Spin- Operatoren und Zustände

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Spin- Operatoren und Zustände basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 1) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Stern-Gerlach Experiment: (1922)

Für das inhomogene Magnetfeld gilt: $\nabla B_{3} ⊥ Strahl$

Die Kraft auf das magnetische Moment ergibt sich gemäß

\bar{F} = \nabla (μ_{3} B_{3}) = μ_{3} \nabla B_{3}

Somit: Ablenkung proportional zu µ3!!

Bahndrehimpuls l ergäbe $2 l + 1$ - fache Strahlaufspaltung (also in jedem Fall ungeradzahlige Strahlaufspaltung)

Beobachtet wurde zweifache Aufspaltung!!

\Rightarrow \bar{μ} \sim \bar{S}

Eigendrehimpuls (Spin) des Elektrons!

S_{3} = m_{S} ℏ

\begin{matrix} m_{S} = \pm \frac{1}{2} \\ l \equiv s = \frac{1}{2} \end{matrix}

Klassische Vorstellung: Rotation eines geladenen Körpers um seine eigene Achse:

\begin{matrix} \Rightarrow \bar{μ} = \frac{+ e}{2 m_{0}} \bar{S} e < 0 \\ \Rightarrow μ_{3} = \frac{+ e}{2 m_{0}} S_{3} = \pm \frac{+ e ℏ}{4 m_{0}} \end{matrix}

Dies ist jedoch falsch! Vielmehr wurde experimentell der folgende Wert ermittelt:

μ_{3} = + g \frac{+ e}{2 m_{0}} S_{3}

mit g=2,0023 g sogenannter Lande-Faktor (gyromagnetischer Faktor)

Mit relativistischen Korrekturen kommt man zu der Abweichung von der genauen 2!!!

Spin als Freiheitsgrad des Elektrons

Spin-Eigenzustände: $| m_{s} ⟩ \in H_{S}$

Spin-Hilbertraum (zweidimensional!)

Notation:

Spin up: $| + \frac{1}{2} ⟩ = | ↑ ⟩$
Spin down: $| - \frac{1}{2} ⟩ = | ↓ ⟩$

Dimensionsloser Spinoperator $\hat{\bar{σ}}$

Mit Eigenwerten und Spinzuständen als Eigenzustände:

\begin{matrix} {\hat{\bar{S}}}_{3} | ↑ ⟩ = \frac{ℏ}{2} | ↑ ⟩ \Rightarrow \hat{\bar{σ}} | ↑ ⟩ = | ↑ ⟩ \\ {\hat{\bar{S}}}_{3} | ↓ ⟩ = - \frac{ℏ}{2} | ↓ ⟩ \Rightarrow \hat{\bar{σ}} | ↓ ⟩ = - | ↓ ⟩ \end{matrix}

{\hat{S}}_{3}

ist hermitesch

Eigenwerte: $\pm 1$

Orthonormierung: $\begin{matrix} ⟨ ↑ | ↑ ⟩ = ⟨ ↓ | ↓ ⟩ = 1 \\ ⟨ ↑ | ↓ ⟩ = 0 \end{matrix}$

Vollständigkeit: $| ↑ ⟩ ⟨ ↑ | + | ↓ ⟩ ⟨ ↓ | = 1$

Das heißt, jeder beliebige, auch zeitabhängige Spinzustand kann entwickelt werden als

\begin{matrix} | a (t) ⟩ = | ↑ ⟩ ⟨ ↑ | a (t) ⟩ + | ↓ ⟩ ⟨ ↓ | a (t) ⟩ \\ ⟨ ↑ | a (t) ⟩ := a_{1} (t) \\ ⟨ ↓ | a (t) ⟩ := a_{2} (t) \end{matrix}

Aus:

\hat{S} \times \hat{S} = i ℏ \hat{S}

(ganz allgemeine Drehimpuls-Vertauschungs-Relation)

(Operatoren, die dieser Relation genügen sind als Drehimpulse definiert!)

folgt:

\begin{matrix} \hat{\bar{σ}} \times \hat{\bar{σ}} = 2 i \hat{\bar{σ}} \\ [{\hat{\bar{σ}}}_{j}, {\hat{\bar{σ}}}_{k}] = 2 i ε_{j k l} {\hat{\bar{σ}}}_{l} \end{matrix}

\begin{matrix} {\hat{\bar{S}}}^{2} | ↑ ⟩ = ℏ^{2} s (s + 1) | ↑ ⟩ \Rightarrow s = \frac{1}{2} \Rightarrow {\hat{\bar{σ}}}^{2} | ↑ ⟩ = 3 | ↑ ⟩ \\ {\hat{\bar{S}}}^{2} | ↓ ⟩ = ℏ^{2} s (s + 1) | ↓ ⟩ \Rightarrow s = \frac{1}{2} \Rightarrow {\hat{\bar{σ}}}^{2} | ↓ ⟩ = 3 | ↓ ⟩ \end{matrix}

