Symplektische Struktur des Phasenraums

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Symplektische Struktur des Phasenraums basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 4) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

|}}

__SHOWFACTBOX__

Da die kanonischen Transformationen generalisierte Koordinaten und Impulse ineinander transformieren können, sollten q und p nicht gegeneinander ausgezeichnet sein. Um diese Symmetrie des kanonischen Formalismus auszuzeichnen, wird eine neue Notation eingeführt.

Sei zunächst f= 1

\bar{x} := (\begin{matrix} q \\ p \end{matrix})

ist Vektor im Phasenraum

{H_{,}}_{x} := (\begin{matrix} \frac{\partial H}{\partial q} \\ \frac{\partial H}{\partial p} \end{matrix})

ist Ableitungsvektor

J := (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix})

ist Metrik im Phasenraum (metrischer Tensor)

In diesem Fall lassen sich die kanonischen Gleichungen vereinfacht schreiben als:

\dot{\bar{x}} := J H_{, x} \Leftrightarrow - J \dot{\bar{x}} = H_{, x} \Leftrightarrow \dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p}, \dot{p} = - \frac{\partial H}{\partial q}

Leicht läßt sich zeigen:

\begin{matrix} J^{2} = - 1 \\ J^{- 1} = J^{T} = - J \end{matrix}

Verallgemeinerung auf mehr Freiheitsgrade

\begin{matrix} \bar{x} := (\begin{matrix} q_{1} \\ ... \\ q_{f} \\ p_{1} \\ ... \\ p_{f} \end{matrix}) \\ {\bar{H}}_{x} := (\begin{matrix} \frac{\partial H}{\partial q_{1}} \\ ... \\ \frac{\partial H}{\partial q_{f}} \\ \frac{\partial H}{\partial p_{1}} \\ ... \\ \frac{\partial H}{\partial p_{f}} \end{matrix}) J := (\begin{matrix} 0 & 1_{f} \\ - 1_{f} & 0 \end{matrix}) \end{matrix}

Die kanonischen Gleichungen lauten

\dot{\bar{x}} := J H_{x} \Leftrightarrow - J \dot{\bar{x}} = H_{x}

Beispiel ist ein lineares autonomes System in einer Dimension, also der verallgemeinerte eindimensionale harmonische Oszillator:

\dot{\bar{x}} := A \bar{x} = J H_{x}

Diese Gleichung ist abzuleiten aus der Hamiltonfunktion:

H = \frac{1}{2} (a q^{2} + 2 b q p + c p^{2}) z . 𝐁 . a = {ω_{0}}^{2}, b = 0, c = 1

\Rightarrow \dot{\bar{x}} := (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} \frac{\partial H}{\partial q} \\ \frac{\partial H}{\partial p} \end{matrix}) = \begin{matrix} b q + c p \\ - a q - b p \end{matrix}

Somit ergibt sich eine Einschränkung an die Matrix A:

\begin{matrix} A = (\begin{matrix} b & c \\ - a & - b \end{matrix}) \\ t r (A) = 0 \end{matrix}

Dies gilt für Hamiltonsche Systeme! (Einschränkung an die Dynamik im Phasenraum)

Kanonische Transformationen in kompakter Notation

Aus den 4 Äquivalenten Formen der Erzeugenden für kanonische Transformationen folgt:

\begin{matrix} M_{1} (\bar{q}, \bar{Q}, t) : \\ \Rightarrow p_{j} = \frac{\partial M_{1}}{\partial q_{j}} \\ P_{j} = - \frac{\partial M_{1}}{\partial Q_{j}} \\ \Rightarrow \frac{\partial p_{j}}{\partial Q_{k}} = \frac{\partial^{2} M_{1}}{\partial Q_{k} \partial q_{j}} = - \frac{\partial P_{k}}{\partial q_{j}} \end{matrix}

\begin{matrix} M_{2} (\bar{q}, \bar{P}, t) = M_{1} (\bar{q}, \bar{Q}, t) - \sum_{j = 1}^{f} \frac{\partial M_{1}}{\partial Q_{j}} Q_{j} \\ \Rightarrow p_{j} = \frac{\partial M_{2}}{\partial q_{j}} \\ Q_{j} = \frac{\partial M_{2}}{\partial P_{j}} \\ \Rightarrow \frac{\partial p_{j}}{\partial P_{k}} = \frac{\partial^{2} M_{2}}{\partial P_{k} \partial q_{j}} = \frac{\partial Q_{k}}{\partial q_{j}} \end{matrix}

\begin{matrix} M_{3} (\bar{p}, \bar{Q}, t) = M_{1} (\bar{q}, \bar{Q}, t) - \sum_{j = 1}^{f} \frac{\partial M_{1}}{\partial q_{j}} q_{j} \\ \Rightarrow q_{j} = \frac{\partial M_{3}}{\partial p_{j}} \\ P_{j} = - \frac{\partial M_{3}}{\partial Q_{j}} \\ \Rightarrow \frac{\partial q_{j}}{\partial Q_{k}} = - \frac{\partial^{2} M_{3}}{\partial Q_{k} \partial p_{j}} = \frac{\partial P_{k}}{\partial p_{j}} \end{matrix}

