Kernradien

Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann

Der Artikel Kernradien basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 2.Kapitels (Abschnitt 0) der Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann.

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Die Abfrage enthält eine leere Bedingung. __SHOWFACTBOX__ Kernradienbestimmung durch Streuexperimente mit hochbeschleunigten Elektronen (Hofstadter-Experimente)

Beugungsmaxima und -minima

Erstes Minimum bei $\sin θ \approx 0, 61 \frac{λ}{d}$

Bedingung: $λ \leq d$

Für Kern $λ \leq 1 0^{- 14} m$ , als 'Licht' sind hochbeschleunigte Elektronen gut geeignet (keine Starke WW).

Verknüpfung von Energie E, Impuls p und Wellenlänge $λ$ durch relativistische Energiegleichung:

Für relat. Teilchen ( $E ≫ m_{0} c^{2}$ , exakt für Teilchen mit Ruhemasse $m_{0} = 0$ , d.h. Photonen, Neutrinos (?), Gravitonen (?), ... ) gilt wegen $E = p c$ für die de Broglie-Wellenlänge $λ^{-}$ :

λ^{-} = \frac{ℏ}{p} = \frac{ℏ c}{E} \approx \frac{3 \times 1 0^{8 - 34} m}{1.6 \times 1 0^{- 19 + 6} E [M e V]} \approx 200 \frac{1 0^{- 15}}{E [M e V]}

d.h. für $E > 200 M e V$ ist $λ^{-} < 1 0^{- 15} m$ .

Hofstädter-Experimente am Linearbeschleuniger in Stanford 1957 ^[1]

Ergebnis der Messungen für viele Elemente: $R \approx A^{1 / 3} = 1, 20 A^{1 / 3} 1 0^{- 15} m$

Genauer: kein scharfer Rand

Für alle Kerne etwa gleiche Ladungsdichte $ρ_{0}$ im Inneren und gleiche Randbreite von ca. $2 \times 1 0^{- 15}$ m.

Quantitativ beschreibbar durch die Wood-Saxon-Formel:

ρ (r) = \frac{ρ_{0}}{1 + \exp \frac{r - R}{a}}

Randbreite (90% $\to$ 10% Abfall) $\approx 4, 40 a \approx 2, 4 \times 1 0^{- 15} m$ 'Radius' $R = 1, 07 \times A^{1 / 3} 1 0^{- 15}$ m

Andere Meßmethoden zur Kernradienbestimmung: Isotopieverschiebung (Volumeneffekt) im optischen Bereich

besonders für S-Elektronen wegen deren endlicher Aufenthaltswahrscheinlichkeit am Kernort. Noch wesentlich stärkerer Effekt bei myonischen Atomen wegen der ca. 200x kleineren Bahnradien.

Weitere Informationen

(gehört nicht zum Skript)

Hofstäder-Experiment

w:Hofstadter-Experiment

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Kernradius $R = r_{0} \sqrt[3]{A}$ , mit $r_{0} = (1, 3 \pm 0, 1) fm$
Masse $\sim A U (1 U = 1 m_{u} = \frac{1 g}{N_{A}} = 931 M e V \frac{1}{c})$
Dichte ~ $1 0^{17} f m$
Randschärfe $a = 0.55 fm$
Messung von Kernradien $\frac{d σ}{d Ω} = {(\frac{Z Z^{'} e^{2}}{4 π ϵ_{0} 4 E})}^{2} \frac{1}{\sin^{4} \frac{θ}{2}} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} {(Z Z^{'} 2 m e^{2})}^{2} \frac{1}{q^{4}}$
Erweiterung Mott Streuung mit $W^{2} = p^{2} c^{2} + m_{0}^{2} c^{4}$ ${\frac{d σ}{d Ω}}_{Mott} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} {(Z Z^{'} 2 W e^{2})}^{2} \frac{1}{q^{4} c^{4}} [1 - \frac{v}{c} \sin^{2} \frac{θ}{2}]$ Coulomb-Streuung von Elektronen (Spin $\frac{1}{2}$ an spinlosem Target))

3 Experimentelle Arten zur Bestimmung des Kernradius

Hofstädter Experiment

${\frac{d σ}{d ω}}_{Hof} = {\frac{d σ}{d ω}}_{Punkt, Mott} | F (q^{2}) |^{2}$ mit $F (q) = \int d \vec{r} ρ (\vec{r}) \exp \frac{i}{ℏ} \vec{q} \vec{r}$ ^[2]

