Kernradien

Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann

Der Artikel Kernradien basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 2.Kapitels (Abschnitt 0) der Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann.

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Die Abfrage enthält eine leere Bedingung.

Kernradienbestimmung durch Streuexperimente mit hochbeschleunigten Elektronen (Hofstadter-Experimente)

Hofstadter-Experimente

Beugungsmaxima und -minima

Erstes Minimum bei $\sin \theta \approx 0,61\frac{\lambda }{d}$

Bedingung: $\lambda \le d$

Für Kern $\lambda \le 10^{-14}m$, als 'Licht' sind hochbeschleunigte Elektronen gut geeignet (keine Starke WW).

Verknüpfung von Energie E, Impuls p und Wellenlänge $\lambda$ durch relativistische Energiegleichung:

Einstein Energiegleichung

Für relat. Teilchen ($E\gg m_0{c}^2$, exakt für Teilchen mit Ruhemasse $m_0=0$, d.h. Photonen, Neutrinos (?), Gravitonen (?), ... ) gilt wegen $E=pc$ für die de Broglie-Wellenlänge $\lambda {}^{-}$:

$\lambda {}^{-}=\frac{\hslash }{p}=\frac{\hslash c}{E}\approx \frac{3\times 10^{8-34}m}{1.6\times 10^{-19+6}E[MeV]}\approx 200\frac{10^{-15}}{E[MeV]}$

d.h. für $E>200MeV$ ist $\lambda {}^{-}<10^{-15}m$.

Hofstädter-Experimente am Linearbeschleuniger in Stanford 1957

Ergebnis der Messungen für viele Elemente: $R\approx A^{1/3}=1,20A^{1/3}10^{-15}m$

Genauer: kein scharfer Rand

Für alle Kerne etwa gleiche Ladungsdichte ${\rho }_0$ im Inneren und gleiche Randbreite von ca. $2\times 10^{-15}$ m.

Quantitativ beschreibbar durch die Wood-Saxon-Formel:

$\rho (r)=\frac{{\rho }_0}{1+\exp \frac{r-R}{a}}$

Randbreite (90% $\to$ 10% Abfall) $\approx 4,40a\approx 2,4\times 10^{-15}m$ 'Radius' $R=1,07\times A^{1/3}10^{-15}$ m

Andere Meßmethoden zur Kernradienbestimmung: Isotopieverschiebung (Volumeneffekt) im optischen Bereich

besonders für S-Elektronen wegen deren endlicher Aufenthaltswahrscheinlichkeit am Kernort. Noch wesentlich stärkerer Effekt bei myonischen Atomen wegen der ca. 200x kleineren Bahnradien.

Weitere Informationen

(gehört nicht zum Skript)

Hofstäder-Experiment

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• Kernradius $R=r_0\sqrt[3]{A}$, mit $r_0=(1,3\pm 0,1)\text{fm}$
• Masse $\sim AU(1U=1m_u=\frac{1g}{N_A}=931MeV\frac{1}{c})$
• Dichte ~ $10^{17}fm$
• Randschärfe $a=0.55\text{fm}$
• Messung von Kernradien $\frac{d\sigma }{d\mathrm{\Omega }}={\left(\frac{Z{Z}^{\prime }{e}^2}{4\pi {ϵ}_{0}4E}\right)}^2\frac{1}{{\sin }^4\frac{\theta }{2}}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}{\left(Z{Z}^{\prime }2m{e}^2\right)}^2\frac{1}{q^4}$
• Erweiterung Mott Streuung mit $W^2=p^2{c}^2+m_0^2{c}^4$ ${\frac{d\sigma }{d\mathrm{\Omega }}}_{\text{Mott}}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}{\left(Z{Z}^{\prime }2W{e}^2\right)}^2\frac{1}{q^4{c}^4}[1-\frac{v}{c}{\sin }^2\frac{\theta }{2}]$ Coulomb-Streuung von Elektronen (Spin $\frac{1}{2}$ an spinlosem Target))

