Kernkräfte

Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann

Der Artikel Kernkräfte basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 8.Kapitels (Abschnitt 0) der Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann.

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Die Abfrage enthält eine leere Bedingung. __SHOWFACTBOX__

Wegen $B / A \approx c o n s t \to$ Kräfte immer nur zwischen zwei Nukleonen. Einfachste Modellsysteme:

a) das Deuteron und
b) n-p Streuung

Deuteron

Das Deuteron als einfachstes gebundenes Nukleonensystem mit folgenden Eigenschaften

1) Bindungsenergie

n + p \to d + 2, 2 M e V

2) Kernspin

I = 1

, magnetisches Kerndipolmoment

μ_{I} = 0, 857... μ_{K}

(

μ_{I} \approx μ_{p} + μ_{n} = 0, 879... μ_{K} \to I = \frac{1}{2} + \frac{1}{2},^{3} S_{1}

-Zustand) elektrisches Quadrupolmoment

Q = + 2, 861 0^{- 31} m^{2} = 2, 7 m b

, d.h. sehr klein

3) es existiert kein angeregter Zustand, außerdem gibt es kein Diproton oder Dineutron.

Reduktion des Zweikörperproblems durch Relativkoordinate $r = r - r_{n}$ und red. Masse $μ = \frac{m_{p} m_{n}}{m_{p} + m_{n}} \approx \frac{1}{2} m_{p}$

Schrödingergleichung $[\frac{- ℏ^{2}}{2 μ} \nabla^{2} + V] Ψ = E Ψ$

Problem $E = - 2, 2 M e V$ bekannt, V unbekannt.

Annahme: $V = V (r)$ Zentralpotential. Separationsansatz von Radial- und Winkelteil $Ψ_{n l m} = R_{n l} (r) Y_{l m} (θ, ϕ)$

Radialteil $[- \frac{ℏ^{2}}{2 μ} \frac{d^{2}}{d r^{2}} + V (r) + \frac{l (l + 1) ℏ^{2}}{2 μ r^{2}}] (r R_{n l}) = E_{n l} (r R_{n l})$ mit $\frac{l (l + 1) ℏ^{2}}{2 μ r^{2}}$ Zentrifugalpotential

Zentrifugalpotential abstoßend --> Grundzustand 1 = 0 (wird durch I = 1 und $μ_{I} \approx μ_{n} + μ_{p}$ unterstützt). $(r R_{n l}) = (r R_{l 0}) = u$

Erste (grobe) Annahme von V(r): Kastenpotential ( $V_{0}, r_{0}$ )

Trennung der Radialgleichung in Innen(I)- und Außen (II)-Bereich

Innen (I): $r \leq r_{0} \frac{d^{2} u}{d r^{2}} + \frac{2 μ}{ℏ^{2}} (E - V_{0}) u = 0$ , $K = \sqrt{\frac{2 μ (E - V_{0})}{ℏ^{2}}}$

Lösung $u = A \sin K r + C \cos K r R B : u = A \sin K r$ RB: $u = 0$ für $r \to 0$ wegen u/r endlich C = 0

Außen (II): $r \geq r_{0} \frac{d^{2} u}{d r^{2}} + \frac{2 μ}{ℏ^{2}} (E) u = 0$ , $k = \sqrt{\frac{2 μ E}{ℏ^{2}}} = [4, 31 0^{- 15} m]^{- 1}$

Lösung $u = B^{'} e^{- k r} + D e^{k r} = B e^{- k (r - r_{0})}$ RB: u = A \sin Kr</math> RB: $u \to 0$ für $r \to \infty \to$ D=0

Stetiger Anlschluß von u und $\frac{d u}{d r}$ bei $r = r_{0}$ :

\begin{matrix} A \sin K r_{0} & = B \\ K A \cos K r_{0} & = B (- k) \\ \to K ctg K r_{0} & = - k \end{matrix}

Damit werden die beiden Parameter ( $V_{0}, r_{0}$ ) des Kastenpotentials miteinander verknüpft, z.B. mögliche Wertepaare

\begin{matrix} r_{0} & = 1, 4 \times 1 0^{- 15} m, & 2 \times 1 0^{- 15} m \\ V_{0} & = 50 M e V, & 30 M e V \end{matrix}

Da für $\vec{I} = \vec{\frac{1}{2}} + \vec{\frac{1}{2}}$ nur I = 1 existiert, sind die Kernkräfte spinabhängig, wobei nur das Triplettpotential bindend ist. Erklärt auch die Nichtexistenz von $p^{2}$ und $n^{2}$ durch das Pauli-Prinzip.