Spin-Leiteroperatoren:

\begin{matrix} {\hat{\bar{σ}}}_{\pm} := {\hat{\bar{σ}}}_{1} \pm i {\hat{\bar{σ}}}_{2} \\ {\hat{\bar{σ}}}_{+} | ↑ ⟩ = {\hat{\bar{σ}}}_{-} | ↓ ⟩ = 0 \end{matrix}

Somit folgt:

\begin{matrix} \Rightarrow {\hat{\bar{σ}}}_{1} | ↑ ⟩ = - i {\hat{\bar{σ}}}_{2} | ↑ ⟩ \\ {\hat{\bar{σ}}}_{1} | ↓ ⟩ = i {\hat{\bar{σ}}}_{2} | ↓ ⟩ \end{matrix}

Andererseits gilt:

\begin{matrix} {\hat{\bar{σ}}}_{+} | ↓ ⟩ = α | ↑ ⟩ \\ {\hat{\bar{σ}}}_{-} | ↑ ⟩ = β | ↓ ⟩ \end{matrix}

Beliebige Koeffizienten als Ansatz setzen!

Berechnung der Koeffizienten $α, β$ :

\begin{matrix} α * α = ⟨ ↓ | {\hat{\bar{σ}}}_{+}^{+} {\hat{\bar{σ}}}_{+} | ↓ ⟩ = ⟨ ↓ | ({\hat{\bar{σ}}}_{1} - i {\hat{\bar{σ}}}_{2}) ({\hat{\bar{σ}}}_{1} + i {\hat{\bar{σ}}}_{2}) | ↓ ⟩ \\ = ⟨ ↓ | {\hat{\bar{σ}}}_{1}^{2} + {\hat{\bar{σ}}}_{2}^{2} + i [{\hat{\bar{σ}}}_{1}, {\hat{\bar{σ}}}_{2}] | ↓ ⟩ \\ [{\hat{\bar{σ}}}_{1}, {\hat{\bar{σ}}}_{2}] = 2 i {\hat{\bar{σ}}}_{3} \\ {\hat{\bar{σ}}}_{1}^{2} + {\hat{\bar{σ}}}_{2}^{2} = {\hat{\bar{σ}}}^{2} - {\hat{\bar{σ}}}_{3}^{2} \\ \Rightarrow α * α = ⟨ ↓ | {\hat{\bar{σ}}}^{2} - {\hat{\bar{σ}}}_{3}^{2} - 2 {\hat{\bar{σ}}}_{3} | ↓ ⟩ = ⟨ ↓ | 3 - 1 + 2 | ↓ ⟩ = 4 \\ \Rightarrow | α | = 2 \end{matrix}

Weiter:

⟨ ↑ | {\hat{\bar{σ}}}_{+} | ↓ ⟩ = α ⟨ ↑ | ↑ ⟩ = α

Aber gleichzeitig, wenn man den Operator gekreuzt nach links wirken läßt:

O.B. d. A.: wähle

α = β = 2

Auch hier gewinnt man wieder Bestimmungsgleichungen für die Eigenwerte bzw. die Koeffizienten, wir haben ja keine Eigenwerte hier, indem man die gesuchten Operatoren durch bekannte ausdrückt!

So folgt:

\begin{matrix} ({\hat{\bar{σ}}}_{1} + i {\hat{\bar{σ}}}_{2}) | ↓ ⟩ = ({\hat{\bar{σ}}}_{1} + {\hat{\bar{σ}}}_{1}) | ↓ ⟩ = 2 | ↑ ⟩ \\ ({\hat{\bar{σ}}}_{1} - i {\hat{\bar{σ}}}_{2}) | ↑ ⟩ = ({\hat{\bar{σ}}}_{1} + {\hat{\bar{σ}}}_{1}) | ↑ ⟩ = 2 | ↓ ⟩ \\ \Rightarrow {\hat{\bar{σ}}}_{1} | ↓ ⟩ = | ↑ ⟩ \\ {\hat{\bar{σ}}}_{1} | ↑ ⟩ = | ↓ ⟩ \end{matrix}

