Zustände mit Bahn- und Spinvariablen

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Zustände mit Bahn- und Spinvariablen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 3) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Sei nun $| n l m m_{s} ⟩$ ein Zustand, der Bahn- und Spinfreiheitsgrade beschreibt:

\begin{matrix} | n l m m_{s} ⟩ = | n l m ⟩ | m_{s} ⟩ \in H_{B} \times H_{S} \\ | n l m ⟩ \in H_{B} \\ | m_{s} ⟩ \in H_{S} \end{matrix}

Der Bahnzustand ist Element des Bahn- Hilbertraumes und der Spinzustand Element des Spin- Hilbertraumes. Der Gesamtzustand erfordert einen Raum, der sich als direktes Produkt der beiden Hilberträume zeigt.

Allgemein gilt für separable oder Produktzustände $| n_{1} n_{2} ⟩ = | n_{1} ⟩ | n_{2} ⟩$

(äquivalente Sprechweise):

⟨ m_{1} m_{2} | n_{1} n_{2} ⟩ = ⟨ m_{1} m_{2} | n_{1} ⟩ ⟨ m_{1} m_{2} | n_{2} ⟩ = ⟨ m_{1} | n_{1} ⟩ ⟨ m_{2} | n_{2} ⟩

Ein beliebiger Zustand kann nach Spin- Basis Zuständen $| ↑ ⟩, | ↓ ⟩$

zerlegt werden:

{| Ψ ⟩}_{t} = {| Ψ_{1} ⟩}_{t} | ↑ ⟩ + {| Ψ_{2} ⟩}_{t} | ↓ ⟩

mit

{| Ψ_{α} ⟩}_{t} = \int_{}^{} d^{3} r | \bar{r} ⟩ ⟨ \bar{r} | {| Ψ_{α} ⟩}_{t}

In der Ortsraum- Basis mit dem Bahn- Zustand $α = 1, 2$

In der Matrix- Darstellung des Spinraumes ergibt dies:

{| Ψ ⟩}_{t} = (\begin{matrix} {| Ψ_{1} ⟩}_{t} \\ {| Ψ_{2} ⟩}_{t} \end{matrix}) = \int_{}^{} d^{3} r | \bar{r} ⟩ (\begin{matrix} ⟨ \bar{r} | {| Ψ_{1} ⟩}_{t} \\ ⟨ \bar{r} | {| Ψ_{2} ⟩}_{t} \end{matrix})

Mit

(\begin{matrix} {| Ψ_{1} ⟩}_{t} \\ {| Ψ_{2} ⟩}_{t} \end{matrix})

entsprechend 2 Spinkomponenten, also entsprechend $| ↑ ⟩, | ↓ ⟩$

Die Vollständigkeit der Zustände $| \bar{r} ↑ ⟩ = | \bar{r} ⟩ | ↑ ⟩, | \bar{r} ↓ ⟩ = | \bar{r} ⟩ | ↓ ⟩$

folgt aus:

\int_{}^{} d^{3} r {| \bar{r} ↑ ⟩ ⟨ \bar{r} ↑ | + | \bar{r} ↓ ⟩ ⟨ \bar{r} ↓ |} = 1 \in H_{B} \times H_{S}

Weiter:

\begin{matrix} ⟨ \bar{r} ↑ | {| Ψ ⟩}_{t} = ⟨ \bar{r} | {| Ψ_{1} ⟩}_{t} \\ ⟨ \bar{r} ↓ | {| Ψ ⟩}_{t} = ⟨ \bar{r} | {| Ψ_{2} ⟩}_{t} \end{matrix}

Also die Komponenten von ${| Ψ ⟩}_{t}$ am Ort $\bar{r}$ , einmal die Komponente mit Spin $↑$ und einmal die Komponente mit Spin $↓$ . Dabei gilt:

\begin{matrix} {| ⟨ \bar{r} ↑ | {| Ψ ⟩}_{t} |}^{2} = {| ⟨ \bar{r} | {| Ψ_{1} ⟩}_{t} |}^{2} \\ {| ⟨ \bar{r} ↓ | {| Ψ ⟩}_{t} |}^{2} = {| ⟨ \bar{r} | {| Ψ_{2} ⟩}_{t} |}^{2} \end{matrix}

entspricht der Wahrscheinlichkeit, das Elektron zur Zeit t bei $\bar{r}$ mit Spin $↑$ bzw. Spin $↓$ zu finden.