Ansatz $V = V_{1} (r) + V_{2} (r) ({\vec{s}}_{1} {\vec{s}}_{2}) ({\vec{s}}_{1} {\vec{s}}_{2}) \Rightarrow \frac{1}{2} [S (S + 1) - \frac{3}{4} - \frac{3}{4}]$
Triplett $V_{T} = V_{1} (r) + \frac{1}{4} V_{2} (r), S = 1$
Singulett $V_{S} = V_{1} (r) - \frac{3}{4} V_{2} (r), S = 0$

Grobe Abschätzung für Singulett-Potential:

Falls $V_{s}$ gerade nicht mehr bindend $\to \sin K r_{0} \approx 1$ senkrecht auf Potentialwand, so daß man keine abnehmende Exponentialfunktion im Außenraum anfügen kann.

$K r_{0} \leq \frac{π}{2}$ bedeutet in Zahlenwerten $| V_{0} | r_{0}^{2} ≲ 100, V_{0} [M e V], r_{0} [1 0^{- 15} m]$

Die Existenz des (sehr kleinen) Quadrupolmoments bedeutet einen sehr kleinen Beitrag einer nichtzentralen Kraft, die eine $^{3} D_{1}$ -Zumischung ermöglicht.

n-p Streuung

Wirkungsquerschnitt $σ [m^{2}]$

Wikungsquerschnitt für Protonen Neutronen Streuung

$σ$ als "Trefferfläche" , z.B. $σ (g e o m .) = π R^{2} \approx 1 0^{- 29} - 1 0^{- 28} m^{2} (1 0^{- 28} m^{2} = 1 b)$ . Festkörpertarget $N \approx 1 0^{22}$ Kerne/cm³, $σ \approx 1 0^{28} m^{- 3}$ , Targetlänge z.B. $1 = 1 0^{- 2} m \to σ N l \approx 1 0^{- 3} - 1 0^{- 2}$ , d.h. "dünnes" Target mit $I = I_{0} (l - σ N l)$ .

Kinematik: $m_{p} \approx m_{n}$ , "Billardproblem"

Protonen Neutronen Streuung in verschiedenen Bezugssystemen

$2 \to 1$ Körperproblem: Stoß zweier Teilchen gleicher Masse im CM-System ist äquivalent dem Stoß eines Teilchens mit reduzierter Masse $μ = m / 2$ und $E = E_{L A B} / 2$ an einem festen Streuzentrum bei $r = r_{p} - r_{p} \approx 0$ .

Quantenmechanische Formulierung des Streuproblems

Quantenmechanische Formulierung für Protonen Neutronen Streuung

differentieller Wirkungsquerschnitt $d σ / d Ω$ in Raumwinkel $d Ω$ :

\frac{d σ}{d n} = \frac{Fluss der gestreuten Teilchen in Raumwinkel d Ω (Detektor)}{Fluss der einlaufenden Teilchen pro Einheitsflaeche}

Fluß der einfallenden Teilchen: $| e^{i k z} |^{2} v$ , $| e^{i k z} |^{2}$ 1 Teilchen pro Raumeinheit
Fluß der gestreuten Teilchen in $d Ω : | e^{i k r} f (θ) |^{2} r^{2} v \to$

\frac{d σ}{d Ω} = | f (θ) |^{2}

Quadrat der Streuamplitude

f (θ)

Speziell für isotrope Streuung $(f (σ) = c o n s t .)$ ist dann der (Gesamt)-Wirkungsquerschnitt

σ = 4 π | f |^{2}

.

