Zustände mit Bahn- und Spinvariablen

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Zustände mit Bahn- und Spinvariablen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 3) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Sei nun $|nlm{m}_s⟩$ ein Zustand, der Bahn- und Spinfreiheitsgrade beschreibt:

$\begin{array}{rl}& |nlm{m}_s⟩=|nlm⟩|m_s⟩\in H_B\times H_S\\ & |nlm⟩\in H_B\\ & |m_s⟩\in H_S\\ \end{array}$

Der Bahnzustand ist Element des Bahn- Hilbertraumes und der Spinzustand Element des Spin- Hilbertraumes. Der Gesamtzustand erfordert einen Raum, der sich als direktes Produkt der beiden Hilberträume zeigt.

Allgemein gilt für separable oder Produktzustände $|n_1{n}_2⟩=|n_1⟩|n_2⟩$

(äquivalente Sprechweise):

$⟨m_1{m}_2|n_1{n}_2⟩=⟨m_1{m}_2|n_1⟩⟨m_1{m}_2|n_2⟩=⟨m_1|n_1⟩⟨m_2|n_2⟩$

Ein beliebiger Zustand kann nach Spin- Basis Zuständen $|\uparrow ⟩,|\downarrow ⟩$

zerlegt werden:

${|\mathrm{\Psi }⟩}_t={|{\mathrm{\Psi }}_1⟩}_t|\uparrow ⟩+{|{\mathrm{\Psi }}_2⟩}_t|\downarrow ⟩$

mit

${|{\mathrm{\Psi }}_{\alpha }⟩}_t=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r|\overline{r}⟩⟨\overline{r}|{|{\mathrm{\Psi }}_{\alpha }⟩}_t$

In der Ortsraum- Basis mit dem Bahn- Zustand $\alpha =1,2$

In der Matrix- Darstellung des Spinraumes ergibt dies:

${|\mathrm{\Psi }⟩}_t=\left(\begin{array}{c}{|{\mathrm{\Psi }}_1⟩}_t\\ {|{\mathrm{\Psi }}_2⟩}_t\\ \end{array}\right)=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r|\overline{r}⟩\left(\begin{array}{c}⟨\overline{r}|{|{\mathrm{\Psi }}_1⟩}_t\\ ⟨\overline{r}|{|{\mathrm{\Psi }}_2⟩}_t\\ \end{array}\right)$

Mit

$\left(\begin{array}{c}{|{\mathrm{\Psi }}_1⟩}_t\\ {|{\mathrm{\Psi }}_2⟩}_t\\ \end{array}\right)$

entsprechend 2 Spinkomponenten, also entsprechend $|\uparrow ⟩,|\downarrow ⟩$

Die Vollständigkeit der Zustände $|\overline{r}\uparrow ⟩=|\overline{r}⟩|\uparrow ⟩,|\overline{r}\downarrow ⟩=|\overline{r}⟩|\downarrow ⟩$

folgt aus:

$\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\{|\overline{r}\uparrow ⟩⟨\overline{r}\uparrow |+|\overline{r}\downarrow ⟩⟨\overline{r}\downarrow |\}=1\in H_B\times H_S$

Weiter:

$\begin{array}{rl}& ⟨\overline{r}\uparrow |{|\mathrm{\Psi }⟩}_t=⟨\overline{r}|{|{\mathrm{\Psi }}_1⟩}_t\\ & ⟨\overline{r}\downarrow |{|\mathrm{\Psi }⟩}_t=⟨\overline{r}|{|{\mathrm{\Psi }}_2⟩}_t\\ \end{array}$

Also die Komponenten von ${|\mathrm{\Psi }⟩}_t$am Ort $\overline{r}$, einmal die Komponente mit Spin $\uparrow$ und einmal die Komponente mit Spin $\downarrow$. Dabei gilt:

$\begin{array}{rl}& {\left|⟨\overline{r}\uparrow |{|\mathrm{\Psi }⟩}_t\right|}^2={\left|⟨\overline{r}|{|{\mathrm{\Psi }}_1⟩}_t\right|}^2\\ & {\left|⟨\overline{r}\downarrow |{|\mathrm{\Psi }⟩}_t\right|}^2={\left|⟨\overline{r}|{|{\mathrm{\Psi }}_2⟩}_t\right|}^2\\ \end{array}$

entspricht der Wahrscheinlichkeit, das Elektron zur Zeit t bei $\overline{r}$ mit Spin $\uparrow$ bzw. Spin $\downarrow$ zu finden.

