Transformationsverhalten der Ströme und Felder

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Transformationsverhalten der Ströme und Felder basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 6.Kapitels (Abschnitt 2) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Ziel: Ko- / Kontravariante Schreibweise der Elektrodynamik im Vakuum

Grund: Die klassische Elektrodynamik ist bereits eine Lorentz- invariante Theorie!!

Historisch gab die Maxwellsche Elektrodynamik und nicht die Mechanik den Anstoß zur Relativitätstheorie überhaupt!

Ladungserhaltung aus Kontinuitätsgleichung:

\begin{matrix} d i v \bar{j} + \frac{\partial ρ}{\partial t} = \frac{\partial j_{x}}{\partial x} + \frac{\partial j_{y}}{\partial y} + \frac{\partial j_{z}}{\partial z} + \frac{\partial c ρ}{\partial c t} = 0 \\ 0 = \frac{\partial ρ}{\partial t} + \sum_{α = 1}^{3} \partial_{α} j^{α} \end{matrix}

Somit gewinnen wir aber ebenfalls wieder einen Lorentz- Skalar, nämlich

\partial_{μ} j^{μ} = 0

in Viererschreibweise. Die Vierer- Stromdichte ist

{j^{μ}} = {c ρ, \bar{j}}

ebenfalls ein kontravarianter Vierer- Vektor. Er heißt Vierer- Stromdichte. Die Kontinuitätsgleichung ist gleich

\partial_{μ} j^{μ} = 0

Forderung: Ladungserhaltung soll in allen Inertialsystemen gelten! →

j^{μ} = 0

muss sich wie ein Vierervektor transformieren, damit das Skalarprodukt

\partial_{μ} j^{μ} = 0

Lorentz- invariant ist!:

\begin{matrix} x^{0} \overset{´}{} = γ (x^{0} - β x^{1}) \Leftrightarrow t \overset{´}{} = γ (t - \frac{v}{c^{2}} x^{1}) \\ x^{1} \overset{´}{} = γ (x^{1} - β x^{0}) \Leftrightarrow x^{1} \overset{´}{} = γ (x^{1} - v t) \\ x^{2} \overset{´}{} = x^{2} \\ x^{3} \overset{´}{} = x^{3} \end{matrix}

Also gilt für Ladungs- und Stromdichten:

\begin{matrix} j^{0} \overset{´}{} = γ (j^{0} - β j^{1}) \Leftrightarrow ρ \overset{´}{} = γ (ρ - \frac{v}{c^{2}} j^{1}) \\ j^{1} \overset{´}{} = γ (j^{1} - β j^{0}) \Leftrightarrow j^{1} \overset{´}{} = γ (j^{1} - v ρ) \\ j^{2} \overset{´}{} = j^{2} \\ j^{3} \overset{´}{} = j^{3} \end{matrix}

Merke: Es sollte kein Missverständnis geschehen: Ist ein Vektor in ein Lorentz- invariantes Skalarprodukt verwickelt, so ist es ein Vierervektor. Damit ist klar: Seine Komponenten transfornmieren nach der Lorentz- Trafo. Dadurch aber ist die Trafo für seine Komponenten, die Beispielsweise Ladungs- und Stromdichten sind, gefunden.

4- Potenziale:

Die Potenziale

Φ, \bar{A}

sind in der Lorentz- Eichung

\nabla \cdot \bar{A} + \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial}{\partial t} ϕ = 0

Lösungen von

\begin{matrix} Δ \bar{A} (\bar{r}, t) - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} \bar{A} (\bar{r}, t) = - μ_{0} \bar{j} \\ # \bar{A} (\bar{r}, t) = - μ_{0} \bar{j} \\ # = - \partial_{μ} \partial^{μ} \\ μ_{0} c = \frac{1}{ε_{0} c} \\ # \bar{A} (\bar{r}, t) = - μ_{0} \bar{j} \Leftrightarrow \partial_{μ} \partial^{μ} c A^{α} = \frac{1}{ε_{0} c} j^{α} \\ α = 1, 2, 3 \end{matrix}

\begin{matrix} Δ ϕ (\bar{r}, t) - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} ϕ (\bar{r}, t) = - \frac{ρ}{ε_{0}} = - μ_{0} c^{2} ρ \\ # ϕ (\bar{r}, t) = - \frac{ρ}{ε_{0}} \Leftrightarrow \partial_{μ} \partial^{μ} ϕ = \frac{1}{ε_{0} c} j^{0} \end{matrix}

