Multipolstrahlung

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Multipolstrahlung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 3) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Ziel:

Die retardierten Potenziale sollen für räumlich lokalisierte und zeitabhängige Ladungs- und Stromverteilungen analog zu den statischen Multipolentwicklungen für große Abstände von der Quelle, also r>>r´ entwickelt werden.

Voraussetzung: Lorentz- Eichung

\dot{Φ} (\bar{r}, t) + c^{2} \nabla \cdot \bar{A} (\bar{r}, t) = 0

Somit kann aus

\bar{A} (\bar{r}, t)

dann

Φ (\bar{r}, t)

und somit auch

\bar{E} (\bar{r}, t)

\bar{B} (\bar{r}, t)

berechnet werden.

Näherung:

r>>a (Ausdehnung der Quelle)

Mit

\frac{1}{| \bar{r} - \bar{r} \overset{´}{} |} = \frac{1}{r} + \frac{1}{r^{3}} (\bar{r} \cdot \bar{r} \overset{´}{}) + ...

folgt:

\bar{A} (\bar{r}, t) \approx \frac{μ_{\overset{´}{} 0}}{4 π r} \int_{}^{} d^{3} r \overset{´}{} \bar{j} (\bar{r} \overset{´}{}, t - \frac{| \bar{r} - \bar{r} \overset{´}{} |}{c}) + \frac{μ_{\overset{´}{} 0}}{4 π r^{3}} \int_{}^{} d^{3} r \overset{´}{} \bar{j} (\bar{r} \overset{´}{}, t - \frac{| \bar{r} - \bar{r} \overset{´}{} |}{c}) (\bar{r} \cdot \bar{r} \overset{´}{})

Das heißt, es werden nur Terme bis zur zweiten Ordnung berücksichtigt!

Näherung

\begin{matrix} t - \frac{| \bar{r} - \bar{r} \overset{´}{} |}{c} \approx t - \frac{r}{c} + \frac{\bar{r} \cdot \bar{r} \overset{´}{}}{c r} + .... \\ t - \frac{r}{c} := τ \end{matrix}

Diese Näherung sollte gut sein, falls

τ > > \frac{\bar{r} \cdot \bar{r} \overset{´}{}}{c r} \approx \frac{a}{c}

Also: Die Retardierung zum Aufpunkt r sollte wesentlich größer sein als die relative Retardierung der einzelnen Punkte der Quelle untereinander!

a~ Ausdehnung der Quelle

τ

ist etwa die charakteristisch zeit für die Änderung von

\bar{j}

Beispielsweise: harmonische Erregung:

\begin{matrix} \bar{j} \tilde{} e^{i ω t} \\ ω τ =! = 2 π \Rightarrow τ = \frac{2 π}{ω} = \frac{2 π}{c k} = \frac{λ}{c} \\ \Rightarrow a < < λ \end{matrix}

Die Ausdehnung der Quelle müsste also deutlich kleiner sein als die Wellenlänge des abgestrahlten Lichtes!

Dann gilt:

\bar{j} (\bar{r} \overset{´}{}, t - \frac{| \bar{r} - \bar{r} \overset{´}{} |}{c}) \approx \bar{j} (\bar{r} \overset{´}{}, t - \frac{r}{c}) + \frac{\bar{r} \cdot \bar{r} \overset{´}{}}{c r} \frac{\partial \bar{j} (\bar{r} \overset{´}{}, t - \frac{r}{c})}{\partial (t - \frac{r}{c})} = \bar{j} (\bar{r} \overset{´}{}, τ) + \frac{\bar{r} \cdot \bar{r} \overset{´}{}}{c r} \frac{\partial \bar{j} (\bar{r} \overset{´}{}, τ)}{\partial τ}

Also folgt für das Vektorpotenzial:

Die niedrigste or5dnung verschwindet nicht, da im Gegensatz zu Paragraph § 2.4 die Divergenz des Stromes nicht verschwindet:

\nabla \cdot \bar{j} \neq 0

Mit:

\nabla_{r \overset{´}{}} (x_{k} \overset{´}{} \bar{j} (\bar{r} \overset{´}{}, τ)) = x_{k} \overset{´}{} (\nabla_{r \overset{´}{}} \bar{j} (\bar{r} \overset{´}{}, τ)) + j_{k}

mit der Kontinuitäätsgleichung:

\begin{matrix} \nabla_{r \overset{´}{}} \bar{j} (\bar{r} \overset{´}{}, τ) = - \dot{ρ} (\bar{r} \overset{´}{}, τ) \\ \Rightarrow \nabla_{r \overset{´}{}} (x_{k} \overset{´}{} \bar{j} (\bar{r} \overset{´}{}, τ)) = j_{k} - x_{k} \overset{´}{} \dot{ρ} (\bar{r} \overset{´}{}, τ) \end{matrix}

und wegen

\int_{}^{} d^{3} r \overset{´}{} \nabla_{r \overset{´}{}} (x_{k} \overset{´}{} \bar{j} (\bar{r} \overset{´}{}, τ)) = 0

(Gauß)

folgt dann:

\begin{matrix} \int_{}^{} d^{3} r \overset{´}{} \nabla_{r \overset{´}{}} (x_{k} \overset{´}{} \bar{j} (\bar{r} \overset{´}{}, τ)) = 0 = \int_{}^{} d^{3} r \overset{´}{} (j_{k} - x_{k} \overset{´}{} \dot{ρ} (\bar{r} \overset{´}{}, τ)) \\ \Rightarrow \int_{}^{} d^{3} r \overset{´}{} \bar{j} (\bar{r} \overset{´}{}, τ) = \int_{}^{} d^{3} r \overset{´}{} \bar{r} \overset{´}{} \dot{ρ} (\bar{r} \overset{´}{}, τ) = : \dot{\bar{p}} (τ) \end{matrix}

mit dem elektrischen Dipolmoment:

\bar{p} (τ) = \int_{}^{} d^{3} r \overset{´}{} \bar{r} \overset{´}{} ρ (\bar{r} \overset{´}{}, τ)

Somit für die erste Ordnung:

{\bar{A}}^{(1)} (\bar{r}, t) \approx \frac{μ_{\overset{´}{} 0}}{4 π r} \dot{\bar{p}} (t - \frac{r}{c})

Elektrische Dipolstrahlung

Interpretation: Hertzscher Dipol (H hertz, 1857-1894)

\bar{p} (t) = \bar{p} (t_{0}) e^{- i ω t}

\bar{p}

\begin{matrix} {\bar{A}}^{(1)} (\bar{r}, t) \approx \frac{- i ω μ_{\overset{´}{} 0}}{4 π} \frac{\bar{p} (t_{0}) e^{- i ω (t - \frac{r}{c})}}{r} = \frac{- i ω μ_{\overset{´}{} 0}}{4 π} \frac{\bar{p} (t_{0}) e^{i (k r - ω t)}}{r} \\ k := \frac{ω}{c} \end{matrix}

Die Kugelwelle!

Bestimmung des skalaren Potenzials mit Hilfe Lorentzeichung:

\begin{matrix} \dot{Φ} (\bar{r}, t) + c^{2} \nabla \cdot \bar{A} (\bar{r}, t) = 0 \\ \Rightarrow \frac{\partial}{\partial t} Φ (\bar{r}, t) = - \frac{1}{ε_{0} μ_{0}} \nabla \cdot \bar{A} (\bar{r}, t) = - \frac{1}{4 π ε_{0}} \nabla [\frac{1}{r} \dot{\bar{p}} (t - \frac{r}{c})] \\ \Rightarrow Φ (\bar{r}, t) = - \frac{1}{4 π ε_{0}} \nabla [\frac{1}{r} \bar{p} (t - \frac{r}{c})] + Φ_{s t a t .} (\bar{r}) \\ Φ_{s t a t .} (\bar{r}) = 0 (o b d a) \\ \Rightarrow Φ (\bar{r}, t) = - \frac{1}{4 π ε_{0}} \nabla [\frac{1}{r} \bar{p} (t - \frac{r}{c})] = \frac{1}{4 π ε_{0}} [\frac{1}{c r^{2}} \bar{r} \dot{\bar{p}} (t - \frac{r}{c}) + \frac{1}{r^{3}} \bar{r} \bar{p} (t - \frac{r}{c})] \\ \frac{1}{c r^{2}} \bar{r} \dot{\bar{p}} (t - \frac{r}{c}) \tilde{} \frac{1}{r} \\ \frac{1}{r^{3}} \bar{r} \bar{p} (t - \frac{r}{c}) \tilde{} \frac{1}{r^{2}} \end{matrix}

