Induktionsgesetz

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Induktionsgesetz basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 3) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Die Maxwellgleichung

${\mathrm{\nabla }}_r\times \overline{E}=-\dot{\overline{B}}$

wird über eine ortsfeste Fläche F (nicht geschlossen) mit Rand

$\partial F$

integriert:

$\begin{array}{rl}& \underset{F}{\overset{}{\int }}d\overline{f}({\mathrm{\nabla }}_r\times \overline{E})=-\underset{F}{\overset{}{\int }}d\overline{f}\dot{\overline{B}}\\ & \Rightarrow \underset{\partial F}{\oint }d\overline{s}\overline{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\underset{F}{\overset{}{\int }}d\overline{f}\overline{B}\\ \end{array}$

Wobei Differenziation und Integration genau dann vertauscht werden kann, wenn die Variablen unabhängig sind, also die Fläche ortsfest!

Damit folgt die integrale Form dieser Maxwellgleichung

$\begin{array}{rl}& \underset{\partial F}{\oint }d\overline{s}\overline{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Phi }(t)\\ & \mathrm{\Phi }(t)=\underset{F}{\overset{}{\int }}d\overline{f}\overline{B}=\underset{\partial F}{\oint }d\overline{s}\cdot \overline{A}\\ \end{array}$

Der magnetische Fluß!

Der magnetische Fluß

$\mathrm{\Phi }(t)$

hängt nur vom Rand

$\partial F$

der Fläche ab!

Seien F und F´ zwei Flächen mit dem selben Rand, die das Volumen V einschließen :

$\begin{array}{rl}& \underset{F}{\overset{}{\int }}d\overline{f}\overline{B}-\underset{F\stackrel{´}{}}{\overset{}{\int }}d\overline{f}\overline{B}=\underset{\partial V}{\oint }d\overline{f}\overline{B}=\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\mathrm{\nabla }\cdot \overline{B}=0\\ & \mathrm{\nabla }\cdot \overline{B}=0\\ \end{array}$

Die Potenzialdifferenz bei einem Umlauf um

$\partial F$

beträgt:

$\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }:=-\underset{\partial F}{\oint }d\overline{s}\overline{E}$

Dies entspricht einer induzierten Spannung (als Wirbelfeld) Somit folgt das

Faradaysche Induktionsgesetz:

$\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }=\frac{\partial }{\partial t}{\mathrm{\Phi }}_{mag}$

mit dem magnetischen Fluß

${\mathrm{\Phi }}_{mag}$

Die Lenzsche Regel:

$\begin{array}{rl}& \dot{\overline{B}}\to \overline{E}\\ & \mathrm{\nabla }\times \overline{E}=-\overline{B}\\ \end{array}$ induziert $\overline{E}\to \overline{j}\stackrel{~}{}\overline{E}$

Ladungsverschiebung/- Bewegung

$\begin{array}{rl}& \overline{j}\to \overline{H}\\ & {\mathrm{\nabla }}_r\times \overline{H}=\overline{j}\\ \end{array}$

erzeugt Also:

$\overline{H}$ ist $\dot{\overline{B}}$

entgegengerichtet!

Zusammenfassung

$\underset{\partial F}{\oint }d\overline{s}\overline{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Phi }(t)$

Zirkulation des elektrischen Feldes entlang einer geschlossenen Linie ist gleich der zeitlichen Abnahme des eingeschlossenen magnetischen Flusses:

$\mathrm{\Phi }(t)=\underset{F}{\overset{}{\int }}d\overline{f}\overline{B}=\underset{\partial F}{\oint }d\overline{s}\cdot \overline{A}$

$\underset{\partial V}{\oint }d\overline{f}\overline{B}=0$

Der Nettofluss des magnetischen Feldes durch eine geschlossene Oberfläche ist NULL

$\underset{\partial V}{\oint }d\overline{f}\overline{E}=\frac{Q}{{\epsilon }_0}$

Der Fluß des elektrischen Feldes durch

$\partial V$

ist gleich der eingeschlossenen Ladung

$\frac{Q}{{\epsilon }_0}$

$\underset{\partial F}{\oint }d\overline{s}\cdot \overline{H}=\underset{F}{\overset{}{\int }}d\overline{f}\cdot \dot{\overline{D}}+I$

Die Zirkulation des magnetischen Feldes entlang einer eingeschlossenen Linie ist gleich der Summe aus dem dielektrischen Verschiebungsstrom

$\underset{F}{\overset{}{\int }}d\overline{f}\cdot \dot{\overline{D}}$

und dem Konvektionsstrom

$I=\underset{F}{\overset{}{\int }}d\overline{f}\cdot \overline{j}$