Schallausbreitung im Festkörper

Bei der Ausbreitung von Schall in einem Festkörper hängt die Schwingfrequenz $\omega$ der Atome vom Betrag des Wellenvektors k ab. Der Zusammenhang wird durch die Gruppengeschwindigkeit der Dispersionsbeziehung

$\omega (k)=2{\sqrt {\frac {K}{M}}}\left|\sin \left({\frac {1}{2}}ka\right)\right|$

beschrieben, wobei K die effektive Federkonstante der Bindung zwischen den Atomen, M ihre Masse und a ihr Abstand sind. a) Welchen Wert hat die Schallgeschwindigkeit in einem Festkörper mit $K=7kg/s^{2},M=4*10^{-26}kg,a=5*10^{-10}m$, wenn die Wellenlänge sehr viel größer als der Atomabstand a ist?

Lösung

Nach Verwendete Formeln: ist die Gruppengeschwindigkeit die Ableitung von $\omega (k)$ an der Stelle k=Mittelwert(k). Da k<<a ist k*a klein und so wird $\cos(ka)\approx 1$. Damit folgt dann Mathematica Rechnung:

N@K = 7; N@M = 4*10^-26; N@a = 5*10^-10;
\[Omega][k_] = 2 Sqrt[K/M]*Sin[1/2 k a]
vGR[k_] = D[\[Omega][k], k]
vGR[0]
N@%

Zahlenwert:6614 in m/s

b) Nähert sich die Wellenlänge des Schalls dem Wert 2a, kann dieser sich nicht mehr ausbreiten. Berechnen Sie die Frequenz, mit der die Atome in dem Festkörper in diesem Fall schwingen.

Lösung

Mathematica Rechnung:

\[Omega][2 Pi/(2 a)]
N@%

Zahlenwert:2.64575*10^13 in Hz

Fakten zur Klausuraufgabe Schallausbreitung im Festkörper

Quellen

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• Punkte: 6
• Tutorium:

Semantische Daten

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