Psi }_{b}}\left({{\bar {r}}_{1}}\right){{\Psi }_{a}}\left({{\bar {r}}_{2}}\right)\right|}^{2}}\\\end{aligned}}$

Mit dem Austauschterm ${{\Psi }_{b}}\left({{\bar {r}}_{1}}\right){{\Psi }_{a}}\left({{\bar {r}}_{2}}\right)$ → Grundlagen der quantenmechanischen Korrelation, Entanglement. Spezialfall: ${{\bar {r}}_{1}}={{\bar {r}}_{2}}={\bar {r}}$

Damit ergibt sich für Bosonen:

${\begin{aligned}&{{\left|{{\Psi }_{ab}}\left({\bar {r}},{\bar {r}}\right)\right|}^{2}}={{\left|\left\langle {\bar {r}}{\bar {r}}|ab\right\rangle s\right|}^{2}}={\frac {1}{2}}{{\left|_{1}\left\langle {\bar {r}}\right|{{\left|a\right\rangle }_{1}}_{2}\left\langle {\bar {r}}\right|{{\left|b\right\rangle }_{2}}{{+}_{1}}\left\langle _{1}\right|{{\left|a\right\rangle }_{1}}_{2}\left\langle {\bar {r}}\right|{{\left|b\right\rangle }_{2}}\right|}^{2}}\\&={\frac {1}{2}}{{\left|{{\Psi }_{a}}\left({\bar {r}}\right){{\Psi }_{b}}\left({\bar {r}}\right)+{{\Psi }_{b}}\left({\bar {r}}\right){{\Psi }_{a}}\left({\bar {r}}\right)\right|}^{2}}=2{{\left|{{\Psi }_{a}}\left({\bar {r}}\right)\right|}^{2}}{{\left|{{\Psi }_{b}}\left({\bar {r}}\right)\right|}^{2}}\\\end{aligned}}$

Dieser Zustand ist der Zustand der Bose- Einstein Kondensation (superfluides Helium beispielsweise).

Für Fermionen:

${\begin{aligned}&{{\left|{{\Psi }_{ab}}\left({\bar {r}},{\bar {r}}\right)\right|}^{2}}={{\left|\left\langle {\bar {r}}{\bar {r}}\right|{{\left|ab\right\rangle }_{a}}\right|}^{2}}={\frac {1}{2}}{{\left|_{1}\left\langle {\bar {r}}\right|{{\left|a\right\rangle }_{1}}_{2}\left\langle {\bar {r}}\right|{{\left|b\right\rangle }_{2}}{{-}_{1}}\left\langle _{1}\right|{{\left|a\right\rangle }_{1}}_{2}\left\langle {\bar {r}}\right|{{\left|b\right\rangle }_{2}}\right|}^{2}}\\&={\frac {1}{2}}{{\left|{{\Psi }_{a}}\left({\bar {r}}\right){{\Psi }_{b}}\left({\bar {r}}\right)-{{\Psi }_{b}}\left({\bar {r}}\right){{\Psi }_{a}}\left({\bar {r}}\right)\right|}^{2}}=0\\\end{aligned}}$

Für Fermionen beträgt die Wahrscheinlichekitsamplitude für identische Teilchen am gleichen Ort also Null.

Beispiel: ebene Wellen:

${\begin{aligned}&{{\Psi }_{a}}\left({\bar {r}}\right)={{e}^{ikx}}\\&{{\Psi }_{b}}\left({\bar {r}}\right)={{e}^{-ikx}}\\\end{aligned}}$

Klassisch folgt:

${{\left|{{\Psi }_{ab}}\left({{\bar {r}}_{1}},{{\bar {r}}_{2}}\right)\right|}^{2}}=1$

Also: beide Teilchen befinden sich irgendwo, aber diese Wahrscheinlichkeit ist konstant, ortsunabhängig!

In der Quantenmechanik dagegen ergeben sich je nach räumlichem Abstand der Ereignisse oszillierende Wahrscheinlichkeitsamplituden:

Bose:

${{\left|{{\Psi }_{ab}}\left({{\bar {r}}_{1}},{{\bar {r}}_{2}}\right)\right|}^{2}}={{\left|{{e}^{ik({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}}+{{e}^{-ik({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}}\right|}^{2}}=2{{\cos }^{2}}k({{x}_{1}}-{{x}_{2}})$

Das bedeutet, Bosonen haben einen räumlichen Abstand derart, dass die Phasen bevorzugt 0 oder 180 ° verschoben sind. An diesen Abständen interferieren sie konstruktiv und erscheinen uns als phänomenologische Teilchen.

Fermi:

${{\left|{{\Psi }_{ab}}\left({{\bar {r}}_{1}},{{\bar {r}}_{2}}\right)\right|}^{2}}={{\left|{{e}^{ik({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}}-{{e}^{-ik({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}}\right|}^{2}}=2{{\sin }^{2}}k({{x}_{1}}-{{x}_{2}})$

Fermionen interferieren gerade an den Stellen konstruktiv und treten dementsprechend dort in Erscheinung, wo die Wellenfunktionen um Vielfache von 90° phasenverschoben sind und somit den Sinus maximieren!