Berechnung des Wirkungsquerschnitts:

Zunächst Entwicklung der einlaufenden ebenen Welle nach Kugelwellen.

e^{i k z} = e^{i k r \cos θ} = \sum_{1} i^{l} (2 l + 1) j_{l} (k r) P_{1} (c o s θ)

j_{l} (k r)

sphärische Besselfunktionen

Sinn: Bei niedrigen Energien ( $E_{n} \leq 10 M e V$ ) kann wegen der kurzen Reichweite der Kernkräfte nur der $1 = O$ -Anteil (S-Wellen) gestreut werden. Teilchen mit $1 \neq 0$ kommen bei diesen Energien nicht nahe genug heran.

Quantitativ:

Wegen $k = \sqrt{\frac{2 μ E}{ℏ^{2}}} = 0, 15 \sqrt{\frac{1}{2} E_{L A B} [M e V]} 1 0^{15} m^{- l}$ und $r_{0} = 1 0^{- 15}$ m ist für $E_{L A B} \leq M e V$ die Bedingung $k r_{0} \leq 1$ erfüllt.

Der S-Wellenanteil der einlaufenden ebenen Welle lautet mit $j_{0} (k r)$ :

(S-Wellenanteil)

= \frac{\sin k r}{k r} \equiv \frac{e^{i k r} - e^{- i k r}}{2 i k r}

,

e^{i k r}

auslaufende Kugelwelle,

e^{- i k r}

einlaufende Kugelwelle

Nach dem "Durchlaufen" des Zentralpotentials $V = V (r)$ bleiben der S-Wellencharakter, der Wellenvektor $k$ und die Teilchenzahl erhalten. Deshalb kann es nur eine Phasenänderung in der auslaufenden Kugelwelle geben.

S-Wellenanteil nach Durchlaufen des Streupotentials:

\frac{e^{i (k r + 2 δ_{0})} - e^{i k r}}{2 i k r} \equiv e^{i δ_{0}} \frac{\sin (k r + δ_{0})}{k r}

Die Differenz des S-Wellenanteils vor und nach der Streuung charakterisiert die qestreuten Teilchen, also die gestreute auslaufende Kugelwelle $\frac{e^{i k r}}{r} f (θ)$ :

\frac{e^{i (k r + 2 δ_{0}} - e^{i k r}}{2 i k r} \equiv \frac{e^{i (k r + δ_{0}})}{r} \frac{\sin δ_{0}}{k}

Damit gilt für den diff. Wirkungsquerschnitt in Abhängigkeit von der Streuphase $δ_{0}$

\frac{d σ}{d Ω} = | f (θ) |^{2} = \frac{\sin^{2} δ_{0}}{k^{2}}

Berechnung der Streuphase mit einem Kastenpotential ( $V_{0}, r_{0}$ ) über die Schrödingergleichung analog zum Deuteronproblem, jedoch $E > O$ .

Innenbereich I	Außenbereich II
$[\frac{h^{2}}{2 μ} \frac{d^{2}}{d r^{2}} + V_{0}] u = E u$	$[\frac{h^{2}}{2 μ} \frac{d^{2}}{d r^{2}} + 0] u = E u$
$u = A_{1} \sin K r$	$u = A_{1} \sin (k r + δ_{0})$
$K = \sqrt{\frac{2 μ (E - V_{0})}{ℏ^{2}}}$	$k = \sqrt{\frac{2 μ (E)}{ℏ^{2}}}$ (siehe $e^{i δ_{0}} \frac{\sin (k r + δ_{0})}{k r}$ und $Ψ \sim \frac{u}{r}$

Stetige Anpassung für $u$ und $d u / d r$ bei $r = r_{0}$ ergibt

\begin{matrix} A_{1} \sin K r_{0} & = A_{2} \sin (k r_{0} + δ_{0}) & = A_{2} k (r_{0} - a) \\ K A_{1} \cos K r_{0} & = k A_{2} \cos (k r_{0} + δ_{0}) & = A_{2} k \\ K \cot K r_{0} & = \cot (k r_{0} + δ_{0}) & = \underset{k ≪ K}{\underset{⏟}{(r_{0} - a)^{- 1}}} \end{matrix}

Im niederenergetischen Bereich mit $k ≪ K$ kann man die Sinusfunktion im Außenbereich durch eine Gerade ersetzen

u ≃ A_{2} (k r + δ_{0}) = A_{2} k (r - a)

mit

δ_{0} = - k a

.

