Verallgemeinerte kanonische Verteilung

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Motivation

Makroskopische thermodynamische Zustände sind gegeben durch die Mittelwerte

von Mikroobservablen M(x), interpretiert als Zufallsvariable.

Rückschlüsse von

auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung


Methode

Vorurteilsfreie Schätzung (Jaynes, 1957): (unbiased guess; Prinzip des maximalen Nichtwissens)

  • Verallgemeinerung des Laplacschen Prinzips vom unzureichenden Grund.
    • (Minimum der Shannon- Information = Maximum des Nichtwissens liefert Gleichverteilung)
  • Jetzt: Zusätzlich zur Normierung der Pi sind die Mittelwerte von m Zufallsvariablen:


Annahme:

Jedes Elementarereignis hat gleiche a-priori- Wahrscheinlichkeit, das heißt OHNE zusätzliche Kenntnisse gilt Gleichverteilung über den .

Informationstheoretisches Prinzip

(nach (Jaynes 1922-1998))

Suche die Wahrscheinlichkeitsverteilung, die unter der Erfüllung aller bekannten Angaben als Nebenbedingung die minimale Information enthält:

Also:

Nebenbed.:

Variation:


Es gilt: von den N Variationen sind nur N-m-1 unabhängig voneinander!

Lagrange- Multiplikator


Lagrange- Multiplikator

Anleitung: Wähle so, dass die Koeffizienten von ´s verschwinden, die übrigen N-(m+1) sind dann frei variierbar!

Somit:


Vorsicht: Auch Summe über (Einsteinsche Summenkonvention!)


: verallgemeinerte kanonische Verteilung


Die Lagrange- Multiplikatoren sind dann durch die m+1 Nebenbedingungen eindeutig bestimmt!

Kontinuierliche Ereignismenge


unter der Nebenbedingung



Durchführung einer Funktionalvariation:



Vergleiche: A. Katz, Principles of Statistial Mechanics

ANMERKUNG Schubotz: Siehe auch [1]

Eigenschaften der verallgemeinerten kanonischen Verteilung

hier: noch rein informationstheoretisch,

später: wichtige Anwendungen in der Thermodynamik

Legendre- Transformation:

Sei eine Bahn!

Dann ist die Geschwindigkeit.

Aus kann die Bahn noch nicht rekonstruiert werden, jedoch aus

mit t=t(M):



hieraus folgt


eingesetzt in


durch Eisnetzen gewinnt man


Jedenfalls:



heißt legendre- Transformierte von

.


Anwendung auf die verallgemeinerte kanonische Verteilung:


Normierung:




Also gilt:


und sind durch vollständig parametrisiert.

Nebenbemerkung

Die Verteilung bzw. wirkt auf dem Raum der Zufallsvariablen (diskret) bzw. (kontinuierlich).

sind Parameter.


sind Erwartungswerte


Beispiel:
(Phasenraumelement)

mit als Phasenraum der kanonisch konjugierten Variablen


mikrokanonisch Verteilungsfunktion


als mittlere Energie

Shannon- Information:



Aus


Damit können wir die Legendre- Transformation (verallgemeinert auf mehrere Variablen) identifizieren:


Variable


neue Variable


Legendre- Transformierte von !

Es folgt:



wegen:



Zusammengefasst:


Dies ist in der Thermodynamik die Gibbsche Fundamentalgleichung!


Betachte Variation:



dann:



Informationsgewinn:



Wir können die variierten Funktionen für kleine Variationen

entwickeln:



Vergleiche oben

also folgt:



negativ semidefinit, für alle


Definiere Suszeptibilitätsmatrix:



Diese Matrix beschreibt die Änderung von bei Variation von :



bzw.:



In Matrixschreibweise:



Wegen



Somit:

ist symmetrisch

Aus folgt:



Also: negativ- semidefinite quadratisceh Form:



Nebenbemerkung:

Also sind und konvex!

Zusammenhang mit der Korrelationsmatrix

ist Korrelationsmatrix (siehe oben)
2. Kumulante


mit Kumulantenerzeugender



Suszeptibilität!

Also: Die Korrelationsmatrix ist das Negative der Suszeptibilität!!

Also:



Fluktuations/ Dissipations- Theorem:

Fluktuationen
Zufällige Schwankungen um den Mittelwert
Dissipation
Systematische Änderung der Mittelwerte!

Korrektur einer Verteilung durch Zusatzinformationen

Sei die Verteilung, die unter Kenntnis der Nebenbedingungen

minimalisiert (Vorsicht: Index und Laufende sind ungünstigerweise gleich bezeichnet!)

Jetzt:

Zusatzinformationen (zusätzliche Mittelwerte beobachtet):

Prinzip der vorurteilsfreien Schätzung

Suche Minimum des Informationsgewinns



unter dieser Nebenbedingung!!

Also:



mit neuen Lagrange- Multiplikatoren



Mit


 folgt:



Da nun die Mittelwerte

nicht durch die Zusatzinfo geändert werden muss gelten:



da diese Mittelwerte nicht durch die Zusatzinfo geändert werden!



Das heißt: Der Informationsgewinn entspricht gerade der Änderung der Shannon- Info!

Siehe auch

  1. Brandes,T, Thermodynamik und Statistische Physik, Vorlesung, TU-Berlin, Wintersemester 2006/2007, Gleichung 5.4.13 (Kap 5.4.3 S46)