Zusammen:

\begin{matrix} - # Φ^{μ} = \partial_{α} \partial^{α} Φ^{μ} = μ_{0} j^{μ} \\ Φ^{0} := ϕ \\ Φ^{i} := c A^{i} i = 1..3 \end{matrix}

Da

j^{μ}

Vierervektoren sind (wie Vierervektoren transformieren), muss auch

Φ^{μ}

wie ein Vierervektor transformieren. Denn: Der d´Alembert- Operator ist Lorentz- invariant:

\partial_{α} \partial^{α}

lorentz- invariant!:

\begin{matrix} Φ^{0} \overset{´}{} = γ (Φ^{0} - β Φ^{1}) b z w . Φ \overset{´}{} = γ (Φ - v A^{1}) \\ Φ^{1} \overset{´}{} = γ (Φ^{1} - β Φ^{0}) b z w . A {\overset{´}{}}^{1} = γ (A^{1} - \frac{v}{c^{2}} Φ), A^{\overset{´}{} 2} = A^{2}, A {\overset{´}{}}^{3} = A^{3} \end{matrix}

Nun: Lorentz- Eichung:

\nabla \cdot \bar{A} + \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial}{\partial t} ϕ = 0

Lorentz- Eichung ↔ Lorentz- Invarianz

\partial_{μ} Φ^{μ} = 0

(Gegensatz zur Coulomb- Eichung)

\partial_{μ} Φ^{μ} = 0 \Leftrightarrow \nabla \cdot \bar{A} + \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial}{\partial t} ϕ = 0

Umeichung:

\begin{matrix} \tilde{\bar{A}} = \bar{A} + \nabla F \\ \tilde{ϕ} = ϕ - \frac{\partial}{\partial t} F \\ \Leftrightarrow \\ c {\tilde{A}}^{α} = c A^{α} + \partial_{α} c F = c A^{α} - \partial^{α} c F \\ {\tilde{Φ}}^{0} = Φ^{0} - \partial_{0} c F = Φ^{0} - \partial^{0} c F \end{matrix}

Also:

{\tilde{Φ}}^{μ} = Φ^{μ} - \partial^{μ} c F

Felder E und B:

\begin{matrix} \bar{E} = - g r a d ϕ - \frac{\partial}{\partial t} \bar{A} \\ \Rightarrow E^{α} = - \partial_{α} ϕ - \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} c A^{α} = - \partial_{α} Φ^{0} - \partial_{0} Φ^{α} = \partial^{α} Φ^{0} - \partial^{0} Φ^{α} \end{matrix}

\begin{matrix} \bar{B} = \nabla \times \bar{A} \\ \Rightarrow c B^{1} = \partial_{2} c A^{3} - \partial_{3} c A^{2} = \partial_{2} Φ^{3} - \partial_{3} Φ^{2} = \partial^{3} Φ^{2} - \partial^{2} Φ^{3} \end{matrix}

Die anderen Komponenten gewinnt man durch zyklische Vertauschung:

\begin{matrix} c B^{2} = \partial^{1} Φ^{3} - \partial^{3} Φ^{1} \\ c B^{3} = \partial^{2} Φ^{1} - \partial^{1} Φ^{2} \end{matrix}

Diese Gleichungen werden zusammengefasst durch den antisymmetrtischen Feldstärketensor:

\begin{matrix} {F_{μ ν}} = {\partial_{μ} Φ_{ν} - \partial_{ν} Φ_{μ}} = (\begin{matrix} 0 & \frac{1}{c} E_{x} & \frac{1}{c} E_{y} & \frac{1}{c} E_{z} \\ - \frac{1}{c} E_{x} & 0 & - B_{z} & B_{y} \\ - \frac{1}{c} E_{y} & B_{z} & 0 & - B_{x} \\ - \frac{1}{c} E_{z} & - B_{y} & B_{x} & 0 \end{matrix}) \\ F^{μ ν} = {\partial^{μ} Φ^{ν} - \partial^{ν} Φ^{μ}} = (\begin{matrix} 0 & - \frac{1}{c} E_{x} & - \frac{1}{c} E_{y} & - \frac{1}{c} E_{z} \\ \frac{1}{c} E_{x} & 0 & - B_{z} & B_{y} \\ \frac{1}{c} E_{y} & B_{z} & 0 & - B_{x} \\ \frac{1}{c} E_{z} & - B_{y} & B_{x} & 0 \end{matrix}) \\ \Leftrightarrow F^{μ ν} = {\partial^{μ} Φ^{ν} - \partial^{ν} Φ^{μ}} = (\begin{matrix} 0 & - E^{1} & - E^{2} & - E^{3} \\ E^{1} & 0 & - c B^{3} & c B^{2} \\ E^{2} & c B^{3} & 0 & - c B^{1} \\ E^{3} & - c B^{2} & c B^{1} & 0 \end{matrix}) \end{matrix}

Wegen der Antisymmetrie hat

F^{μ ν}

nur 6 unabhängige Komponenten!