\begin{matrix} M_{4} (\bar{p}, \bar{P}, t) = M_{1} (\bar{q}, \bar{Q}, t) - \sum_{j = 1}^{f} (\frac{\partial M_{1}}{\partial Q_{j}} Q_{j} + \frac{\partial M_{1}}{\partial q_{j}} q_{j}) \\ \Rightarrow q_{j} = - \frac{\partial M_{4}}{\partial p_{j}} \\ Q_{j} = \frac{\partial M_{1}}{\partial P_{j}} = q_{j} \\ \Rightarrow \frac{\partial q_{j}}{\partial P_{k}} = \frac{\partial^{2} M_{1}}{\partial P_{k} \partial p_{j}} = - \frac{\partial Q_{k}}{\partial p_{j}} \end{matrix}

Dabei sind:

\bar{x} := (\begin{matrix} q_{1} \\ ... \\ q_{f} \\ p_{1} \\ ... \\ p_{f} \end{matrix}) \bar{y} := (\begin{matrix} Q_{1} \\ ... \\ Q_{f} \\ P_{1} \\ ... \\ P_{f} \end{matrix})

\begin{matrix} M_{α β} = \frac{\partial x_{α}}{\partial y_{β}} \\ {(M^{- 1})}_{α β} := \frac{\partial y_{α}}{\partial x_{β}} α, β = 1, ..., 2 f \end{matrix}

Beweis:

\sum_{γ = 1}^{2 f} M_{α γ} {(M^{- 1})}_{γ β} = \sum_{γ = 1}^{2 f} \frac{\partial x_{α}}{\partial y_{γ}} \frac{\partial y_{γ}}{\partial x_{β}} = \frac{\partial x_{α}}{\partial x_{β}} = δ_{α β}

Damit läßt sich eine einheitliche Schreibweise finden für die Relationen aller Erzeugenden:

M_{α β} = \sum_{μ, ν = 1}^{2 f} J_{α μ} J_{β ν} {(M^{- 1})}_{μ ν}

Beweis:

In Matrixform lautet diese Gleichung:

M = J {(J M^{- 1})}^{T}

Die linke Seite (M) lautet:

M = (\begin{matrix} \frac{\partial q}{\partial Q} & \frac{\partial q}{\partial P} \\ \frac{\partial p}{\partial Q} & \frac{\partial p}{\partial P} \end{matrix})

Die rechte Seite lautet:

\begin{matrix} J {(J M^{- 1})}^{T} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}) {[(\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} \frac{\partial Q}{\partial q} & \frac{\partial Q}{\partial p} \\ \frac{\partial P}{\partial q} & \frac{\partial P}{\partial p} \end{matrix})]}^{T} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}) {(\begin{matrix} \frac{\partial P}{\partial q} & \frac{\partial P}{\partial p} \\ - \frac{\partial Q}{\partial q} & - \frac{\partial Q}{\partial p} \end{matrix})}^{T} \\ = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}) {(\begin{matrix} {(\frac{\partial P}{\partial q})}^{T} & - {(\frac{\partial Q}{\partial q})}^{T} \\ {(\frac{\partial P}{\partial p})}^{T} & - {(\frac{\partial Q}{\partial p})}^{T} \end{matrix})}^{} = (\begin{matrix} {(\frac{\partial P}{\partial p})}^{T} & - {(\frac{\partial Q}{\partial p})}^{T} \\ - {(\frac{\partial P}{\partial q})}^{T} & {(\frac{\partial Q}{\partial q})}^{T} \end{matrix}) \end{matrix}

Die Matrixform für die Erzeugenden läßt sich folgendermaßen äquivalent umformen:

\begin{matrix} M = J {(J M^{- 1})}^{T} \\ \Rightarrow J M = - {(J M^{- 1})}^{T} = - {(M^{- 1})}^{T} J^{T} \\ \Rightarrow M^{T} J M = - M^{T} {(M^{- 1})}^{T} J^{T} = - {(M^{- 1} M)}^{T} J^{T} = - J^{T} = J \\ M^{T} J M = J \end{matrix}

Dabei ist J der metrische Tensor und M die Matrix der 2. Ableitungen der Erzeugenden der kanonischen Transformation, also die Jacobi- Matrix für die Erzeugenden der kanonischen Trafo.

Dies bedeutet jedoch nichts anderes als: Die Metrik im Phasenraum ist invariant unter kanonischen Transformationen!