Grenzfälle:

1) Fernzone / Wellenzone:

\begin{matrix} r > > λ > > (a) \Leftrightarrow k r > > 1 \Leftrightarrow \frac{ω}{c} r > > 1 \\ \Rightarrow \frac{1}{c} \dot{\bar{p}} \tilde{} \frac{ω}{c} \bar{p} > > \frac{\bar{p}}{r} \end{matrix}

In der Fernzone ist die Retardierung sehr wichtig!!

Es gilt die Näherung

Φ {(\bar{r}, t)}_{f e r n} \approx \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{1}{c r^{2}} \bar{r} \dot{\bar{p}} (t - \frac{r}{c})

2) Nahzone: (quasistatischer Bereich):

\begin{matrix} λ > > r > > > (a) \\ \Leftrightarrow k r < < 1 \Leftrightarrow \frac{ω}{c} r < < 11 \\ \Rightarrow \frac{1}{c} \dot{\bar{p}} \tilde{} \frac{ω}{c} \bar{p} < < \frac{\bar{p}}{r} \end{matrix}

Also:

Φ (\bar{r}, t) \approx \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{1}{r^{3}} \bar{r} \bar{p} (t - \frac{r}{c})

Dies kann man noch entwickeln nach

\bar{p} (t)

.

dadurch entstehen Terme:

\frac{1}{c r^{2}} \bar{r} \dot{\bar{p}} (t) - \frac{1}{r^{3}} \frac{r}{c} \bar{r} \dot{\bar{p}} (t)

Diese kompensieren sich gegenseitig. Also: Die Retardierung kompensiert den

\dot{\bar{p}} (t)

- Term.

Wir schreiben:

Φ (\bar{r}, t) \approx \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{1}{r^{3}} \bar{r} \bar{p} (t)

in guter Näherung ein instantanes Dipolpontenzial (in der Nahzone ist die Retardierung zu vernachlässigen).

Berechnung der Felder in Fernfeldnäherung

Φ {(\bar{r}, t)}_{f e r n} \approx \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{1}{c r^{2}} \bar{r} \dot{\bar{p}} (t - \frac{r}{c})

\begin{matrix} \bar{B} (\bar{r}, t) = \nabla \times \bar{A} (\bar{r}, t) \approx \frac{μ_{\overset{´}{} 0}}{4 π} \nabla \times \frac{1}{r} \dot{\bar{p}} (t - \frac{r}{c}) = \frac{μ_{\overset{´}{} 0}}{4 π c} \frac{1}{r^{2}} [\ddot{\bar{p}} (t - \frac{r}{c}) \times \bar{r}] + O (\frac{1}{r^{2}}) \\ \bar{E} (\bar{r}, t) = - \nabla Φ (\bar{r}, t) - \dot{\bar{A}} (\bar{r}, t) = \frac{1}{4 π ε_{0} c^{2}} \frac{1}{r^{3}} [\ddot{\bar{p}} (t - \frac{r}{c}) \times \bar{r}] \times \bar{r} + O (\frac{1}{r^{2}}) \end{matrix}

Es gilt:

\begin{matrix} \bar{B} (\bar{r}, t) \times \frac{\bar{r}}{r} = \frac{μ_{0}}{4 π c} \frac{1}{r^{3}} [\ddot{\bar{p}} (t - \frac{r}{c}) \times \bar{r}] \times \bar{r} = \frac{1}{c} \bar{E} (\bar{r}, t) \\ \frac{μ_{0}}{4 π c} = \frac{μ_{0} ε_{0}}{4 π c ε_{0}} = \frac{1}{4 π c^{3} ε_{0}} \end{matrix}

F Fazit:

\bar{r}, \bar{E} (\bar{r}, t), \bar{B} (\bar{r}, t)

bilden für Dipolstrahlung ein Rechtssystem, r, B und E stehen senkrecht aufeinander! Allerdings als Ausbreitung einer freien Kugelwelle nur in der Fernzone!!