Schrödingergleichung im Spin- Bahn- Raum

Hamilton- Operator für Bahn:

${\hat{H}}_B=\frac{1}{2m_0}{(\overline{p}-e\overline{A})}^2+V(r)$

Elektron mit Ladung e{{H}_{B}}</math>

Hamilton- Operator für Spin:

$\begin{array}{rl}& {\hat{H}}_S=-\hslash {\omega }_l{\hat{\overline{\sigma }}}_3\\ & {\omega }_l=\frac{\left|e\right|B}{2m_0}\\ \end{array}$

${\hat{H}}_S$

wirkt dabei nur im Hilbertraum $H_S$

Ohne Berücksichtigung von ${\hat{H}}_S$

$\begin{array}{rl}& {\hat{H}}_B{|{\mathrm{\Psi }}_{\alpha }⟩}_t=i\hslash \frac{\partial }{\partial t}{|{\mathrm{\Psi }}_{\alpha }⟩}_t\\ & \alpha =1,2\\ \end{array}$

Also haben wir je nach Spinzustand schon 2 Schrödingergleichungen in $H_B$

Es gilt (äquivalente Darstellung):

$\begin{array}{rl}& {\hat{H}}_B{|{\mathrm{\Psi }}_{\alpha }⟩}_t=i\hslash \frac{\partial }{\partial t}{|{\mathrm{\Psi }}_{\alpha }⟩}_t\iff ({\hat{H}}_B\times 1){|\mathrm{\Psi }⟩}_t=i\hslash \frac{\partial }{\partial t}{|\mathrm{\Psi }⟩}_t\\ & \alpha =1,2\\ \end{array}$

Dabei

$1$

= Einsoperator im Spinraum → Spin bleibt unberücksichtigt. Einheitsmatrix für beliebigen Vorgang im Spinraum: $1=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ \end{array}\right)$

MIT Berücksichtigung von ${\hat{H}}_S$

$({\hat{H}}_B\times 1+{\hat{H}}_S){|\mathrm{\Psi }⟩}_t=i\hslash \frac{\partial }{\partial t}{|\mathrm{\Psi }⟩}_t$

In Matrix- Darstellung:

$\begin{array}{rl}& \left(\begin{array}{cc}{\hat{H}}_{\stackrel{´}{}B}+\hslash {\omega }_l& 0\\ 0& {\hat{H}}_{\stackrel{´}{}B}-\hslash {\omega }_l\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{|{\mathrm{\Psi }}_1⟩}_t\\ {|{\mathrm{\Psi }}_2⟩}_t\\ \end{array}\right)=i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\left(\begin{array}{c}{|{\mathrm{\Psi }}_1⟩}_t\\ {|{\mathrm{\Psi }}_2⟩}_t\\ \end{array}\right)\\ & \iff ({\hat{H}}_{\stackrel{´}{}B}+\hslash {\omega }_l){|{\mathrm{\Psi }}_1⟩}_t=i\hslash \frac{\partial }{\partial t}{|{\mathrm{\Psi }}_1⟩}_t\\ & ({\hat{H}}_{\stackrel{´}{}B}-\hslash {\omega }_l){|{\mathrm{\Psi }}_2⟩}_t=i\hslash \frac{\partial }{\partial t}{|{\mathrm{\Psi }}_2⟩}_t\\ \end{array}$

Pauli Gleichung

Anwendung: - einfacher Zeeman- Effekt mit Spin. 1 Elektron im kugelsymmetrischen Potenzial (Kern (H)oder Atomrumpf(Na)) und homogenen Magnetfeld $\overline{B}=B{\overline{e}}_3$

$\hat{H}={\hat{H}}_B\times 1+H_S=[\frac{1}{2m_0}{(\overline{p}-e\overline{A})}^2+V(r)]\times 1-\frac{\left|e\right|\hslash B}{2m_0}{\hat{\overline{\sigma }}}_3$

Dabei wird durch ${\hat{H}}_B\times 1$ der Bahndrehimpuls Hamiltonian durch den Spinraum erweitert.

