Induktionsgesetz

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Induktionsgesetz basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 3) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Die Maxwellgleichung

\nabla_{r} \times \bar{E} = - \dot{\bar{B}}

wird über eine ortsfeste Fläche F (nicht geschlossen) mit Rand

\partial F

integriert:

\begin{matrix} \int_{F}^{} d \bar{f} (\nabla_{r} \times \bar{E}) = - \int_{F}^{} d \bar{f} \dot{\bar{B}} \\ \Rightarrow \oint_{\partial F} d \bar{s} \bar{E} = - \frac{\partial}{\partial t} \int_{F}^{} d \bar{f} \bar{B} \end{matrix}

Wobei Differenziation und Integration genau dann vertauscht werden kann, wenn die Variablen unabhängig sind, also die Fläche ortsfest!

Damit folgt die integrale Form dieser Maxwellgleichung

\begin{matrix} \oint_{\partial F} d \bar{s} \bar{E} = - \frac{\partial}{\partial t} Φ (t) \\ Φ (t) = \int_{F}^{} d \bar{f} \bar{B} = \oint_{\partial F} d \bar{s} \cdot \bar{A} \end{matrix}

Der magnetische Fluß!

Der magnetische Fluß

Φ (t)

hängt nur vom Rand

\partial F

der Fläche ab!

Seien F und F´ zwei Flächen mit dem selben Rand, die das Volumen V einschließen :

\begin{matrix} \int_{F}^{} d \bar{f} \bar{B} - \int_{F \overset{´}{}}^{} d \bar{f} \bar{B} = \oint_{\partial V} d \bar{f} \bar{B} = \int_{V}^{} d^{3} r \nabla \cdot \bar{B} = 0 \\ \nabla \cdot \bar{B} = 0 \end{matrix}

Die Potenzialdifferenz bei einem Umlauf um

\partial F

beträgt:

Δ Φ := - \oint_{\partial F} d \bar{s} \bar{E}

Dies entspricht einer induzierten Spannung (als Wirbelfeld) Somit folgt das

Faradaysche Induktionsgesetz:

Δ Φ = \frac{\partial}{\partial t} Φ_{m a g}

mit dem magnetischen Fluß

Φ_{m a g}

Die Lenzsche Regel:

\begin{matrix} \dot{\bar{B}} \to \bar{E} \\ \nabla \times \bar{E} = - \bar{B} \end{matrix}

induziert

\bar{E} \to \bar{j} \tilde{} \bar{E}

Ladungsverschiebung/- Bewegung

\begin{matrix} \bar{j} \to \bar{H} \\ \nabla_{r} \times \bar{H} = \bar{j} \end{matrix}

erzeugt Also:

\bar{H}

ist

\dot{\bar{B}}

entgegengerichtet!

Zusammenfassung

\oint_{\partial F} d \bar{s} \bar{E} = - \frac{\partial}{\partial t} Φ (t)

Zirkulation des elektrischen Feldes entlang einer geschlossenen Linie ist gleich der zeitlichen Abnahme des eingeschlossenen magnetischen Flusses:

Φ (t) = \int_{F}^{} d \bar{f} \bar{B} = \oint_{\partial F} d \bar{s} \cdot \bar{A}

\oint_{\partial V} d \bar{f} \bar{B} = 0

Der Nettofluss des magnetischen Feldes durch eine geschlossene Oberfläche ist NULL

\oint_{\partial V} d \bar{f} \bar{E} = \frac{Q}{ε_{0}}

Der Fluß des elektrischen Feldes durch

\partial V

ist gleich der eingeschlossenen Ladung

\frac{Q}{ε_{0}}

\oint_{\partial F} d \bar{s} \cdot \bar{H} = \int_{F}^{} d \bar{f} \cdot \dot{\bar{D}} + I

Die Zirkulation des magnetischen Feldes entlang einer eingeschlossenen Linie ist gleich der Summe aus dem dielektrischen Verschiebungsstrom

\int_{F}^{} d \bar{f} \cdot \dot{\bar{D}}

und dem Konvektionsstrom

I = \int_{F}^{} d \bar{f} \cdot \bar{j}

Induktionsgesetz

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