Nebenbemerkung: In der Nahzone gilt immer noch wegen

\nabla \cdot \bar{B} (\bar{r}, t) = 0

,

dass r und B senkrecht stehen.

Aber: das elektrische Feld hat neben der senkrechten Komponente, die zu r senkrecht steht (transversale Komponente) noch longitudinale Anteile (E- parallel, die zu r parallel sind).

Poynting- Vektor (Energiestromdichte)

\begin{matrix} \bar{S} = \bar{E} \times \bar{H} = \frac{- 1}{μ_{0}} \bar{B} \times \bar{E} = \frac{- c}{μ_{0} r} \bar{B} \times (\bar{B} \times \bar{r}) = \frac{- c}{μ_{0} r} [(\bar{B} \cdot \bar{r}) \bar{B} - B^{2} \bar{r}] \\ (\bar{B} \cdot \bar{r}) = 0 \\ \Rightarrow \bar{S} = \frac{c}{μ_{0} r} B^{2} \bar{r} \end{matrix}

\bar{B} (\bar{r}, t) = \nabla \times \bar{A} (\bar{r}, t) \approx \frac{μ_{\overset{´}{} 0}}{4 π} \nabla \times \frac{1}{r} \dot{\bar{p}} (t - \frac{r}{c}) = \frac{μ_{\overset{´}{} 0}}{4 π c} \frac{1}{r^{2}} [\ddot{\bar{p}} (t - \frac{r}{c}) \times \bar{r}] + O (\frac{1}{r^{2}})

Also:

entspricht

l = 1, m = 0

Abstrahl- Charakteristik des Hertzschen Dipols:

\begin{matrix} \bar{p} (t) = {\bar{p}}_{0} e^{- i ω t} \\ {| \ddot{\bar{p}} |}^{2} = {\bar{p}}_{0}^{2} ω^{4} \end{matrix}

Stark Richtungs- und stark frequenzabhängig!! höhere Frequenzen werden mit 4. Potenz besser abgestrahlt! Nebenbemerkung: Die gemachte Rechnung ist eine Näherung für eine lineare Antenne

Magnetische Dipol- und Quadrupolstrahlung

Die niedrigste Ordnung der Mutipolentwicklung von

\bar{A} (\bar{r}) = \frac{μ_{0}}{4 π} \int_{R^{3}}^{} d^{3} r \overset{´}{} \frac{\bar{j} (\bar{r} \overset{´}{})}{| \bar{r} - \bar{r} \overset{´}{} |}

(mit der Coulomb- Eichung

\nabla \cdot \bar{A} (\bar{r}) = 0

)

mit den Randbedingungen

\bar{A} (\bar{r}) \to 0

für r→ unendlich verschwindet für eine quellenfreie Stromdichte:

Taylorentwicklung nach

\frac{1}{| \bar{r} - \bar{r} \overset{´}{} |}

von analog zum elektrischen Fall: Die Stromverteilung

\bar{j} (\bar{r} \overset{´}{})

sei stationär für

r > > r \overset{´}{}

\frac{1}{| \bar{r} - \bar{r} \overset{´}{} |} = \frac{1}{r} + \frac{1}{r^{3}} (\bar{r} \cdot \bar{r} \overset{´}{}) + ...

\bar{A} (\bar{r}) = \frac{μ_{0}}{4 π r} \int_{R^{3}}^{} d^{3} r \overset{´}{} \bar{j} (\bar{r} \overset{´}{}) + \frac{μ_{0}}{4 π r^{3}} \int_{R^{3}}^{} d^{3} r \overset{´}{} \bar{j} (\bar{r} \overset{´}{}) (\bar{r} \cdot \bar{r} \overset{´}{}) + ...