$\begin{array}{rl}& \hat{H}={\hat{H}}_B\times 1+H_S=[\frac{1}{2m_0}{(\overline{p}-e\overline{A})}^2+V(r)]\times 1-\frac{\left|e\right|\hslash B}{2m_0}{\hat{\overline{\sigma }}}_3\\ & \hat{H}\cong [\frac{{\overline{p}}^2}{2m_0}+V(r)]\times 1-\frac{\left|e\right|B}{2m_0}({\hat{L}}_3\times 1+\hslash {\hat{\overline{\sigma }}}_3)\\ & \frac{{\overline{p}}^2}{2m_0}+V(r)=H_0\\ & H_0|nlm⟩=E_{nl}|nlm⟩\\ \end{array}$

Wie man sieht bekommt man durch den Korrekturterm $\frac{\left|e\right|B}{2m_0}({\hat{L}}_3\times 1+\hslash {\hat{\overline{\sigma }}}_3)$ eine Korrektur an die Energie. Für B=0 → Eigenzustände mit Spin

$(H_0\times 1)|nlm{m}_s⟩=E_{nl}|nlm{m}_s⟩$

Insgesamt $2(2l+1)$ fach entartet. Beim H- Atom: zusätzliche l- Entartung

$B\ne 0$

$\begin{array}{rl}& \hat{H}|nlm{m}_s⟩=H_0|nlm⟩|m_s⟩-\frac{\left|e\right|B}{2m_0}\{\left({\hat{L}}_3|nlm⟩\right)|m_s⟩+\hslash \left({\hat{\overline{\sigma }}}_3|m_s⟩\right)|nlm⟩\}\\ & {\hat{L}}_3|nlm⟩=\hslash m|nlm⟩\\ & {\hat{\overline{\sigma }}}_3|m_s⟩=2m_S|m_s⟩\\ & H_0|nlm⟩|m_s⟩-\frac{\left|e\right|B}{2m_0}\{\left({\hat{L}}_3|nlm⟩\right)|m_s⟩+\hslash \left({\hat{\overline{\sigma }}}_3|m_s⟩\right)|nlm⟩\}=[E_{nl}-\frac{\left|e\right|\hslash B}{2m_0}(m+2m_s)]|nlm{m}_s⟩\\ \end{array}$

Das bedeutet: teilweise Aufhebung der $2(2l+1)$- fachen Entartung (sogenannter Anomaler Zeemann-Effekt!)

$E=E_{nl}-{\mu }_{B}B(m+2m_s)$

Dies gilt für paramagnetische Atome mit magnetischem Moment ${\mu }_3={\mu }_B(m+2m_s)$.

Dabei entspricht $2$ vor ms dem gyromagnetischen Verhältnis, kommt also wegen dem Landé- Faktor g=2, auch wenn dieser leicht von 2 verschieden ist! (Siehe oben). Für dieses Beispiel wird die Energieverschiebung linear zu B am besten in Einheiten von ${\mu }_B$ angegeben. s und p - Orbital lassen sich folgendermaßen in einem sogenannten Termschema skizzieren (für den anomalen Zeemann- Effekt): Das heißt: die m- Entartung, die ohne Spin vollständig aufgehoben wurde, ist jetzt nur noch teilweise aufgehoben! Da die Aufhebung der Spin- Entartung die Energiezustände wieder so "weiterrückt", dass vorher getrennte wieder zusammenfallen!

Tabelle: Landé- Faktoren

Teilchen	s	g	Q
Elektron	1/2	2	-e
Proton	1/2	5,59	e
Neutron	1/2	-3,83	0
Neutrino	1/2	0	0
Photon	1	0	0