Klein- Gordon- Gleichung

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Klein- Gordon- Gleichung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 7.Kapitels (Abschnitt 2) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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nichrelativistische Schrödingergleichung

Die nichrelativistische Schrödingergleichung

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Psi }=H\mathrm{\Psi }$

folgt aus der nicht relativistischen Energie- Impuls- Beziehung

$H=\frac{{(\overline{p}-e\overline{A})}^2}{2m}+V$

über die Ersetzung $p\to \frac{\hslash }{i}\mathrm{\nabla }$ in der Ortsdarstellung.

Forderungen an eine relativistische Formulierung in der Ortsdarstellung:

1. Die Beschreibung der Zustände geschieht durch Wellenfunktionen $\mathrm{\Psi }(q,t)$ wobei q Bahn- und Spinvariable enthält.
2. ${|\mathrm{\Psi }(q,t)|}^2$ ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit zur zeit t
3. Die Dynamik ist linear: $L\mathrm{\Psi }(q,t)=0$ wegen des Superpositionsprinzips. Das heißt, wenn ${\mathrm{\Psi }}_1,{\mathrm{\Psi }}_2$ Lösung der SGL, dann auch $a_1{\mathrm{\Psi }}_1+a_2{\mathrm{\Psi }}_2$ für beliebige komplexe Koeffizienten a1, a2
4. Die Differenzialgleichung ist erster Ordnung, damit $\mathrm{\Psi }(q,t)$eindeutig aus der Anfangsbedingung $\mathrm{\Psi }(q,0)$ über $i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Psi }=H\mathrm{\Psi }$ bestimmt ist.
5. Die Physikalischen Observablen werden durch hermitesche Operatoren repräsentiert.
6. Die Messwerte sind die Eigenwerte dieser Operatoren: $A|a⟩=a|a⟩$
7. Der Erwartungswert repräsentiert den Mittelwert der Messungen: $⟨\mathrm{\Psi }|A|\mathrm{\Psi }⟩$
8. Es gibt vollständige Sätze vertauschbarer Operatoren ${\hat{A}}_i$ mit gemeinsamen Eigenzuständen $|a_1{a}_2,...⟩$

Also:

${\hat{A}}_i|a_1{a}_2,...⟩=a_i|a_1{a}_2,...⟩$

Mit Orthonormierung:

$⟨a_1\stackrel{´}{},a_2\stackrel{´}{},...|a_1{a}_2,...⟩={\delta }_{a1a1\stackrel{´}{}}{\delta }_{a2a2\stackrel{´}{}}$

Mit Vollständigkeit:

$\sum _{a_1,a_2,...}|a_1{a}_2,...⟩⟨a_1,a_2,...|=1$

Mit Entwickelbarkeit beliebiger Zustände:

$|\mathrm{\Psi }(t)⟩=\sum _{a_1,a_2,...}c(a_1{a}_2,...,t)|a_1{a}_2,...⟩$

Die Wahrscheinlichkeit, im Zustand $|\mathrm{\Psi }(t)⟩$ die Messwerte a1,a2,... zu messen ergibt sich durch das Betragsquadrat der Entwicklungskoeffizienten des jeweils zugehörigen Basiszustands:

${\left|c(a_1{a}_2,...,t)\right|}^2={\left|⟨a_1{a}_2,..|\mathrm{\Psi }(t)⟩\right|}^2$

Die Relativistische Energie- Impuls- Beziehung:

$E=\sqrt{{m_0}^2{c}^4+c^2{\overline{p}}^2}$

liefert mit $E\to i\hslash \frac{\partial }{\partial t}$ und $p\to \frac{\hslash }{i}\mathrm{\nabla }$

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}|\mathrm{\Psi }(t)⟩=\sqrt{{m_0}^2{c}^4-{\hslash }^2{c}^2\mathrm{\Delta }}|\mathrm{\Psi }(t)⟩$

Das bedeutet: Heuristisches Vorgehen: Ersetze alle Variablen, die im relativistischen Ausdruck für die Gesamtenergie vorkommen durch die nötigen Operatoren und behandele diesen Ausdruck als neuen Hamiltonian:

$\hat{H}{=}^{″}{\hat{E}}^{″}$

Dies ist jedoch nicht akzeptabel, da $\sqrt{{m_0}^2{c}^4-{\hslash }^2{c}^2\mathrm{\Delta }}$ eine nicht analytische Funktion eines Operators ist! Ausweg:

$E^2={m_0}^2{c}^4+c^2{\overline{p}}^2$

liefert

${\left(i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\right)}^2|\mathrm{\Psi }(t)⟩=({m_0}^2{c}^4-{\hslash }^2{c}^2\mathrm{\Delta })|\mathrm{\Psi }(t)⟩$

Also:

$(\mathrm{\Delta }-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2})\mathrm{\Psi }(t)=◻\mathrm{\Psi }(t)={\left(\frac{m_{0}c}{\hslash }\right)}^2\mathrm{\Psi }$

