Magnetische Induktion

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Magnetische Induktion basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 2) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Magnetische Induktion	Stationäre Ströme und Magnetfeld	Elektrodynamik Schöll
	Kontinuitätsgleichung Magnetische Induktion Magnetostatische Feldgleichungen Magnetische Multipole	Elektrostatik Stationäre Ströme und Magnetfeld Die Maxwell-Gleichungen Elektromagnetische Wellen Materie in elektrischen und magnetischen Feldern Relativistische Formulierung der Elektrodynamik

Experimentelle Erfahrung

Es existieren Wechselwirkungen zwischen den Ladungen: Eine Kraft wirkt auf Ladungen q, die sich mit v bewegen:

${\bar {F}}=q{\bar {v}}\times {\bar {B}}({\bar {r}})$

Die sogenannte Lorentz-Kraft!

${\bar {B}}({\bar {r}})$ ist die magnetische Induktion am Ort ${\bar {r}}$, die erzeugt wird von den anderen Ladungen mit einer zugeordneten Stromdichte ${\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }})$.

Die Erzeugung dieser Magnetischen Induktion erfolgt gemäß des Ampereschen Gesetzes:

${\bar {B}}({\bar {r}})={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }})\times {\frac {{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}}{{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}^{3}}}$

Dies läuft völlig analog zur Coulomb-Wechselwirkung in der Elektrostatik:

${\begin{aligned}&{\bar {F}}=q{\bar {E}}({\bar {r}})\\&{\bar {E}}({\bar {r}})={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\int _{}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}}\rho ({\bar {r}}{\acute {\ }}){\frac {{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}\\\end{aligned}}$

Die Einheiten im SI- System lauten:

$\left[B\right]={\frac {1Ns}{Cm}}={\frac {1kg{{m}^{2}}}{C{{s}^{2}}}}\cdot {\frac {s}{{m}^{2}}}=1V{\frac {s}{{m}^{2}}}=1T$

Mit diesen Einheiten ist dann ${{\mu }_{0}}=1,26\cdot {{10}^{-6}}{\frac {Vs}{Am}}$ festgelegt, wie die Dielektrizitätskonstante jedoch frei wählbar!! Die magnetische Induktion beschreibt keine neue, von der Coulomb- Wechselwirkung unabhängige WW: Man betrachte dazu lediglich die Transformation auf das lokale Ruhesystem einer bewegten Ladung:

Im Gauß System:

${\bar {F}}={\frac {q}{c}}{\bar {v}}\times {\bar {B}}({\bar {r}})$

${\begin{aligned}&{\bar {B}}({\bar {r}})={\frac {1}{c}}\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }})\times {\frac {{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}}{{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}^{3}}}\\&\\\end{aligned}}$

Die Kraft zwischen 2 stromdurchflossenen Leitern:

Betrachten wir zwei infinit. dünne Leiter L, L´, die mit konstanten Strömen I und I´ durchflossen werden:

Der Strom durch L´:

${\begin{aligned}&{\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }}){{d}^{3}}r{\acute {\ }}=\rho {{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\bar {v}}{\acute {\ }}={\frac {d}{dt}}\rho {{d}^{3}}r{\acute {\ }}d{\bar {r}}{\acute {\ }}\\&{\frac {d}{dt}}\rho {{d}^{3}}r{\acute {\ }}=I{\acute {\ }}\\&\Rightarrow {\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }}){{d}^{3}}r{\acute {\ }}=I{\acute {\ }}d{\bar {r}}{\acute {\ }}\\\end{aligned}}$

Somit folgt das Biot-Savartsche Gesetz für unendlich lange Leiter L´:

Die magnetische Induktion ist gerade:

${\begin{aligned}&{\bar {B}}({\bar {r}})={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}I{\acute {\ }}\int _{L{\acute {\ }}}^{}{}d{\bar {r}}{\acute {\ }}\times {\frac {{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}}{{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}^{3}}}\\&\\\end{aligned}}$

Die Kraft auf eine Ladung im Volumenelement d³r von L ist damit gerade:

$d{\bar {F}}=\rho {\bar {v}}\times {\bar {B}}({\bar {r}}){{d}^{3}}r={\bar {j}}\times {\bar {B}}{{d}^{3}}r=Id{\bar {r}}\times {\bar {B}}$

Also:

${\bar {F}}={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}II{\acute {\ }}\int _{L}^{}{}d{\bar {r}}\times \int _{L{\acute {\ }}}^{}{}d{\bar {r}}{\acute {\ }}\times {\frac {{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}}{{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}^{3}}}$

Dies ist dann die gesamte Kraft von L´ auf L mit

${\begin{aligned}&d{\bar {r}}\times \left(d{\bar {r}}{\acute {\ }}\times \left({\bar {r}}-{\bar {r}}\right)\right)=\left(d{\bar {r}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}\right)\right)d{\bar {r}}{\acute {\ }}-\left(d{\bar {r}}d{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)\left({\bar {r}}-{\bar {r}}\right)\\&und\\&\int _{L}^{}{}d{\bar {r}}{\frac {{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}}{{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}^{3}}}=-\left.{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}\right|_{L-ANfang}^{L-Ende}=0\\\end{aligned}}$

(Der Leiter ist entweder geschlossen oder die Enden liegen im Unendlichen) folgt:

${\bar {F}}={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}II{\acute {\ }}\int _{L}^{}{}\int _{L{\acute {\ }}}^{}{}\left(d{\bar {r}}d{\bar {r}}{\acute {\ }}\right){\frac {{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}}{{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}^{3}}}$

für parallele Ströme $Id{\bar {r}}I{\acute {\ }}d{\bar {r}}{\acute {\ }}>0$ folgt Anziehung

für antiparallele Ströme $Id{\bar {r}}I{\acute {\ }}d{\bar {r}}{\acute {\ }}<0$ dagegen Abstoßung

Man sieht außerdem das dritte Newtonsche Gesetz:

${\begin{aligned}&{\bar {r}}\leftrightarrow {\bar {r}}{\acute {\ }}\\&d{\bar {r}}\leftrightarrow d{\bar {r}}{\acute {\ }}\\&I\leftrightarrow I{\acute {\ }}\\\end{aligned}}$

Somit:

${\bar {F}}\leftrightarrow -{\bar {F}}$

(actio gleich reactio)