Wood Saxon Formel
Geschwindigkeit >200 MeV mit De-Brogli Wellenlänge im fm Bereich

Myonische Atome
Isotopieverschiebung

Prüfungsfragen

Äußere Eigenschaften eines Kerns
- Masse
- Randschärfe (vgl. Mit Atomhülle)
Rutherfordscher Steuversuch
- Wie misst man Radius -> Streuexperimente (Rutherford erklärt)
- Was ist der differentielle Wirkungsquerschnitt?
- Was ist das für eine Größe? ->statistisch Abschätzung des Kernradius über kritischen Winkel, bei dem Abweichung vom Rutherfordstreuquerschnitt vorliegt.
- Was für eine Streuung liegt vor?-> elastische Streuung
- Was verändert sich bei inelastischer Streuung?->Energieübertrag an Target.
- Warum Goldfolie und kein Gas?
Hofstädter Experiment
- Was ändert sich bei Hofstädter Experiment? -> Wellenmechanische Beschreibung des Streuproblems.
- Was wird gemessen?-> Ladungsverteilung.
- Wie sehen Ladungsverteilungen (Protonverteilung) aus?
- Wie sieht Neutronverteilung aus?-> Wood-Saxon Form aufmalen. Bei Protonen mit Anstieg beim Rand des Kerns.
- Was ergibt sich für den Wirkungsquerschnitt für ein Bild-> Bild mit Beugungsminima
  - Warum?-> Analogie zur Beugung am Hindernis/Beugung am Einzelspalt.
- Welche Energie haben die Elektronen?-> 200MeV
- Warum?-> Damit Wellenlänge im fm-Bereich ist.
- Wie berechnet man die Wellenlänge? -> de Brouglie: lambda=hquer / omega
- Was für ein Beugungsbild bekommt man?-> Fraunhoferbeugung (Bild aufgemalt)
- Wie bekommt man aus Streuwirkungsquerschnitt die Ladungsverteilung? ->Streuwirkungsquerschnitt=Rutherfordquerschnitt mal Formfaktor (Fouriertrafo der Ladungsverteilung)
  - Warum Formfaktor?
    - -> bei Rutherford wurde von Punktladung ausgegangen, hier ausgedehnte Ladungsverteilung.
    - -> Vorgehen Potential (Wood-Saxon-Form) raten und anpassen bis ermittelter Streuquerschnitt über Fouriertrafo der Ladungsverteilung und Rutherfordquerschnitt mit den Messwerten übereinstimmt.
- Warum keine „Vorwärtsrechnung“ möglich? (Vergleich mit Atomphysik) -> Hier komplizierter, da kein Zentralpotential und Überlagerung verschiedener Kräfte (Coulomb, starke, schwache WW).
- Kemradienmessung
  - Rutherford -> Hofstädter (Formfaktor nur mit Leptonenstreuung, Mottstreuung erwähnt)
  - Myonisches Atom (nur erwähnt)
- Wie misst man die Neutronenverteilung. daja vorherige Beispiele nur die Ladungsverteilung liefern? -> Streuung mit Hadronen wegen schwerer WW (z.B. a-Teilchen)

Stanford Linear Accelerator, shown in an aerial digital orthoimage. The two roads seen near the accelerator are California Interstate 280 (to the East) and Sand Hill Road (along the Northwest).

Literatur

↑ (Zusammenfassend: Rev. Mod. Phys. 1Q, 142-584 (1958) http://rmp.aps.org/abstract/RMP/v30/i2/p412_1)
↑ Bergmann-Schaefer: Lehrbuch der Experimentalphysik, Band 4: Bestandteile der Materie. 2. Auflage 2003, ISBN 978-3-11-016800-6 Gleichung 4.15

[1] (Zusammenfassend: Rev. Mod. Phys. 1Q, 142-584 (1958) http://rmp.aps.org/abstract/RMP/v30/i2/p412_1)

[2] Bergmann-Schaefer: Lehrbuch der Experimentalphysik, Band 4: Bestandteile der Materie. 2. Auflage 2003, ISBN 978-3-11-016800-6 Gleichung 4.15

[1]

[2]

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