Die sogenannte Streulänge $a$ ist der Schnittpunkt dieser Geraden mit der r-Achse. Je nachdem ( $V_{0}, r_{0}$ ) für $E \approx 0$ bindend oder nichtbindend ist, ist a positiv oder negativ. Sehr große Werte für die Streulänge erhält man, wenn das Potential gerade noch ( $V_{T}$ ) oder gerade nicht mehr bindend ( $V_{S}$ ) ist.

Wellefunktion fürStreulänge für Singulett, Triplett etc

Wirkungsquerschnitt $σ = 4 π | f (θ) |^{2} = 4 π \frac{\sin^{2} δ_{0}}{k^{2}} = 4 π a^{2}$ unabhängig von E für den Bereich $k \leq K$ mit $δ_{0} = - k a$ und $a = r_{0} - \frac{1}{K} t g K r_{0}$ . In der Streu1änge a sind wieder die beiden Parameter des Kastenpotentials ( $V_{0}, r_{0}$ ) miteinander verknüpft.

Experimentell:

Totaler Wirkungsquerschnitt als Funktion der Neutronenenergie

Grobe Abschätzung aus Deuteronproblem ergibt für das Triplettpotential

a_{T} = 5, 7 \times 1 0^{- 15} m

und damit

σ_{T} \approx 4, 5 \times 1 0^{- 28} m^{2}

.

Damit erhält man aus $σ \approx 20 \times 1 0^{- 28} m^{2}$ für $σ_{S} \approx 68 \times 1 0^{- 28} m^{2}$ und

| a_{S} | = 23 \times 1 0^{- 28} m^{2}

. Das negative Vorzeichen

a_{S} < 0

folgt aus Messungen der kohärenten

Streuung am Para-Wasserstoff-Molekül.

Während der Bereich bis ca.

1 0^{4}

eV vom Singulett-Potential beherrscht wird, tritt für den Bereich

1 0^{4} - 1 0^{7}

eV immer mehr das Triplett-Potential in den Vordergrund. Ab

1 0^{7}

eV müssen verstärkt höhere Bahndrehimpulsanteile berücksichtigt werden.

Bei einer feldtheoretischen Behandlung in Analogie zur Quantenelektrodynamik versucht man die Kernkräfte durch Mesonen-Austauschprozesse zu beschreiben. Dabei wird der "langreichweitige" Teil durch Ein-Pion-Austauschprozesse (Yukawa-Ansatz 1935) und der Bereich mittlerer Reichweite durch Zwei-Pion-Austauschprozesse beschrieben.

Der "kurzreichweitige" Teil mit einem stark abstoßenden Anteil (hard core) muß durch den Austausch mehrerer Mesonen behandelt werden. Dabei spielen nicht nur die $ω$ -Mesonen, sondern schwere Mesonen (z.B. das $ω$ -Meson mit $m c^{2} = 783 M e V$ ) wegen ihrer kleinen Compton-Wellenlänge eine besondere Rolle. Da Nukleonen und Mesonen ihrerseits aus Quarks zusammengesetzt sind, die von Gluonen zusammengehalten werden, muß eine genauere Feldtheorie der Kernkräfte auf diesen Teilchen aufbauen.

Ergänzende Informationen

(gehört nicht zum Skript)

Prüfungsfragen

Was ist das besondere der starken und schwachen WW? -> sehr kurze Reichweite
Analogie QCD -> \pi , QED -> \gamma (Quarks als Grundbaustein der Hadronen mit Gluonen als Austauschteilehen und Pionen als Austauschteilehen der Hadronen im Atomkern (Yukawa Potential), nur erwähnt, Quarks und Leptonen (speziell Elektronen) sind Punkteilchen)

Kernkräfte

Inhaltsverzeichnis

Deuteron

n-p Streuung

Berechnung des Wirkungsquerschnitts:

Ergänzende Informationen

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