Schrödingergleichung im Spin- Bahn- Raum

Hamilton- Operator für Bahn:

{\hat{H}}_{B} = \frac{1}{2 m_{0}} {(\bar{p} - e \bar{A})}^{2} + V (r)

Elektron mit Ladung e{{H}_{B}}</math>

Hamilton- Operator für Spin:

\begin{matrix} {\hat{H}}_{S} = - ℏ ω_{l} {\hat{\bar{σ}}}_{3} \\ ω_{l} = \frac{| e | B}{2 m_{0}} \end{matrix}

{\hat{H}}_{S}

wirkt dabei nur im Hilbertraum $H_{S}$

Ohne Berücksichtigung von ${\hat{H}}_{S}$

\begin{matrix} {\hat{H}}_{B} {| Ψ_{α} ⟩}_{t} = i ℏ \frac{\partial}{\partial t} {| Ψ_{α} ⟩}_{t} \\ α = 1, 2 \end{matrix}

Also haben wir je nach Spinzustand schon 2 Schrödingergleichungen in $H_{B}$

Es gilt (äquivalente Darstellung):

\begin{matrix} {\hat{H}}_{B} {| Ψ_{α} ⟩}_{t} = i ℏ \frac{\partial}{\partial t} {| Ψ_{α} ⟩}_{t} \Leftrightarrow ({\hat{H}}_{B} \times 1) {| Ψ ⟩}_{t} = i ℏ \frac{\partial}{\partial t} {| Ψ ⟩}_{t} \\ α = 1, 2 \end{matrix}

Dabei

1

= Einsoperator im Spinraum → Spin bleibt unberücksichtigt. Einheitsmatrix für beliebigen Vorgang im Spinraum: $1 = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$

MIT Berücksichtigung von ${\hat{H}}_{S}$

({\hat{H}}_{B} \times 1 + {\hat{H}}_{S}) {| Ψ ⟩}_{t} = i ℏ \frac{\partial}{\partial t} {| Ψ ⟩}_{t}

In Matrix- Darstellung:

\begin{matrix} (\begin{matrix} {\hat{H}}_{\overset{´}{} B} + ℏ ω_{l} & 0 \\ 0 & {\hat{H}}_{\overset{´}{} B} - ℏ ω_{l} \end{matrix}) (\begin{matrix} {| Ψ_{1} ⟩}_{t} \\ {| Ψ_{2} ⟩}_{t} \end{matrix}) = i ℏ \frac{\partial}{\partial t} (\begin{matrix} {| Ψ_{1} ⟩}_{t} \\ {| Ψ_{2} ⟩}_{t} \end{matrix}) \\ \Leftrightarrow ({\hat{H}}_{\overset{´}{} B} + ℏ ω_{l}) {| Ψ_{1} ⟩}_{t} = i ℏ \frac{\partial}{\partial t} {| Ψ_{1} ⟩}_{t} \\ ({\hat{H}}_{\overset{´}{} B} - ℏ ω_{l}) {| Ψ_{2} ⟩}_{t} = i ℏ \frac{\partial}{\partial t} {| Ψ_{2} ⟩}_{t} \end{matrix}

Pauli Gleichung

Anwendung: - einfacher Zeeman- Effekt mit Spin. 1 Elektron im kugelsymmetrischen Potenzial (Kern (H)oder Atomrumpf(Na)) und homogenen Magnetfeld $\bar{B} = B {\bar{e}}_{3}$

\hat{H} = {\hat{H}}_{B} \times 1 + H_{S} = [\frac{1}{2 m_{0}} {(\bar{p} - e \bar{A})}^{2} + V (r)] \times 1 - \frac{| e | ℏ B}{2 m_{0}} {\hat{\bar{σ}}}_{3}