3 Experimentelle Arten zur Bestimmung des Kernradius

1. Hofstädter Experiment

${\frac{d\sigma }{d\omega }}_{\text{Hof}}={\frac{d\sigma }{d\omega }}_{\text{Punkt, Mott}}|F(q^2){|}^2$ mit $F(q)=\int d\overrightarrow{r}\rho (\overrightarrow{r})\exp \frac{i}{\hslash }\overrightarrow{q}\overrightarrow{r}$

• Wood Saxon Formel
• Geschwindigkeit >200 MeV mit De-Brogli Wellenlänge im fm Bereich

1. Myonische Atome
2. Isotopieverschiebung

Prüfungsfragen

• Äußere Eigenschaften eines Kerns
  • Masse
  • Randschärfe (vgl. Mit Atomhülle)
• Rutherfordscher Steuversuch
  • Wie misst man Radius -> Streuexperimente (Rutherford erklärt)
  • Was ist der differentielle Wirkungsquerschnitt?
  • Was ist das für eine Größe? ->statistisch Abschätzung des Kernradius über kritischen Winkel, bei dem Abweichung vom Rutherfordstreuquerschnitt vorliegt.
  • Was für eine Streuung liegt vor?-> elastische Streuung
  • Was verändert sich bei inelastischer Streuung?->Energieübertrag an Target.
  • Warum Goldfolie und kein Gas?
• Hofstädter Experiment
  • Was ändert sich bei Hofstädter Experiment? -> Wellenmechanische Beschreibung des Streuproblems.
  • Was wird gemessen?-> Ladungsverteilung.
  • Wie sehen Ladungsverteilungen (Protonverteilung) aus?
  • Wie sieht Neutronverteilung aus?-> Wood-Saxon Form aufmalen. Bei Protonen mit Anstieg beim Rand des Kerns.
  • Was ergibt sich für den Wirkungsquerschnitt für ein Bild-> Bild mit Beugungsminima
    • Warum?-> Analogie zur Beugung am Hindernis/Beugung am Einzelspalt.
  • Welche Energie haben die Elektronen?-> 200MeV
  • Warum?-> Damit Wellenlänge im fm-Bereich ist.
  • Wie berechnet man die Wellenlänge? -> de Brouglie: lambda=hquer / omega
  • Was für ein Beugungsbild bekommt man?-> Fraunhoferbeugung (Bild aufgemalt)
  • Wie bekommt man aus Streuwirkungsquerschnitt die Ladungsverteilung? ->Streuwirkungsquerschnitt=Rutherfordquerschnitt mal Formfaktor (Fouriertrafo der Ladungsverteilung)
    • Warum Formfaktor?
      • -> bei Rutherford wurde von Punktladung ausgegangen, hier ausgedehnte Ladungsverteilung.
      • -> Vorgehen Potential (Wood-Saxon-Form) raten und anpassen bis ermittelter Streuquerschnitt über Fouriertrafo der Ladungsverteilung und Rutherfordquerschnitt mit den Messwerten übereinstimmt.
  • Warum keine „Vorwärtsrechnung“ möglich? (Vergleich mit Atomphysik) -> Hier komplizierter, da kein Zentralpotential und Überlagerung verschiedener Kräfte (Coulomb, starke, schwache WW).
  • Kemradienmessung
    • Rutherford -> Hofstädter (Formfaktor nur mit Leptonenstreuung, Mottstreuung erwähnt)
    • Myonisches Atom (nur erwähnt)
  • Wie misst man die Neutronenverteilung. daja vorherige Beispiele nur die Ladungsverteilung liefern? -> Streuung mit Hadronen wegen schwerer WW (z.B. a-Teilchen)

Stanford Linear Accelerator, shown in an aerial digital orthoimage. The two roads seen near the accelerator are California Interstate 280 (to the East) and Sand Hill Road (along the Northwest).