Klein- Gordon- Gleichung

Ist Lorentz- Invariant, falls $\mathrm{\Psi }$ ein Lorentz- Skalar ist. Dies liegt einfach daran, dass $◻={\partial }_i{\partial }^i$ Lorentz- invariant ist (Skalarprodukt eines Vierervektors) Einwände gegen die Klein- Gordon- Gleichung: der Spin (der in dieser Gleichung noch nicht enthalten ist!) kann nicht berücksichtigt werden! Denn: Der Zusatz $\hat{H}\to \hat{H}-\hat{\overline{\mu }}\overline{B}$ ist nicht mehr Lorentz- invariant! Klar! $\hat{\overline{\mu }}\overline{B}$ läßt sich nicht als Skalarprodukt eines Vierervektors darstellen! Durch die schwierige Interpretation von $\sqrt{{m_0}^2{c}^4-{\hslash }^2{c}^2\mathrm{\Delta }}$ ist die Klein- Gordon- Gleichung dann letztendlich eine DGL zweiter Ordnung. Das bedeutet jedoch, Es sind die Anfangsbedingungen $\begin{array}{rl}& \mathrm{\Psi }(\overline{r},0)\\ & \frac{{\partial }^{}}{\partial t}\mathrm{\Psi }(\overline{r},0)\\ \end{array}$

nötig! an muss also schon zu Beginn etwas über die Dynamik der Wellenfunktion kennen! Am schwersten wiegt jedoch, dass die Klein- Gordon- Gleichung eine Stromdichte als räumliche Wahrscheinlichkeitsdichte produziert, die nicht mehr als sinnvolle Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden kann, da das Ergebnis nicht mehr strikt positiv ist!: Die Lorentz- Invariante Form der Kontinuitätsgleichung (Wahrscheinlicheitsdichteerhaltung) lautet:

${\partial }_i{J}^i=0$

Mit der Vierersstromdichte $J^i$

Mittels $\begin{array}{rl}& {\partial }_0=\frac{\partial }{\partial x^0}=\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\\ & {\partial }_{\alpha }=\frac{\partial }{\partial x^{\alpha }}\\ \end{array}$ schreibt sichs:

$\begin{array}{rl}& \frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}{J}^0+{\partial }_{\alpha }{J}^{\alpha }=0\\ & {\partial }_{\alpha }{J}^{\alpha }=div\overline{J}\\ \end{array}$

Dadurch ist jedoch $\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}{J}^0+{\partial }_{\alpha }{J}^{\alpha }=0$ eine Kontinuitätsgleichung. Also hat $J^0$ die Bedeutung einer räumlichen Wahrscheinlichkeitsdichte!! Aus der Klein- Gordon- Gleichung dagegen:

${\partial }^i{\partial }_i\mathrm{\Psi }=-{\left(\frac{m_{0}c}{\hslash }\right)}^2\mathrm{\Psi }$

folgt durch c.c.:

${\partial }^i{\partial }_i\mathrm{\Psi }*=-{\left(\frac{m_{0}c}{\hslash }\right)}^2\mathrm{\Psi }*$

Dabei kann man ${\partial }^i{\partial }_i\mathrm{\Psi }=-{\left(\frac{m_{0}c}{\hslash }\right)}^2\mathrm{\Psi }$ mit $\mathrm{\Psi }*$ und ${\partial }^i{\partial }_i\mathrm{\Psi }*=-{\left(\frac{m_{0}c}{\hslash }\right)}^2\mathrm{\Psi }*$ mit$\mathrm{\Psi }$ multipliziert werden. Nun subtrahiere man die beiden Gleichungen und man erhält:

$\mathrm{\Psi }*{\partial }^i{\partial }_i\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }{\partial }^i{\partial }_i\mathrm{\Psi }*=-{\left(\frac{m_{0}c}{\hslash }\right)}^2(\mathrm{\Psi }*\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }\mathrm{\Psi }*)=0$

Somit kann man folgern:

${\partial }_i(\mathrm{\Psi }*{\partial }^i\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }{\partial }^i\mathrm{\Psi }*)=0$

Also ist zulässig:

$(\mathrm{\Psi }*{\partial }^i\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }{\partial }^i\mathrm{\Psi }*):=J^i\to {\partial }_i(\mathrm{\Psi }*{\partial }^i\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }{\partial }^i\mathrm{\Psi }*)={\partial }_i{J}^i=0$

Also

$(\mathrm{\Psi }*{\partial }^0\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }{\partial }^0\mathrm{\Psi }*)=J^0=\frac{1}{c}(\mathrm{\Psi }*\dot{\mathrm{\Psi }}-\mathrm{\Psi }\dot{\mathrm{\Psi }}*)$

Aber $\frac{1}{c}(\mathrm{\Psi }*\dot{\mathrm{\Psi }}-\mathrm{\Psi }\dot{\mathrm{\Psi }}*)$ kann nicht als eine räumliche Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden, da $J^0$ negativ werden kann! Statt dessen kann man, bzw. muss man $J^0$ als eine Ladungsdichte ansehen!

Lösung der Klein- Gordon- Gleichung für freie Teilchen!