Dabei wird durch ${\hat{H}}_{B} \times 1$ der Bahndrehimpuls Hamiltonian durch den Spinraum erweitert.

\begin{matrix} \hat{H} = {\hat{H}}_{B} \times 1 + H_{S} = [\frac{1}{2 m_{0}} {(\bar{p} - e \bar{A})}^{2} + V (r)] \times 1 - \frac{| e | ℏ B}{2 m_{0}} {\hat{\bar{σ}}}_{3} \\ \hat{H} ≅ [\frac{{\bar{p}}^{2}}{2 m_{0}} + V (r)] \times 1 - \frac{| e | B}{2 m_{0}} ({\hat{L}}_{3} \times 1 + ℏ {\hat{\bar{σ}}}_{3}) \\ \frac{{\bar{p}}^{2}}{2 m_{0}} + V (r) = H_{0} \\ H_{0} | n l m ⟩ = E_{n l} | n l m ⟩ \end{matrix}

Wie man sieht bekommt man durch den Korrekturterm $\frac{| e | B}{2 m_{0}} ({\hat{L}}_{3} \times 1 + ℏ {\hat{\bar{σ}}}_{3})$ eine Korrektur an die Energie. Für B=0 → Eigenzustände mit Spin

(H_{0} \times 1) | n l m m_{s} ⟩ = E_{n l} | n l m m_{s} ⟩

Insgesamt $2 (2 l + 1)$ fach entartet. Beim H- Atom: zusätzliche l- Entartung

B \neq 0

\begin{matrix} \hat{H} | n l m m_{s} ⟩ = H_{0} | n l m ⟩ | m_{s} ⟩ - \frac{| e | B}{2 m_{0}} {({\hat{L}}_{3} | n l m ⟩) | m_{s} ⟩ + ℏ ({\hat{\bar{σ}}}_{3} | m_{s} ⟩) | n l m ⟩} \\ {\hat{L}}_{3} | n l m ⟩ = ℏ m | n l m ⟩ \\ {\hat{\bar{σ}}}_{3} | m_{s} ⟩ = 2 m_{S} | m_{s} ⟩ \\ H_{0} | n l m ⟩ | m_{s} ⟩ - \frac{| e | B}{2 m_{0}} {({\hat{L}}_{3} | n l m ⟩) | m_{s} ⟩ + ℏ ({\hat{\bar{σ}}}_{3} | m_{s} ⟩) | n l m ⟩} = [E_{n l} - \frac{| e | ℏ B}{2 m_{0}} (m + 2 m_{s})] | n l m m_{s} ⟩ \end{matrix}

Das bedeutet: teilweise Aufhebung der $2 (2 l + 1)$ - fachen Entartung (sogenannter Anomaler Zeemann-Effekt!)

E = E_{n l} - μ_{B} B (m + 2 m_{s})

Dies gilt für paramagnetische Atome mit magnetischem Moment $μ_{3} = μ_{B} (m + 2 m_{s})$ .

Dabei entspricht $2$ vor ms dem gyromagnetischen Verhältnis, kommt also wegen dem Landé- Faktor g=2, auch wenn dieser leicht von 2 verschieden ist! (Siehe oben). Für dieses Beispiel wird die Energieverschiebung linear zu B am besten in Einheiten von $μ_{B}$ angegeben. s und p - Orbital lassen sich folgendermaßen in einem sogenannten Termschema skizzieren (für den anomalen Zeemann- Effekt): Das heißt: die m- Entartung, die ohne Spin vollständig aufgehoben wurde, ist jetzt nur noch teilweise aufgehoben! Da die Aufhebung der Spin- Entartung die Energiezustände wieder so "weiterrückt", dass vorher getrennte wieder zusammenfallen!

Tabelle: Landé- Faktoren
Teilchen	s	g	Q
Elektron	1/2	2	-e
Proton	1/2	5,59	e
Neutron	1/2	-3,83	0
Neutrino	1/2	0	0
Photon	1	0	0

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