Monopol- Term

Mit

\nabla_{r \overset{´}{}} \cdot [x_{k} \overset{´}{} \bar{j} (\bar{r} \overset{´}{})] = x_{k} \overset{´}{} (\nabla_{r \overset{´}{}} \cdot \bar{j} (\bar{r} \overset{´}{})) + \bar{j} (\bar{r} \overset{´}{}) \cdot (\nabla_{r \overset{´}{}} x_{k} \overset{´}{})

Im stationären Fall folgt aus der Kontinuitätsgleichung:

\nabla_{r \overset{´}{}} \cdot \bar{j} (\bar{r} \overset{´}{}) = 0

\nabla_{r \overset{´}{}} \cdot [x_{k} \overset{´}{} \bar{j} (\bar{r} \overset{´}{})] = \bar{j} (\bar{r} \overset{´}{}) \cdot (\nabla_{r \overset{´}{}} x_{k} \overset{´}{}) = j_{l} δ_{k l} = j_{k}

Mit

\nabla_{r \overset{´}{}} \cdot [x_{k} \overset{´}{} \bar{j} (\bar{r} \overset{´}{})] = j_{k}

folgt dann:

\int_{}^{} d^{3} r \overset{´}{} j_{k} (\bar{r} \overset{´}{}) = \int_{}^{} d^{3} r \overset{´}{} \nabla_{r \overset{´}{}} \cdot [x_{k} \overset{´}{} \bar{j} (\bar{r} \overset{´}{})] = \oint_{S \infty} d \bar{f} [x_{k} \overset{´}{} \bar{j} (\bar{r} \overset{´}{})] = 0

Somit verschwindet der Monopolterm in der Theorie.

Also: Falls

\bar{j} (\bar{r} \overset{´}{}, τ)

quellenfrei und damit divergenzfrei, so verschwindet die niedrigste Ordnung der Entwicklung von A: Mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung:

\begin{matrix} \nabla_{r \overset{´}{}} \cdot \bar{j} (\bar{r} \overset{´}{}, τ) = - \frac{\partial}{\partial τ} ρ (\bar{r} \overset{´}{}, τ) = 0 \\ \Rightarrow \dot{\bar{p}} (τ) = \int_{}^{} d^{3} r \overset{´}{} \bar{r} \overset{´}{} \dot{ρ} = 0 \\ \Rightarrow A^{(1)} = \frac{μ_{0}}{4 π r} \dot{\bar{p}} (τ) \equiv 0 \end{matrix}

Im Herztschen Dipol existiert keine Ausstrahlung (In der Hertzschen Dipol- Näherung)

Beispiel: geschlossene Leiterschleife (sogenannte Rahmenantenne):

Mit

I (t) = I_{0} e^{- i ω t}

2. Ordnung:

{\bar{A}}^{(2)} (\bar{r}, t) = \frac{μ_{0}}{4 π r^{3}} \int_{}^{} d^{3} r \overset{´}{} (\bar{r} \cdot \bar{r} \overset{´}{}) (1 + \frac{r}{c} \frac{\partial}{\partial τ}) \bar{j} (\bar{r} \overset{´}{}, τ)

Mit

\begin{matrix} (\bar{r} \bar{r} \overset{´}{}) \bar{j} (\bar{r} \overset{´}{}, τ) = \frac{1}{2} (\bar{r} \overset{´}{} \times \bar{j}) \times \bar{r} + \frac{1}{2} [(\bar{r} \bar{r} \overset{´}{}) \bar{j} + (\bar{r} \bar{j}) \bar{r} \overset{´}{}] \\ u n d \\ \nabla_{r \overset{´}{}} [x_{k} \overset{´}{} (\bar{r} \bar{r} \overset{´}{}) \bar{j}] = [(\bar{r} \bar{r} \overset{´}{}) j_{k} + x_{k} \overset{´}{} (\bar{r} \bar{j}) + x_{k \overset{´}{}} (\bar{r} \bar{r} \overset{´}{}) \nabla_{r \overset{´}{}} \cdot \bar{j}] \\ \nabla_{r \overset{´}{}} \cdot \bar{j} = - \frac{\partial}{\partial τ} ρ (\bar{r} \overset{´}{}, τ) \end{matrix}

Kontinuitätsgleichung Dann folgt integriert:

Der zweite Term rechts kann durch den Tensor des elektrischen Quadrupolmoments ausgedrückt werden (vergl. S. 15, Elektrostatik):