Das bedeutet, die Raum- Raum- Komponenten entsprechen

r o t \bar{A} = \bar{B}

während die Raum- zeit- Komponenten:

\bar{E} = - g r a d ϕ - \frac{\partial}{\partial t} \bar{A}

erfüllen.

Lorentz- Trafo der Felder:

Der Feldstärketensor ist kovariant und transformiert demnach über die inverse Lorentz- Transformation. Das heißt: Für die Transformation in ein in x- Richtung mit konstanter Geschwindigkeit

\bar{v}

bewegtes System K´ gilt:

F_{} {\overset{´}{}}^{μ ν} = {U^{μ}}_{λ} {U^{ν}}_{κ} F^{λ κ}

{U^{i}}_{k} = (\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{1 - β^{2}}} & \frac{- β}{\sqrt{1 - β^{2}}} & 0 & 0 \\ \frac{- β}{\sqrt{1 - β^{2}}} & \frac{1}{\sqrt{1 - β^{2}}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

Damit läßt sich nun das uns unbekannte Transformationsverhalten der Felder

\bar{E}

und

r o t \bar{A} = \bar{B}

berechnen, die auch kovariant transformieren müssen. Dabei sollte keinesfalls die Summation über die Indices auf der rechten Seite vergessen werden!!

\begin{matrix} E {\overset{´}{}}^{1} = F {\overset{´}{}}^{10} = {U^{1}}_{λ} {U^{0}}_{κ} F^{λ κ} = - β γ {U^{0}}_{κ} F^{0 κ} + γ {U^{0}}_{κ} F^{1 κ} = {(β γ)}^{2} F^{01} + γ^{2} F^{10} = \\ = γ^{2} (1 - β^{2}) F^{10} = E^{1} \\ γ^{2} (1 - β^{2}) = 1 \\ E {\overset{´}{}}^{2} = F {\overset{´}{}}^{20} = {U^{2}}_{λ} {U^{0}}_{κ} F^{λ κ} = {U^{0}}_{κ} F^{2 κ} = γ F^{20} - β γ F^{21} = γ (E^{2} - v B^{3}) \end{matrix}

E {\overset{´}{}}^{3} = F {\overset{´}{}}^{30} = {U^{0}}_{κ} F^{3 κ} = γ F^{30} - β γ F^{31} = γ (E^{3} + v B^{2})

\begin{matrix} B {\overset{´}{}}^{1} = \frac{1}{c} F {\overset{´}{}}^{32} = \frac{1}{c} {U^{3}}_{λ} {U^{2}}_{κ} F^{λ κ} = \frac{1}{c} F^{32} = B^{1} \\ B {\overset{´}{}}^{2} = \frac{1}{c} F {\overset{´}{}}^{13} = \frac{1}{c} {U^{1}}_{λ} {U^{3}}_{κ} F^{λ κ} = \frac{1}{c} {U^{1}}_{κ} F^{κ 3} = - \frac{β γ}{c} F^{03} + \frac{γ}{c} F^{13} = γ (B^{2} + \frac{v}{c^{2}} E^{3}) \end{matrix}

B {\overset{´}{}}^{3} = γ (B^{3} - \frac{v}{c^{2}} E^{2})

Zusammenfassung

\begin{matrix} E^{1} \overset{´}{} = E^{1} \\ E^{2} \overset{´}{} = \frac{1}{\sqrt{1 - β^{2}}} (E^{2} - v B^{3}) \\ E^{3} \overset{´}{} = \frac{1}{\sqrt{1 - β^{2}}} (E^{3} + v B^{2}) \\ B^{1} \overset{´}{} = B^{1} \\ B^{2} \overset{´}{} = \frac{1}{\sqrt{1 - β^{2}}} (B^{2} + \frac{v}{c^{2}} E^{3}) \\ B^{3} \overset{´}{} = \frac{1}{\sqrt{1 - β^{2}}} (B^{3} - \frac{v}{c^{2}} E^{2}) \end{matrix}

Elektrische und magnetische Felder werden beim Übergang zwischen verschiedenen Inertialsystemen ineinander transformiert!

