Thermodynamischer Limes

Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Thermodynamischer Limes basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 6) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

|}}

__SHOWFACTBOX__

Grenzfall eines unendlich großen Systems.

Dabei muss der Grenzprozess $α \to \infty$ so durchgeführt werden, dass alle extensiven Makroobservablen $⟨ M^{n} ⟩ \to α ⟨ M^{n} ⟩$ die gleiche Koordinatendiletation $α$ erfahren!

Voraussetzung:

Homogenes Makrosystem, also $z := (⟨ M^{1} ⟩, ..., ⟨ M^{m} ⟩)$ und $S (z)$ sind extensiv: $S (α z) = α S (z)$ eine homogene Funktion in allen Variablen!

Satz:

Die Entropiegrundfunktion

S (z) = \sum_{n = 1}^{m} g_{n} (z) ⟨ M^{n} ⟩

mit $g_{n} (z) = g_{n} (α z)$ (dilatationsinvariant)

Beweis:

S (α z) = α S (z)

damit:

\begin{matrix} \Rightarrow \frac{\partial S (α z)}{\partial α} = \frac{\partial}{\partial α} (α S (z)) = S (z) \\ \frac{\partial S (α z)}{\partial α} = \sum_{n}^{} \frac{\partial S (α z)}{\partial (α ⟨ M^{n} ⟩)} ⟨ M^{n} ⟩ \end{matrix}

speziell für  $α = 1$ :

\begin{matrix} \sum_{n}^{} \frac{\partial S (z)}{\partial (⟨ M^{n} ⟩)} ⟨ M^{n} ⟩ = S (z) \\ \Rightarrow g_{n} (z) := \frac{\partial S (z)}{\partial (⟨ M^{n} ⟩)} = \frac{\partial S (α z)}{\partial (α ⟨ M^{n} ⟩)} = : g_{n} (α z) \end{matrix}

Definitionsgleichung der intensiven Variablen!!

Anwendung auf einfache thermische Systeme

\begin{matrix} S (U, V, {\bar{N}}^{α}) = \frac{\partial S}{\partial U} U + \frac{\partial S}{\partial V} V + \frac{\partial S}{\partial {\bar{N}}^{α}} {\bar{N}}^{α} = \frac{1}{T} U + \frac{p}{T} V - \frac{μ_{α}}{T} {\bar{N}}^{α} \\ \frac{\partial S}{\partial U} = \frac{1}{T} \\ \frac{\partial S}{\partial V} = \frac{p}{T} \\ \frac{\partial S}{\partial {\bar{N}}^{α}} = - \frac{μ_{α}}{T} \end{matrix}

Energiedarstellung:

U (S, V, {\bar{N}}^{α}) = T S - p V + μ_{α} {\bar{N}}^{α}

Satz:

Im thermodynamischen Limes verschwinden die relativen Schwankungen der extensiven Observablen.

Beweis:

Fluktuations-Dissipations-Theorem

⟨ {(Δ M^{n})}^{2} ⟩ = - \frac{\partial ⟨ M^{n} ⟩}{\partial λ_{n}} = - \frac{\partial^{2} Ψ}{\partial {λ_{n}}^{2}}

relative Schwankung:

\frac{⟨ {(Δ M^{n})}^{2} ⟩}{{⟨ M^{n} ⟩}^{2}} = - \frac{1}{{⟨ M^{n} ⟩}^{2}} \frac{\partial^{2} Ψ}{\partial {λ_{n}}^{2}}

Wegen der Homogenität von

S = k (λ_{n} ⟨ M^{n} ⟩ - Ψ)

gilt:

Ψ (α z) = α Ψ (z)

also

\frac{\partial^{2} Ψ}{\partial {λ_{n}}^{2}} (α z) = α \frac{\partial^{2} Ψ}{\partial {λ_{n}}^{2}} (z)

Relative Schwankung für $α z$ , $α \to \infty$ :

\begin{matrix} \begin{matrix} lim \\ α \to \infty \end{matrix} \frac{⟨ {(α Δ M^{n})}^{2} ⟩}{{⟨ α M^{n} ⟩}^{2}} = - \begin{matrix} lim \\ α \to \infty \end{matrix} α \frac{1}{{⟨ α M^{n} ⟩}^{2}} \frac{\partial^{2} Ψ (z)}{\partial {λ_{n}}^{2}} \\ \frac{\partial^{2} Ψ (z)}{\partial {λ_{n}}^{2}} < \infty \\ \Rightarrow \begin{matrix} lim \\ α \to \infty \end{matrix} \frac{⟨ {(α Δ M^{n})}^{2} ⟩}{{⟨ α M^{n} ⟩}^{2}} = - \begin{matrix} lim \\ α \to \infty \end{matrix} α \frac{1}{{⟨ α M^{n} ⟩}^{2}} \frac{\partial^{2} Ψ (z)}{\partial {λ_{n}}^{2}} = 0 \end{matrix}

Folgerung

Im thermodynamischen Limes sind die verschiedenen Verteilungen (mikrokanonisch, kanonisch, großkanonisch) äquivalent, da die relativen Schwankungen, das Unterscheidungsmerkmal der Verteilungen überhaupt, verschwinden.

Thermodynamischer Limes

Anwendung auf einfache thermische Systeme

Folgerung

Navigationsmenü

Suche