Ansatz: ebene Welle:

$\mathrm{\Psi }={\mathrm{\Psi }}_0\exp i\{\overline{k}\overline{r}-\omega t\}$

In Viererschreibweise:

$\overline{k}\overline{r}-\omega t=-(\frac{\omega }{c}ct-\overline{k}\overline{r})=-k_j{x}^j=-k^j{x}_j$

mit $\begin{array}{rl}& k^0=\frac{\omega }{c}=k_0\\ & k^{\alpha }=-k_{\alpha }\\ \end{array}$

Wenn man derart die ebene Welle in die Klein- Gordon- Gleichung einsetzt, so ergibt sich:

$\mathrm{\Psi }={\mathrm{\Psi }}_0\exp i\{\overline{k}\overline{r}-\omega t\}={\mathrm{\Psi }}_0\exp \{-i{k}^j{x}_j\}$

eingesetzt in

$\begin{array}{rl}& -{\partial }^i{\partial }_i\mathrm{\Psi }={\left(\frac{m_{0}c}{\hslash }\right)}^2\mathrm{\Psi }=i{k}^j{\partial }^i{\mathrm{\Psi }}_0\exp \{-i{k}_j{x}^j\}=k^j{k}_j\mathrm{\Psi }={\left(\frac{m_{0}c}{\hslash }\right)}^2\mathrm{\Psi }\\ & \Rightarrow k^j{k}_j\equiv {\left(\frac{\omega }{c}\right)}^2-{\overline{k}}^2={\left(\frac{m_{0}c}{\hslash }\right)}^2\\ & \Rightarrow {\omega }^2=c^2[{\left(\frac{m_{0}c}{\hslash }\right)}^2+{\overline{k}}^2]\\ \end{array}$

Also kann man die Energie (Eigenwert) angeben zu

$E=\hslash \omega =\pm c\sqrt{[{m_0}^2{c}^2+{\left(\hslash \overline{k}\right)}^2]}$

Der nichtrelativistische Grenzfall kann leicht durch Entwicklung der Wurzel für kleine Impulse angegeben werden:

$E=\pm m_0{c}^2\sqrt{[1+{\left(\frac{\hslash \overline{k}}{m_{0}c}\right)}^2]}\approx \pm m_0{c}^2[1+\frac{1}{2}{\left(\frac{\hslash \overline{k}}{m_{0}c}\right)}^2]=\pm [m_0{c}^2+{\frac{\left(\hslash \overline{k}\right)}{2m_0}}^2]$

Gute Näherung für $\hslash k<<m_{0}c$

Grafisch:

E>0 entspricht einem Teilchen der Ruheenergie $m_0{c}^2$

E<0 dagegen einem Teilchen mit der Ruheenergie $-m_0{c}^2$. Dies entspricht jedoch einer negativen Masse! Dies wurde von Dirac derart interpretiert, dass alle Zustände mit E<0 im Grundzustand besetzt sind. Der Raum, dessen Zustände mit negativer Energie alle besetzt sind, erscheint uns als Vakuum! Die Einstrahlung einer Energie $E>2m_0{c}^2$ ermöglicht dann die Teilchen - Antiteilchen- Erzeugung!

Aus dem Vakuum!

Durch diese Einstrahlung erzeugt man einen Lochzustand im unteren Bereich! Es erscheint ein Teilchen aus dem Nichts. Denn: es wurde aus dem Zustand negativer Energie angehoben, hat dann positive Energie und erscheint uns in diesem Moment als positives, reelles Teilchen. Außerdem ist für uns nicht der vollbesetzte untere Zustand zu erkennen, sondern nur das Loch. Dieses Loch im Vakuum ist nun ein freier Zustand mit negativer Energie, der uns als Antiteilchen erscheint. Ein Loch im Vakuum. Also: Löcher in den Zuständen negativer Energie äußern sich als Antimaterie!

Antimaterie ist also das fehlen von Teilchen im vollbesetzten Grundzustand des Vakuums! Das Loch entspricht dem Fehlen eines Teilchens mit $m<0$ und der Ladung q. Demnach äußert es sich uns als Antiteilchen mit der Masse $m>0$ und der Ladung -q: Anregung eines Lochs im Vakuum- Teilchensee

reicht die Energie nicht aus, also $E<2m_0{c}^2$, so kommt es gemäß der Energie- Zeit- Unschärfe zu spontanen Anregungen virtueller Teilchen, die im Rahmen einer Zeit, die die Unschärfe erfüllt, wieder zerfallen.

Dies kann in diesem Fall betrachtet werden als eine "Boltzmannverteilung" der Zustände negativer Energie. Durch die Fluktuationen bei niedriger Temperatur, die aber zweifelsohne vorhanden sind, kommt es zum Boltzmann- Springen der Teilchen zwischen negativen, vollbesetzten Zuständen und kurzzeitig besetzten positiven Energiezuständen. Die positiven Energiezustände zerfallen jedoch gemäß der Rekombinationsgeschwindigkeit (Rate der spontanen/ induzierten Emission!) und man bekommt als Wahrscheinlichkeit der Vakuumpolarisation die Boltzmannverteilung!