Umeichung:

{\tilde{Φ}}^{μ} = Φ^{μ} + \partial^{μ} ϕ

Somit:

\begin{matrix} {\tilde{F}}^{μ ν} = \partial^{μ} {\tilde{Φ}}^{ν} - \partial^{ν} {\tilde{Φ}}^{μ} = \partial^{μ} (Φ^{ν} + \partial^{ν} ϕ) - \partial^{ν} (Φ^{μ} + \partial^{μ} ϕ) \\ = \partial^{μ} Φ^{ν} - \partial^{ν} Φ^{μ} + \partial^{μ} \partial^{ν} ϕ - \partial^{ν} \partial^{μ} ϕ = F^{μ ν} \end{matrix}

Homogene Maxwell- Gleichungen

\begin{matrix} \nabla \cdot \bar{B} = \partial_{1} B^{1} + \partial_{2} B^{2} + \partial_{3} B^{3} = 0 \\ \Rightarrow \partial_{1} F^{32} + \partial_{2} F^{13} + \partial_{3} F^{21} = 0 \end{matrix}

Mit

\begin{matrix} \partial_{1} = - \partial^{1} \\ F^{32} = - F^{23} \\ \Rightarrow \partial^{1} F^{23} + \partial^{2} F^{31} + \partial^{3} F^{12} = 0 \end{matrix}

+ zyklisch in (123)

innere Feldgleichung für E- Feld

\nabla \times \bar{E} = - \frac{\partial}{\partial t} \bar{B}

Komponente

\partial_{2} E^{3} - \partial_{3} E^{2} + \frac{\partial}{\partial t} B^{1} = 0

\Rightarrow \partial^{0} F^{23} + \partial^{2} F^{30} + \partial^{3} F^{02} = 0

und zyklisch (023)

zyklische Permutation 1 → 2 → 3 → 1 und mit

F^{i k} = - F^{k i}

liefert:

\begin{matrix} \Rightarrow \partial^{0} F^{13} + \partial^{3} F^{01} + \partial^{1} F^{30} = 0 z y k l i s c h (013) \\ \Rightarrow \partial^{0} F^{12} + \partial^{1} F^{20} + \partial^{2} F^{01} = 0 z y k l i s c h (012) \end{matrix}

Zusammenfassung der homogenen Maxwellgleichungen

ε^{κ λ μ ν} \partial_{λ} F_{μ ν} = 0

ε_{κ λ μ ν} \partial^{λ} F^{μ ν} = 0

Die "4- Rotation" des Feldstärketensors verschwindet!

Levi- Civita- Tensor: +1 für gerade Permutation von 0123 -1 für ungerade Permutation von 0123 0, sonst

Bemerkungen

Levi- Civita ist vollständig antisymmetrisch (per Definition).

$ε^{κ λ μ ν}$
transformiert unter Lorentz- Trafo

\begin{matrix} ε^{κ λ μ ν} \overset{´}{} = {U^{κ}}_{α} {U^{λ}}_{β} {U^{μ}}_{γ} {U^{ν}}_{δ} ε^{α β γ δ} \\ = | \begin{matrix} {U^{κ}}_{0} & {U^{κ}}_{1} & {U^{κ}}_{2} & {U^{κ}}_{3} \\ {U^{λ}}_{0} & {U^{λ}}_{1} & {U^{λ}}_{2} & {U^{λ}}_{3} \\ {U^{μ}}_{0} & {U^{μ}}_{1} & {U^{μ}}_{2} & {U^{μ}}_{3} \\ {U^{ν}}_{0} & {U^{ν}}_{1} & {U^{ν}}_{2} & {U^{ν}}_{3} \end{matrix} | = (det U) \cdot ε^{κ λ μ ν} \\ (det U) = \pm 1 \end{matrix}

Damit nun der Levi- Civita- Tensor invariant unter Lorentz- Trafos wird, also

ε^{κ λ μ ν} \overset{´}{} = ε^{κ λ μ ν}

,

muss vereinbart werden, dass die Transformation lautet

ε^{κ λ μ ν} \overset{´}{} = (det U) {U^{κ}}_{α} {U^{λ}}_{β} {U^{μ}}_{γ} {U^{ν}}_{δ} ε^{α β γ δ}

Damit ist der Tensor aber ein Pseudotensor!

Insgesamt ist die vierdimensionale Schreibweise die gleiche Formalisierung wie im Dreidimensionalen:

{(\nabla \times \bar{A})}_{α} = ε^{α β γ} \partial_{β} A_{γ}

Mit Pseudovektor

{(\nabla \times \bar{A})}_{α}

Transformationsverhalten der Ströme und Felder

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