Wellenausbreitung in Materie

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Wellenausbreitung in Materie basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 6) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Annahme: homogene, isotrope, lineare Medien mit skalaren Materialparametern

$\epsilon ,\mu ,\sigma$

$\begin{array}{rl}& \overline{D}=\epsilon {\epsilon }_0\overline{E}\epsilon >1\\ & \overline{B}={\mu }_0\mu \overline{H}i.a.\mu \stackrel{~}{}1\\ & \overline{j}=\sigma \overline{E}\\ \end{array}$

(ohmsches Gesetz)

Wellen in leitenden Medien ohne Dispersion:

Das heißt:

$\epsilon ,\mu ,\sigma$

nicht frequenzabhängig!

Sei

$\begin{array}{rl}& \rho =0\\ & \mathrm{\nabla }\times \overline{E}+\dot{\overline{B}}=0\\ & \mathrm{\nabla }\times \overline{B}-{\mu }_0\mu \epsilon {\epsilon }_0\dot{\overline{E}}={\mu }_0\mu \overline{j}={\mu }_0\mu \sigma \overline{E}\\ & \mathrm{\nabla }\cdot \overline{E}=0\\ & \mathrm{\nabla }\cdot \overline{B}=0\\ & \Rightarrow \mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times \overline{E})=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \overline{E})-\mathrm{\Delta }\overline{E}=-\mathrm{\Delta }\overline{E}=-\mathrm{\nabla }\times \dot{\overline{B}}=-{\mu }_0\mu \sigma \dot{\overline{E}}-{\mu }_0\mu \epsilon {\epsilon }_0\ddot{\overline{E}}\\ & \\ & \mathrm{\Delta }\overline{E}={\mu }_0\mu \sigma \dot{\overline{E}}+{\mu }_0\mu \epsilon {\epsilon }_0\ddot{\overline{E}}\\ \end{array}$

Somit erhalten wir die Gleichung einer gedämpften Welle

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Delta }\overline{E}-\frac{1}{{c_m}^2}(\frac{\sigma }{\epsilon {\epsilon }_0}\dot{\overline{E}}+\ddot{\overline{E}})=0\\ & c_m:=\frac{1}{\sqrt{\epsilon {\epsilon }_0\mu {\mu }_0}}=c\frac{1}{\sqrt{\epsilon \mu }}\\ \end{array}$

Für den eindimensionalen Fall: sogenannte Telegraphengleichung. Beschreibt die Drahtwellenausbreitung!

Spezielle Lösung dieses Problems:

homogene, ebene Welle:

$\begin{array}{rl}& \overline{E}(\overline{r},t)={\overline{E}}_0{e}^{i(\overline{k}\overline{r}-\omega t)}\\ & \Rightarrow k^2=\epsilon \mu \frac{{\omega }^2}{c^2}(1+i\frac{1}{\omega \tau })\\ \end{array}$

Dispersionsrelation für den Fall der frequenzunabhängigen Parameter Durch die Dämpfung

$\sigma$

ist der Wellenvektor ein komplexer Parameter.

$k\in C$

Setze:

$k=\frac{\omega }{c}\tilde{n}=\frac{\omega }{c}(n+i\gamma )$

mit c: Vakuumlichtgeschwindigkeit

$\tilde{n}=(n+i\gamma )$

komplexer Brechungsindex! Somit:

$k^2=\frac{{\omega }^2}{c^2}{\tilde{n}}^2=\frac{{\omega }^2}{c^2}(n^2-{\gamma }^2+2in\gamma )=\frac{{\omega }^2}{c^2}\epsilon \mu (1+i\frac{1}{\omega \tau })$

Damit können Real- und Imaginärteil durch Vergleich herangezogen werden, um Gamma und n zu bestimmen:

$\begin{array}{rl}& n^2-{\gamma }^2=\epsilon \mu \\ & n\gamma =\frac{\epsilon \mu }{2\omega \tau }\\ \end{array}$

• Bestimmung von
• $n,\gamma$
• :

o.B.d.A.:

$\overline{k}\left|\right|{\overline{x}}_3$

Ausschreiben der Welle:

$\begin{array}{rl}& \overline{E}(\overline{r},t)={\overline{E}}_0{e}^{i(\overline{k}\overline{r}-\omega t)}\\ & \overline{E}({\overline{x}}_3,t)={\overline{E}}_0{e}^{-\frac{x_3}{\lambda }}{e}^{-i\omega (t-\frac{n}{c}{x}_3)}\\ \end{array}$

Also eine gedämpfte Welle mit der Phasengeschwindigkeit

$\frac{c}{n}$

und dem Extinktionskoeffizienten

$\lambda =\frac{c}{\omega \gamma }$

Lineare Polarisation:

${\overline{E}}_0\left|\right|{\overline{x}}_1\Rightarrow {\overline{B}}_0\left|\right|{\overline{x}}_2$

$\begin{array}{rl}& {(\mathrm{\nabla }\times \overline{E})}_2=\frac{\partial E_1}{\partial x_3}=-{\dot{B}}_2\\ & \iff i\frac{\omega }{c}(n+i\gamma )E_1=i\omega B_2\\ & \iff B_2=\frac{(n+i\gamma )}{c}{E}_1=\frac{\sqrt{n^2+{\gamma }^2}}{c}{e}^{i\varphi }{E}_1\\ \end{array}$

Somit existiert eine Phasenverschiebung

$\varphi$

zwischen E und B

Der Isolator

$\begin{array}{rl}& \sigma =0\\ & \tau \to \mathrm{\infty }\\ \end{array}$

Folgen:

$\gamma =0$

keine Dämpfung

$\varphi$

=0 keine Phasenverschiebung zwischen E und B

• kommt erst durch die Dämpfung!
• i m Isolator schwingen E und B in Phase!

reeller Brechungsindex:

$n=\sqrt{\epsilon \mu }\approx \sqrt{\epsilon }>1$

• Phasengeschwindigkeit :
• $\frac{c}{n}<c$

Nebenbemerkung: Nur OHNE DISPERSION ist

$\epsilon$

reell

Metalle

$\tau =\frac{{\epsilon }_0\epsilon }{\sigma }<<\frac{1}{\omega }$

für alle Frequenzen bis UV Somit:

$\begin{array}{rl}& k^2=\frac{{\omega }^2}{c^2}(n^2-{\gamma }^2+2in\gamma )\approx \frac{{\omega }^2}{c^2}\epsilon \mu \frac{i}{\omega \tau }\\ & \Rightarrow n^2-{\gamma }^2\approx 0\\ & n\gamma \approx n^2\approx {\gamma }^2\approx \frac{\epsilon \mu }{2\omega \tau }\Rightarrow n=\gamma =\sqrt{\frac{\epsilon \mu }{2\omega \tau }}\\ & \tan \varphi =\frac{\gamma }{n}\approx 1\Rightarrow \varphi \approx \frac{\pi }{4}\\ \end{array}$

Extinktionskoeffizient

$d<<\frac{c}{\omega \gamma }\stackrel{~}{}cm$

für 100 Hz (hochfrequente Wellen dringen nicht in Metall ein, Grund: Verschiebungsstrom << Leitungsstrom)

Dielektrische Dispersion

Annahme:

$\mu =1$

Betrachte nun zeitliche Dispersion, also

$\begin{array}{rl}& \hat{\chi }\left(\omega \right):\\ & \hat{\overline{P}}\left(\omega \right)={\epsilon }_0\hat{\chi }\left(\omega \right)\hat{\overline{E}}\left(\omega \right)\\ \end{array}$

mit:

$\hat{\chi }\left(\omega \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dt\chi \left(t\right)e^{i\omega t}$

dynamische elektrische Suszeptibilität

Fourier- Trafo:

$\begin{array}{rl}& \overline{P}(\overline{r},t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\omega \hat{\overline{P}}(\overline{r},\omega )e^{-i\omega t}\\ & \hat{\overline{E}}(\overline{r},\omega )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dt\overline{E}(\overline{r},t)e^{+i\omega t}\\ & \Rightarrow \overline{P}(\overline{r},t)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\omega {\epsilon }_0\hat{\chi }\left(\omega \right)\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dt\stackrel{´}{}\overline{E}(\overline{r},t\stackrel{´}{})e^{+i\omega (t\stackrel{´}{}-t)}\\ \end{array}$

Betrachte:

$\begin{array}{rl}& \frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\omega {\epsilon }_0\hat{\chi }\left(\omega \right)\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dt\stackrel{´}{}{e}^{+i\omega (t\stackrel{´}{}-t)}:=\frac{{\epsilon }_0}{\sqrt{2\pi }}\chi (t-t\stackrel{´}{})\\ & \Rightarrow \overline{P}(\overline{r},t)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\omega {\epsilon }_0\hat{\chi }\left(\omega \right)\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dt\stackrel{´}{}\overline{E}(\overline{r},t\stackrel{´}{})e^{+i\omega (t\stackrel{´}{}-t)}=\frac{{\epsilon }_0}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}dt\stackrel{´}{}\chi (t-t\stackrel{´}{})\overline{E}(\overline{r},t\stackrel{´}{})\\ \end{array}$

Nachwirkungseffekt: Faltungsintegral → Berücksichtigung des Nachwirkungseffekts über Faltungsintegral.

Nebenbemerkung: Kausalität verlangt:

$\begin{array}{rl}& \chi (t-t\stackrel{´}{})=0\\ & f\ddot{u}r\\ & t\stackrel{´}{}>t\\ \end{array}$

Aus mikroskopischen Modellen folgt i.A. ein komplexes

$\hat{\chi }\left(\omega \right)\in C$

• Komplexe dielektrische Funktion:

$\begin{array}{rl}& \epsilon \left(\omega \right)=1+\hat{\chi }\left(\omega \right)=\epsilon \stackrel{´}{}\left(\omega \right)+i\epsilon \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\left(\omega \right)\\ & \epsilon \stackrel{´}{},\epsilon \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\in R\\ \end{array}$

Aus:

$\begin{array}{rl}& \epsilon \left(\omega \right)=1+\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dt\chi \left(t\right)e^{i\omega t}\\ & \Rightarrow \epsilon *(\omega )=\epsilon (-\omega )\\ & \epsilon \stackrel{´}{}(\omega )=\epsilon \stackrel{´}{}(-\omega )\\ & \epsilon \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}(\omega )=-\epsilon \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}(-\omega )\\ \end{array}$

Monochromatische ebene Welle:

$\begin{array}{rl}& \overline{E}(\overline{r},t)={\overline{E}}_0{e}^{i(\overline{k}\overline{r}-\omega t)}\\ & \Rightarrow k^2=\epsilon \left(\omega \right)\frac{{\omega }^2}{c^2}(1+i\frac{1}{\omega \tau })\\ \end{array}$

Isolator (dispersives Dielektrikum)

$\begin{array}{rl}& \overline{E}(\overline{r},t)={\overline{E}}_0{e}^{i(\overline{k}\overline{r}-\omega t)}\\ & \Rightarrow k^2=\epsilon \left(\omega \right)\frac{{\omega }^2}{c^2}\\ \end{array}$

$\begin{array}{rl}& \tilde{n}\left(\omega \right)=n\left(\omega \right)+i\gamma \left(\omega \right)\\ & \tilde{n}{\left(\omega \right)}^2=\epsilon \left(\omega \right)\equiv \epsilon \stackrel{´}{}+i\epsilon \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\\ & \epsilon \stackrel{´}{}\left(\omega \right)=n^2-{\gamma }^2\\ & \epsilon \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\left(\omega \right)=2n\gamma \\ & \Rightarrow \begin{array}{c}\gamma \\ n\\ \end{array}\}=\frac{1}{\sqrt{2}}{(\sqrt{\epsilon {\stackrel{´}{}}^2+\epsilon \stackrel{´}{}{\stackrel{´}{}}^2}\mp \epsilon \stackrel{´}{})}^{\frac{1}{2}}\\ \end{array}$

Dabei

$\begin{array}{c}\gamma \\ n\\ \end{array}\}=\frac{1}{\sqrt{2}}{(\sqrt{\epsilon {\stackrel{´}{}}^2+\epsilon \stackrel{´}{}{\stackrel{´}{}}^2}\mp \epsilon \stackrel{´}{})}^{\frac{1}{2}}$

Als Absorptionskoeffizient

$\gamma$

(reeller Brechungsindex n)

Absorption

$\epsilon \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}=0\Rightarrow \gamma =0,n=\sqrt{\epsilon \stackrel{´}{}}$

Absorptionskoeffizient Null, reeller Brechungsindex: Wurzel epsilon Also: für

$\epsilon \stackrel{´}{}>0$

→ ungedämpfte Welle

$\epsilon \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}>0\Rightarrow \gamma >0$

• in jedem Fall gedämpfte Welle (Energiedissipation).