J definiert dabei eine Metrik über das verallgemeinerte schiefsymmetrische Skalarprodukt:

(\bar{x}, \bar{y}) := {\bar{x}}^{T} J \bar{y} = \sum_{i, k = 1}^{2 f} x_{i} J_{i k} y_{k}

es handelt sich dabei um eine schiefsymmetrische, nichtentartete Bilinearform

Eigenschaften:

Schiefsymmetrie:

(\bar{x}, \bar{y}) = - (\bar{y}, \bar{x})

,

Beweis:

(\bar{x}, \bar{y}) = {\bar{x}}^{T} J \bar{y} = {({\bar{y}}^{T} J^{T} \bar{x})}^{T} = - {\bar{y}}^{T} J^{} \bar{x} = - (\bar{y}, \bar{x})

bilinear:

(\bar{x}, λ_{1} {\bar{y}}_{1} + λ_{2} {\bar{y}}_{2}) = λ_{1} (\bar{x}, {\bar{y}}_{1}) + λ_{2} (\bar{x}, {\bar{y}}_{2})

nichtentartet:

(\bar{x}, \bar{y}) = 0 \forall \bar{y} \Rightarrow \bar{x} = 0

Nebenbemerkung: Es gilt:

(\bar{x}, \bar{x}) = 0 \forall \bar{x}

Also Selbstorthogonalität

Beweis:

{\bar{x}}^{T} J \bar{x} = (\begin{matrix} q & p \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} q \\ p \end{matrix}) = q p - p q = 0

Die Symplektische Struktur auf dem

R^{2 f}

ist von einer euklidischen Metrik grundsätzlich zu unterscheiden:

{(\bar{x}, \bar{y})}_{E u} = \sum_{i} x_{i} y_{i} = {\bar{x}}^{T} g \bar{y}

Mit dem metrischen Tensor g, einer 2fx2f dimensionalen Einheitsmatrix!

Im Euklidischen gelten jedoch die Relationen:

\begin{matrix} (\bar{x}, \bar{y}) = (\bar{y}, \bar{x}) \\ (\bar{x}, \bar{x}) \geq 0 \end{matrix}

Definition:

Die Menge der Matrizen M (kanonische Trafo) mit

M^{T} J M = J

bildet die reelle symplektische Gruppe S über

R^{2 f}

.

Dies ist die Symmetriegruppe der symplektischen Struktur.

Gruppeneigenschaften

1.

M_{1}, M_{2} \in S \Rightarrow M_{3} = M_{1} M_{2} \in S

Beweis:

{M_{3}}^{T} J M_{3} = {(M_{1} M_{2})}^{T} J (M_{1} M_{2}) = {M_{2}}^{T} {M_{1}}^{T} J M_{1} M_{2} = {M_{2}}^{T} J M_{2} = J

2. Assoziativität (matrixmultiplikation!)

3. Einselement Einheitsmatrix!

Inverse:

M^{- 1} := J^{- 1} M^{T} J

Beweis:

M^{- 1} M = (J^{- 1} M^{T} J) M = J^{- 1} (M^{T} J M) = J^{- 1} J = 1

Dabei gilt :

M^{T}, J \in S

Beweis: Übungsaufgabe

Weiter gilt:

det M = 1

Beweis: Übungsaufgabe oder Scheck, S. 102

Fazit:

Die Invarianz der kanonischen Gleichungen

\dot{\bar{x}} := A \bar{x} = J {\bar{H}}_{, x}

kann durch di symplektische Struktur des Phasenraums beschrieben werden:

\begin{matrix} {\dot{y}}_{i} = \sum_{k}^{} \frac{\partial y_{i}}{\partial x_{k}} {\dot{x}}_{k} \Leftrightarrow \dot{\bar{y}} = M^{- 1} \dot{\bar{x}} = (J^{- 1} M^{T} J) J {\bar{H}}_{, x} \\ \frac{\partial \bar{H}}{\partial y_{i}} = \sum_{k}^{} \frac{\partial \bar{H}}{\partial x_{k}} \frac{\partial x_{k}}{\partial y_{i}} \Leftrightarrow {\bar{H}}_{, y} = M^{T} {\bar{H}}_{, x} \\ \Rightarrow \dot{\bar{y}} = (J^{- 1} M^{T} J) J {(M^{T})}^{- 1} {\bar{H}}_{, y} = - J (- 1) M^{T} {(M^{T})}^{- 1} {\bar{H}}_{, y} = J {\bar{H}}_{, y} \end{matrix}

Symplektische Struktur des Phasenraums

Inhaltsverzeichnis

Verallgemeinerung auf mehr Freiheitsgrade

Kanonische Transformationen in kompakter Notation

Beweis:

Beweis:

Definition:

Gruppeneigenschaften

Navigationsmenü

Symplektische Struktur des Phasenraums

Verallgemeinerung auf mehr Freiheitsgrade

Kanonische Transformationen in kompakter Notation

Beweis:

Beweis:

Definition:

Gruppeneigenschaften

Navigationsmenü

Suche