Außerdem:

\begin{matrix} ({\hat{\bar{σ}}}_{1} + i {\hat{\bar{σ}}}_{2}) | ↓ ⟩ = (i {\hat{\bar{σ}}}_{2} + i {\hat{\bar{σ}}}_{2}) | ↓ ⟩ = 2 | ↑ ⟩ \\ ({\hat{\bar{σ}}}_{1} - i {\hat{\bar{σ}}}_{2}) | ↑ ⟩ = - (i {\hat{\bar{σ}}}_{2} + i {\hat{\bar{σ}}}_{2}) | ↑ ⟩ = 2 | ↓ ⟩ \\ \Rightarrow {\hat{\bar{σ}}}_{2} | ↓ ⟩ = - i | ↑ ⟩ \\ {\hat{\bar{σ}}}_{2} | ↑ ⟩ = i | ↓ ⟩ \end{matrix}

Zusammenfassung
	$\| ↑ ⟩$	$\| ↓ ⟩$
${\hat{\bar{σ}}}_{1}$	$\| ↓ ⟩$	$\| ↑ ⟩$
${\hat{\bar{σ}}}_{2}$	$i \| ↓ ⟩$	$- i \| ↑ ⟩$
${\hat{\bar{σ}}}_{3}$	$\| ↑ ⟩$	$\| ↓ ⟩$

Die Spin- Operatoren lassen sich in diesem Sinne durch 2x2 Matrizen darstellen:

(Im zweidimensionalen Spin- Eigenraum):

\begin{matrix} {({\hat{\bar{σ}}}_{i})}_{α β} = (\begin{matrix} ⟨ ↑ | {\hat{\bar{σ}}}_{i} | ↑ ⟩ & ⟨ ↑ | {\hat{\bar{σ}}}_{i} | ↓ ⟩ \\ ⟨ ↓ | {\hat{\bar{σ}}}_{i} | ↑ ⟩ & ⟨ ↓ | {\hat{\bar{σ}}}_{i} | ↓ ⟩ \end{matrix}) \\ α, β = 1, 2 \\ i = 1, 2, 3 \end{matrix}

Die Matrizen lassen sich ausschreiben: Paulische Spinmatrizen:

\begin{matrix} {({\hat{\bar{σ}}}_{1})}_{α β} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \\ {({\hat{\bar{σ}}}_{2})}_{α β} = (\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix}) \\ {({\hat{\bar{σ}}}_{3})}_{α β} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \end{matrix}

\begin{matrix} \hat{\bar{S}} = (\begin{matrix} (\begin{matrix} 0 & \frac{ℏ}{2} \\ \frac{ℏ}{2} & 0 \end{matrix}) \\ (\begin{matrix} 0 & - i \frac{ℏ}{2} \\ \frac{ℏ}{2} & 0 \end{matrix}) \\ (\begin{matrix} \frac{ℏ}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{ℏ}{2} \end{matrix}) \end{matrix}) \end{matrix}

Was den bekannten Relationen genügt:

\begin{matrix} {\hat{\bar{σ}}}_{1} {\hat{\bar{σ}}}_{2} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - i & 0 \\ 0 & i \end{matrix}) = i {\hat{\bar{σ}}}_{3} \\ {\hat{\bar{σ}}}_{2} {\hat{\bar{σ}}}_{1} = (\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) = - i {\hat{\bar{σ}}}_{3} \\ \Rightarrow [{\hat{\bar{σ}}}_{1,} {\hat{\bar{σ}}}_{2}] = 2 i {\hat{\bar{σ}}}_{3} \end{matrix}

erfüllt,.... usw...

S3- Darstellung der Zustände:

\begin{matrix} (\begin{matrix} ⟨ α | ↑ ⟩ = δ_{α 1} \\ ⟨ α | ↓ ⟩ = δ_{α 2} \end{matrix}) \\ | ↑ ⟩ = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) \\ | ↓ ⟩ = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) \end{matrix}

Dabei kennzeichnen $| ↑ ⟩ = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}), | ↓ ⟩ = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})$ die Basis- Spinoren (Spaltenvektoren)

\begin{matrix} ⟨ ↑ | = (1, 0) \\ ⟨ ↓ | = (0, 1) \end{matrix}

Zeilenvektoren (transponiert)

(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})

was äquivalent ist zu

{\hat{\bar{σ}}}_{1} | ↑ ⟩ = | ↓ ⟩

	$\| ↑ ⟩$	$\| ↓ ⟩$
${\hat{\bar{σ}}}_{1}$	$\| ↓ ⟩$	$\| ↑ ⟩$
${\hat{\bar{σ}}}_{2}$	$i \| ↓ ⟩$	$- i \| ↑ ⟩$
${\hat{\bar{σ}}}_{3}$	$\| ↑ ⟩$	$\| ↓ ⟩$

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