Virtuelle Verrückungen

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Virtuelle Verrückungen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 2) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Unter einer virtuellen Verrückung

{δ {\vec{r}}_{i}}

versteht man die infinitesimale Änderung der Koordinaten, di zu fester Zeit

{δ t = 0}

die holonomen, bzw. nicht holonomen Zwangsbedingungen erfüllen.

Damit ist der Unterschied zu einer reellen Verrückung klar, die als

d {\vec{r}}_{i}

im Zeitintervall

d t

längs der Bahn geschieht.

Die Zwangsbedingungen lassen sich jedoch nicht virtuell verrücken.

Es gilt folglich

δ f_{λ} = \sum_{i = 1}^{N} \nabla_{r i} f_{λ} \cdot δ {\vec{r}}_{i} = 0 λ = 1, ... ν

bzw

\sum_{i = 1}^{N} {\vec{a}}_{λ i} ({\vec{r}}_{1}, {\vec{r}}_{2}, ..., {\vec{r}}_{N}, t) \cdot δ {\vec{r}}_{i} = 0 λ = 1, ... ν

Die zeitabhängigen Anteile fallen raus, da ja nach Definition

{δ t = 0}

.

Als Beispiel betrachten wir die Bewegung eines Massepunktes in einer Ebene:

\vec{a} \cdot (\vec{r} - {\vec{r}}_{o} (t)) = 0

Dabei ist

{\vec{r}}_{o} (t)

der Startpunkt des Teilchens, also ein fester Punkt in der Ebene und nicht notwendigerweise zeitunabhängig. a charakterisiert den Normalenvektor auf der Ebene Schließlich kann sich die Ebene bewegen, beispielsweise hoch und runter.

Formuliert man nun holonome Zwangsbedingungen für N Massepunkte, so gilt:

\begin{matrix} f ({\vec{r}}_{i}) = \vec{a} \cdot ({\vec{r}}_{i} - {\vec{r}}_{o} (t)) = 0 i = 1, 2, ..., N \\ d f ({\vec{r}}_{i}) = \vec{a} \cdot (d {\vec{r}}_{i} - {\vec{v}}_{o} (t) d t) = 0 i = 1, 2, ..., N {\vec{v}}_{o} (t) = \frac{d {\vec{r}}_{o} (t)}{d t} \end{matrix}

also gilt im Allgemeinen:

\vec{a} \cdot d {\vec{r}}_{i} = \vec{a} \cdot {\vec{v}}_{o} (t) d t \neq 0 i = 1, 2, ..., N {\vec{v}}_{o} (t) = \frac{d {\vec{r}}_{o} (t)}{d t}

aber:

δ f = \vec{a} \cdot δ {\vec{r}}_{i} = 0 i = 1, 2, ..., N {\vec{v}}_{o} (t) = \frac{d {\vec{r}}_{o} (t)}{d t}

Das heißt, die virtuellen Verrückungen geschehen alle bei festgehaltenem

{\vec{r}}_{o} (t)

.

Es gilt:

δ {\vec{r}}_{i} ⊥ \vec{a}

Virtuelle Verrückungen

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