\bar{\bar{Q}} (τ) = \int_{}^{} d^{3} r \overset{´}{} ρ (\bar{r} \overset{´}{}, τ) (3 \bar{r} \overset{´}{} \otimes \bar{r} \overset{´}{} - r {\overset{´}{}}^{2} \bar{\bar{1}}) = : \tilde{\bar{\bar{Q}}} - \frac{1}{3} (t r (\tilde{\bar{\bar{Q}}})) \bar{\bar{1}}

Falls

\tilde{Q} (τ)

oszilliert (sogenannter "breathing mode"), gibt

\frac{1}{3} (t r (\tilde{\bar{\bar{Q}}})) \bar{\bar{1}}

keinen Beitrag zu

\bar{E}, \bar{B}

verschwindet durch Eichtrafo innerhalb der Klasse der Lorentz- Eichungen

→

\bar{\bar{Q}} (τ) \cdot \bar{r} = 3 \int_{}^{} d^{3} r \overset{´}{} ρ (\bar{r} \overset{´}{}, τ) \bar{r} \overset{´}{} (\bar{r} \overset{´}{} \cdot \bar{r})

Also:

\begin{matrix} {\bar{A}}^{(2)} (\bar{r}, t) = \frac{μ_{0}}{4 π r^{3}} (1 + \frac{r}{c} \frac{\partial}{\partial τ}) [\bar{m} (τ) \times \bar{r} + \frac{1}{6} \dot{\bar{\bar{Q}}} (τ) \cdot \bar{r}] \\ = \frac{μ_{0}}{4 π} (\frac{1}{r^{3}} \bar{m} \times \bar{r} + \frac{1}{c r^{2}} \dot{\bar{m}} \times \bar{r} + \frac{1}{6 r^{3}} \dot{\bar{\bar{Q}}} (τ) \cdot \bar{r} + \frac{1}{6 c r^{2}} \ddot{\bar{\bar{Q}}} (τ) \cdot \bar{r}) \end{matrix}

Mit der magnetischen Dipolstrahlung

\frac{1}{r^{3}} \bar{m} \times \bar{r} + \frac{1}{c r^{2}} \dot{\bar{m}} \times \bar{r}

und elektrischer Quadrupolstrahlung

\frac{1}{6 r^{3}} \dot{\bar{\bar{Q}}} (τ) \cdot \bar{r} + \frac{1}{6 c r^{2}} \ddot{\bar{\bar{Q}}} (τ) \cdot \bar{r}

Die magnetische Dipolstrahlung kann mit Hilfe

\nabla \times \frac{1}{r} \bar{m} (t - \frac{r}{c}) = \frac{1}{r^{3}} \bar{m} (t - \frac{r}{c}) \times \bar{r} + \frac{1}{c r^{2}} \dot{\bar{m}} (t - \frac{r}{c}) \times \bar{r}

schreiben als:

Die magnetische Dipolstrahlung

Skalares Potenzial aus der Lorentz- Eichung

\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial t} Φ (\bar{r}, t) = - c^{2} \nabla \cdot \bar{A} (\bar{r}, t) = - \frac{μ_{0} c^{2}}{4 π} \nabla \cdot (\nabla \times \frac{1}{r} \bar{m}) \equiv 0 \\ \Rightarrow Φ (\bar{r}, t) = Φ (\bar{r}) =! = 0 \end{matrix}

O.B.d.A.: Es existiere kein statisches Potenzial/ es wird auf Null gesetzt

Berechnung der Felder in Fernfeldnäherung:

das elektrische Feld ergibt sich wie für die elektrische Dipolstrahlung

Nebenbemerkung

Für Systeme von Teilchen mit gleicher spezifischer Ladung

\frac{q}{m}

ist

\bar{p} \tilde{} \bar{R}

(Schwerpunkt) und

\bar{m} \tilde{} \bar{L}

(Gesamtdrehimpuls)

\Rightarrow \dot{\bar{p}} = \dot{\bar{m}} = 0

In diesem Fall (vier gleiche Ladungen etc...) ist nur elektrische Quadrupolstrahlung möglich

vergleiche ART: durch die unipolarität der Masse existiert nur Gravitations- Quadrupolstrahlung

Multipolstrahlung

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