Der Frequenzbereich mit

$\epsilon \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}<<\epsilon \stackrel{´}{}$

heißt Transparenzgebiet der Substanz (besonders wenig Absorption).

Dispersion

$\mathrm{\Re }k=k\stackrel{´}{}=\frac{\omega }{c}n(\omega )$

nichtlineare Dispersion (nur in erster Näherung ist n(w) linear!)

• Definition der Gruppengeschwindigkeit:

$\begin{array}{rl}& v_g:=\frac{d\omega }{dk\stackrel{´}{}}=\frac{1}{\frac{dk\stackrel{´}{}}{d\omega }}=\frac{c}{\frac{d\left(\omega n\right)}{d\omega }}\\ & v_g=\frac{c}{n+\omega \frac{dn}{d\omega }}\ne \frac{c}{n\left(\omega \right)}=v_{ph.}\\ \end{array}$

Typische Frequenzabhängigkeit: (sogenanntes Resonanzverhalten):

Normale Dispersion

$\frac{dn}{d\omega }>0$

Stets im Transparenzgebiet, also wenn

$\epsilon \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\stackrel{~}{}0$

$v_g<v_{ph.}$

Anormale Dispersion

$\frac{dn}{d\omega }<0$

bei Absorption!

Beziehung zwischen

$\epsilon \stackrel{´}{}\left(\omega \right)$ und $\epsilon \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\left(\omega \right)$

Kramers- Kronig- Relation

• Allgemein gültiger Zusammenhang zwischen Dispersion
• $n\left(\omega \right)$
• und Absorption
• $\gamma \left(\omega \right)$
• .
• erlaubt z.B. dann die Berechnung von Dispersionsrelationen aus dem Absorptionsspektrum und auch umgekehrt
• Folgt alleine aus dem Kausalitätsprinzip!

Beweis (Funktionenthorie)

Für kausale Funktion gilt:

$\begin{array}{rl}& \chi \left(t\right)=\mathrm{\Theta }\left(t\right)\chi \left(t\right)\\ & \mathrm{\Theta }\left(t\right)=\{\begin{array}{c}\begin{array}{rl}& 0t<0\\ & 1t\ge 0\\ \end{array}\\ \\ \end{array}\\ \end{array}$

Heavyside

Fourier- Trafo:

$\hat{\chi }\left(\omega \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{}{\overset{}{\int }}d\omega \stackrel{´}{}\mathrm{\Theta }(\omega -\omega \stackrel{´}{})\hat{\chi }\left(\omega \stackrel{´}{}\right)$

$\begin{array}{rl}& \hat{\mathrm{\Theta }}\left(\omega \right):=\begin{array}{c}\lim \\ \sigma ->0+\\ \end{array}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dt{e}^{i\omega t-\sigma t}=\begin{array}{c}\lim \\ \sigma ->0+\\ \end{array}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\frac{1}{i\omega -\sigma }\\ & \\ \end{array}$

Mit dem konvergenzerzeugenden Faktor

$\sigma$

Also:

$\hat{\chi }\left(\omega \right)=\frac{1}{2\pi i}\begin{array}{c}\lim \\ \sigma ->0+\\ \end{array}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\omega \stackrel{´}{}\frac{1}{\omega \stackrel{´}{}-\omega -i\sigma }\hat{\chi }\left(\omega \stackrel{´}{}\right)$

Der Integrand hat einen Pol für

$\omega \stackrel{´}{}=\omega +i\sigma$

Also:

Äquivalenter Integrationsweg:

Zerlegung:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\omega \stackrel{´}{}\frac{1}{\omega \stackrel{´}{}-\omega }\hat{\chi }\left(\omega \stackrel{´}{}\right)=\begin{array}{c}\lim \\ \epsilon ->0^{+}\\ \end{array}\left[\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\omega -\epsilon }{\int }}+\underset{\omega +\epsilon }{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\right]d\omega \stackrel{´}{}\frac{1}{\omega \stackrel{´}{}-\omega }\hat{\chi }\left(\omega \stackrel{´}{}\right)+\underset{Kreisbogen}{\int }d\omega \stackrel{´}{}\frac{1}{\omega \stackrel{´}{}-\omega }\hat{\chi }\left(\omega \stackrel{´}{}\right)$

Man sagt:

$\begin{array}{c}\lim \\ \epsilon ->0^{+}\\ \end{array}\left[\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\omega -\epsilon }{\int }}+\underset{\omega +\epsilon }{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\right]d\omega \stackrel{´}{}\frac{1}{\omega \stackrel{´}{}-\omega }\hat{\chi }\left(\omega \stackrel{´}{}\right)=P\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\omega \stackrel{´}{}\frac{1}{\omega \stackrel{´}{}-\omega }\hat{\chi }\left(\omega \stackrel{´}{}\right)$

= Hauptwertintegral (principal Value), entsteht nur direkt an der Polstelle!

$\underset{Kreisbogen}{\int }d\omega \stackrel{´}{}\frac{1}{\omega \stackrel{´}{}-\omega }\hat{\chi }\left(\omega \stackrel{´}{}\right)$

Integral längs des Halbkreis mit Radius

$\epsilon$

um den Pol!

$\begin{array}{rl}& \underset{Kreisbogen}{\int }ds\frac{f(s)}{s}=f(0)\underset{Kreisbogen}{\int }\frac{ds}{s}\\ & s=\epsilon e^{i\varphi }\Rightarrow ds=isd\varphi \\ & f(0)\underset{Kreisbogen}{\int }\frac{ds}{s}=f(0)i\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}d\varphi =i\pi f(0)\\ \end{array}$

sogenanntes " Halbes Residuum!"

Also:

$\begin{array}{rl}& \hat{\chi }\left(\omega \right)=\frac{1}{2\pi i}\begin{array}{c}\lim \\ \sigma ->0+\\ \end{array}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\omega \stackrel{´}{}\frac{1}{\omega \stackrel{´}{}-\omega -i\sigma }\hat{\chi }\left(\omega \stackrel{´}{}\right)\\ & =\frac{1}{2\pi i}P\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\omega \stackrel{´}{}\frac{1}{\omega \stackrel{´}{}-\omega }\hat{\chi }\left(\omega \stackrel{´}{}\right)+\frac{1}{2}\hat{\chi }\left(\omega \right)\\ & \Rightarrow \hat{\chi }\left(\omega \right)=\frac{1}{\pi i}P\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\omega \stackrel{´}{}\frac{1}{\omega \stackrel{´}{}-\omega }\hat{\chi }\left(\omega \stackrel{´}{}\right)\\ \end{array}$

Nun: Zerlegung in Re und Im mit

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Re }\hat{\chi }\left(\omega \right)=\epsilon \stackrel{´}{}\left(\omega \right)-1\\ & \mathrm{\Im }\hat{\chi }\left(\omega \right)=\epsilon \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\left(\omega \right)\\ \end{array}$

Also:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Re }\hat{\chi }\left(\omega \right)=\epsilon \stackrel{´}{}\left(\omega \right)-1=\frac{1}{\pi }P\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\omega \stackrel{´}{}\frac{1}{\omega \stackrel{´}{}-\omega }\epsilon \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\left(\omega \stackrel{´}{}\right)\\ & \mathrm{\Im }\hat{\chi }\left(\omega \right)=\epsilon \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\left(\omega \right)=-\frac{1}{\pi }P\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\omega \stackrel{´}{}\frac{1}{\omega \stackrel{´}{}-\omega }(\epsilon \stackrel{´}{}\left(\omega \stackrel{´}{}\right)-1)\\ \end{array}$

Dies ist die Kramers- Kronig- Relation. Sie verknüpft Real- und Imaginärteil des komplexen Brechungsindex miteinander!

Titchmask- Theorem:

$\hat{\chi }\left(z\right)$

sollte regulär sein auf der oberen komplexen z- Halbebene Somit:

$\hat{\chi }\left(z\right)\to 0$

für

$\mathrm{\Im }z\to \mathrm{\infty }$